Về nhóm picard của một vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thiện Vỹ VỀ NHĨM PICARD CỦA MỘT VÀNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thiện Vỹ VỀ NHĨM PICARD CỦA MỘT VÀNH Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN 1.1 Môđun tự 1.2 Môđun xạ ảnh 1.3 Môđun khả nghịch – Môđun Schanuel 1.4 Iđêan khả thương khả nghịch 1.5 Cấu trúc môđun xạ ảnh hữu hạn sinh vành địa phương 16 1.6 Tích tenxơ 17 CHƯƠNG 22 NHÓM PICARD CỦA MỘT VÀNH 22 2.1 Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng 23 2.2 Xây dựng nhóm Picard 23 2.3 Các ví dụ nhóm Picard 26 2.4 Ứng dụng nhóm Picard 30 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu Luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Học viên thực Luận văn Lê Thiện Vỹ LỜI NĨI ĐẦU Nhóm Picard nhóm Aben lớp đẳng cấu đối tượng khả nghịch dựa tích tenxơ Sự xây dựng phiên toàn cầu xây dựng nhóm lớp iđêan sử dụng nhiều hình học đại số, lý thuyết đa tạp phức… Trong đó, xây dựng sơ đồ cấu trúc nhóm Picard, gọi sơ đồ Picard, bước quan trọng hình học đại số, đặc biệt lý thuyết đối ngẫu đa tạp Aben Nó xây dựng Grothendieck (1961/62) mô tả Mumford (1966) Kleiman (2005) Ở đây, luận văn xin phép vào tìm hiểu cách xây dựng khái niệm nhóm Picard, ví dụ nhóm Picard dựa kiến thức nền, đồng thời nêu lên số tính chất ứng dụng nhóm Picard Luận văn nghiên cứu vấn đề lý thuyết Dựa hướng dẫn giáo viên hướng dẫn, học viên thu thập thêm tài liệu liên quan đến đề tài Tìm hiểu nghiên cứu chúng để tổng hợp lại trình bày đề tài theo thể thống nhất, khoa học, đầy đủ cách sử dụng phương pháp kỹ thuật đại số, lý thuyết vành khơng giao hốn… Trong luận văn, chúng tơi xin trình bày hai chương gồm nội dung sau đây: • Chương 1: Những vấn đề • Chương 2: Nhóm Picard vành Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Sự bảo ân cần thầy suốt q trình giúp cho tơi có thêm động lực tinh thần trách nhiệm để hoàn tất luận văn Tơi xin cảm ơn tới thầy cô, giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM giảng dạy cho cách chu đáo, giúp cho chúng tơi có kiến thức, nhìn mang tính học thuật Toán học đại Đồng thời tơi xin cảm ơn tồn thể bạn bè, tập thể lớp Cao học Đại số K25 Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập trường hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2016 Học viên Lê Thiện Vỹ KÝ HIỆU Ժ Vành số nguyên Թ ℚ ैோ , ‫ܯ‬ோ , Trường số thực ோै ோܰ ‫⊗ ܯ‬ோ ܰ Spec(R) ‫݉݋ܪ‬ோ ሺ‫ܯ‬, ܰሻ radR Trường số hữu tỉ Phạm trù R- môđun phải (trái) R- mơđun phải M, R- mơđun trái N Tích tensor ‫ܯ‬ோ ோܰ Tập iđêan nguyên tố vành R Nhóm R- đồng cấu từ M vào N Căn Jacobson R U(R), ܴ ∗ Nhóm phần tử khả nghịch vành R