Một số nghiên cứu về nhóm brauer và ứng dụng của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Lễ MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NHÓM BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN  Trước tiên qua luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe tốt đẹp đến thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI thầy cô trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho bạn học viên cao học khóa 18 Đặc biệt thành kính gửi lịng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo tơi q trình thực luận văn Qua tơi xin chân thành cảm ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 18 gắng bó với tơi q trình học tập trường q thầy khoa Tốn Phịng KHCN – Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu Và cuối xin cảm ơn gia đình tơi người bạn hỗ trợ, động viên tơi để hồn thành luận văn ! TP Hồ Chí Minh , tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn Huỳnh Minh Lễ LỜI MỞ ĐẦU Do có vai trị quan trọng, nên Cấu trúc đại số trường nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu quan trọng Đại số đơn tâm trường Nhóm Brauer kết việc nghiên cứu đại số đơn tâm Việc hiểu rõ cấu trúc tính chất nhóm Brauer giúp cho ta ứng dụng nhóm Brauer lĩnh vực khác Toán học: Lý Thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biễu diễn… Vì tơi chọn đề tài: “Một số nghiên cứu nhóm Brauer ứng dụng nó” Trong luận văn trình bày cách xây dựng nhóm Brauer nêu lên số ví dụ nhóm Brauer trường k cụ thể Từ giúp hệ thống hóa Cấu trúc đại số đơn tâm nắm vững kiến thức cấu trúc đại số phục vụ cho công tác nghiên cứu học tập Do luận văn làm thời gian có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót, có điều kiện tơi tiếp tục nghiên cứu sâu nhóm Brauer Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Những vấn đề Lý thuyết vành Đại số khơng giao hốn Chương 2: Đại số đơn tâm trường xây dựng khái niệm nhóm Brauer Chương 3: Mơ tả nhóm Brauer trường đóng đại số, trường hữu hạn chiều trường số thực ℝ Chương 1: Các Kiến thức CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 VÀNH 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀNH Cho tập R phép toán hai (R,+, ) vành thỏa:  (R,+) nhóm abel  (R, ) nửa nhóm  x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx ∀ x, y, z ∈ R Khi R vành, - Phần tử đơn vị phép toán + ký hiệu gọi phần tử không - Nghịch đảo phần tử x phép toán + –x gọi đối x Tồn tự nhiên phép toán – R thỏa x – y = x + (- y) Vành R giao hoán phép tốn nhân giao hốn, có đơn vị phép tốn nhân có đơn vị 1.1.1.1 Tâm vành Cho vành R, tập hợp Z(R) = { a ∈ R | ax = xa, ∀ x ∈ R } gọi tâm R, hiển nhiên tâm R vành giao hoán 1.1.1.2 Ước Phần tử a ≠ vành R gọi ước trái tồn b ≠ R cho ab = 1.1.1.3 Miền ngun Miền ngun vành giao hốn có đơn vị khơng có ước 1.1.1.4 Thể Thể vành R cho R\{0} nhóm nhân Trường thể giao hoán 1.1.1.5 Phần tử lũy linh Phần tử a  R gọi lũy linh có m  N cho am = 1.1.1.6 Tựa quy phải _ tựa nghịch đảo phải Phần tử a gọi tựa quy phải có b  R cho a + b + ab = Khi b gọi tựa nghịch đảo phải a Định nghĩa tương tự cho bên trái Chương 1: Các Kiến thức Nhận xét: Nếu x lũy linh