Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán biên kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ MAI LÊ TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006 LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy, cô khoa Toán phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt nhiều kiến thức mới, giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học Tác giả chân thành cảm ơn thầy, cô phản biện nhận xét sửa chữa thiếu sót để luận văn hoàn chỉnh Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, thuộc tỉnh Bình Thuận, nơi tác giả công tác Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tác giả hoàn thành luận văn MỞ ĐẦU Cũng môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kó thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Lí thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng ứng dụng thực tiễn Toán học Hầu hết trình tự nhiên tuân thủ theo qui luật mà phương trình vi phân mô tả Bằng chứng ngành Toán học, Cơ học, Vật lí, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái môi trường… Xã hội học liên quan đến phương trình vi phân Lí thuyết phương trình vi phân nói chung lí thuyết toán biên nói riêng ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc phát số lượng lớn ứng dụng, đặc biệt khoa học Chẳng hạn như: • Bài toán  y"+ y ' = f ( t,y ) ,0 < t < t  y ' ( ) = ay ' (1) + y (1) = b, a >  mô tả trình sinh lí khác Ví dụ, f ( t,y ) = αy mô tả y +κ di truyền cấu trúc vững Oxygen tăng tế bào Ở α ,a,κ số xác định liên quan đến tỉ lệ phản ứng, tính thấm số Michaelis Nghiệm y sức căng Oxygen t = tương ứng với biên màng tế baøo Khi f ( t,y ) = −κ exp ( − β y ) , κ , β > mô tả dẫn nhiệt não người Ở f tỉ lệ sản xuất nhiệt đơn vị thể tích, y nhiệt độ tuyệt đối t độ dài bán kính tính từ tâm • Năm 1927, L.H Thomas E.Fermi độc lập với tìm toán biên xác định tónh điện nguyên tử Sự phân tích đưa đến phương trình cấp hai kì dị phi tuyến: − y"− t y = Có ba điều kiện biên quan tâm là: i) Nguyên tử trung hòa với bán kính Bohr, cho bởi: y ( ) = by ' ( b ) − y ( b ) = ii) Nguyên tử ion hóa, cho bởi: y ( ) = y ( b ) = iii) Nguyeân tử trung hòa cô lập, cho bởi: y ( ) = 1, lim y ( t ) = t →∞ • Bài toán biên kì dị sau thường gọi phương trình Emden-Fowler có số mũ aâm: y"+ q ( t ) y −γ = 0, < t <  2 −α y ( ) + β y ' ( ) = 0, α + β >  2 ay (1) + by (1) = 0, a + b >  α , β , a, b ≥ với α + a > xảy tìm ví dụ dạng phi tuyến lí thuyết chất lỏng phi Niutơn, việc vận chuyển bùn than đá xuống băng chuyền lí thuyết lớp biên Ở γ > Đặc biệt lớp phương trình biên cho chảy ổn định chất giả nhựa qua nửa vô hạn, viết sau:  1n y y"+ nt = 0,0 < t < 1,0 < n <  y ' ( ) = y (1) = Khi n=1, phương trình gọi phương trình Blasius… Chính ứng dụng rộng rãi hướng đến nghiên cứu tồn nghiệm toán “cộng hưởng” “không cộng hưởng” có giá trị biên kỳ dị Đặc biệt nghiên cứu phương trình vi phân bậc hai: ( py ') '+ µ qy = f ( t,y,y ') hầu khắp nơi [ 0,1] p Với: λm −1 < µ < λm (trường hợp không cộng hưởng) µ = λm (trường hợp cộng hưởng), m = 1,2,… Ở λ0 = −∞ λi , i = 1, 2, giá trị riêng toán tuyến tính xấp xỉ Và y thỏa mãn điều kiện biên sau đây: i) Sturm Liouville −α y ( ) + β lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0 ,α ≥ 0, β ≥ 0,α + β > t →0   p ( t ) y ' ( t ) = c1 ,a ≥ 0, b ≥ 0,a2 + b2 >  ay (1) + b lim − t →1  max {a,α } > (SL) ii) Neumann  lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0  t →0  p ( t ) y ' ( t ) = c1 lim t →1− (N) iii) Tuaàn hoaøn (Periodic) y ( ) = y (1)  p ( t ) y ' ( t ) = lim− p ( t ) y ' ( t )  tlim t →1 → 0+ (P) Chú ý: Nếu haøm u ∈ C ( 0,1) I C1 ( 0,1) với pu' ∈ C ( 0,1) thỏa điều kiện biên i) ta viết u ∈ ( SL ) Chú ý tương tự cho điều kiện biên khác Nếu u thỏa i) với co = c1 = ta viết u ∈ ( SL )0 … Với vấn đề đặt trên, nghiên cứu, giải trình bày luận văn với cấu trúc gồm hai chương có nội dung cụ thể sau: Chương 1: Trình bày khái niệm liên quan đến kiến thức trình bày luận văn, định lí điểm bất động ánh xạ compact không gian định chuẩn, quan trọng định lí Leray-Schauder dùng để chứng minh tồn nghiệm Áp dụng định lí Leray-Schauder vào chứng minh tồn nghiệm phương trình: ( py ') '+ ry = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1] p ( py ') '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1] p thỏa mãn điều kiện biên (SL) (N) (P) Chương 2: Là phần luận văn Khảo sát tồn nghiệm toán “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dò: 1  p ( py ' ) '+ ry = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )  1  p ( py ' ) '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )  Và toán “cộng hưởng” có giá trị biên kì dị: 1  p ( py ' ) '+ λ m qy = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaëc ( N ) hoaëc ( P ) o o  Với λ m giá trị riêng thứ m của:  Lu = λu hkn treâ n [ 0,1] , Lu = − pq ( pu' ) ',m = 1,2,3,   u ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P ) o o  Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm bản: Định nghóa 1.1 Cho X, Y không gian định chuẩn 1) Ánh xạ liên tục F : X → Y gọi compact F(X) chứa tập compact Y 2) Ánh xạ liên tục F : X → Y gọi hoàn toàn liên tục ảnh tập bị chặn chứa tập compact Y 3) Ánh xạ liên tục F : X → Y gọi compact hữu hạn chiều F(X) chứa không gian tuyến tính hữu hạn chiều Y Gọi A = {a1 ,a2 , ,an } tập không gian tuyến tính định chuẩn E với chuẩn Với ε > cố định đặt: n Aε = U B ( , ε ), B ( , ε ) = {x ∈E : x − < ε } i =1 µi : Aε → R cho µi = max {0, ε − x − } Gọi co(A) tập lồi bé chứa A Ta định nghóa phép chiếu Schauder ánh xạ: n Pε : Aε → co ( A ) cho Pε ( x ) = ∑ µ (x) a i =1 n i ∑ µ (x) i =1 Nhận xét: Cách định nghóa Pε hoàn toàn có nghóa vì, nếu: i i ,x ∈ Aε n x ∈ Aε , ∃i o : x ∈ B aio , ε ⇒ ε − x − > ⇒ µ io = ε − x − ≠ ⇒ ∑ µ i ( x ) ≠ ( ) i =1 Chuù yù: Pε ( Aε ) ⊂ co ( A ) Pε ( x ) tổ hợp tuyến tính a1, a2,…,an Định nghóa 1.2 Cho B tập không gian tuyến tính định chuẩn E, F : B → E Với ε > , b điểm B cho b − F ( b ) < ε b gọi điểm ε − cố định F Định nghóa 1.3 Cho C tập lồi E (X,A) cặp C, nghóa X tập tùy ý C A tập đóng X • Hai ánh xạ liên tục f,g : X → E gọi đồng luân có ánh xạ liên tục H : X × [ 0,1] → E với H ( x,0 ) = f ( x ) vaø H ( x,1) = g ( x ) , ∀x ∈X • Ánh xạ H gọi đồng luân liên tục ta viết H : f ≅ g Với t ∈ [ 0,1] ánh xạ x → H ( x,t ) viết H t : X → E • Chúng ta dễ dàng kiểm tra quan hệ đồng luân quan hệ tương đương • Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi compact compact • Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi “fixed point free” A ⊆ X với t ∈ [ 0,1] ánh xạ liên tục H A × {t} : A → E điểm bất động • Gọi K A ( X,C ) tập hợp tất ánh xạ hoàn toàn liên tục F : X → C cho thu hẹp F A : A → C “fixed point free” • Hai ánh xạ liên tục F,G ∈ K A ( X,C ) gọi đồng luân (ta viết F ≅ G ) K A ( X,C ) có đồng luân liên tục H : X × [ 0,1] → C với H t ( u ) = H X × {t} : X → C, t ∈ [ 0,1] “fixed point free” X H ( x ) = F ( x ) ,H1 ( x ) = G ( x ) • Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) gọi cốt yếu (essential) tất ánh xạ G ∈ K A ( X,C ) cho F A = G A có điểm cố định • Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) gọi không cốt yếu (inessential) tồn ánh xạ G ∈ K A ( X,C ) cho F A = G A la ø“fixed point free” Định nghóa 1.4 Tập A ⊂ CK ( X ) gọi liên tục đồng bậc ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f ∈ A, ∀x,x ' ∈ X maø d ( x,x' ) < δ f ( x ) − f ( x ' ) < ε Định nghóa 1.5 Hàm số pf : [ 0,1] × R → R gọi hàm L1 – Caratheodory nếu: i) t → p ( t ) f ( t,y,q ) laø đo được, ∀ ( y,q ) ∈ R ii) ( y,q ) → p ( t ) f ( t,y,q ) liên tục hầu khắp nơi t ∈ [ 0,1] iii) Với r>0, tồn h r ∈ L1 [ 0,1] cho p ( t ) f ( t,y,q ) ≤ h r ( t ) , hầu khắp nơi t ∈ [ 0,1] với y ≤ r, q ≤ r Định nghóa 1.6 Lnp [ a, b] ,n ∈ N* không gian hàm u thỏa: ∫ b a n p u ( t ) dt < ∞ Định nghóa 1.7 Hàm f gọi liên tục tuyệt đối [a,b] ( f ∈ AC [ a, b]) với n n i=1 i=1 ε > 0, ∃δ > cho ∑ bi − < δ ∑ f(bi ) − f(ai ) < ε , cho moïi hoï {( a , b ) ;i = 1,n} khoảng không giao i i Định nghóa 1.8 Giả sử hệ hàm y1 ( x ) ,y ( x ) , ,y n ( x ) khả vi n -1 lần (a,b), định thức Wronski xác định sau: y1 ( x ) y1' ( x ) W ( y1 ,y , ,y n ) ≡ W ( x ) = n −1) y1( (x) y2 ( x ) y'2 ( x ) n −1) y(2 (x) yn ( x ) y'n ( x ) n −1) y(n (x) W ( x ) ≠ x ∈ ( a,b ) hệ hàm độc lập tuyến tính W ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b ) hệ hàm phụ thuộc tuyến tính Định nghóa 