ܴॣ Địa phương hóa R iđêan nguyên tố ॣ Pic(R) ݇ሾ‫ݔ‬௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሿ ܳሺܴሻ Nhóm Picard vành giao hoán R Vành đa thức ݇ với biến ሼ‫ݔ‬௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሽ Vành thương toàn phần R CHƯƠNG I NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN Với vành R cho trước, ta thường viết ैோ (tương ứng trù R- môđun phải (tương ứng trái) Ký hiệu ‫ܯ‬ோ (tương ứng ோ ै) ோ ܰ) cho phạm có nghĩa M (tương ứng N) R- môđun phải (tương ứng trái) cho trước Ta viết ‫ै ∈ ܯ‬ோ thực ta nên viết ‫ ∈ ܯ‬Objሺैோ ሻ M đối tượng (không phải phần tử) ैோ Trong chương ta làm việc với môđun phải viết đồng cấu bên trái nên ta dùng luật tay trái cho tích đồng cấu Mọi kết tương tự cho môđun trái (với đồng cấu viết bên phải) 1.1 Môđun tự 1.1.1 Định nghĩa Với vành R bất kì, mơđun ܴோ gọi mơđun quy phải Một mơđun phải ‫ܨ‬ோ gọi tự đẳng cấu với tổng trực tiếp ܴோ Ta viết ܴ ሺூሻ cho tổng trực tiếp ⊕௜∈ூ ܴ௜ với ܴ௜ ܴோ I tập số tùy ý Ký hiệu ܴ ூ dùng cho tích trực tiếp ∏௜∈ூ ܴ௜ Nếu I tập hữu hạn với n phần tử tổng trực tiếp tích trực tiếp trùng nhau, trường hợp ta viết ܴ ௡ thay cho ܴ ሺூሻ ൌ ܴூ Ta cịn cách định nghĩa cho mơđun tự mà gần gũi với ta Thứ nhất, môđun ‫ܨ‬ோ tự có sở, tức tập ሼ݁௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሽ ⊆ ‫ ܨ‬sao cho phần tử F tổ hợp tuyến tính hữu hạn ݁௜ Thứ hai, môđun ‫ܨ‬ோ với tập ‫ ܤ‬ൌ ሼ݁௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሽ tự với B sở có tính phổ dụng: với họ phần tử ሼ݉௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሽ ‫ै ∈ ܯ‬ோ , có R – đồng cấu ݂: ‫ ܯ ⟶ ܨ‬với ݂ሺ݁௜ ሻ ൌ ݉௜ với ݅ ∈ ‫ܫ‬ Theo quy ước, môđun (0) tự với tập sở rỗng 1.1.2 Ví dụ Một Ժ- mơđun nhóm Aben tự Nếu R vành chia tất ‫ै ∈ ܯ‬ோ tự kết đại số tuyến tính tập độc lập tập sinh không gian véctơ Tuy nhiên, vành tổng qt chưa 1.2 Mơđun xạ ảnh 1.2.1 Định nghĩa: Một R- môđun phải P gọi xạ ảnh (hay R- xạ ảnh) với tồn cấu R- mơđun phải ݃: ‫ ܥ ⟶ ܤ‬và R- đồng cấu ݄: ܲ ⟶ ‫ ܥ‬thì tồn R- đồng cấu ݄ᇱ : ܲ ⟶ ‫ ܤ‬sao cho ݄ ൌ ݃ ∘ ݄′ P ݄ᇱ h ௚ ‫ ܤ‬ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ‫ ܥ‬ሱۛۛۛۛۛۛሮ Ta hướng theo tính chất cách khơng thức cách nói ݄ ∶ ܲ ⟶ ‫ ܥ‬có thể nâng (theo g) tới đồng cấu ݄ᇱ : ܲ ⟶ ‫ܤ‬ Nếu P tự do, nâng ln ln xảy tính phổ dụng mơđun tự Vì thế, mơđun tự xạ ảnh Tuy nhiên tổng quát, nâng không Ví dụ ܴ ൌ Ժ, g toàn cấu từ ‫ ܤ‬ൌ Ժ/4Ժ vào ‫ ܥ‬ൌ Ժ/2Ժ ánh xạ đồng h từ ܲ ൌ Ժ/2Ժ vào ‫ ܥ‬rõ ràng nâng (theo g) tới đồng cấu ܲ ⟶ ‫ܤ‬ Do đó, Ժ/2Ժ khơng phải Ժ - xạ ảnh 1.2.2 Mệnh đề: Với R- mơđun ܲோ cho trước, hàm tử Homோ ሺܲ, െሻ từ ैோ vào phạm trù nhóm Aben khớp trái, tức với dãy khớp ngắn bất kì: ⟶ ‫ ⟶ ܥ ⟶ ܤ ⟶ ܣ‬0 (*) ैோ , ta có dãy khớp