x tựa qui Vì x lũy linh x + khả x x x  x 0 cho x  nghịch nên tồn x 1 x 1 x 1 1.1.2 IDEAL VÀ VÀNH CON 1.1.2.1 Vành Trong vành R, giả sử có A  R B  R thì: AB = { ab | a  A, b  B } Một phận A   vành R vành R A hai phép toán R vành 1.1.2.2 Ideal Vành A ideal trái (phải) vành R thỏa bao hàm thức: (RA  A) AR  A Vành A ideal hai phía A vừa ideal trái, vừa ideal phải Một ideal vành R ideal thực A  R A  { } Phần tử a  R thỏa Aa = { } gọi linh hóa tử phải A 1.1.2.3 Ideal tối đại Ideal A R tối đại nếu: A  R thỏa  B ideal R, A  B, A  B phải có B = R 1.1.2.4 Ideal tối tiểu Ideal A R tối tiểu A  {0}, thỏa: B ideal R, B  A, A  B phải có B = { 0} 1.1.2.5 Mệnh đề Nếu A ideal phải tối tiểu vành R A2 = { } A chứa phần tử lũy đẳng e cho A = eR Chứng minh Giả sử A2  {0}, Vậy có a  A, a  cho aA  {0} Hiển nhiên aA ideal phải R chứa A, A tối tiểu phải có aA = Al Mặt khác (0:a) = { x  R: ax = } R-ideal phải Vậy A   : a  R-ideal phải khác A, suy A   : a   Do A = aA có e  A cho a = a.e  ae = ae2  a (e – e2) = Chương 1: Các Kiến thức Vậy e  e  A   : a   0 hay e  e , a  nên có e  Bây eR R-ideal phải chứa A, eR  {0} nên phải có eR = A 1.1.2.6 Ideal qui Một ideal phải J vành R gọi ideal qui có phần tử a  R cho x – ax  J,  x  R Phần tử a gọi đơn vị phải J Hiển nhiên vành R có đơn vị ideal phải R qui 1.1.2.7 Mệnh đề Mọi ideal thực qui chứa ideal tối đại qui Hệ Mọi vành có đơn vị có ideal thực qui 1.1.2.8 Mệnh đề - Nếu J ideal phải tối đại qui B ideal phải qui AB qui - Giao số hữu hạn ideal phải tối đại qui qui 1.1.2.9 Nil-ideal, Ideal lũy linh Cho A ideal phải vành R, thì: - A nil ideal phần tử A lũy linh - A ideal lũy linh có m  N cho a1 , , am  A a1 , , am  (điều kiện tương đương Am  0 ) Các khái niệm tương tự cho ideal trái hiển nhiên, phạm vi tài liệu, thuật ngữ ideal dùng để ideal phải khơng định thêm 1.1.2.10 Định nghĩa Cho ideal A, ta định nghĩa tập (A: R) sau:  A : R    x  R | Rx  A 1.1.2.11 Mệnh đề Nếu A tối đại qui (A: R) ideal hai phía lớn cịn chứa A Chương 1: Các Kiến thức 1.1.2.12 Ideal tựa qui phải Ideal A tựa qui phải  x  A, x tựa qui phải 1.1.2.13 Vành đơn Vành R gọi đơn R2  {0} R khơng có ideal hai phía thực (Ideal khác (0) R) 1.1.3 ĐỒNG CẤU VÀNH 1.1.3.1 Định nghĩa Cho (X,+, • ), (Y,+, •) vành Ánh xạ f: X → Y gọi đồng cấu vành với a, b ∈ X, điều sau thỏa mãn 1) f(a + b) = f(a) + f(b) 2) f(a.b) = f(a) f(b) 3) f(1X) = 1Y Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tòan ánh, song ánh Nếu (X,+,•) (Y,+,•) tồn đẳng cấu vành, ta nói chúng đẳng cấu với nhau, viết X ≅ Y Nhận xét Nếu f: (X,+, •) → (Y,+,•) đồng cấu vành f: (X,+) → (Y,+) đồng cấu nhóm VÍ DỤ 1) Cho (X, +, •) vành End(X) vành đồng tự cấu nhóm (X,+) Khi ánh xạ f: (X, +, •) → (End(X), +, •), a→ fa với fa(x) = a.x đồng cấu vành 2) Giả sử I ideal vành X Xét ánh xạ Chương 1: Các Kiến thức ð: X → X / I, ð (x) = x + I ð toàn cấu vành, gọi tồn cấu tắc 1.1.3.2 Các tính chất đồng cấu vành Các tính chất sau tương tự nhóm mà việc chứng minh tương tự trực tiếp suy từ kết đồng cấu nhóm • Tính chất Hợp hai đồng cấu vành đồng cấu vành Hơn hợp hai đẳng cấu đẳng cấu • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f: X → Y đồng cấu vành Khi a) Nếu A vành (tương ứng: ideal) X f(A) vành (tương ứng: ideal) Y b) Nếu B vành (tương ứng: ideal) Y f –1 (B) vành (tương ứng: ideal) X Đặc biệt ta có Ker f = {x ∈ X: f(x) = 0Y} ideal X • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f: X → Y đồng cấu vành Khi a) f đơn cấu Kerf = {0 } b) f toàn cấu Imf = Y 1.1.4 MOĐUN 1.1.4.1 Định nghĩa Mođun: Cho R vành, R-mođun phải MR nhóm cộng abel M xác định ánh xạ  :M  R  M  m, r     m, r   mr  M Sao cho m, m1 , m2  M a, b  R ta có : Chương 1: Các Kiến thức m  a  b   ma  mb  m1  m2  a  m1a  m2 a  ma  b  m  ab  Đặc biệt R có đơn vị x1 = 1x,  x  M M R-mođun unita Trường hợp đặc biệt R thể R mođun phải gọi không gian vectơ phải trường R Khái niệm mođun trái R M định nghĩa tương tự Một phận A M R R-mođun thân A R-mođun Mođun A thực A  M A  {0} Từ khơng có thích thêm, thuật ngữ R-mođun dùng để R-mođun phải M 1.1.4.2 Định nghĩa End(M), Tr Giả sử M R-mođun, đặt End(M) tập tự đồng cấu nhóm cộng M End(M) vành với hai phép toán + định nghĩa sau:  g1  g2  m   g1  m   g2  m  , m  M , g1 g  End  M   g1 g2  m   g1  g2  m   Khi M R-mođun  r  R, ánh xạ Tr : M  M m  mr , m  M tự đồng cấu nhóm M Vậy Tr  End  M  , r  R Ánh xạ f(r) = Tr xác định đồng cấu vành từ R vào End(M) Ta định nghĩa tương tự cho lớp ánh xạ bên trái Lr  m   rm 1.1.4.3 Mođun trung thành Cho R-mođun M, đặt A  M   rR|Mr  0  Kerf ,với f(r) = Tr định nghĩa M gọi mođun trung thành có A(M) = {0} Nếu M R-mođun trung thành R nhúng đơn cấu vào End(M) qua ánh xạ f xem R vành End(M) Chương 1: Các Kiến thức 1.1.4.4 Mệnh đề A(M) ideal hai phía R M R A M  -mođun trung thành 1.1.4.5 Mođun bất khả qui R-mođun M bất khả qui nếu: MR  {0} M khơng có mođun thật 1.1.4.6 Tâm tập Cho R-mođun M, ta gọi tâm tập M, ký hiệu C(M) tập hợp tự đồng cấu nhóm M giao hốn với Tr C  M    g  End  M  | gTr  Tr g , r  R Vậy g  C(M) khi: m  M , r  R | Tr g  m   g  m  r  gTr  m   g  mr  Hiển nhiên, C(M) tập hợp tự đồng cấu R-mođun M hay ta có C  M   HomR  M , M  Trường hợp M không gian vectơ thể K g ánh xạ tuyến tính 1.1.4.7 Mệnh đề End(M) vành có đơn vị chứa C(M) vành 1.1.4.8 Bổ Đề SCHUR Nếu M R-mođun bất khả qui C(M) thể Chứng minh Giả sử M R-mođun bất khả qui, theo mệnh đề trên, C(M) vành End(M) Ta chứng minh C(M) thể Thật vậy, xét g  C(M), g  ; đặt W = g(M) W mođun M Do M bất khả qui nên phải có W = M (do g  0), g toàn cấu (1) Mặt khác, Kerg mođun M; M bất khả qui g  nên phải có kerg = hay g đơn cấu (2) Từ (1) (2) ta có g đẳng cấu Suy tồn ánh xạ ngược g 1  End ( M ) r  R, gTr  Tr g  g 1 gTr g 1  g 1Tr gg 1  Tr g 1  g 1Tr  g 1  C  M  Vậy C(M) thể Chương 2: Xây dựng nhóm Brauer Mà ker  ideal Ar  Al Suy Ker = nên  đơn cấu Do ánh xạ  đẳng cấu  A  A*  Ar Al  2 Bước Mặt khác n  dim k L  A  dim k Ar Al  dim k  A  A*    dim k A   n  dim k L  A   dim k Ar Al Do Ar Al không gian L(A) suy Ar Al  L  A   3 Từ (1) (2) (3), suy A  A*  Ar Al  L  A  ∎ Từ kết định lý bổ đề trên, ta có cơng cụ cần thiết để phục vụ cho việc xây dựng nhóm Brauer Ta bắt đầu xây dựng nhóm Brauer đại số đơn tâm truờng k cách định nghĩa quan hệ tương đương thích hợp 2.7 ĐỊNH NGHĨA (QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG) Nếu A B Đại số đơn tâm hữu hạn chiều trường k A ~ B có số nguyên m n cho A k k m  B k kn Một cách xem xét khác quan hệ tương đương sau : Theo định lý Wedderburn A  D1  kn B  D2  k m với D1; D2 Đại số chia chiều hữu hạn nhận k làm tâm.Khi A ~ B D1  D2 Hay nói cách khác, quan hệ tương đương ~ xác định đại số đơn trường F thành quan hệ ~ xác định đại số chia trường F 2.8 BỔ ĐỀ Nếu k trường, i) Rn  R k kn với đại số R với đồng thức k ii) km  k n  kmn Chứng minh i) xét ánh xạ tuyến tính k sau: Chương 2: Xây dựng nhóm Brauer  : R  kn  Rn  r, a    ra  ij ij Có mở rộng tuyến tính  thành ánh xạ tuyến tính k từ R  k kn vào Rn Ánh xạ có:    r   aij  r '  a 'ij     rr '  aij   a 'ij     rr '  aij   a 'ij   r  aij  r '  a 'ij     a ij k    r F  aij   r '  a 'ij  Và  đồng cấu k đại số Nếu rt  không gian vectơ sở R k Eij  sở thông thường kn ,   rt  Eij   rt Eij kéo theo  biến không gian vectơ sở vào khơng gian vectơ sở Do đó,  ánh xạ 1- ii) Từ kết câu (a) cho ta km k kn   km n phần tử  km n đồng với phần tử kmn ma trận cấp mn theo tính chất phép nhân ma trận.∎ 2.9 NHÓM BRAUER a Chứng minh ~ quan hệ tương đương  Phản xạ: A ~ A hiển nhiên A k kn  A k k n  Đối xứng : A ~ B  A k kn  B k k m  B k km  A k kn  B ~ A  Bắc cầu: Theo bổ đề 2.8 ta có:  A ~ B  m, n : A k kn  B k km   B ~ C  t , l : B k kt  C k kl  A k kn  kt  B k km  kt   B k kt  km  C k kl  km  A k knt  B k kmt  (Theo bổ đề 2.8)  B k ktm  C k klm  A k knt  B k kmt   B k kmt  C k klm  A k knt  C k klm  A~C b Chứng minh quan hệ ~ định nghĩa tốt: Giả sử rằng, A  A ' B  B ' Chương 2: Xây dựng nhóm Brauer Ta có, với A  Dm A '  Dm ' , B  En , B '  En ' Trong D E đại số chia Khi đó, theo Bổ đề 2.8 ta có: A k B  Dm k En  D k k m k E k kn  D k k m  k k n k E  D k kmn k E   D k E   k kmn   D  k E  mn Tương tự, A ' k B '   D  k E  m ' n ' Do đó, A k B  A 'k B ' c Chứng minh B(k) nhóm Aben Đặt B(k) tập lớp tương đương theo quan hệ tương đương ~ đại số đơn tâm hữu hạn chiều k Ký hiệu [ A ] ∈ B(k) lớp Đại số đơn tâm hữu hạn chiều k tương đương với A Trên B(k) ta định nghĩa phép toán Nhân sau: Với [A], [B] ∈ B(k) ta có phép tốn  A. B    A k B  Theo định lý 2.3 B(k) đóng với phép tốn Ta chứng minh B(k) nhóm Aben với phép tốn  Kết hợp:  A. B  C    A  B .C    A  B   C    A   B  C     A  B  C    A   B  C   k k k k k  Giao hoán:  A. B    A k B    B k A   B . A  Phần tử đơn vị  k   A. k    A k k    A A k k  Phần tử nghịch đảo: Theo định lý 2.6 ta có A k Chương 2: Xây dựng nhóm Brauer A k A*  kn Do   A  B  k  ,  A *  B  k  cho  A  A *   k  Nên  A*  phần tử đối phần tử  A Vậy B(k) nhóm Aben B(k) gọi nhóm Brauer k Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer CHƯƠNG 3: CÁC VÍ DỤ VỀ NHĨM BRAUER Ở phần trên, ta chứng minh trường k B(k) nhóm Abel Tuy nhiên, định nghĩa nhóm Brauer trường k cố định định nghĩa trừu tượng nên trước tiên ta cần xây dựng hình ảnh cụ thể nhóm Brauer trường cụ thể sâu vào nghiên cứu tính chất ứng dụng Sau nhóm Brauer cịn có ứng dụng khác rộng rãi lý thuyết số hình học đại số, lý thuyết biễu diễn K-lý thuyết Vì trình độ có hạn người viết