Phương pháp tuyến tính hoá trong giải tích phi tuyến

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Trần Đình Thanh giành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô Ban lãnh đạo quí thầy cô Khoa Toán, phòng sau đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy nhiệt tình kiến thức quí báo mà thầy truyền đạt tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Đạo hàm ánh xạ 1.2 Ánh xạ Nemytscki .11 1.3 Đạo hàm bậc cao 14 Chƣơng ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƢƠNG PHÁP LIÊN TỤC 20 2.1 Định lí hàm ẩn .20 2.2 Định lí hàm ngược Định lí ánh xạ mở .23 2.3 Phương pháp liên tục Định lí hàm ẩn toàn cục 27 Chƣơng PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT .32 3.1 Sự phân nhánh .32 3.2 Phép chiếu Lyapunov-Schmidt Định lí Crandale-Rabinowitz 35 3.3 Ứng dụng cho dẻo Euler 40 Chƣơng ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHÔNG GIAN 43 4.1 Bài toán mẫu số nhỏ .43 4.2 Định lí hàm ẩn .48 KẾT LUẬN 54 LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích hàm, phương trình với ánh xạ tuyến tính nghiên cứu đầy đủ nhờ lí thuyết Fredholm, Riesz, Hilbert-Schmidt Chúng tìm ứng dụng rộng rãi Vật lí, kinh tế,… Tuy nhiên, phần lớn tượng tự nhiên xã hội lại mô tả phương trình với ánh xạ phi tuyến Để khảo sát phương trình này, hình thành môn giải tích phi tuyến với phương pháp nghiên cứu khác Phương pháp tự nhiên sử dụng sớm để nghiên cứu phương trình phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa Nội dung phương pháp thay phương trình phi tuyến phương trình tuyến tính gần với theo nghĩa Tùy theo lớp phương trình phi tuyến yêu cầu đặt nghiên cứu chúng mà cách chọn phương trình phi tuyến tương ứng khác Do kĩ thuật phương pháp tuyến tính hóa đa dạng Luận văn giới thiệu cách hệ thống chi tiết phương pháp tuyến tính hóa nghiên cứu phương trình phi tuyến với kĩ thuật khác như: sử dụng định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương toàn cục, phép chiếu LiapunovSchmidt, phân nhánh địa phương toàn cục, định lí hàm ẩn thang không gian,… Luận văn gồm bốn chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa, tính chất hàm khả vi Frechet khả vi Gateaux, mối liên hệ chúng, định nghĩa không gian Sobolev, định nghĩa ánh xạ Nemytscki, định nghĩa hàm Caratheodory, định nghĩa đạo hàm bậc cao, công thức Taylor Chương giới thiệu định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược, định lí ánh xạ mở phương pháp liên tục, định lí hàm ẩn toàn cục Chương trình bày phép chiếu Lyapunov-Schmidt, định lí Crandale-Rabinowitz ứng dụng vào toán điểm phân nhánh Chương giới thiệu định lí hàm ẩn thang không gian ứng dụng vào toán mẫu số nhỏ Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đạo hàm ánh xạ Cho X , Y , Z không gian Banach với chuẩn tương ứng X , Y , Z Cho U  X tập mở