tương ứng nhóm Aben: ௙∗ ௚∗ ⟶ Homோ ሺܲ, ‫ܣ‬ሻ ሱۛۛۛሮ Homோ ሺܲ, ‫ܤ‬ሻ ሱۛۛۛሮ Homோ ሺܲ, ‫ܥ‬ሻ Theo ngôn ngữ hàm tử, ta thấy ܲோ xạ ảnh Homோ ሺܲ, െሻ khớp, tức với dãy khớp ngắn (*) ta có dãy khớp ngắn ௙∗ ௚∗ ⟶ Homோ ሺܲ, ‫ܣ‬ሻ ሱۛۛۛሮ Homோ ሺܲ, ‫ܤ‬ሻ ሱۛۛۛሮ Homோ ሺܲ, ‫ܥ‬ሻ ⟶ 1.2.3 Mệnh đề Tổng trực tiếp ܲ ൌ ⨁௜ ܲ௜ R- môđun phải xạ ảnh hạng tử ܲ௜ xạ ảnh Chứng minh Hàm tử Homோ ሺܲ, െሻ tương đương với tích trực tiếp hàm tử Homோ ሺܲ௜ , െሻ Do Homோ ሺܲ, െሻ khớp Homோ ሺܲ௜ , െሻ khớp 24 Ta đặt Pic(R) tập lớp đẳng cấu R- môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng 2.2.2 Tính Aben nhóm Picard Từ tính chất hạng có trên, dẫn đến Pic(R) có cấu trúc nửa nhóm Aben theo phép tốn [P] [Q] = ሾܲ ⊗ோ ܳሿ Rõ ràng [R] thỏa mãn đơn vị Pic(R) Với [P] ∈ Pic(R), ta có ánh xạ tự nhiên f : ܲ ⊗ோ ܲ ∗ ⟶ ܴ ैோ Dùng kiện ሺܲ∗ ሻॣ ≅ ሺܲॣ ሻ∗ , ta thấy địa phương hóa ݂ॣ đẳng cấu với ॣ ∈ ܵ‫ܴܿ݁݌‬ Điều dẫn đến f đẳng cấu ሾܲሿሾܲ∗ ሿ ൌ ሾܲ ⊗ோ ܲ ∗ ሿ ൌ ሾܴ ሿ ∈ Pic(R) Do đó, Pic(R) nhóm Aben, với ሾܲሿିଵ ൌ ሾܲ∗ ሿ với [P] ∈ Pic(R) Ta nói Pic(R) nhóm Picard vành giao hốn R 2.2.3 Tính hàm tử Nếu f : ܴ → ‫ ܭ‬là đồng cấu vành giao hốn, ta xem K R- mơđun f Với [P] ∈ Pic(R), dễ dàng kiểm tra ሾܲ ⊗ோ ‫ܭ‬ሿ ∈ Pic(K) ሾܲሿ ⟼ ሾܲ ⊗ோ ‫ܭ‬ሿ xác định đồng cấu nhóm ݂∗ : Picሺܴሻ ⟶ Picሺ‫ܭ‬ሻ , với tính chất ሺ݂݃ሻ∗ ൌ ݂∗ ݃∗ ሺ݅݀ሻ∗ ൌ ݅݀ Với định nghĩa này, ta thấy “Pic” hàm tử hiệp biến từ phạm trù vành giao hoán vào phạm trù nhóm Aben Bây cho ‫ ܭ‬ൌ ܳሺܴሻ (địa phương hóa R tập nhân ‫ܥ‬ோ tất phần tử quy) ݂: ܴ ⟶ ‫ ܭ‬là phép nhúng chìm Theo (2.1), iđêan khả thương khả nghịch K môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng R, trường hợp tổng quát, môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng R không 25 cần phải đẳng cấu với iđêan khả thương khả nghịch K Để giải thích khác này, ta tiến hành sau Đặt ॴோ tập tất iđêan khả thương khả nghịch K Rõ ràng, ॴோ nhóm Aben với phép toán nhân với đơn vị R Với phần tử ‫ܷ߳ݏ‬ሺ‫ܭ‬ሻ, ߨሺ‫ݏ‬ሻ ≔ ‫ ܴݏ‬nằm ॴோ ሺ‫ܴݏ‬ሻሺ‫ି ݏ‬ଵܴሻ ൌ ܴ Mặt khác, với ि ∈ ॴோ , ߙሺिሻ ≔ ሾिሿ nằm Pic(R) Theo (1.3.2) ý (2), ta có ߙሺिीሻ ൌ ߙሺिሻߙሺीሻ với ि, ी ∈ ॴோ nên ߙ: ॴோ ⟶ Picሺܴሻ đồng cấu nhóm Bây ta chứng minh định lý quan trọng sau 2.2.4 Định lý Với ݂: ܴ ⟶ ‫ ܭ‬ൌ ܳሺܴሻ, ta có dãy khớp năm hạng tử sau: ௙ గ ఈ ௙∗ ⟶ ܷሺܴሻ ሱۛۛሮ ܷሺ‫ܭ‬ሻ ሱۛۛሮ ॴோ ሱۛۛሮ ܲ݅ܿሺܴሻ ሱۛۛۛሮ ܲ݅ܿሺ‫ܭ‬ሻ Chứng minh Rõ ràng để thấy dãy không (với ݂∗ ߙ ൌ 0 dùng kiện ि ∩ ‫ܥ‬ோ ് ∅ với ∈ ॴோ ) Với ‫ܷ ߳ ݏ‬ሺ‫ܭ‬ሻ, ߨሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ܴݏ‬ൌ ܴ, rõ ràng ta có ‫ܷ ߳ ݏ‬ሺܴሻ Với ि ∈ ॴோ , ߙሺिሻ ൌ ሾिሿ ൌ ሾܴሿ ि ∈ imሺߨሻ theo nhận định cuối định lý (1.4.1) Cuối cùng, cho [P] ∈ Pic(R) cho ݂∗ ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ሾܲሿ Khi ܲ ⊗ோ ‫ ܭ ≅ ܭ‬như K- mơđun Vì P nhúng