hình ảnh cụ thể nhóm Brauer thấy nhiều trường hợp cụ thể trường k nhóm Brauer nhóm tầm thường Riêng trường hợp với k = ℝ, từ mối quan hệ nhóm Brauer, Định lý Wedderburn Định lý Fobenius xây dựng nhóm Brauer khơng tầm thường TRONG TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ 3.1 ĐỊNH NGHĨA Một trường k gọi trường đóng đại số đa thức khác f  k  X  có nghiệm k Nhận xét Từ định nghĩa trên, ta có đa thức bậc n trường đóng đại số có đủ n nghiệm k nghiệm tính số lần số bội Một thí dụ điển hình trường đóng đại số tập số phức ℂ 3.2 ĐỊNH NGHĨA Nếu k K trường k trường K Chúng ta nói K mở rộng k, ký hiệu K | k Bậc mở rộng, ký hiệu  K : k  số chiều dim k  K  K | k mở rộng đại số với phần tử  K, tồn đa thức khác f  k  X  cho f    3.3 BỔ ĐỀ (TOWER LAW) Nếu ta có mở rộng trường k  K  L  L : k    L : K  K : k  Chứng minh Cho ai  sở L K đặt b j  sở K k Cho v  L tồn  i   K cho v    i với i , tồn  ij   k cho  i    ij b j Vì v    ij b j Do đó, b j  tập sinh L k Từ độc lập tuyến tính, Bởi  ij  ij b j  với  ij  k Khi      ij  b j    b j  K , phải theo tính chất độc lập tuyến tính a Cuối cùng, Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer  ij b j  kéo theo  ij  theo tính chất độc lập tuyến tính b j  Do đó, kết luận b j  tạo thành sở L k, đpcm ∎ Chú ý phần khơng dùng tính chất giao hốn trường kết luận cho mođun vành chia 3.4 ĐỊNH NGHĨA K bao đóng đại số k K | k mở rộng đại số K trường đóng đại số 3.5 ĐỊNH LÝ Với trường k, bao đóng đại số K k sai khác đẳng cấu 3.6 MỆNH ĐỀ Cho k trường đóng đại số Nếu D k đại số chia hữu hạn chiều, k = D Chứng minh: Rõ ràng k  D Đặt n  dimk  D  x  D Khi đó, 1, x, x , , x n độc lập tuyến tính Tồn a0 , a1 , , an không đồng thời cho a0  a1 x  a2 x   an x n  Do đó, tồn đa thức khơng vơ hạn f  k  X  cho f  x   Nhưng k trường đóng đại số, x ∈ k Suy ra, D  k ta kết luận k = D ∎ 3.7 HỆ QUẢ Nếu k trường đóng đại số, B(k) nhóm tầm thường Chứng minh Theo mệnh đề 3.6, ta có k-đại số chia hữu hạn chiều k Do đó, tồn lớp tương đương B(k),  k  Do đó, B(k) nhóm tầm thường Trong trường hợp đặc biệt thấy B(ℂ) nhóm tầm thường ℂ trường đóng đại số TRONG TRƯỜNG HỮU HẠN Mục đích tìm nhóm Brauer trường hữu hạn nhóm Brauer tập số thực ℝ Để làm điều đó, cần có Định lý Skolem-Noether 3.8 BỔ ĐỀ Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer Cho A k-đại số M A-mođun đơn Khi End A  M  đại số chia k 3.9 BỔ ĐỀ Với ký hiệu Đặt D đại số chia End A  M  Khi đó,   End A M n  Dn k-đại số 3.10 ĐỊNH LÝ Cho A đại số đơn, tồn M A-mođun đơn trung thành Hơn A  M n M n A-mođun với n 3.11 BỔ ĐỀ Với M trên, A-mođun đơn đẳng cấu với M 3.12 HỆ QUẢ Nếu A k-đại số đơn, A  M n A-modun với n D k-đại số chia 3.13 MỆNH ĐỀ Dn k-đại số đơn với k-đại số chia D 3.14 BỔ ĐỀ Cho A đại số chia hữu hạn chiều k, Nếu M M A-mođun hữu hạn sinh có số chiều k, Khi M  M Chứng minh Theo định lý 3.10 bổ đề 3.11 A  M n với M A-mođun đơn (sai khác đẳng cấu) Với N A-mođun hữu hạn sinh N  Am / B với m B mođun Am Nhưng Am tổng trực tiếp M Vì có M  M l M  M l với l1 , l2 tùy ý Từ đó, có dimk  M i   li dimk  M  với i  1; Nhưng dimk  M   dimk  M  l1  l2 Do M  M ∎ 3.15 ĐỊNH NGHĨA Một tự