ánh xạ f :U  Y Định nghĩa 1.1.1 (Khả vi Frechet) Cho x0 U , ta nói f khả vi Frechet (hay F -khả vi) x0 tồn A  L( X , Y ) cho f  x   f  x0   A  x  x0  Y   xx  X (1.1) Có nghĩa     x, x  x0 X   : f  x   f  x0   A  x  x0  Y   x  x0 Đặt f   x   A gọi đạo hàm Frechet ( hay F - đạo hàm ) f x0 Nếu f F - khả vi điểm x U ánh xạ x f   x  ánh xạ từ U vào L  X , Y  liên tục x0 , ta nói f khả vi liên tục x0 Nếu f khả vi liên tục điểm x U ta nói f khả vi liên tục U kí hiệu f  C1 U , Y  Dựa vào định nghĩa ta có kết sau: Nếu f F - khả vi x0 f   x0  Nếu f F - khả vi x0 f liên tục x0 Giả sử U  X , V  Y tập mở f F - khả vi x0 , g F khả vi f  x0  , f g U  V  Z Khi g f   x0   g   f  x0   f   x0  Chứng minh Giả sử tồn A, B  L  X , Y  thoả mãn (1.1) A  x  x0   B  x  x0  Y  f  x   f  x0   A  x  x0  Y  f  x   f  x0   B  x  x0  Y  2 x  x0 X Vậy A  B  2 Cho   ta A  B  Vậy A  B Nếu f khả vi x0 f   x0   L  X ,Y  nên liên tục Do từ (1.1) ta suy f liên tục x0 Theo giả thiết : f  x   f  x0   f   x0  x  x0     x  x0    x  x0    xx  g  y   g  y0   g  y0  y  y0     y  y0    y  y0   Từ ta có  y y  g f  x    g f  x0   g  f  x    g  f  x0    g   f  x0    f  x   f  x0      f  x   f  x0    g   f  x0    f   x0    x  x0     x  x0     f  x   f  x0    g   f  x0    f   x0  x  x0    g   f  x0     x  x0      f  x   f  x0   Nhưng g   f  x0     x  x0    g   f  x0     x  x0    xx  lim   f  x   f  x0   x  x0  lim x  x0 x  x0  lim x  x0   f  x   f  x0   f  x   f  x0  f  x   f  x0  x  x0   f  x   f  x0    f   x0  x  x0    x  x0    0 f  x   f  x0  x  x0 Suy g f   x0   g   f  x0   f   x0  Định nghĩa 1.1.2 (Khả vi Gateaux) Cho x0 U , ta nói f khả vi Gateaux ( hay G -khả vi ) x0 h  X , df  x0 , h   Y cho f  x0  th   f  x0   tdf  x0 , h  Y  (t ) t  với x0  th U Ta gọi df  x0 , h  đạo hàm Gateaux (hay G- đạo hàm) f x0 Ta có d f  x0  th  |t 0  df  x0 , h  , dt f G -khả vi x0 Theo định nghĩa ta có kết sau: Nếu f G - khả vi x0 df  x0 , h  df  x0 , th   tdf  x0 , h  t  Nếu f G - khả vi x0 , h  X , y*  Y * , hàm   t   y* , f  x0  th  khả vi t  ,   t   y* , df  x0  h  Giả sử f : U  Y G - khả vi điểm thuộc U , đoạn x  th | t  0,1  U , f  x0  h   f  x0  Y  sup df  x0  th, h  Y 0t 1 Chứng minh Đặt  y  t   y* , f  x0  th  t  0,1 , y*  Y * * Ta có y* , f  x0  h   f  x0    y 1   y   * *   y  t *  *  y* , df  x0  t *h, h  với t *   0,1 phụ thuộc vào y* Kết suy từ định lí Hahn-Banch Định lí 1.1.3 Nếu f F -khả vi x0 f G -khả vi x0 , df  x0 , h   f   x0  h, h  X Chứng minh Do f F -khả vi x0 nên tồn A  L( X , Y ) cho f  x   f  x0   A  x  x0  Y  Nên  xx  X f  x0  th   f  x0   tA  h  Y   th  t  X Do f G -khả vi x0 , df  x0 , h   f   x0  h, h  X Chiều ngược lại định lí không đúng, ta có: Định lí 1.1.4 Giả sử f : U  Y G -khả vi, x U , A x   L  X ,Y  thỏa mãn df  x, h   A x  h, h  X Nếu ánh xạ x A x  liên tục