1.9 Cho B, D hai tập đóng rời không gian tuyến tính định chuẩn E Khi tồn hàm liên tục λ : E → [ 0,1] gọi hàm liên tục Urysohn cho:   d ( x,B)  ,1 ,x ∉ D min  0 ,x ∈ B Hay nói cách khác λ ( x ) =  λ (x) =   d ( x,D )  1 ,x ∈ D  ,x ∈ D 1 với d ( x,B) = { x − y ,y ∈ B} 1.2 Phương pháp điểm bất động toán biên kỳ dị 1.2.1 Các định lí bản: Định lí 1.1 (Brouwer) En không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều C tập đóng, bị chặn En tất ánh xạ f : C → C liên tục có điểm bất động Định lí 1.2 Cho A ⊆ C ⊆ E với A= {a1 ,a2 , ,an } ; C tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn E Nếu Pε ( x ) phép chiếu Schauder thì: 35 1 0 ∫ pyg ( t,y, py ') dt ≥ A ∫ pφ Hα θ ( y ) dt 0, = A ∫ pφ y α +1 dt + A ≥ A ∫ pφ y ∫ {t: y( t )≤1} α +1 pφ  y  θ +1 −y α +1 dt  dt − A ∫ pφ dt Thay điều vào (2.28), sử dụng (2.22), (2.23) ta được: A ∫ pφ y α +1 1 1 0 dt + ( λm − µ ) ∫ pqu dt ≤ A ∫ pφ dt + ∫ pφ4 u dt + ∫ pφ5 u y dt 1 + ∫ pφ1 y dt + ∫ pφ2 y β +1 + ∫ pφ2 u y β0 1 dt + ∫ pφ3 y py ' dt + ∫ pφ1 u dt σ γ (2.29) dt + ∫ pφ3 u py' dt σ Chú ý: Phần lại chứng minh, không tính tổng quát ta giả sử rằng: σ > 0, φ3 > hkn [ 0,1] Lấy e>0 Bất đẳng thức Holder với (7.24) suy ra: 1 1 2 Q ∫ pφ4 u dt ≤ 2Q1  ∫ pqu2 dt  ≤ e ∫ pqu2 dt + e 0 0  1 0 ∫ pφ1 u dt ≤ e ∫ pqu2 dt + Q2 e 1 2γ γ 1 1 2  α +1 α +1 Q3  γ α +1 α +1 2 ≤ eQ3 ∫ pqu dt + ∫ pφ5 u y dt ≤ 2Q3  ∫ pqu dt   ∫ pφ y dt  dt   ∫ pφ y e 0 0 0  0   ∫ pφ2 u y β0 β0 1 α +1 Q  α +1 dt ≤eQ ∫ pqu2 dt +  ∫ pφ y dt  e 0  1 α +1 α +1 ∫ pφ1 y dt ≤ Q  ∫ pφ y dt  0  36 ∫ pφ y β +1   α +1 dt ≤ Q  ∫ pφ y dt  0  β +1 α +1 1 1  α +1  σ α +1 α +1 −1 ∫0 pφ3 y py' dt ≤  ∫0 pφ y dt   ∫0 p φ3 φ ( 1 1 2  ∫ pφ3 u py ' dt ≤ 2Q  ∫ pqu2 dt   ∫ p φ3α +1φ −1 0  0 ( σ ≤ eQ ∫ pqu2 dt + ) ) α0 α0 Q7  α +1 −1  ∫ p φ3 φ e 0 ( ) py ' py ' α0 σ (α +1) α0 σ (α +1) α0 py ' α0  α +1 dt   α0  α +1 dt   σ (α +1) α0  dt   2α α +1 Với Q1,…,Q7 số Thay điều vào (2.29) ta A ∫ pφ y α +1 dt + ( λm − µ − 2e − eQ3 − eQ − eQ ) ∫ pqu2dt ≤ Q8 + β0  Q3  α +1 dt   ∫ pφ y e 0  β +1 1  α +1 1  α +1 1 α +1 Q4  α +1 α +1 α +1 dt  dt  + + Q  ∫ pφ y + Q  ∫ pφ y dt   ∫ pφ y e 0  0  0  1  α +1  α +1 α +1 −1 +  ∫ pφ y dt   ∫ p φ3 φ 0 0  ( Q7  α +1 −1  ∫ p φ3 φ e 0 ) α0 py ' 2α α +1 σ (α +1) α0  dt   Với Q8 số Chúng ta chọn e cho: + ( ) α0 py ' σ (α +1) α0 λm − µ − 2e − eQ3 − eQ − eQ > vaø ta coù : α0  α +1 dt   2γ α +1 37 2γ 1  α +1 Q3  α +1 α +1 A ∫ pφ y dt ≤ Q8 + dt   ∫ pφ y e 0  β0 β +1 1  α +1 1  α +1 1 α +1 Q  α +1 α +1 α +1 +  ∫ pφ y dt  + Q  ∫ pφ y dt  + Q  ∫ pφ y dt  e 0  0  0  1  α +1 +  ∫ pφ y dt  0  α +1 Q  +  ∫ p φ3α +1φ −1 e 0 ( ) 1 α +1 −1  ∫ p φ3 φ 0 α0 ( py' σ (α +1) α0 ) α0 py ' σ (α +1) α0  dt   α0 α +1 (2.30) 2α  α +1 dt   Bây xét hai trường hợp: ∫ pφ y Trường hợp 1: α +1 dt > 1   α +1 Chia (2.30) cho  ∫ pφ y dt  0  α +1 sử dụng ∫ pφ y α +1 dt > ta được: β −1 2γ −1 α0 1  α +1  α +1 Q   α +1 Q  α +1 α +1 α +1 ≤ Q8 +  ∫ pφ y dt  + A  ∫ pφ y dt  p y dt φ   e 0 e  ∫0 0      α +1 + Q + Q  ∫ pφ y dt  0  Q7  α +1 −1 +  ∫ p φ3 φ e 0 ( ) α0 py ' β0 α +1  +  ∫ p φ3α +1φ −1 0 σ (α +1) α0 ( ) α0 py ' σ (α +1) α0  dt   α0 α +1 2α  α +1 dt   Vì max {2γ − 1,2 β − 1, β } < α nên tồn số Q9, Q10, Q11 cho: α0 1  α +1 1 α +1 α +1 −1 φ ≤ + φ p y dt Q Q ∫  10  ∫ p φ3 0  0 (  +Q11  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( ) α0 py ' σ (α +1) α0  dt   2α α +1 ) α0 py ' σ (α +1) α0 α0  α +1 dt   38 c Sử dụng bất đẳng thức ( a + b ) ≤ c ( ac + b c ) với a,b,c ≥ Suy tồn số Q12, Q13 cho: ∫ pφ y α +1 1 dt ≤ Q12 + Q13  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( ∫ pφ y Trường hợp 2: α +1 ) α0 py ' σ (α +1) α0  dt   (2.31) dt ≤ Trường hợp (2.31) hoàn toàn với Q12 =1 Trở lại (2.26) có: y ( t ) = λ ∫ G ( s,t )  f ( s,y ( s ) ,p ( s ) y ' ( s ) ) + ( µ − λm ) q ( s ) y ( s ) ds (2.32) và: p ( t ) y ' ( t ) = λ ∫ p ( t ) G t ( s,t )  f ( s,y ( s ) , p ( s ) y ' ( s ) ) + ( µ − λm ) q ( s ) y ( s ) ds (2.33) Với G(s,t) hàm Green của: 1  p ( pv' ) '+ µ qv = hkn [ 0,1]  v ∈ ( SL ) hoaëc ( N ) hoaëc ( P ) 0  Chú ý: sup ∫ G t ( t,s ) p ( t ) ds ≤ Q14 p ( s ) , Q14 số t∈[ 0,1] Từ (2.33) ,(2.23) ,(2.23), v i t ∈ ( 0,1) : 1 p ( t ) y ' ( t ) ≤ Q15 ∫ pφ1ds + Q15 ∫ pφ2 y β0 +Q15 ∫ pφ5 y ds + Q16 ∫ pq y ds γ 0 (Q15 , Q16 số) Do bất đẳng thức Holder (2.24) suy ra: 1 ds + Q15 ∫ pφ3 py ' ds + Q15 ∫ pφ4ds σ 39 β0 1  α +1 1 α +1 p ( t ) y ' ( t ) ≤ Q17 + Q18  ∫ pφ y dt  + Q19  ∫ p φ3α +1φ −1 0  0 ( ) α0 py ' σ (α +1) α0 α0  α +1 dt   γ 1  α +1 1  α +1 α +1 α +1 dt  dt  +Q 20  ∫ pφ y + Q 21  ∫ pφ y 0  0  (Q17 ,…, Q21 số) Với t ∈ ( 0,1) ta coù: p ( t ) y '( t ) σ (α +1) α0 σβ 1  α0 α +1 ≤ Q 22 + Q 23  ∫ pφ y dt  0  1 + Q 24  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( ) α0   α +1 + Q 25  ∫ pφ y dt  0  σγ α0 py ' σ (α +1) α0 σ  dt   (2.34)   α +1 + Q 26  ∫ pφ y dt  0  σ α0 (Q22 ,…, Q26 số) Điều với (2.31) suy ra: α +1 −1 ∫ p φ3 φ ( ) α0 py ' σ (α +1) α0  dt ≤ Q 27 + Q 28  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( 1 + Q 29  ∫ p φ3α +1φ −1 0 (  + Q30  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( 1 + Q31  ∫ p φ3α +1φ −1 0 ( ) ) ) ) α0 α0 α0 α0 2σβ py ' σ (α +1) α0  dt   py ' σ (α +1) α0  dt   py ' σ (α +1) α0  α0 dt   py ' σ (α +1) α0  α0 dt   α0 σ 2σγ 2σ (Q27 ,…, Q31 số)  2σβ 2σγ 2σ  ,σ , ,  < suy toàn số Q31 cho: Do max  α0 α0   α0 40 ∫ p (φ α +1 −1 α φ ) py' σ (α +1) α0 (2.35) dt ≤ Q32 Điều với (2.31) suy tồn soá Q33 cho ∫ pφ y α +1 (2.36) dt ≤ Q33 Thay bất đẳng thức vào (2.34) tồn số Q34 cho: sup p ( t ) y ' ( t ) ≤ Q34 (2.37) t∈( 0,1) Từ (2.32) sup ∫ G ( t,s ) ds ≤ Q35 p ( s ) , Q35: số, áp dụng bất đẳng thức t∈[ 