đẳng cấu  tự đẳng cấu có dạng   x   zxz 1 với phần tử z cố định Trong trường hợp này, viết  z thay cho  3.16 ĐỊNH LÝ (SKOLEM-NOETHER) Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer Cho A k-đại số đơn cho B k-đại số đơn tâm hữu hạn chiều Nếu f , g : A  B đồng cấu, tồn tự đẳng cấu  : B  B cho  f  g Chứng minh Theo hệ 3.12, B  Dn với D k-đại số chia Theo bổ đề 3.9   End D D n   End D D  n D D-đại số đơn Như thấy chứng minh Hệ 3.12, EndC  C   C* với C đại số chia Vì     EndC C n  C * n Cho C  D* , có B  Dn  End E  E n  , Trong E  D* k-đại số chia Suy Z  B   Z  D   Z  E   k Bây giờ, ý f g định nghĩa tác động A lên E n theo cách: a f v : f  a  v  a.g v : g  a  v  f  a  , g  a   End E  E n  Vì thế, có cấu trúc A-mođun E n , gọi M f M g Rõ ràng chúng có số chiều k Vì theo bổ đề 3.14, chúng đẳng cấu với Do đó, tồn đẳng cấu từ M f đến M g Đó h  a f v   a.g h  v  , v  E n h  B Do đó, ta có h  f  a  v   g  a  h  v  Vì hf  a   g  a  h hay hf  a  h 1  g  a  nghĩa h f  g ∎ ĐỊNH LÝ TÂM TẬP Chúng ta cần giới thiệu khái niệm tâm tập để ta chứng minh định lý Wedderbur’s Định lý Frobenius, định lý giúp xác định nhóm Brauer trường hữu hạn nhóm Brauer trường ℝ phần cuối 3.17 ĐỊNH NGHĨA Nếu A đại số B tập A, tâm tập B A định nghĩa C  B   a  A : ab  ba, b  B Dễ dàng kiểm tra C  B  đại số A Bây giờ, ta chứng minh định lý tâm tập 3.18 ĐỊNH LÝ (DỊNH LÝ TAM TẬP) Cho A đại số đơn B với B k-đại số đơn tâm hữu hạn chiếu Cho D1 D2 đại số chia Khi C  A đơn 2.Nếu B ~ D1 A  D1* ~ D2 , C  A ~ D2*  B : k    A : k  C  A  : k  C  C  A    A Chứng minh Ta có Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer B  End D  D n    D*  với D đại số chia tâm k Tuy nhiên, đại số n n B, tác động lên D , đó, D n A  D -mođun Theo định nghĩa tự đồng cấu, thấy C  A  End A D ( Dn ) D đơn tâm, A  D đơn Nên tồn N A  D -mođun đơn N, E  End AD  N  đại số chia Bất kỳ A  D -mođun có dạng N m Do đó, D n  N m với m Vì   C  A  End A D N m   End AD  N   m Theo 2.7  Em Theo mệnh đề 3.13 M n  E  đơn, nghĩa C  A đơn   B  D* , n D1  D* Do đó, * D  * D, có D2  A  D1*  A  D Do E A  D - mođun đơn nhất, A  D ~ E * thấy hệ 3.11 Vì E *  D2 Nhưng C  A  En C  A ~ E  D2* yêu cầu C  A  M m  E  theo định luật tower, C  A  : k    Em : E  E : k   m2  E : k  Tuy nhiên D n  N m , chúng  D n : k    D n : N   N : k   m  N : k   m  N : E  E : k  Lượt bỏ m ta có:   Dn : k     E:k C  A : k         N : E  E : k      D n : k   N : E E : k   D n : k   , với E đại số chia  End E  N  : E   E : k   D n : k     End E  N  : k   D n : k    A  D : k  D n : k     A : k  D : k  Từ đẳng thức đơn giản ta có  D n : k   A : k  C  A : k   D : k ta có Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer   D  n : D   D : k   D : k  n2  D : k    Dn : k    B : k  B  M n  D*  Rõ ràng A  C  C  A   Áp dụng phần vào C  A có  B : k   C  A : k  C  C  A : k  Nhưng có  B : k    A : k  C  A : k  , lượt giản ta có C  C  A  : k    A : k  Theo kết từ tuyến tính đại số, ta A  C C  A ∎ 3.19 HỆ QUẢ Cho D đại số chia với tâm k  D : k   n Nếu K trường tối đại D (về quan hệ bao hàm),  K : k   n Chứng minh Ta có trường có tính giao hoán đại số đại số chia