Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất thường là sử dụng công cụ đạo hàm * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăn[r]
(1)Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp HAØM SOÁ MUÕ - HAØM SOÁ LOÂGARÍT PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CÓ CHỨA MŨ VAØ LOGARÍT Chuyên đề : TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ MŨ Caùc ñònh nghóa: • • • • • • an = a.a a (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R) n thừa số a = a ∀a a = ∀a ≠ a− n = (n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R / { 0}) n a m an a − n = am m n ( a > 0; m, n ∈ N ) 1 = m = n m a n a Caùc tính chaát : • • am an = am+ n am n = am − n • a (am )n = (an )m = am.n • (a.b)n = an b n • a an ( )n = b bn (2) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp x Haøm soá muõ: Daïng : y = a ( a > , a ≠ ) • Taäp xaùc ñònh : D = R • Taäp giaù trò : T = R + ( a x > ∀x ∈ R ) • Tính ñôn ñieäu: *a>1 : y = ax đồng biến trên R * < a < : y = ax nghòch bieán treân R Đồ thị hàm số mũ : • y y=ax y y=ax 1 x x a>1 0<a<1 Minh hoïa: y 3.5 y 1 y= 2 f(x)=2^x y=2x 2.5 x y 3.5 2 1.5 f(x)=(1/2)^x 2.5 1.5 0.5 y 1 x x 0.5 x x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -0.5 • O 1.5 2.5 3.5 -4.5 4.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 -3.5 -3.5 ( e ) ' = e u ' u -3.5 -0.5 Đạo hàm hàm số mũ: (ex ) ' = ex u -4 ( a ) ' = a ln a ( a ) ' = a ln a (với u là hàm số) x x u u u' O 1.5 2.5 3.5 4.5 (với u là hàm số) (3) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ LÔGARÍT Ñònh nghóa: Với a > , a ≠ và N > log a N = M Ñieàu kieän coù nghóa: dn ⇔ log a N coù nghóa aM = N a > a ≠ N > Caùc tính chaát : • • log a = log a a = • log a aM = M • • alog a N = N log a (N1 N ) = log a N1 + log a N • log a ( • log a N α = α log a N N1 ) = log a N1 − log a N N2 Ñaëc bieät : log a N = log a N Công thức đổi số : • log a N = log a b log b N • log b N = * Heä quaû: • log a b = log a N log a b log b a vaø log ak N= log a N k (4) Chuyên đề LTĐH Haøm soá logarít: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Daïng y = log a x ( a > , a ≠ ) Taäp xaùc ñònh : D = R + Taäp giaù trò T=R Tính ñôn ñieäu: *a>1 : y = log a x đồng biến trên R + • • • * < a < : y = log a x nghòch bieán treân R + Đồ thị hàm số lôgarít: • y y y=logax O a>1 Minh hoïa: y 3.5 0<a<1 y f(x)=ln(x)/ln(2) y y=log2x x x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 O -0.5 0.5 -3 y = log x 1.5 -3.5 f(x)=ln(x)/ln(1/2) 2.5 1.5 -4 y 3.5 2.5 -4.5 x x O y=logax 1 1.5 2.5 3.5 0.5 x 4.5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 O -1 0.5 -0.5 1 1.5 2.5 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 -3.5 • Đạo hàm hàm số lôgarit: ( ln x ) ' = x u' ( ln u ) ' = u ( log a x ) ' = x ln a ( log a u ) ' = u' u.ln a và ( ln x ) ' = 1x và ( ln u ) ' = uu' và ( log x ) ' = x ln1 a và u' ( log u ) ' = u.ln a (với u là hàm số) a a (với u là hàm số) 3.5 4.5 x (5) Chuyên đề LTĐH CAÙC ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Định lý 1: Với < a ≠ thì : aM = aN Định lý 2: Với < a <1 thì : aM < aN ⇔ M > N (nghòch bieán) Định lý 3: Với a > thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) Định lý 4: Với < a ≠ và M > 0;N > thì : ⇔ M=N loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 5: Với < a <1 thì : loga M < loga N ⇔ M >N (nghòch bieán) Định lý 6: Với a > thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng bản: ax = m (1) • m ≤ : phương trình (1) vô nghiệm • m > : ax = m ⇔ x = log a m Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN (Phương pháp đưa cùng số) Ví du : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) x + = 27 2x + 2) 2x − 3x + =4 1 3) 3.4 x + 9x + = 6.4 x +1 − 9x +1 Ví du 2ï : Giaûi caùc phöông trình sau x + 10 x+5 1) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 x +5 x +17 2) 32 x − = 0,25.128 x −3 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 2x + − 4.3 x + + 27 = 2) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 3) 5.2x = 10x − 2.5x 4) ( − ) x + ( + )x = 5) ( 5+ x ) ( + 5−2 x ) = 10 6) x − x − 2+ x − x = 7) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 8) 2.2 x − 9.14 x + 7.7 x = (6) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 2 9) x + x −2 − 5.2 x −1+ x −2 − = 10) 43+ 2cosx − 7.41+ cosx − = Baøi taäp reøn luyeän: 1) (2 + ) x + (2 − ) x = ( x ± 1) 2) + 18 = 2.27 3) 125 x + 50 x = x +1 4) 25 x + 10 x = 2 x +1 (x=0) (x=0) (x=0) 5) ( + )x + ( − )x = ( x = ± 2) x x x 6) 27 + 12 = 2.8 (x=0) Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0, Ví duï : Giaûi phöông trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x x x x 2 2) x + x − 4.2 x − x − 2 x + = 3) 52x +1 + 7x +1 − 175x − 35 = x −3 + x −3 + = x 2 + 2x +1 4) x 2x −1 + 2 x +1 5) x + x + 21− x = 2( ) + Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng số thích hợp nào đó (Phương pháp lôgarít hóa) Ví dụ : Giải phương trình 1) 3x −1.2 x = 8.4 x −2 x −1 2) x.8 x = 500 Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá nghiệm khỏang (a;b) ( đó tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C thì đó là nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chaát : Neáu haøm f taêng khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm khoûang (a;b) ( đó tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 3x + 4x = 5x x 2) 2x = 1+ 3) ( )x = 2x + 4) 3− x = − x + 8x − 14 5) 3.25x −2 + ( 3x − 10 ) 5x −2 + − x = Baøi taäp reøn luyeän: 1) 2.2 x + 3.3 x = x − (x=2) 2) x = − x (x=1) (7) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng bản: loga x = m (1) • ∀m ∈ : loga x = m ⇔ x = am Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log a M = log a N (đồng số) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) log2 = log (x − x − 1) x 2) log2 [ x(x − 1)] = 3) log2 x + log2 (x − 1) = Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) log x (x + 6) = 2) log (4 x + 4) = x − log (2 x +1 − 3) 3) log ( x − 1) + log ( x + 4) = log (3 − x) 2 1 4) log ( x + 3) + log ( x − 1) = log2 ( 4x ) 3 5) log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 ( x = − 11; x = −1 + 14 ) ( x = 3; x = −3 + ) ( x = 2; x = − 33 ) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) + =3 log2 2x log2 x 2) log 32 x + log 32 x + − = 3) log log2 x + log2 log x = 4) log x + log3 x = log x + log3 x + 5) logx (125x ) log225 x = 6) log x 2.log x = log x 16 7) log5x + log52 x = x 8) ( x − ) log3 9( x − ) 64 = ( x − 2) 3 Phöông phaùp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0, Ví duï : Giaûi phöông trình sau : log x + log x = + log x log x 2 (8) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá nghiệm khỏang (a;b) ( đó tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C thì đó là nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chaát : Neáu haøm f taêng khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm khoûang (a;b) ( đó tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) log (x − x − 6) + x = log (x + 2) + 2) log2 x + 3log6 x = log6 x ( ) 3) log2 + x = log3 x ( ) V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( ≤, >, ≥ ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) 23− 6x > −4x −11 1 2) > x + 6x + 2 Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : x − x −1 1) x − 2x ≥ ( ) 2) ≥ x −1 2 x −2 x Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) x < 2.3x + 2) 52x +1 > 5x + Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 2x − 3.