vào R- môđun tự nên ánh xạ địa phương hóa ܲ ⟶ ܲ ⊗ோ ‫ ܭ‬là nội xạ Kết hợp với ܲ ⊗ோ ‫ ܭ ≅ ܭ‬ta nhúng P (như R- mơđun) vào K Khi tồn ‫ ܲ ∈ ݌‬và ‫ܥ ∈ ݎ‬ோ cho 26 ‫ି ݎ݌‬ଵ ൌ ∈ ‫ܭ‬, nên ‫ ݌‬ൌ ‫ܥ ∩ ܲ ∈ ݎ‬ோ ܲ ∩ ‫ܥ‬ோ ് ∅ Theo định lý (1.4.1), ܲ ∈ ॴோ , ሾܲሿ ൌ ߙሺܲሻ ∈ imሺߙሻ Cho ℙோ ൌ ߨሺܷሺ‫ܭ‬ሻሻ nhóm ॴோ chứa iđêan khả thương khả nghịch Sử dụng định lý (2.2.4), ta dễ dàng thấy cokerሺߨሻ ൌ ॴோ /ℙோ (về chất) nhóm lớp đẳng cấu iđêan khả thương khả nghịch Ở đây, ॴோ /ℙோ gọi nhóm lớp iđêan R (Chú ý ि ∈ ॴோ đẳng cấu với iđêan khả nghịch R, िோ hữu hạn sinh) Từ định lý (2.2.4), ta suy hệ sau 2.2.5 Hệ Định nghĩa tương đối nhóm Picard PicሺK/Rሻ kerሺ݂∗ ሻ định lý (2.2.4) Khi Picሺ‫ܭ‬/ܴሻ ≅ ॴோ /ℙோ Đặc biệt, ݂∗ đồng cấu tầm thường (trong trường hợp R là miền giao hoán K trường thương nó), ta có Picሺܴሻ ≅ ॴோ /ℙோ Trong trường hợp này, P R- môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng P đẳng cấu với iđêan khả nghịch R Tuy nhiên, tổng qt ݂∗ khơng tầm thường Trong trường hợp này, Picሺ‫ܭ‬/ܴሻ ≅ ॴோ /ℙோ nhóm thực Picሺܴሻ, có mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng R không đẳng cấu với iđêan khả nghịch 2.3 Các ví dụ nhóm Picard Ví dụ 2.3.1 Ta bắt đầu với việc mô tả xây dựng lý thuyết vành hữu ích gọi mở rộng tầm thường Cho S vành M song mơđun (S,S) Nghĩa M lúc S- môđun trái phải, với tính chất ሺ‫݉ݏ‬ሻ‫ ݏ‬ᇱ ൌ ‫ݏ‬ሺ݉‫ ݏ‬ᇱ ሻ 27 với ‫ݏ‬, ‫ ݏ‬ᇱ ∈ ܵ ݉ ∈ ‫ܯ‬ Cho trước song môđun M, ta đặt ܴ ≔ ܵ ⊕ ‫ ܯ‬và định nghĩa phép nhân R theo quy tắc: ሺ‫ݏ‬, ݉ሻሺ‫ ݏ‬ᇱ , ݉ᇱ ሻ ൌ ሺ‫ ݏݏ‬ᇱ , ‫݉ݏ‬ᇱ ൅ ‫ ݏ‬ᇱ ݉ሻ Có thể kiểm chứng R vành với đơn vị (1,0), ta có ܵ ൌ ܵ ⊕ ሺ0ሻ vành ‫ ܯ‬ൌ ሺ0ሻ ⊕ ‫ ܯ‬như iđêan zero bình phương, cho ܴ/‫ ܵ ≅ ܯ‬theo đẳng cấu vành Cấu trúc song môđun (S,S) M lấy lại từ cấu trúc iđêan M Vành R xây dựng theo lối gọi mở rộng tầm thường M S Về vành ta xây dựng ngồi ܵ ⊕ ‫ ܯ‬với tất tính chất nói Trong trường hợp đặc biệt, vành S giao hoán, ta lấy M S- mơđun phải, ta định nghĩa S- cấu trúc trái M đồng với S- cấu trúc phải Kết mở rộng tầm thường ܴ ൌ ܵ ⊕ ‫ ܯ‬khi vành giao hốn Để áp dụng, ta bắt đầu với vành giao hốn S lấy M S- mơđun cho phần tử khơng khả nghịch S triệt tiêu phần tử khác không M (Một S- mơđun ln ln tồn tại, ví dụ lấy ‫ ܯ‬ൌ⊕ ሼܵ/ܽܵ: ܽ ∈ ܵ\ܷሺܵሻሽ ) Khi ta đặt mở rộng tầm thường (giao hoán) ܴ ൌ ܵ ⊕ ‫ܯ‬ Dễ dàng kiểm tra ‫ܥ‬ோ ൌ ሼሺ‫ݏ‬, ݉ሻ: ‫ܷ ∈ ݏ‬ሺܵሻ, ݉ ∈ ‫ܯ‬ሽ ൌ ܷሺܴሻ Khi đó, R trùng với vành thương nhóm lớp iđêan ॴோ /ℙோ tầm thường Để tính Picሺܴሻ, xét đồng cấu ௜∗ ௝∗ Picሺܵሻ ሱۛۛۛሮ Picሺܴሻ ሱۛۛۛሮ Picሺܵሻ 28 cảm sinh từ phép nhúng ݅: ܵ ⟶ ܴ phép chiếu ݆: ܴ ⟶ ܴ/‫ ܯ‬ൌ ܵ Vì ݆݅ ൌ Idௌ , Picሺܴሻ ≅ Picሺܵሻ ⊕ ker ሺ݆∗ ሻ Nhưng theo bổ đề (1.5.1), kerሺ݆∗ ሻ ൌ ‫ܯ‬ଶ ൌ Do đó, Picሺܴሻ ≅ Picሺܵሻ dĩ nhiên, khơng tầm thường Tóm