Theo tính giao hốn K, K  C  K  Cho a  C  K  , K  a  (trường tối tiểu chứa K a) Do đó, a  K kết luận C  K   K Do đó, K  C K  Theo phần định lý tâm tập ta có n   D : k    K : k  C  K  : k    K : k  Do ta có kết ∎ Hệ Cho ta  D : k  số phương 3.20 BỔ ĐỀ Cho K | k trường mở rộng cho A k-đại số Khi K k A K-đại số, ký hiệu AK Hơn nữa, ai  sở A k, sở AK K Đặc biệt,  A : k    AK : K  3.21 ĐỊNH LÝ Nếu D đại số chia hữu hạn chiều tâm k nó,  D : k  số phương Trong phần ta giả sử k trường hữu hạn Chúng ta B(k) lại nhóm tầm thường Đầu tiên, ta nhắc lại bổ đề lý thuyết nhóm 3.22 BỔ ĐỀ Nếu H  G nhóm hữu hạn với H  G G   gG  gHg 1  Chứng minh Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer Bởi G : N G  H   số lượng nhóm G mà liên hợp với H, số lượng phần tử đơn vị  gG  gHg 1   G : N G  H    H  1  G : H   H  1 H  NG  H   G H H  1  G  G H  G  H  G Do đó, G   gG  gHg 1  ∎ 3.23 ĐỊNH LÝ (WEDDERBURN) Bất kỳ vành chia hữu hạn giao hoán Chứng minh Cho D vành chia đặt k = Z  D  trường D Cho K trường tối đại D chứa k, k  K  D Nếu K=D, D trường giao hốn Vì giả sử K  D Theo định lý 3.21 hệ 3.19, có  D : k   n n  K : k   n với n Do đó, K  k Theo lý thuyết trường, trường chứa k n với cấp k đẳng cấu với nhau, liên hợp với theo định lý SkolemNoether Vì thế, có K '  zKz 1 với trường tối đại K ' Chú ý phần tử D chứa trường tối đại, ta có D   zD  zKz 1  Bây giờ, ta đặt phép nhân nhóm, ta có D*   zD  zK * z 1  Nhưng điều mâu thuẫn với bổ đề 3.23 Do đó, việc giả sử K  D sai Vậy K = D D giao hoán ∎ 3.24 HỆ QUẢ k trường hữu hạn B(k) nhóm tầm thường Chứng minh Ta tìm phần tử B(k) Cho D k-đại số chia đơn tâm Theo định lý Wedderburn, ta có D giao hốn nên D tâm, Z  D   k  D Do đó, có phần tử thuộc B(k),  k  ∎ TRONG TRƯỜNG SỐ THỰC ℝ Những ví dụ cho nhóm Brauer nhóm tầm thường Trong phần ta thấy điều không tập số thực ℝ Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm Quarternions 3.25 ĐỊNH NGHĨA Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer Quaternions, ký hiệu ℍ, không gian vectơ chiều ℝ với sở 1, i, j , k  , phép nhân định nghĩa cho phần tử đơn vị i  j  k  1 ij   ji  k jk   kj  i ki  ik  j Mặt khác ℍ q  a  bi  cj  dk   , q  0, a, b, c, d   , ta có ℝ-đại số Với phần  a  bi  cj  dk  a  b2  c  d  tử phần tử nghịch đảo q Do đó, ℍ thực ℝ-đại số chia 3.26 BỔ ĐỀ Trường mở rộng ℝ ℝ ℂ Chứng minh Cho K mở rộng hữu hạn ℝ với số chiều n Lấy x  K , 1, x, x , , x n độc lập tuyến tính ℝ Vì tồn ao , a1 , , an không đồng thời cho an x n   a1 x  a0  Bởi ℂ trường đóng đại số Theo Định lý đại số, x  Do đó, K   Nếu x  , x  K , K   Nếu x   \  với x  K , gọi x  a  bi với b  i   x  a  / b  K   K Vậy ta kết luận   K ∎ 3.27 ĐỊNH LÝ (FROBENIUS) Nếu D đại số chia với ℝ nằm tâm  D :     , D  ,  ℍ Chứng minh Cho K trường tối đại D,  K :     D :     Theo bổ đề 3.26, K   K   Giả sử K   Chú ý   Z  D  , theo tính tối đại K, Z  D    D tâm Theo hệ 3.19  D :    , D   Nếu K   , Z  D    Z  D    ℂ trường tối đại chứa ℝ Z  D  trường chứa ℝ Nếu Z  D    , D tâm  -đại số ℂ chứa D Theo hệ 5.14  D :    ,  K :    Do D   Cuối cùng, với trường hợp K   Z  D    , D tâm áp dụng lại hệ 3.19 để có  D :    C :    