0,1] Holder với t ∈ [ 0,1] : β0 1  α +1 1 α +1 + Q38  ∫ p φ3α +1φ −1 y ( t ) ≤ Q36 + Q37  ∫ pφ y dt  0  0 (   α +1 + Q39  ∫ pφ y dt  0  γ α +1 ) py ' α0   α +1 + Q 40  ∫ pφ y dt  0  σ (α +1) α0 α0  α +1 dt   α +1 (Q36 ,…, Q40 số) Điều với (2.35), (2.36) suy tồn số Q41 cho: sup y ( t ) ≤ Q 41 (2.38) t∈[ 0,1] Từ (2.37) (2.38) với định lí 1.13 1.14 suy điều phải chứng minh Chúng ta chứng minh định lí m = (tại giá trị riêng đầu tiên) Đặc biệt khảo sát: 1  p ( py ' ) '+ λ1qy = f ( t,y, py ' ) hkn treân [ 0,1]  y ∈ ( SL ) hoaëc ( N ) ( P ) 0  với λ1 giá trị riêng (2.20) (2.39) 41 Định lý 2.5 Nếu pf : [ 0,1] × R → R hàm L1-Caratheodory (2.2), (2.15) thỏa Giả sử f khai triển: f ( t, u1 , u2 ) = g ( t, u1 , u2 ) + h ( t, u1 , u2 ) vớ i pg,ph:[ 0,1] × R → R hà m L1 -Caratheodory tồn số A>0,0 hkn treân [ 0,1] với u1g ( t, u1 , u2 ) ≥ Aφ ( t ) Hα ,θ ( u1 )   hkn t ∈ [ 0,1] , u1 ∈R, u2 ∈R;α ≥ θ (2.40) ∃φi ∈ L1p [ 0,1] ,i = 1,2,3 cá c hằ ng số β ,σ cho  β0 σ  h ( t,u1 , u2 ) ≤ φ1 ( t ) + φ2 ( t ) u1 + φ3 ( t ) u2 hkn t ∈ [ 0,1] , β < α  φ3 > hkn treâ n [ 0,1] hoặ c φ3 ≡ trê n [ 0,1] (2.41) ∃φi ∈ L1p [ 0,1] ,i = 4,5,6 vaø số γ ≤ α ,τ >σ cho  γ τ  g ( t,u1 , u2 ) ≤ φ4 ( t ) + φ5 ( t ) u1 +φ6 ( t ) u2 hkn t ∈ [ 0,1]  φ6 > hkn [ 0,1] φ6 ≡ treân [ 0,1] (2.42)  α0 (2.43)  ,α  , vaø τ <  γ  σ < 1,  α +1 −1 (α +1) −( β +1)  φ1 φ α ∈ L p [ 0,1] , φ2 φ   (α +1) −γ α +1−γ ∈ L1p [ 0,1] , qα +1φ −1  φ5 φ ( ( vaø ( ) ) ( ) ) α − β0 α0 ∈ L1p [ 0,1] ∈ L1p [ 0,1] (2.44) 42 κ  α +   −α +1  κ = max  ,2  ,  φ3φ  ∈ L1p [ 0,1]     α0    κτ  τ −σ σ −   −κ  κ α +1 1 φ6 ∈ L p [ 0,1] ,  φ3φ  (φ6 ) τ −σ ∈ L p [ 0,1] ,     neáu φ6 > hkn treân [ 0,1]    (2.45) Thì (2.39) có nghiệm y ∈ C [ 0,1] I C1 [ 0,1] v i py' ∈ AC [ 0,1] Chứng minh: Lấy y nghiệm (2.26) với m = Theo chứng minh định lý 2.4 với u =0 y = w có điều tương tự (2.29): A ∫ pφ y α +1 1 0 dt ≤ A ∫ pφ dt + ∫ pφ1 y dt + ∫ pφ2 y β +1 dt + ∫ pφ3 y py ' dt σ (2.46) Bất đẳng thức Holder suy ra: β +1 1 1  α +1 1  α +1 α +1 α +1 α +1 A ∫ pφ y dt ≤ N + N1  ∫ pφ y dt  + N  ∫ pφ y dt  0  0  (2.47) + ∫ pφ3 y py ' dt σ (N0, N1, N2 số) α +  α +1 ,2  Neáu κ = Đặt κ = max  , theo bất đẳng thức Holder (2.45) α α   ta coù: ∫ pφ   σ α +1 y py ' dt ≤  ∫ pφ y dt  0  Với κ = ta có: α +1   − κ κ  p  φ3φ α +1  py ' σκ dt    ∫0      43 ∫ pφ   σ α +1 y py ' dt ≤  ∫ pφ y dt  0  α +1 1   p  φ3φ  ∫0   1 − α +1 α −1  1   2(α +1) σκ  py ' dt   ∫ p ( t ) dt    0    κ κ Thay điều vào(2.49) với lý định lí 2.4 suy tồn số N3, N4 cho: α +1   − κ  κα α +1 σκ α +1   ∫0 pφ y dt ≤ N3 + N  ∫0 p  φ3φ  py ' dt      (2.48) Từ (2.33)( giống định lý 2.4), cho t ∈ ( 0,1) ta coù: β0 1  α +1 α +1 σ p ( t ) y ' ( t ) ≤ N + N  ∫ pφ y dt  + N ∫ pφ3 py ' dt 0  γ 1   α +1   α +1 τ α +1 + N8  ∫ pφ y dt  + N ∫ pφ6 py ' dt + N10  ∫ pφ y dt  0  