lại, mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng R tất từ S, khơng có mơđun khơng tự đẳng cấu với iđêan khả nghịch R, tất iđêan khả nghịch iđêan (Với xây dựng chi tiết, cho ܵ ൌ Ժሾ√െ5ሿ M S- mơđun thương ℚൣ√െ5൧/ܵ, phần tử khơng phải đơn vị S đóng vai trị ước Theo ví dụ (2.3.2) Picሺܴሻ ≅ Picሺܵሻ ≅ Ժ/2Ժ ) Ví dụ 2.3.2 Với miền giao hốn R ví dụ (1.4.2 B-D-E) ta xây dựng iđêan khả thương khả nghịch biểu diễn cho phần tử có bậc 2, nhóm lớp iđêan ॴோ /ℙோ ≅ Picሺܴሻ Vấn đề Picሺܴሻ chuyển thành nhóm Ժ/2Ժ, Ժ/2Ժ Ժ/4Ժ ví dụ này, ta khơng vào chi tiết việc tính tốn Ví dụ 2.3.3 Nếu R vành địa phương, theo định lý (1.5.2) R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh P tự nên Picሺܴሻ ൌ ሼ1ሽ Ví dụ 2.3.4 Cho R vành nửa địa phương với iđêan tối đại ॠଵ , … , ॠ௡ Khi Jacobson R rad ܴ ൌ ॠଵ ∩ … ∩ ॠ௡ theo Định lý phần dư Trung Hoa, ܴത ≔ ܴ/radܴ ≅ R/ॠଵ ൈ … ൈ R/ॠ௡ 29 Vì Picሺ‫ ܣ‬ൈ ‫ܤ‬ሻ ≅ Picሺ‫ܣ‬ሻ ൈ Picሺ‫ܤ‬ሻ, ví dụ (2.3.3) cho ta Picሺܴത ሻ ൌ ሼ1ሽ Lại áp dụng bổ đề (1.5.1), ta có Picሺܴሻ ൌ ሼ1ሽ Đặc biệt, điều cho tất vành Artin (giao hốn) Ví dụ 2.3.5 Cho R vành Noerther tổng quát hơn, vành (giao hoán) với điều kiện dãy giảm iđêan lũy linh nó.Ở ta công nhận (kết phần sau) ‫ܳ ≔ ܭ‬ሺܴሻ vành nửa địa phương Giả định với kết này, ta có Picሺ‫ܭ‬ሻ ൌ ሼ1ሽ theo ví dụ (2.3.4) trường hợp (2.2.5) Từ dẫn đến Picሺܴሻ ≅ ॴோ /ℙோ , tức môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng R đẳng cấu với iđêan khả nghịch R Ví dụ 2.5.6 Nếu R miền nhân tử hóa nhất, Picሺܴሻ ൌ ሼ1ሽ Để thấy điều này, ta thử lại iđêan khả nghịch ि ⊆ ܴ iđêan Bắt đầu với ൌ ∑௡௜ୀଵ ܾ௜ ܽ௜ với ܽ௜ sinh ि ܾ௜ ∈ िିଵ Viết ܾ௜ ൌ ܿ௜ /݀௜ với ܿ௜ , ݀௜ ∈ ܴ khơng có ước ngun tố chung Vì ܾ௜ ܽ௝ ∈ ܴ ta có ݀௜ |ܿ௜ ܽ௝ ݀௜ |ܽ௝ với i,j Đặt ݀ ൌ BCNNሼ݀ଵ , … , ݀௡ ሽ Khi ݀|ܽ௝ với j nên ि ⊆ ܴ ݀ Mặt khác ௡ ௡ ௜ୀଵ ௜ୀଵ ݀ ݀ ൌ ෍ ܿ௜ ܽ௜ ∈ ෍ ܴܽ௜ ൌ ि ݀௜ nên ta có ि ൌ ܴ ݀ yêu cầu Đặc biệt, k trường ܴ ൌ ݇ ሾ‫ݔ‬ଵ , … , ‫ݔ‬௡ ሿ R- mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng tự 30 2.4 Ứng dụng nhóm Picard 2.4.1 Nhóm Picard miền Dedekind * Nhắc lại vành Dedekind ( hay miền Dedekind ) Trong đại số giao hoán, vành Dedekind (hay miền Dedekind) định nghĩa miền giao hốn R với tất iđêan khác khơng khả nghịch (hoặc xạ ảnh) Theo Định lý 1.4.1, ta có R phải miền Noether Trong số tất miền Noether (giao hốn), miền Dedekind có đặc trưng đóng kín với chiều Krull ൑ Nói cách khác, vành Dedekind đặc trưng miền giao hốn mà iđêan tích hữu hạn iđêan ngun tố Trong hình học đại số, vành Dedekind nảy sinh vành tọa độ đường cong Affine mịn Ví dụ, vành xét Ví dụ (1.4.2 B) vành Dedekind Trong lý thuyết số, vành Dedekind nảy sinh vành số nguyên đại số trường số (= mở rộng trường ℚ) Chẳng hạn, vành xét