x0 f F -khả vi x0 , với f   x0   A x0  Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử đoạn x0  th | t  0,1  U Theo định lí Hahn-Banach, y*  Y * , với y*  , cho f  x0  h   f  x0   A x0  h Y  y* , f  x0  h   f  x0   A  x0  h Ta có   t   y* , f  x0  th  Từ định lí giá trị trung bình,    0,1 cho  1      y* , A  x0  h       y* , A  x0  h  y* , df  x0   h, h   A  x0  h  y* ,  A  x0   h   A  x0  h   h , Có nghĩa f   x0   A x0  Tầm quan trọng định lí 1.1.4 thể chỗ việc xác định F -đạo hàm hàm cho trước cách trực tiếp khó, tính thông qua phép tính G -đạo hàm hàm biến Ví dụ Cho A  L  X ,Y  , f  x   Ax Khi f   x   A, x Ví dụ Cho X  n ,Y  m , 1 ,2 , ,m  C1  n ,  Đặt  1  x     f  x    , nghĩa f : X  Y   x    m  Khi    x   f   x0    i   x j   mn Ví dụ Cho   n   miền mở, bị chặn Kí hiệu C  không gian hàm liên tục  Cho  :     ,   hàm C Ánh xạ f : C   C  xác định u  x   x, u  x     Khi f F -khả vi, u0  C  ,  f  u .v   x     x, u  x .v  x  u   v  C  Chứng minh   h  C  , ta có t 1  f  u0  th   f u0   x   u  x, u0  x   t  x  h  x   h  x  ,   x    0,1   0, M  0,     M ,    cho u  x,   u  x,    , x ,  ,    M       Ta chọn M  u0  h , t    , u  x, u0  x   t  x  h  x    u  x, u0  x     Từ suy df  u0 , h  x   u  x, u0  x   h  x  A  u  h  u  x, u  x    h  x  toán tử tuyến tính liên tục, Chú ý toán tử nhân h      liên tục, theo định lí 1.1.4,   ánh xạ u  A  u  từ C  vào L C  , C  f F - khả vi,  f u .v   x     x, u  x .v  x  u   v  C  Ta nghiên cứu toán tử phi tuyến khác không gian tổng quát Cho  n   tập mở bị chặn, cho m số nguyên không âm,    0,1 C m    (và không gian Holder C m,  ) định nghĩa không gian hàm bao gồm hàm C m ( với liên tục   Holder , có đạo hàm riêng bậc m ) Chuẩn định nghĩa sau: u C  max   u  x  , m x  m u C m ,  u Cm  max x , y   m  u  x     u  y  x y  ,   1 ,2 , ,n  số ,   1      n ,   x11 x22 xnn Ta định nghĩa m* số số   1 , , , m  |   m Dmu tập hợp  u |   m  41 ánh xạ liên tục thoả F  ,     Theo điều kiện cần,  ,   điểm phân d nhánh,  giá trị riêng ánh xạ tuyến tính     I , nghĩa  dt    n2 , với n  1,2,   d 2  Khi ker     n I   s cos nt | s    dt     d  , ánh xạ vi phân  dt  với điều kiện   điểm đầu tự tự liên hợp, ta có co ker Fu  , n2   s cos nt | s   Kết hợp với Fu  , n2   cos nu |u 0  I , Ta suy Fu  , n2  cos nt  cos nt  ImFu  , n2  Tất giả thiết định lí Crandall-Rabinowitz thoả mãn, ta thu họ đường cong C1  n  s  , n  s   :   ,     Z n , Z n không gian phần bù không gian cos nt , thoả n    n , d  n  0   n  0   ; dt với n  1,2,3, Nếu ta đặt n  s, t   s cos nt   n  s   t  t  0,   , 42    n  s, t   n  s  sin n  s, t    t   t , s    n  s,0   n  s,    t t Ta thu biểu đồ phân nhánh hình 3.2 43 Chƣơng ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHÔNG GIAN 4.1 Bài toán mẫu số nhỏ Cho f giải tích lân cận  , với f    f   0   , tìm u giải tích lân cận  với u  0  u    1, thoả f  u  z    u  z  (4.1) Đặt f  z    z  fˆ  z  , u  z   z  uˆ  z  Khi f  u  z    u  z    u  z   fˆ  u  z     z  uˆ  z    z   uˆ  z   fˆ  u  z     z  uˆ  z    uˆ  z   fˆ  u  z    uˆ  z   fˆ  u  z     uˆ  z   uˆ  z   fˆ  z  uˆ  z     uˆ  z   uˆ  z  Phương trình (4.1) tương đương với    fˆ , uˆ  fˆ  z  uˆ  z     uˆ  z   uˆ  z    Hiển nhiên,   ,     uˆ fˆ , uˆ wˆ  fˆ   z  uˆ  z   wˆ  z    wˆ  z   wˆ  z  uˆ  ,  đơn ánh,   e2 i ,  số vô tỉ Thật vậy, ta viết  vˆ   v j z j , j 2  ˆ   wj z j w j 2 (4.2) 44 Phương trình uˆ  ,  wˆ  vˆ có nghiệm wˆ , wj  vj   j j  2,3 Do mẫu số tiến tới ta xét dãy con, nên ánh xạ ngược bị chặn uˆ  ,  Định nghĩa 4.1.1 Một số thực  gọi kiểu  b, v  , b  0, v  ,  p b  q qv p, q  \ 0 (4.3) Mệnh đề 4.1.2 Hầu hết với số thực  , tồn  b, v  phụ thuộc vào  , cho  thuộc kiểu  b, v  Chứng minh Cho  b, v  , q cố định, tập tất số thực  0,1 cho (4.3) không thoả có độ đo nhỏ 2bq  v 1 Do đó, tập tất số thực  cho (4.3) không thoả có độ đo  2b q  v 1   Do b số nhỏ tuỳ ý , ta có kết luận Giả sử   e2 i ,  số thuộc kiểu  b, v  Khi 45    e j  p  2 i  j 1    j 1  1  p   sin 2     j  1 j      4  2  j  1   p j 1 b v 1 ,  j  1 Do j v1     j 4b ˆ có bán kính hội tụ nhỏ Trong trường hợp này, vˆ có bán kính hội tụ r , w Nói cách khác, ta xét họ không gian Banach: ˆ  z  | bị chặn giải tích z  r,w ˆ  0  w ˆ   0  } A r   { w Với chuẩn wˆ r  sup wˆ  z  , z r ta có , vˆ  A  r  uˆ  ,  1 vˆ vj z j  sup  j z  r  j      r    C  j v1  r    v j , j j 2 vj  2 v z dz  r  j v r , j 1 z r z  46 Do uˆ  ,  vˆ    C v r  j 1   j 2  r  1 r  j v 1 (4.4)  C  v v r (4.5) C  C  v, r  số Do việc giảm bán kính hội tụ nên ta áp dụng dãy lặp định lí hàm ẩn thông thường Ta áp dụng dãy lặp theo phương pháp Newton sau xn1  xn  f   xn   y  f  xn     Nhưng ta phải tính uˆ fˆ , uˆ 1 toán khó Ta thay việc xấp xỉ ảnh ngược nêu Để làm điều đó, ta thực phép tính toán   fˆ , uˆ   z   fˆ  z  uˆ  z  1  uˆ  z    uˆ  z    uˆ  z  ,   uˆ fˆ , uˆ vˆ  fˆ   z  uˆ  z   vˆ  z    vˆ  z   vˆ  z  Do     vˆ vˆ  uˆ fˆ , uˆ vˆ   fˆ , uˆ  1  uˆ   uˆ  ,   uˆ  uˆ Ta lấy   ˆ w 1 ˆ  1  uˆ uˆ  ,   T fˆ , uˆ w   uˆ   ,  ˆ  z  Thật vậy, có nghịch đảo xấp xỉ với vˆ  z   1  uˆ  z   w 47       ˆ w 1  ˆ w ˆ   fˆ , uˆ uˆ  ,   uˆ fˆ , uˆ T fˆ , uˆ w   uˆ   ,  từ tính giải tích,     fˆ , uˆ    C 1  fˆ , uˆ r  r Ta lấy    0,1 uˆ r   ,  uˆ   ,   fˆ , uˆ T  fˆ , uˆ   Id  wˆ uˆ r     C  v1  fˆ , uˆ r ˆ r, w C  C  , v, r  Tương tự,   ˆ T fˆ , uˆ w r  ˆ r  C v w Ta xét chuẩn mới: ˆ r  sup w ˆ  z  w z r Hiển nhiên bất đẳng thức sau thoả: ˆ r r w ˆ r w Hơn nữa, ước lượng sai số:        fˆ , uˆ   fˆ , vˆ  uˆ fˆ , vˆ  uˆ  vˆ   fˆ  z  uˆ  z    fˆ  z  vˆ  z    fˆ   z  vˆ  z    uˆ  z   vˆ  z   1      sfˆ  z  vˆ  z   st  uˆ  z   vˆ  z   dtds  uˆ  z   vˆ  z   0 Theo công thức