(2 x + ) + 32 < 2) x + − x ≤ 3) 32x + + 45.6 x − 9.22x + ≤ 1 +1 4) ( ) x + 3.( ) x > 12 3 5) + 21+ x − x + 21+ x > ( < x ≤ 2) 6) 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 ( x ≤ ) (9) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : loga M < loga N ( ≤, >, ≥ ) Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) log2 (x + x − 2) > log2 (x + 3) 2) log 0,5 (4x + 11) < log 0,5 (x + 6x + 8) 3) log (x − 6x + 5) + log3 (2 − x) ≥ 4) log x + log ( x − 1) + log2 ≤ x +1 ≥0 5) log log3 x −1 Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : 1) log x (5x − 8x + 3) > 2) log log x − < 3) log 3x − x2 (3 − x) > 4) log x (log (3 x − 9)) ≤ 5) log x log3 ( 9x − 72 ) ≤ ( ) 6) log (4 + 144) − log < + log (2 x − + 1) x 7) log ( x + ) ≥ log ( 22x +1 − 3.2 x ) 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví duï : Giaûi baát phöông trình sau : 1) log22 x + log2 x − ≤ 2) x log2 x + 3) 4) + x ≤ 12 log x + log4 x − > log2 x 6 < 32 log x Ví duï : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) log (3 x + 2) + log 3x + 2 − > 2) log x 64 + log x2 16 ≥ 3) (log x) + >2 log x + 1 ( <x< ) (10) Chuyên đề LTĐH VII HEÄ PHÖÔNG TRÌNH: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình x − + − y = 1) 3log9 (9x ) − log3 y = x−2 y x− y ( ) = ( ) 6) log ( x − y ) + log ( x − y ) = log ( y − x) − log y = 2) x + y = 25 4−x ( x + − 1)3y = 7) x y + log x = 2 x = y − y 3) x + x +1 =y x +2 3 − x y = 1152 8) log ( x + y ) = 2 x y = 64 4) x + y = 9) x − y + = log x − log2 y = log ( x + y ) = 5) 2 log x + log y = 10 (11) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp BAØI TAÄP REØN LUYEÄN DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình 12 (x=1) 1) x − 6.2 x − 3( x −1) + x = 2 2) log ( x + 1) + = log − x + log (4 + x ) ( x = 2; x = − ) 3) log x = log ( x + 2) (x=49) 4) log x = log ( x + 2) (x=5) 5) 5.2 (x=1) (x= ) x −1 6) log − 3.2 5−3 x + = x −1 x − = log + log log2 x3−log2 x−3 = x −3log8 x log2 x 8) x + 2x −5 = (x=1,x=2,x=4) 7) x ( x = ,x = 2) ( x = ,x = 2) 9) log 22 x + ( x − 1) log x = − x 10) + log x log (10 − x) = log x (x=2,x=8) Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình 1) 32 x − 8.3 x + x + − 9.9 x + > 2) x2 −2 x − x x6 −2 x3 +1 1 3) 2 1 4) 4 − 3x 1 − 8 x − x − x −1 ≤2 1− x 1 < 2 ( x < −1 ∨ < x < ∨ x > ) x −1 (x≤− ) (− < x < ) ( ≤ x < 2) ( x > log 10 ) ( < x < 1) − 128 ≥ 5) log (1 − x) < + log 6) (x>5) (− ≤ x ≤ 0∨ x ≥ ) ( x + 1) − log x > log x 7) log x log (3 x − 9) < 1 8) < log ( x + x) log (3 x − 1) log ( x + 3) − log ( x + 3) 9) x +1 (-2 < x <-1) >0 11 (12) Chuyên đề LTĐH Baøi : Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: y = log − 2x − x2 x+2 y = THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp x − − 8− x + − log 0,3 ( x − 1) x2 − 2x − DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số Bài 1: Với giá trị nào m thì phương trình sau có nghiệm: x − 4m.