Ví dụ (1.4.2 D) vành Dedekind Nếu R vành Dedekind loại này, định lý lý thuyết số nói Picሺܴሻ nhóm hữu hạn (aben); lực lượng ݄ோ nhóm gọi số lớp R (hoặc trường thương nó) Sử dụng định lý “sự hữu hạn số lớp” tiếng này, xa R miền giao hốn mà trường thương trường số, Picሺܴሻ nhóm hữu hạn Các nhóm Picሺܴሻ nằm số bất biến biết đến tính tốn nhiều lý thuyết số đại số Trong trường hợp R vành đầy đủ số nguyên đại số trường số bậc hai ℚሺ√݀ሻ, cấu trúc Picሺܴሻ xác định (bởi chuyên gia) máy tính cầm tay lập trình, |݀| nằm mức hợp 31 lý Tuy nhiên, để nghiên cứu chi tiết kết dẫn ta xa Trong thực tế, L.Claborn rằng, với nhóm Aben G (hữu hạn hay vô hạn) cho trước, tồn miền Dedekind R với Picሺܴሻ ≅ ‫!ܩ‬ 2.4.2 Nhóm Picard mơđun Schanuel Sử dụng khái niệm nhóm Picard ta xem xét vài kết phía trước trình bày mơđun Schanuel (1.3.3) Theo (1.3.3), cho ܴ ⊆ ܵ vành giao hoán cho ݃ ∈ ܵ cho ݃ଶ , ݃ଷ ∈ ܴ Với ‫ܴ ∈ ݎ‬, đặt ܲ௥ ൌ ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬, ݃ଶ ሻ R- môđun S sinh ൅ ‫ ݃ݎ‬và ݃ଶ Vì ܲ௥ R- môđun khả nghịch, ሾܲ௥ ሿ ∈ Picሺܴሻ Hệ thức ܲ௥ ܲ௦ ൌ ܲ௥ା௦ chứng minh trước, ‫ ⟼ ݎ‬ሾܲ௥ ሿ xác định đồng cấu nhóm ߨ: ܴ ⟶ Picሺܴሻ Theo (1.3.3 B), hạt nhân ߨ cho theo nhóm R sau: (2.4.2 A) ‫ܬ‬ሚ ≔ ሼ‫ܴ ∈ ݎ‬: ‫ݑ‬ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻ ∈ ܴ với ‫ܷ ∈ ݑ‬ሺܴሾ݃ሿሻሽ Khi đó, ߨ cảm sinh đơn cấu: (2.4.2 B) ߨത: ܴ/‫ܬ‬ሚ ⟶ Picሺܴሻ Ta ý ‫ܬ‬ሚ chứa iđêan dẫn ‫ ܬ‬ൌ ሼ‫ܴ ∈ ݎ‬: ‫ܴ ∈ ݃ݎ‬ሽ Trong trường hợp tốt mà điều kiện kĩ thuật (1.3.3 D) thỏa mãn (tức với ‫ܷ ∈ ݑ‬ሺܴሾ݃ሿሻ, ‫ݑ‬ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻ ∈ ܴ ⟹ ‫)ܴ ∈ ݑ‬, ‫ܬ‬ሚ ൌ ‫ ܬ‬theo (1.3.3 C) ߨത cho phép nhúng từ ܴ/‫ ܬ‬vào Picሺܴሻ 32 Trong kết trước dựa tính tốn (1.3.3) , kết xác thu từ việc sử dụng công cụ K – lý thuyết đại số Nhận xét sau H Lenstra, R.Swan R Wiegan , từ hình vng: ܴ ⟶ ܴሾ݃ሿ ܴ/‫ܴ ⟶ ܬ‬ሾ݃ሿ/‫ܬ‬ ta có kết dãy Mayer – Vietoris : ܷሺܴሻ ⟶ ܷሺܴሾ݃ሿሻ ⊕ ܷሺܴ/‫ܬ‬ሻ ⟶ ܷሺܴሾ݃ሿ/‫ܬ‬ሻ Picሺܴሻ ⟶ Picሺܴሾ݃ሿሻ ⊕ Picሺܴ/‫ܬ‬ሻ ⟶ Picሺܴሾ݃ሿ/‫ܬ‬ሻ Sau dỡ dãy khớp đồng Picሺܴሾ݃ሿ/‫ܬ‬ሻ với Picሺܴ/‫ܬ‬ሻ (bỏ qua tất chi tiết), ta thu dãy khớp ngắn sau: (2.4.2 C) ഥ గ ⟶ ܴ/‫ܬ‬ሚ ሱۛۛሮ Picሺܴሻ ⟶ Picሺܴሾ݃ሿሻ ⟶ với ‫ܬ‬ሚ ߨത định nghĩa Đặc biệt, điều cho phép ta đồng ܴ/‫ܬ‬ሚ nhóm Picard Picሺܴሾ݃ሿ/ܴሻ Với ví dụ chi tiết, xét ܴ ൌ ݇ ሾ‫ ݖ‬ଶ , ‫ ݖ‬ଷ ሿ ⊂ ܵ ൌ ݇ሾ‫ݖ‬ሿ, với k trường (R vành tọa độ đường cong elliptic suy biến ‫ ݕ‬ଶ ൌ ‫ ݔ‬ଷ ) Với ݃ ൌ ‫ ݖ‬ta biết (1.3.3 D) thỏa mãn nên ‫ܬ‬ሚ ൌ ‫ ܬ‬ൌ ሺ‫ ݖ‬ଶ , ‫ ݖ‬ଷ ሻ Vì Picሺܴ ሾ݃ሿሻ ൌ Picሺ݇ ሾ‫ݖ‬ሿሻ ൌ ሼ1ሽ, 33 dãy khớp ngắn (2.4.2 C) cho ta: Picሺ݇ ሾ‫ ݖ‬ଶ , ‫ ݖ‬ଷ ሿሻ ≅ ݇ ሾ‫ ݖ‬ଶ , ‫ ݖ‬ଷ ሿ/ሺ‫ ݖ‬ଶ , ‫ ݖ‬ଷ ሻ ≅ ݇ Điều biết đến nhiều hình học đại số, thường chứng minh cách sử dụng nhiều máy móc tinh vi Cũng cịn ứng dụng khác nhóm Picard