Cho f :    với f  a  bi   a  bi a, b   Khi f ℝ-đẳng cấu Theo định ly Skolem-Noether, tồn x  D , với x  cho x  a  bi  x 1  a  bi Chương 3: Các ví dụ nhóm Brauer Bây giờ, áp dụng liên hợp lần, có x  a  bi  x 2  a  bi đó, x  a  bi    a  bi  x Vì x  C      Ta áp dụng f cho x có   f x  x Do đó, phần ảo x phải x   Ta có, rõ ràng x  mà x   điều khơng thẻ xảy Vì tồn y   \ 0 cho x   y Đặt j  x / y đặt k  ij Điều kiểm tra lại tích 1, i, j, k trùng khớp với định nghĩa tích sở ℍ Do  D :    , có D   ∎ 3.28 HỆ QUẢ B   2 Chứng minh Ta tìm phần tử B    Cho D ℝ-đại số chia hữu hạn chiều ℝ Theo Định lý Fobenius, D ℝ, ℂ ℍ Nhưng đó, có ℝ ℍ đại số chia hữu hạn chiều đơn tâm ℝ (vì tâm ℂ khơng phải ℝ) Như vậy, có lớp tương đương bao gồm [ℝ] [ℍ] Suy B(ℝ) có xác phần tử Do đó, B      ∎ Chú ý phần tử đồng nhóm B(ℝ) [ℝ] phần tử khác đơn vị [ℍ] Vì ta có [ℍ][ℍ]=[ℝ], nghĩa      n , với n Vì ℍ có số chiều nên    có số chiều 16 Ta có     M    Ta kết luận đại số đơn tâm hữu hạn chiều ℝ đẳng cấu với ma trận đại số ℝ ℍ KẾT LUẬN Trong chương 1, luận văn trình bày kiến thức Trong chương 2, luận văn trình bày chi tiết xây dựng nhóm Brauer từ việc phân lớp đại số chia đơn tâm trường Chứng minh quan hệ ~ đại số đơn tâm hữu hạn chiều quan hệ tương đương định nghĩa tốt, nhóm Brauer nhóm Abel Trong chương 3, Luận văn mơ tả số ví dụ cụ thể nhóm Brauer trường đóng đại số, trường hữu hạn trường số thực ℝ Và thấy đa số trường hợp B(k) nhóm tầm thường, trừ trường hợp B(k) = ℝ B(k) có phần tử [ℝ] [ℍ] Nhóm Brauer có ứng dụng lớn lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biểu diễn lý thuyết K-đại số… Một hướng mở rộng việc nghiên cứu nhóm Brauer trường nghiên cứu tích chéo đại số có liên kết chặc chẽ chúng Cuối cùng, chúng tơi làm luận văn khởi đầu cho hướng nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh I N Herstein (1968), NONCOMMUTATIVE, Published Mathematical Association of America, USA Anthony W.Knapp (2007), ADVANCED ALGEBRA, Birkhauser Boston, Springer Science, USA Peter L.Clark, “On The Brauer Group – Notes For A Trivial Notions Seminar” Alan J Laub (2005), “Chapter13 KRONECKER PRODUCTS”, Matrix Analysis for Scientists and Engineers Tiếng Việt Trần Huyên (1998), MÔĐUN VÀ PHẠM TRÙ, Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Ngô Duy Khánh (1996), ĐIỀU KIỆN NGUYÊN THỦY CỦA VÀNH VÀ ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ CÓ PHẦN TỬ LUỸ ĐẲNG, Luận văn thạc sĩ Toán học Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ... nhóm Brauer lĩnh vực khác Tốn học: Lý Thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biễu diễn… Vì tơi chọn đề tài: ? ?Một số nghiên cứu nhóm Brauer ứng dụng nó? ?? Trong luận văn trình bày cách xây dựng nhóm. .. đại số trường nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu quan trọng Đại số đơn tâm trường Nhóm Brauer kết việc nghiên cứu đại số đơn tâm Việc hiểu rõ cấu trúc tính chất nhóm Brauer giúp cho ta ứng dụng. .. cần xây dựng hình ảnh cụ thể nhóm Brauer trường cụ thể sâu vào nghiên cứu tính chất ứng dụng Sau nhóm Brauer cịn có ứng dụng khác rộng rãi lý thuyết số hình học đại số, lý thuyết biễu diễn K-lý