(2 x − 1) = Baøi 2: Cho phöông trình: − m.2 + 2m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ≠ x2 cho x1 + x2 = x ( m < 0∨ m ≥1 ) x +1 (m=4) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: (m + 3).16 x + (2m − 1)4 x + m + = ( −1 < m < − ) 12 (13) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU) Bài 1: Giải phương trình: log ( x − 1) + log (x + 1) − log (7 − x ) = 2 (1) Bài giải: x − > x > Điều kiện: x + > ⇔ x > −1 ⇔ < x < 7 − x > x < Khi đó: (1) ⇔ log ( x − 1) + log (x + 1) − log (7 − x ) = 2 1 2 ⇔ log ( x − 1) = log (7 − x ) 2 2 ⇔ x − = (7 − x ) 2 ⇔ 2x − = 49 − 14x + x ⇔ x + 14x − 50 = x = ⇔ x = −17 So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) là x = Bài 2: Giải phương trình: 3 log (x + 2) − = log (4 − x ) +log (x + 6) 4 Bài giải: x + ≠ x ≠ −2 −6 < x < Điều kiện: 4 − x > ⇔ x < ⇔ x ≠ −2 x + > x > −6 Khi đó: 13 (1) (14) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp (1) ⇔ log x + − = log (4 − x ) + log (x + 6) 4 ⇔ log x + − = log (4 − x ) + log ( x + 6) 4 ⇔ log (4 x + ) = log [(4 − x )( x + 6)] 4 ⇔ x + = (4 − x )(x + 6) x + 6x − 16 = x = ∨ x = −8 (x + 2) = (4 − x )(x + 6) ⇔ ⇔ ⇔ x − 2x − 32 = x = ± 33 (x + 2) = − (4 − x )(x + 6) So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) là x = ∨ x = − 33 Bài 3: Giải phương trình: log2 (x + 2) + log (x − 5)2 + log = (1) Bài giải: x + > x > −2 Điều kiện: ⇔ x − ≠ x ≠ Khi đó: (1) ⇔ log2 (x + 2) + log2 x − = log2 ⇔ log2 [(x + 2) x − ] = log2 ⇔ ( x + 2) x − = x > x > x > x = −3 ∨ x = x − 3x − 18 = x = (x + 2)( x − 5) = ⇔ ⇔ ⇔ − ⇔ < < x x = ± 17 −2 < x < −2 < x < (x + 2)(5 − x) = ± 17 x = x − 3x − = x = Vậy nghiệm phương trình (1) là x = ± 17 Bài 4: Giải phương trình: log2 x − + log2 x + + log = Bài giải: x − ≠ x ≠ Điều kiện: ⇔ x + ≠ x ≠ −5 14 (1) (15) Chuyên đề LTĐH Khi đó: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp (1) ⇔ log2 ( x − 2)(x + 5) = log2 ⇔ (x − 2)( x + 5) = x = −3 ∨ x = x + 3x − 18 = ( x − 2)(x + 5) = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± 17 ( ) x x − + = − ( ) x − 3x + = x = −3 ∨ x = So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) là x = ± 17 Bài 5: Giải phương trình: log (x − 1) + log2x +1 = + log2 x + 2 Bài giải: x > x − > x > − 2x + > ⇔ x >1 Điều kiện: ⇔ 2x + ≠ x ≠ x + > x > −2 Khi đó: 1 1 (1) ⇔ log2 (x − 1) + log2 (2x + 1) = + log2 (x + 2) 2 2 ⇔ log2 [(x − 1)(2x + 1)] = log2 [2 (x + 2)] ⇔ (x − 1)(2x + 1) = (x + 2) x = −1 ⇔ 2x − 3x − = ⇔ x = 2 So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) là x = Bài 6: Giải phương trình: log2 2x − x log2 = 2.3log2 4x Bài giải: Điều kiện: x > 15 (1) (1) (16) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp log2 2x log2 log2 4x2 1+log2 x log2 Khi đó: −x = 2.3 ⇔4 −x = 2.32(1+log2 x) Đặt t = log2 x ⇒ x = 2t , phương trình (2) trở thành: log2 41+t − (2t ) t = 2.32(1+t) ⇔ 4.4 t − (2log2 ) = 18.9t t t 3 ⇔ 4.4 − = 18.9 ⇔ − = 18 2 t t 3 ⇔ 18 + − = 2 t = ⇔ t ⇔ t = −2 = − (loai) Với t = −2 ta nghiệm phương trình (1) là : x = t t Bài 7: Giải phương trình: (2 − log x ) log9x − t =1 − log x (1) Bài giải: x > x > Điều kiện: 9x ≠ ⇔ x ≠ log x ≠ x ≠ Khi đó: − log x − log x (1) ⇔ − =1⇔ − = (2) log (9x ) − log x + log x − log x Đặt t = log x (t ≠ −2; t ≠ 1) , phương trình (2) trở thành: t = −1 2−t − = ⇔ t2 − 3t − = ⇔ + t 1− t t = • Với t = −1 ta pt : log x = −1 ⇔ x = • Với t = ta pt : log x = ⇔ x = 81 So với điều kiện ta nghiệm pt(1) là x = ; x = 81 Bài 8: Giải phương trình: log3 ( 3x - 1) log3 ( 3x+1 - ) = (1) Bài giải: Điều kiện: 3x − > ⇔ x > ⇔ x > 16 (17) Chuyên đề LTĐH Khi đó: (1) ⇔ log3 ( 3x - 1) 1 + log3 ( 3x − 1) = THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp t = Đặt: t = log ( 3x − 1) , pt trở thành: t ( t + 1) = ⇔ t2 + t − = ⇔ t = −3 28 28 • Với t = −3 : log ( 3x − 1) = −3 ⇔ x − = ⇔ 3x = ⇔ x = log 27 27 27 x x x • Với t = : log ( − 1) = ⇔ − = ⇔ = 10 ⇔ x = log 10 Các nghiệm tìm thỏa điều kiện 28 Vậy pt(1) có hai nghiệm là x = log ; x = log 10 27 Bài 9: Giải phương trình: log x 7x log7 x = (1) Bài giải: x > Điều kiện: x ≠ Khi đó: (1) ⇔ log x ( 7x ).log7 x = ⇔ 1 1 + .log7 x = 2 log7 x t > 1 1 Đặt t = log7 x , pt trở thành: ⇔ + .t = ⇔ 1 2 t + t t = • Với t = : log7 x = ⇔ x = (thỏa điều kiện) Vậy pt(1) có nghiệm là x = t>0 ⇔ t=1 2 t + t − = Bài 10: Giải phương trình: log2x −1 ( 2x + x − 1) + log x +1 ( 2x − 1) = (1) Bài giải: x 2x + x − > x 2x − > Điều kiện: 2x − ≠ ⇔ x x + > x x + ≠ x Khi đó: < −1 ∨ x > ≠1 > > −1 x > ⇔ x ≠ ≠0 17 (18) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp (1) ⇔ log2x −1 [( 2x − 1) ( x + 1)] + log x +1 ( 2x − 1) = ⇔ + log2x −1 ( x + 1) + log2x −1 ( x + 1) =4 t = = ⇔ t2 − 3t + = ⇔ t t = • Với t = : log2x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = 2x − ⇔ x = (thỏa điều kiện) x = (loai) 2 • Với t = : log2x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = ( 2x − 1) ⇔ 4x − 5x = ⇔ x = Vậy pt(1) có tập nghiệm là S = 2; Đặt t = log2x −1 ( x + 1) , pt trở thành: t + { } Bài 11: Giải bất phương trình: log x − 3x + ≥ (1) x Bài giải: Điều kiện: 0 < x < x − 3x + >0⇔ x x > Khi đó: (1) ⇔ log x − 3x + ≥ log 1 x 2 x − 3x + ≤1 x x − 4x + ⇔ ≤0 x x < ⇔ 2 − ≤ x ≤ + ⇔ 2 − ≤ x < So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) là 2 < x ≤ + x2 + x Bài 12: Giải bất phương trình: log 0,7 log6 <0 x + (1) Bài giải: x2 + x x2 + x > x + x + > −4 < x < −2 x2 + x x2 − Điều kiện: ⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔ 2 x+4 x+4 x > log x + x > x + x > x + x+4 Khi đó: 18 (19) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp x + x x2 + x < log ⇔ log >1 (1) ⇔ log0,7 log6 0,7 x+4 x+4 x2 + x x2 + x ⇔ log6 > log6 ⇔ >6 x+4 x+4 −4 < x < −3 x − 5x − 24 ⇔ >0⇔ x+4 x > −4 < x < −3 So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) là x > Bài 13: Giải bất phương trình: log ( 4x − ) + log ( 2x + ) ≤ Bài giải: x > 4x − > Điều kiện: ⇔ 2x + > x > Khi đó: (1) ⇔ log3 ( 4x − )2 − ⇔x> ≤ + log ( 2x + ) ⇔ log ( 4x − ) ≤ log [9 ( 2x + )] ⇔ ( 4x − ) ≤ ( 2x + ) ⇔ 16x − 42x − 18 ≤ ⇔− ≤x≤3 So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) là Bài 14: Giải bất phương trình: x2 −2x − 3 <x≤3 2x − x2 ≤3 (1) Bài giải: 2x − x2 2 Ta có: − ≤ ⇔ x −2x − 2.3x −2x − ≤ 3 x2 −2x Đặt t = (t > 0) , bpt trở thành: t2 − 2t − ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ Do t > nên ta nhận < t ≤ 19 x2 −2x (1) (20) Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp x2 −2x 2 Với < t ≤ : 0<3 ≤ ⇔ x − 2x ≤ ⇔ x − 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S = 1 − 2;1 + Bài 15: Giải bất phương trình: log5 ( x + 144 ) − log5 < + log5 ( 2x −2 + 1) (1) Bài giải: Ta có: (1) ⇔ log5 ( x + 144 ) − log2 16 < log5 5 (2x −2 + 1) ⇔ log5 ( x + 144 ) < log5 80 ( x −2 + 1) ⇔ x + 144 < 80 ( x −2 + 1) ⇔ x − 20.2x + 64 < ⇔ < 2x < 16 ⇔ < x < Vậy bpt(1) có tập nghiệm là S = ( 2; ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải bất phương trình: 2x + log log2 ≥0 x +1 Bài 2: Giải phương trình: 3+ = log x 9x − log x x Bài 3: Giải phương trình: log2 ( 2x + ) + log ( 9x − 1) = Bài 4: Giải bất phương trình: 32x +1 − 22x +1 − 5.6 x ≤ Bài 5: Giải bất phương trình: 2 22x − 4x −2 − 16.22x − x −1 − ≤ Heát 20 (21)