De thi HSG cap truong lan 1

Câu 3b là một bài tập cơ bản trong scahs bài tập hình học 10, tuy nhiên không có học sinh nào làm được Pmin .. là một điều đáng tiếc.[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x – m3 + (m + 1)2 = a) Tìm tất các giá trị m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x 4 b) Với giá trị m vừa tìm phần a) tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P x13  x 23  3x1x (x1  x )  8x1x 2 Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: x  11x  23 4 x  xy  2  x  y  x  y 16   x  y x  y  Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có  trọng tâm G ; gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lấy các     điểm M,N cho 3MA  4MB 0 , NB  3NC 0 a) Chứng minh  MN qua tâm G tam giác ABC  đường  thẳng b) Chứng minh a.IA  b.IB  c.IC 0 (trong đó a = BC, b = AC, c = AB) Câu (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P bc 2 a ba c  ca 2 b ab c  ab c a  c 2b HẾT -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đáp án có 02 trang ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung Điểm 2,5 1,0 x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 4   m 2 m m  0  ' 0   m 0        m 0    m 3  x1  x2 4 2  m  1 4 m 3  Phương trình đã cho có hai nghiệm   Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ Theo định lí Viet ta có x1  x2 2  m  1 , x1 x2  m3   m  1 3 1,0 1,5 suy P  x1  x2   x1 x2 8  m  1  8m   m  1  16m  40m 0,5 Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P  16m  40m với m trên tập D   2;0    2;3 Ta thấy P là hàm số bậc hai (ẩn m) Bảng biến thiên m -2 0,25 0 16 P -144 -24 0,5 Câu Ý Nội dung Điểm P 16 m 2 , Pmin  144 m  Từ bảng biến thiên ta được: max Giải phương trình… ĐK: x  pt  2( x  x  9)  ( x   x   4) 0 0,25 1,5 0,5 2( x  3)  ( x   2) 0 0,25  x  0  x   0 Do a 0(a ) nên pt(*)  0,5  x 3 Vậy pt đã cho có nghiệm x=3 0,25 xy  2  x  y  x  y 16 (1)   x  y x  y (2)  2,0 Giải hệ phương trình §iÒu kiÖn: x + y > * (1)  (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)  [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy =  (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy =  (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = (3)  x  y  0  2 x  y  4(x  y) 0 (4)   0,5 Từ (3) ị x + y = 4, thay vào (2) ta đợc:  x  Þ y 7  x  Þ y 2 x2 + x – =  x2 + x – =   0,75 (4) v« nghiÖm vµ x2 + y2 > vµ x + y > Vậy hÖ cã hai nghiÖm lµ: (–3; 7); (2; 2) 0,75 3,0 1,5 a b Chứng minh M, N, G thẳng hàng         Ta cã 3(GA  GM )  4(GB  GM ) 0  3GA  4GB 7GM         Và (GB  GN )  3(GC  GN ) 0  GB  3GC  2GN        GB  3(GA  GB )  2GN  3GA  4GB  2GN (2) ( 1)     Chứng minh a.IA  b.IB  c.IC 0 0,5 0,5 1,5 Hình vẽ: A I B D C Gọi D là chân đường phân giác hạ từ đình A (hình vẽ)  c DB AB c c   Þ DB  DC Þ DB  DC b b Theo tính chất đường phân giác ta có DC AC b  ( vì hai vec tơ DB; DC ngược hướng)     c   b.IB  c.IC IB  ID  IC  ID  ID  b bc Hay (1)   Trang 1/2 0,5 Câu Ý Nội dung Lại có BI là đường phân giác góc B tam giác ABD, CI là phân giác tam giác ACD nên: IA BA CA BA  CA    ID BD CD BD  CD (theo tính chất tỷ lệ thức nhau)   a BA  CA BC  IA  ID Þ ID  IA hay ID  IA BD  CD CA  CB b c Suy (2)        a b.IB  c.IC  IA   a.IA  b.IB  c.IC 0 b  c b c Thay (2) vào (1) ta có: (đpcm) Chứng minh bất đẳng thức… Điểm 0,5 0,5 1,0 1 1 1 2 2 a  b  c a  b  c2 bc ca ab b c a  c a b 1 1 1 P      a (b  c) b2 (a  c) c (a  b) = bc ac ab = b c c a a b 1 x y z a b c Đặt , , Do abc = Þ xyz = và a,b,c dương suy x,y,z P x2 y2 z2   y z z x xy dương Ta có Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 0,25 x2 y z z2 x y  x y  z  x  y  z y z x  y z  x , , x y z x y z 3 Þ P x  y  z Þ P   xyz  2 2 0,5 x = y = z = Dấu “=” xảy x = y = z = hay a = b = c = Vậy 0,25 HẾT -Chú ý: Riêng câu phần b) thí sinh không có hình vẽ đúng thì không chấm điểm Học sinh có cách giải đúng khác đáp án điểm tối đa theo câu, phần Câu 3b) là bài tập scahs bài tập hình học 10, nhiên không có học sinh nào làm Pmin  là điều đáng tiếc Qua đây chứng tỏ học sinh không giải các bài tập sách bài tập, sách giáo khoa thuộc chương trình nâng cao Trang 2/2