Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng P đi qua M và song song với các cạnh AB,CD.chứng minh rằng chu vi của thiết diện không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC [r]
(1)Bài Tập ôn chương II I) QUAN HỆ SONG SONG 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N, P là trung điểm AB, CD, SA Chứng minh SC ( MNP) 2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N là trung điểm AD, C’D’.CMR: MN ( BC ' D) 3) Cho tứ diện ABCD cạnh a và điểm M thuộc cạnh BC, đặt BM=x(0≤ x≤ a) a Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua M và song song với các cạnh AB,AD.Tính chu vi và diện tích thiết diện theo a,x b Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) qua M và song song với các cạnh AB,CD.chứng minh chu vi thiết diện không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( ) qua trung điểm M AB và song song với BD và SA 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác Gọi O là giao điểm AC và BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( ) qua điểm O và song song AB và SC 5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O Mặt bên SAB là tam giác đều, ngoài SAD 90 Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC a) Tìm Giao điểm Dx Với mp(SAB).CMR AI//SB b) Tìm thiết diện hình chóp với mp(AIC) Tính diện tích thiết diện 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, SC a) Tìm giao điểm L SD và (IJK) b) Chứng minh IL / / AD , KL / /CD c) Gọi M là giao điểm CJ và DI, N là giao điểm BI và CL chứng minh ( SMN ) / /( ABCD) 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , đáy lớn AB gọi I, J, K là điểm trên SA, AB, BC theo thứ tự đó a) Tìm giao điểm IK với (SBD) b) Tìm giao điểm mp(IJK) với SD và SC 8) Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J là điểm trên cạnh AD và SB a) Tìm giao điểm K, L IJ và DJ với mp(SAC) b) AD cắt BC O, OJ cắt SC M chứng minh điểm A, K, L, M thẳng hàng 9) Cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC a) chứng minh AA’, BB’ cùng nằm mặt phẳng IA ' IB ' b) Gọi I là giao điểm AA’ và BB’ chứng minh IA IB c) Chứng minh các đường thẳng AA’,BB’, CC’, DD’ đồng quy 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , đáy lớn AB gọi M và N là trung điểm SB, SC a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm SD với (AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với (AMN) 11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, Gọi M là trung điểm củaSC a) Tìm giao điểm I AM với mp(SBD) CMR IA= 2IM b) Tìm giao điểm F của SD với mp(ABM) Cmr F là trung điểm SD và tứ giác ABMF là hình gì ? c) Gọi N thuộc AB Tìm giao điểm MN và (SBD) 13) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Trong tam giác SCD lấy điểm M (2) a) Tìm giao điểm BM với (SAC) b) Tìm thiết diện hình chóp với (ABM) 14) Cho tứ diện ABDC cạnh a Kéo dài BC đoạn CE=a Kéo dài BD đoạn DF=a Gọi M là trung điểm AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (MEF) b) Tính diện tích thiết diện theo a 15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD và OC a) Tìm giao điểm SA với (MNP) b) xác định thiết diện hình chóp với (MNP) 16) Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lầ lượt là trung điểm AC và BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK=2KD a) Tìm giao điểm E CD với (IJK) Cmr DE=DC b) Tìm giao điểm F AD với (IJK) Cmr FA=2FD c) Cmr : FK//IJ d) Gọi M, N là hai điểm trên AB, CD tìm giao điểm cùa MN với (IJK) 17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) b) Lấy M là điểm tùy ý trên SC không trùng với S mp(ABM) cắt SD N Tứ giác ABMN là hình gì ? 18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H,K,I,J là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD a) CMR: HKIJ là hình bình hành b) Gọi M là điểm trên BC Tìm thiết diện hình chóp với (HKM) 19) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P,Q , R, S lầ lượt là trung điểm AB, CD,BC,AD,AC và BD a) CMR: MPNQ là hình bình hành b) CMR: MN,PQ,RS đồng quy 20) Cho tứ diện ABCD Trên AD lấy N cho AN=2ND, M là trung điểm AC, trên BC lấy BQ BC Q cho IC ? a) Tìm giao điểm I MN với (BCD).Tính ID JB ? b) Tìm giao điểm J BD với (MNQ) Tính JD 21) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng a) Gọi O và O’ là tâm ABCD và ABEF CMR OO’//(ADF) và OO’//(BCE) b) Gọi M, N là trọng tâm tam giác ABD và ABE CMR : MN//(CEF) 22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm các cạnh ABvà CD a) CMR: MN//(SBC) ,MN//(SAD) b) Gọi P là trung điểm SA CMR: SB//(MNP), SC//(MNP) 23) Cho tứ diện ABCD Trên AD lấy M cho AM=MD, trên BC lấy N Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MN và song song với CD a) Tìm thiết diện tứ diện với mp( ) b) xác định vị trí N trên BC cho thiết diện là hình bình hành 24) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng.trên AC và BF lấy M,N cho AM=BN Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M,N cắt AD,AF M’,N’ a) Cmr mp(BCE)//((ADF) b) CMR: (DEF)//(MNN’M’) 25) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,N lầ lượt là trung điểm SA,SD (3) a) CMR: (OMN)//(SBC) b) Gọi P,Q là trung điểm AB và ON.CMR: PQ//(SBC) 26) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H, I, K lầ lượt là trung điểm SA, SB, SC a) CMR: (HIK)//(ABCD) b) Gọi M là giao điểm AI và KD, N là giao điểm DH và CI CMR: (SMN)//(HIK) 27) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a Gọi M, N, P là trung điểm AB, B’C’, DD’ a) CMR: (MNP)//(A’B’D) và (BDC’) b) Xác định thiết diện hình lập phương với mp(MNP)? Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện 28) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ a) Gọi I, K, G là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’ CMR: (IGK)// (BB’C’C) và (A’KG)//(AIB’) b) Gọi M, N là trung điểm BB’ và CC’ hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB’ và MN 29) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’song song với a) CMR: (BDA’)//(B’D’C) b) CMR đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 và G2 hai tam giác BDA’ và B’D’C c) CMR: G1 , G2 chia đoạn AC’ thành phần 30) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ E F, G là trung điểm AA’, BB’, CC’ Chứng minh rằng: a) (EFG)//(ABCD) b) xác định giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) và (C’D’D) c) Tìm giao điểm A’C và (C’BD) II) VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Cho tứ diện ABCD.Gọi E, F là trung điểm AB, CD.I Là trung điểm EF uu r uu r uur uur ur IA IB IC ID O a) CMR: uuu r uuur uuur uuur uur MA MB MC MD MI b) CMR: (M Tùy Ý) 2) III) QUAN HỆ VUÔNG GÓC 24) Trong mp( ) cho tam giác ABC vuông A B 60 AB=a Gọi O là trung điểm BC Lấy điểm S ngoài mp( ) cho SB=a và SB OA Gọi M là điểm trên cạnh AB, Mặt phẳng ( ) qua M và song song với SB và OA cắt BC,SC,SA N, P, Q đặt BM=x (0 x a) a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Tính theo a,x diện tích hình thang này Tìm x để diện tích hình thang là lớn 25) (3)Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện : AB=a; AD=AF= a ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK là đường vuông góc chung AC và BF(H thuộc AC , K thuộc BF) a) Gọi I là giao điểm đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song với BF DI Tính tỉ số DF b) Tính độ dài đoạn HK c) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK 26) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a Hai điểm M,N chuyển động trên hai đoạn thẳng BD và B’A tương ứng sáo cho BM=B’N=t Gọi , là các góc tạo đường thẳng MN với các đường thẳng BD và B’A a) Tính độ dài MN theo a,t Tìm t để độ dài MN ngắn b) Tính , độ dài MN ngắn (4) cos 2 cos c) Trong trường hợp tổng quát chứng minh hệ thức 27) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ( ABCD) chứng minh : BC ( SAB ) , DC ( SAD) , DB ( SAC ) 28) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ( ABCD) gọi H,I,K là hình chiếu vuông góc A xuống SB, SC, SD chứng minh : a) SC ( AHK ) , I ( AHK ) b) HK ( SAC ) , HK AI 29) Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC ) Gọi H, K là trực tâm tam giác ABC và SBC chứng minh HK ( SBC ) 30) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A,B BA=BC=a,AD=2a, SA ( ABCD) CMR tam giác SCD vuông 31) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a,AD= a , SA ( ABCD) M là trung điểm AD.CMR: ( SBM ) ( SAC ) 32) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B, AB=a, BC=2a , SA ( ABC ) , SA=2a, Mlaf trung điểm SC CMR: Tam giác ABM cân M Và tính diện tích 33) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Mặt bên (SAD) là tam giác và vuông góc với đáy M,N,P là trung điểm SB,BC,CD CMR: AM BP 34) (46) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC, đôi vuông góc với và OA=OB= OC=a Gọi K, M, N là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mp(OMN) a) CM CE vuông góc với mp(OMN) b) Tính diện tích cử tứ giác OMIN theo a 35) (45) Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a , SC ( ABC ) , Tam giác ABC vuông A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC cho AM=CN=t (0 t 2a) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Tìm Giá trị t để MN ngắn c) Khi đoạn thẳng MN ngắn , CM : MN là đường vuông góc chung BC và SA 36) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a, CAB 2 , SA ( ABC ) Gọi I là trung điểm BC HA SI a) chứng minh HA ( SBC ) Tính AH AK K AI , x AI b) , mp(R) qua K AI , cắt AB, AC, SC, SB các điểm M, N, P, Q MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ 36) Cho hình chóp ABCD có AB ( BCD) , BE CD; DF CB; O BE DF ; DK CA Gọi H, là trực tâm tam giác ACD chứng minh ( ABE ) ( ADC );( DFK ) ( ADC ); OH ( ADC ) (5)