0  α +1 (2.49) (N5, N6, , N10 số) α +  Với κ = max  ,2  , ta coù: α   1   − κ κ   (α +1) α +1 σ σκ + α   ≤ p py ' dt p py ' dt p dt neáu κ = φ φ φ φ     ∫0 ∫ ∫     0 α0     1   − κ κ σ σκ + α ∫0 pφ3 py ' dt ≤  ∫0 p  φ3φ  py ' dt      1 ∫ pφ 1 1  α 2+1   ∫ pφ dt  neáu κ =2 0    1-     τ τκ py ' dt ≤  ∫ pφ6κ py ' dt   ∫ p ( t ) dt  0  0  κ Có hai trường hợp cần xét: Trường hợp 1: φ6 > hkn [ 0,1] Thay điều vào (2.49) từ (2.48) dẫn tới: κ 44 β 0τ   − κ  α0 τκ σκ α +1 κ   ∫0 pφ6 py' dt ≤ N11 + N12  ∫0 p  φ3φ  py ' dt      τ   − κ  σκ α +1   + N13 ∫ p  φ3φ  py' dt  0       (2.50) γτ   − κ α0 σκ + α + N14  ∫ p  φ3φ  py ' dt   0       + N15 (   τ τκ κ  p φ py ' dt + N φφ 16 ∫0 p  ∫0     ) 1 − α+1   σκ  py ' dt     κ τ αo (N11, N12, , N16 số) Theo bất đẳng thức Holder ta có:   − α 1+1  1 κ    − α +1  σκ τκ ∫0 p  φ3φ  py ' dt ≤  ∫0 pφ6 py ' dt   ∫0 p  φ3φ        σ τ κ κτ τ −σ −κ φ6 σ τ −σ   dt    τ −σ τ Thay điều vào(2.50) ta được; β 0σ σ 1 κ  α0 1 κ  τκ τκ τκ κ p py ' dt N N p py ' dt N p py ' dt ≤ + + φ φ φ     17 18 ∫ 19 ∫ ∫0 0  0  γσ τ σ 1 α0 1  1 α0 τκ τκ τκ + N 20  ∫ pφ6κ py ' dt  + N 21  ∫ pφ6κ py ' dt  + N 22  ∫ pφ6κ py' dt  0  0  0  (N17, N18, , N22 số) σβ σγ σ  Vì max  ,σ , ,τ ,  < nên tồn số N23 cho: α0 α0   α0 ∫ pφ κ py' dt ≤ N 23 τκ với lý tương tự định lí 2.4 suy điều phải chứng minh 45 Trường hợp 2: φ6 ≡ hkn [ 0,1] Không tính tổng quát, giả sử σ > φ3 > hkn [ 0,1] , không kết dễ dàng Với t ∈ ( 0,1) , từ (2.49) ta có: 1  α +1 p ( t ) y ' ( t ) ≤ N 23 + N 24  ∫ pφ y dt  0  β0 α +1 1  + N 25  ∫ p  φ3φ 0    − α +1   σκ  py ' dt      κ κ γ 1  α +1 1  α +1 α +1 α +1 + N 26  ∫ pφ y + N 27  ∫ pφ y dt  dt  0  0  (N23, N24, , N27 laø số) Điều  p ∫0  φ3φ  naøy − α +1 κ     với (2.48) dẫn tới: β 0σ   − κ  α0 σκ σκ py ' dt ≤ N 28 + N 29  ∫ p  φ3φ α +1  py ' dt   0       1  + N30  ∫ p  φ3φ 0    − α +1 σ  1   σκ   py ' dt + N  31 ∫ p  φ3φ   0      κ − α +1   σκ  py ' dt      κ γσ α0 σ   − κ α0 σκ + α + N32  ∫ p  φ3φ  py ' dt   0       (N28, N29, , N32 số) Do tồn số N33 cho: κ  − α 1+1  σκ ∫0 p  φ3φ  py ' dt ≤ N33   Và kết sau tương tự định lý 2.4 Định lý tồn II: Trong phần khảo sát toán cộng hưởng (2.19) “bên phải” giá trị riêng 46 Định lý 2.6: Nếu pf : [ 0,1] × R → R hàm L1-Caratheodory (2.2), (2.15) thỏa Giả sử f khai triển: f ( t,u1 ,u2 ) = g ( t, u1 ,u2 ) + h ( t,u1 ,u2 ) vớ i pg,ph:[ 0,1] × R → R hà m L1 -Caratheodory và: tồn số A>0,0 hkn [ 0,1] với u1g ( t, u1 , u2 ) ≤ −Aφ ( t ) Hα ,θ ( u1 ) (2.51)   hkn t ∈ [ 0,1] ,u1 ∈R, u2 ∈R;α ≥ Thêm giả thiết (2.22), (2.23, (2.24, (2.25) thỏa Thì (2.19) có nghiệm y ∈ C [ 0,1] I C1 [ 0,1] v i py ' ∈ AC [ 0,1] Chứng minh: Xét họ toán: 1  p ( py ' ) '+ µ qy = λ  f ( t,y, py ' ) + ( µ − λm ) qy  hkn [ 0,1]  y ∈ ( SL ) ( N ) hoaëc ( P ) 0  với (2.52) < λ < 1, λ m < µ < λ m +1 ,m = 1,2, Chuù ý: L2pq [ 0,1] = Γ ⊕ Γ ⊥ với Γ=span {ψ1 , ψ , , ψ m } Nhân (2.52) cho (w-u) lấy tích phân từ đến ta điều định lý (2.4) (Q0 định lý 2.4) 1 2 Q + ∫  − p ( w' ) + µ pqw2  dt + ∫  p ( u' ) − µ pqu2  dt     0 1 0 = λ ∫ ( w-u ) pf ( t,y, py ' ) dt + λ ( µ − λm ) ∫ pqw2dt − λ ( µ − λm ) ∫ pqu2dt Vì u ∈ Γ,w ∈ Γ ⊥ y=u+w có: m u = ∑ ci ψ i vaø w = i =1 ∞ ∑ cψ i = m +1 i i với ci = y, ψ i (2.53) 47 Ta coù: 1 2 Q + ∫  − p ( w' ) + µpqw2  dt + ∫  p ( u' ) − µpqu2  dt     0 1 = ( µ − λ m +1 ) ∫ pqw dt + ( λ m − µ ) ∫ pqu2dt 0 Thay điều vào (2.35) ta coù: 1 λ ∫ ( w-u ) pg ( t,y, py ' ) dt + (1 − λ )( µ − λm ) ∫ pqu dt + ( λm +1 − µ ) ∫ pqw2dt 1 0 +λ ( µ − λm ) ∫ pqw2 dt ≤ −λ ∫ ( w-u ) ph ( t,y,py ' ) dt Với w-u=-y+2w −yg ( t,y, py ' ) ≥ Aφ ( t ) H α0 ,θ ( y ) hkn t ∈ [ 0,1] , với chứng minh ta có: 1 A ∫ pφH α0 ,θ ( y ) dt + ( µ − λ m ) ∫ pqw ≤ −2 ∫ pwg ( t,y, py ' ) dt 0 1 0 + ∫ p y h ( t,y,py ' ) dt + ∫ p w h ( t,y, py ' ) dt Lý luận tương tự định lí 2.4 (chỉ khác dùng ta có điều phải chứng minh ∫ pqw2dt thay ∫ pqu2dt ), 48 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phần lí thuyết toán biên kì dị Qua làm rõ ứng dụng định lí điểm bất động ánh xạ compact không gian định chuẩn, sử dụng linh hoạt lí thuyết ánh xạ đồng luân để chứng minh tồn nghiệm toán “cộng hưởng” “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dị Luận văn toán “cộng hưởng” có nghiệm tầm thường nhất, toán “không cộng hưởng” có nghiệm không tầm thường Qua luận văn tác giả củng cố nhiều phần kiến thức học, biết thêm số mảng kiến thức Tuy nhiên với trình độ nhiều hạn chế chắn luận văn nhiều thiếu sót, mong bảo góp ý q Thầy Cô 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hoàn Hóa (2000), Giáo trình Giải tích phi tuyến I [2] Lê Hoàn Hóa, Giáo trình Phép tính vi tích phân [3] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình Giải tích hàm nâng cao [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Hà Nội, NXB GD [5] Nguyễn Thế Hoàn – Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Hà Nội, NXB ĐH THCN [6] Donal O,Regan (1994), Theory of singular boundary value problems, Singapore, World scientific publishing Co.Pte.Ltd ... tương tự ta có điều phải chứng minh 27 Chương 2: TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ 2.1 Khảo sát tồn nghiệm toán biên: 1  p ( py ' ) '+ r ( t ) y = f ( t,y,... tồn nghiệm toán ? ?cộng hưởng? ?? ? ?không cộng hưởng? ?? có giá trị biên kì dị Luận văn toán ? ?cộng hưởng? ?? có nghiệm tầm thường nhất, toán ? ?không cộng hưởng? ?? có nghiệm không tầm thường Qua luận văn tác giả... Blasius… 3 Chính ứng dụng rộng rãi hướng đến nghiên cứu tồn nghiệm toán ? ?cộng hưởng? ?? ? ?không cộng hưởng? ?? có giá trị biên kỳ dị Đặc biệt nghiên cứu phương trình vi phân bậc hai: ( py ') '+ µ qy