cho mở rộng đa thức Cho ܴ ൌ ‫ܣ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, với A vành giao hoán Xét đồng cấu vành tự nhiên: ௜ ௝ ‫ ܣ‬ሱۛሮ R ൌ Aሾxሿ ሱۛۛሮ ‫ ܣ‬, với i phép nhúng ݆൫݄ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ൌ ݄ሺ0ሻ Ta có đồng cấu cảm sinh: ௜∗ ௝∗ Picሺ‫ܣ‬ሻ ሱۛۛሮ PicሺAሾxሿሻ ሱۛۛሮ Picሺ‫ܣ‬ሻ , mà hợp chúng ánh xạ đồng Theo kí hiệu tiêu chuẩn K – lý thuyết đại số, ta viết NPicሺ‫ܣ‬ሻ ≔ ker ሺ݆∗ሻ Vì ݅∗ đơn cấu chẻ trên, ta có: PicሺAሾxሿሻ ≅ Picሺ‫ܣ‬ሻ ⊕ NPicሺ‫ܣ‬ሻ Do đó, NPicሺ‫ܣ‬ሻ diễn tả đối hạt nhân ݅∗ Giả sử có Picሺ‫ܣ‬ሻ, việc tính tốn PicሺAሾxሿሻ chuyển NPicሺ‫ܣ‬ሻ Bây cho ‫ ܨ ⊆ ܣ‬là vành (giao hoán) với Nilሺ‫ܨ‬ሻ ൌ lấy ܾ ∈ ‫ ܨ‬sao cho ܾଶ , ܾଷ ∈ ‫ܣ‬ Vành đa thức: R ൌ Aሾxሿ ⊆ ܵ ൌ ‫ܨ‬ሾ‫ݔ‬ሿ, lấy ݃ ൌ ܾ‫ ܵ ∈ ݔ‬với ݃ଶ , ݃ଷ ∈ ܴ Với ‫ܴ ∈ ݎ‬, ta hình thành mơđun Schanuel ܲ௥ ൌ ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬, ݃ଶ ሻ xác định phần tử ሾܲ௥ ሿ ∈ Picሺܴሻ Đặt kết trước lên môđun Schanuel, ta có định lý sau 34 2.4.3 Định lý Cho ‫ܬ‬଴ ൌ ሼܽ ∈ ‫ܣ‬: ܾܽ ∈ ‫ܣ‬ሽ iđêan dẫn cho ‫ܣ ⊆ ܣ‬ሾܾሿ Khi ‫ ⟼ ݎ‬ሾܲ௥ ሿ xác định đồng cấu nhóm đơn ánh ߨത ∶ ሺ‫ܣ‬/‫ܬ‬଴ ሻሾ‫ݔ‬ሿ ⟶ ܰܲ݅ܿሺ‫ܣ‬ሻ Chứng minh Như ta thấy iđêan khả nghịch, nhóm ‫ܬ‬ሚ định nghĩa (2.4.2 A) cho iđêan ‫ܬ‬଴ ሾ‫ݔ‬ሿ Do đó, (2.4.2 B) cho ta phép nhúng ߨത ∶ ሺ‫ܣ‬/‫ܬ‬଴ ሻሾ‫ݔ‬ሿ ⟶ Picሺܴሻ Ta hoàn tất việc chứng minh ሾܲ௥ ሿ ∈ NPicሺ‫ܣ‬ሻ với ‫ܴ ∈ ݎ‬ Đầu tiên ta ý ݃ଶ ൌ ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻሺ݃ଶ െ ‫݃ݎ‬ଷ ሻ ൅ ‫ ݎ‬ଶ݃ସ ∈ ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻ‫ ܴݔ‬൅ ݃ଶ ‫ ܴݔ‬ൌ ܲ௥ ‫ݔ‬ Điều ܲ௥ ൌ ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻ‫ܲ ⊕ ܣ‬௥ ‫( ݔ‬như A- mơđun) ܲ௥ ⨂ோ ሺܴ/‫ܴݔ‬ሻ ≅ ܲ௥ /ܲ௥ ‫ ≅ ݔ‬ሺ1 ൅ ‫݃ݎ‬ሻ‫ܣ ≅ ܣ‬ Khi đó, ሾܲ௥ ሿ ∈ NPicሺ‫ܣ‬ሻ nên ta có điều phải chứng minh Để giải thích ý nghĩa (2.4.3), ta nói ứng dụng cho việc nghiên cứu vành p – nửa chuẩn tắc Để đơn giản, từ ta tập trung vào trường hợp A miền giao hoán F trường thương Khái niệm sau khơng cịn lạ với ta biết phần trước Cho p số nguyên tố Ta nói A p – nửa chuẩn tắc với phần tử ܾ ∈ ‫ܨ‬: ܾଶ ∈ ‫ܣ‬, ܾଷ ∈ ‫ܣ‬, ‫ܣ ∈ ܾ ⟹ ܣ ∈ ܾ݌‬ Nếu A – nửa chuẩn tắc ta nói đơn giản A nửa chuẩn tắc (định nghĩa ܾଶ ∈ ‫ܣ‬, ܾଷ ∈ ‫)ܣ ∈ ܾ ⟹ ܣ‬ 35 Khái niệm p – nửa chuẩn tắc hiểu suy rộng khái niệm cổ điển thơng thường tính chuẩn tắc Chú ý A chuẩn tắc (tức đóng ngun vẹn) A nửa chuẩn tắc, A nửa chuẩn tắc A p – nửa chuẩn tắc với số nguyên tố p Với tất thuật ngữ có, ta suy hệ (2.4.3) (2.4.3)’ Hệ Cho p số nguyên tố Nếu nhóm ܰܲ݅ܿሺ‫ܣ‬ሻ khơng có p – xoắn miền A p – nửa chuẩn tắc Nếu A không nửa chuẩn tắc ℚ ⊆ ‫ܣ‬, ܰܲ݅ܿሺ‫ܣ‬ሻ chứa khơng gian véctơ vơ hạn chiều ℚ Chứng minh Giả sử A không p – nửa chuẩn tắc, cố định phần tử ܾ ∈ ‫ ܣ\ܨ‬sao cho ܾଶ ∈ ‫ܣ‬, ܾଷ ∈ ‫ܣ‬, ‫ܣ ∈ ܾ݌‬ Iđêan dẫn ‫ܬ‬଴ ൌ ሼܽ ∈ ‫ܣ‬: ܾܽ ∈ ‫ܣ‬ሽ chứa phần tử p 1, khác A theo (2.6), NPicሺ‫ܣ‬ሻ chứa ሺ‫ܣ‬/‫ܬ‬଴ ሻሾ‫ݔ‬ሿ Nếu ‫ ݌‬൐ 0, NPicሺ‫ܣ‬ሻ chứa ॲ௣ - không gian véctơ vô hạn chiều, đặc biệt, có p - xoắn Nếu ‫ ݌‬ൌ 0, NPicሺ‫ܣ‬ሻ nhóm vơ hạn, đặc biệt NPicሺ‫ܣ‬ሻ ് Trường hợp cuối cùng, ℚ ⊆ ‫ܣ‬, ℚ ∩ ‫ܬ‬଴ ൌ ሺ‫ܣ‬/‫ܬ‬଴ ሻሾ‫ݔ‬ሿ ℚ - không gian véctơ vô hạn chiều chứa NPicሺ‫ܣ‬ሻ Nhận xét, chiều đảo nhận định (2.4.3)’ đúng, tức là, miền A p – nửa chuẩn tắc NPicሺ‫ܣ‬ሻ khơng có p – xoắn Chứng minh điều ta sử dụng kĩ thuật đại số giao hoán K - lý thuyết đại số Trường hợp ‫ ݌‬ൌ nằm Brewer – Costa Ở ta thu 36 xếp chứng minh nửa định lý Brewer, Costa Swan mà khơng viện đến đại số giao hốn hay K - lý thuyết đại số mà thay vào sử dụng tính tốn trực tiếp (1.3.3) 37 KẾT LUẬN Nhóm Picard khái niệm khơng Đại số, đưa từ lâu giá trị sử dụng tiếp tục khai thác Luận văn mong muốn trình bày kiến thức bản, vấn đề mở đầu với mục đích xây dựng nên khái niệm nhóm Picard nêu số ví dụ cho hình ảnh nhóm Picard Luận văn cố gắng tìm trình bày thêm ví dụ cụ thể cho nhóm Picard Đại số túy, qua tìm hiểu, nhận thấy đa số ví dụ phức tạp cho nhóm Picard hầu hết rơi vào lĩnh vực Hình học Tơpơ, nơi mà khái niệm nhóm Picard nói đến nhiều bàn tán sơi diễn đàn Tốn học, nhóm Picard mặt ‫ܭ‬ଷ hay đường cong không suy biến… Tuy nhiên, để tìm hình ảnh đẹp đẽ nhóm Picard Đại số lại khó khăn nhiều cơng sức, đồng thời trình bày ví dụ Hình học Tơpơ lại tương đối dài dịng, khơng đơn giản lan man khái niệm phải trình bày lại, đó, hạn chế khả thời gian thực hiện, luận văn xin phép trình bày kiến thức chung, gần gũi liên quan trực tiếp đến nhóm Picard, vài ứng dụng nhóm Picard phạm vi kiến thức Dù cố gắng trình tìm hiểu thực hiện, nhiên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót định, mong q thầy bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO T.Y Lam(1990), A First Course in Noncommutative Rings Berkeley, California T.Y Lam(1998), Lectures on Modules and Rings Berkeley, California, pp 21-42 I.N Herstein(1968), Noncommutative Rings.United States of America ... hạn sinh vành địa phương 16 1.6 Tích tenxơ 17 CHƯƠNG 22 NHÓM PICARD CỦA MỘT VÀNH 22 2.1 Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh hạng 23 2.2 Xây dựng nhóm Picard ... tố vành R Nhóm R- đồng cấu từ M vào N Căn Jacobson R U(R), ܴ ∗ Nhóm phần tử khả nghịch vành R ܴॣ Địa phương hóa R iđêan nguyên tố ॣ Pic(R) ݇ሾ‫ݔ‬௜ : ݅ ∈ ‫ܫ‬ሿ ܳሺܴሻ Nhóm Picard vành giao hoán R Vành. .. ሻ⨂݃ ൌ ݂ଵ ⨂݃ ൅ ݂ଶ ⨂݃, ݂⨂ሺ݃ଵ ൅ ݃ଶ ሻ ൌ ݂⨂݃ଵ ൅ ݂⨂݃ଶ 22 CHƯƠNG NHÓM PICARD CỦA MỘT VÀNH Trong chương này, ta giới thiệu khái niệm nhóm Picard Vật liệu lấy từ phần iđêan khả thương khả nghịch chương