Phương pháp tuyến tính hóa trong giải tích phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thanh Hằng PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HỐ TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thanh Hằng PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HỐ TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Trần Đình Thanh giành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q thầy Ban lãnh đạo q thầy Khoa Tốn, phịng sau đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy nhiệt tình kiến thức quí báo mà thầy truyền đạt ln tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Đạo hàm ánh xạ 1.2 Ánh xạ Nemytscki 11 1.3 Đạo hàm bậc cao 14 Chương ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LIÊN TỤC 20 2.1 Định lí hàm ẩn 20 2.2 Định lí hàm ngược Định lí ánh xạ mở 23 2.3 Phương pháp liên tục Định lí hàm ngược tồn cục 27 Chương PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT .32 3.1 Sự phân nhánh 32 3.2 Phép chiếu Lyapunov-Schmidt Định lí Crandale-Rabinowitz 35 3.3 Ứng dụng cho dẻo Euler 41 Chương ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHƠNG GIAN 43 4.1 Bài toán mẫu số nhỏ 43 4.2 Định lí hàm ẩn 48 KẾT LUẬN 54 CÁC KÝ HIỆU n Không gian Euclide n chiều C ( X ,Y ) Không gian hàm liên tục X → Y C (Ω) Không gian hàm liên tục Ω C r (Ω) Không gian hàm khả vi cấp r liên tục Ω C1 ( X ,Y ) Không gian hàm khả vi liên tục X → Y L( X , Y ) Khơng gian hàm tuyến tính, liên tục X → Y ⋅ Chuẩn không gian Banach X X Lp (Ω) Không gian hàm khả tích bậc p Ω LỜI NĨI ĐẦU Trong giải tích hàm, phương trình với ánh xạ tuyến tính nghiên cứu đầy đủ nhờ lí thuyết Fredholm, Riesz, Hilbert-Schmidt Chúng tìm ứng dụng rộng rãi Vật lí, kinh tế,… Tuy nhiên, phần lớn tượng tự nhiên xã hội lại mơ tả phương trình với ánh xạ phi tuyến Để khảo sát phương trình này, hình thành mơn giải tích phi tuyến với phương pháp nghiên cứu khác Phương pháp tự nhiên sử dụng sớm để nghiên cứu phương trình phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa Nội dung phương pháp thay phương trình phi tuyến phương trình tuyến tính gần với theo nghĩa Tùy theo lớp phương trình phi tuyến yêu cầu đặt nghiên cứu chúng mà cách chọn phương trình phi tuyến tương ứng khác Do kĩ thuật phương pháp tuyến tính hóa đa dạng Luận văn giới thiệu cách hệ thống chi tiết phương pháp tuyến tính hóa nghiên cứu phương trình phi tuyến với kĩ thuật khác như: sử dụng định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương toàn cục, phép chiếu LiapunovSchmidt, phân nhánh địa phương tồn cục, định lí hàm ẩn thang khơng gian,… Luận văn gồm bốn chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa, tính chất hàm khả vi Frechet khả vi Gateaux, mối liên hệ chúng, định nghĩa không gian Sobolev, định nghĩa ánh xạ Nemytscki, định nghĩa hàm Caratheodory, định nghĩa đạo hàm bậc cao, công thức Taylor Chương giới thiệu định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược, định lí ánh xạ mở phương pháp liên tục, định lí hàm ẩn tồn cục Chương trình bày phép chiếu Lyapunov-Schmidt, định lí Crandale-Rabinowitz ứng dụng vào toán điểm phân nhánh Chương giới thiệu định lí hàm ẩn thang khơng gian ứng dụng vào toán mẫu số nhỏ Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đạo hàm ánh xạ Cho X , Y , Z không gian Banach với chuẩn tương ứng X , Y , Z Cho U ⊂ X tập mở ánh xạ f : U → Y Định nghĩa 1.1.1 (Khả vi Frechet) Cho x0 ∈U , ta nói f khả vi Frechet (hay F -khả vi) x0 tồn A ∈ L( X , Y ) cho f ( x ) − f ( x0 ) − A ( x − x0 ) Y =  ( x − x0 X ) (1.1) Có nghĩa ∀ε > ∃δ > ∀x, x − x0 X , 53 ′ ( ) }, A ( r ) = { w ( z ) | giải tích bị chặn z < r , với w = ( ) w= với chuẩn w r = sup w ( z ) , z nhỏ Khi giả thiết (1)-(3) định lí 4.4.1 thoả 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp tuyến tính hóa phương trình phi tuyến với kĩ thuật khác như: sử dụng định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương toàn cục, phép chiếu Liapunov-Schmidt ứng dụng vào toán điểm phân nhánh, định lí hàm ẩn thang khơng gian ứng dụng vào tốn mẫu số nhỏ Luận văn tài liệu tham khảo cho học viên cao học học chuyên đề giải tích phi tuyến Luận văn chủ yếu xét vấn đề mang tính lí thuyết số ví dụ đơn giản Có nhiều lĩnh vực Tốn học áp dụng phương pháp tuyến tính hố mà hạn chế kiến thức thời gian mà tác giả chưa thể trình bày Tác giả hi vọng nghiên cứu vấn đề tương lai 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Giải Tích Hàm, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 [2] Haim Brezis, Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002 [3] Hoàng Tụy, Lý thuyết hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia [4] K.C.Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2003, 1-62 [5] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 ... cứu phương trình phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa Nội dung phương pháp thay phương trình phi tuyến phương trình tuyến tính gần với theo nghĩa Tùy theo lớp phương trình phi tuyến yêu cầu đặt... chọn phương trình phi tuyến tương ứng khác Do kĩ thuật phương pháp tuyến tính hóa đa dạng Luận văn giới thiệu cách hệ thống chi tiết phương pháp tuyến tính hóa nghiên cứu phương trình phi tuyến. .. mơ tả phương trình với ánh xạ phi tuyến Để khảo sát phương trình này, hình thành mơn giải tích phi tuyến với phương pháp nghiên cứu khác Phương pháp tự nhiên sử dụng sớm để nghiên cứu phương