Cauchy, f  A r  với f r   , f   z    R  r  z , ta  f      z    z R d  f R2 r 48        fˆ , uˆ   fˆ , vˆ  uˆ fˆ , vˆ  uˆ  vˆ  r   2  uˆ  vˆ r 2 (4.6) Khi sơ đồ lặp có dạng     uˆn1  uˆn  T fˆ , uˆn  fˆ , un  Để uˆn hội tụ uˆ * , ta cần  fˆ , uˆn n , dần số dương  rn (4.7)  , rn phụ thuộc vào r * 4.2 Định lí hàm ẩn Định lí 4.2.1 Giả sử X  , Y , Z ,   (0,1] họ không gian Banach với chuẩn không giảm, có nghĩa      , với    Cho  x , y   X1  Y1 , r  , r  Br  x   Br  y   X   Y , Br  x  cầu tâm x , với bán kính r  X , tương tự cho Br  y  Cho  : r  Z   (0,1] C ,   x , y    , thoả điều kiện: (1)   x, y     x, y   y  x, y y  y  M  2 y  y  , y  Br  y  ,   (2) T  x, y   L  Z , Y   cho T  x, y  z    M   z  , (3)   y  x, y  T  x, y   I  z    M  2   z    x, y   M  1,   0,   số,     Khi C  C  M , ,  0 cho   x, y   r ,   (0,1] với   x, y    C 2   , ta có y*  u  x   Y thoả   x, u  x     49 Chứng minh Ta chọn dãy n    2 n  ,  n  0,1,2, , n1  Khi 0   , n    n  n1   1   2n2  , 2 n  0,1,2,  Để đơn giản, ta viết   yn     x, yn  , T  yn   T  x, yn  Xét chuỗi lặp Newton  yn1  yn  T  yn    yn    y0  y n  0,1,2, Ta cần chứng minh 1 yn  Br  y   2 cn    yn   ,  3 n  2  c n yn1  yn n1 n n 1 n   ,   Mcn 2 n3   Nếu ta chứng minh   n 1 yn1  yn    M   23  2n cn   n 1 Do y*  u  x  cho yn  y* Y ,   x, y*    lim   yn    lim cn  , Có nghĩa   x, y*    n n n (4.8) 50 Trước tiên , ta chứng minh  3 , Thật vậy, từ (4.8) giả thiết (2), yn1  yn n1  T  yn    yn     n 3 M   n1     yn    n 3  Mcn n    Tiếp theo, ta chứng minh   Theo (1.48), ta có   yn1     yn1     yn    y  x, yn  yn1  yn  (4.9)   y  x, yn  T  yn   I    yn  Kết hợp  3 , với giả thiết (1) (3), với số n lớn, với   2 n3  , n1    n1 cn1    yn1    M 22  n3  2 yn1  yn n1 n1  Mcn2  2n3  1    M 22  n3  2 M 2cn2 2 n3     Mcn2  2n3  1    2   43   cn2 4n    M  M   aq ncn2 , a   2   q3  M  M  q  4  Đặt  n  aqncn ; Ta n1  aqn1cn1  a2q2n1cn2  qn2 Chọn k  1,2  ,    0,1 thoả q k 1  ,  n1  q nk , n Do 2   n 2   51  n1  q1 k  k   k n  0k  q n1  k 1  k11   q 0    k n1  Chọn c0    x, y   đủ nhỏ, cho 0  ac0   , qui nạp, ta chứng minh n   n n Thật vậy, giả sử n   n , n Khi n1  q n2  q n2  q nk   n1 , n Do cn1  ncn   ncn Theo ta suy cn1  cn cn1  c0 n Suy   chứng minh Cuối cùng, ta kiểm tra 1 Từ yn1  y0 n n1   y j 1  y j j 0  j 1 j n  a c j q , j 0 ta thấy tồn số M1  , cho yn1  y0  ac0 M1 n1 Nếu c0 đủ nhỏ để yn1  y0 n1 r yy  n, yn  y   yn  y n n r yy Do yn  y Chứng minh xong n  r n 52 Định lí 4.2.2 Giả sử  thuộc kiểu b, v  , b  0, v  Cho   e   Nếu f  z    z  fˆ  z  i hàm giải tích z  , với fˆ  0  fˆ   0  , tồn  , r0   0,1 , hàm giải tích u z  3r0 cho 1    sup fˆ  z    z  r0 f u  u  Chứng minh Ta xét họ không gian Banach: r  , A r   { w  z  | giải tích bị chặn z  r , với w  0  w  0  }, với chuẩn w r  sup w  z  , z r A  r   { w  z   A r  | w  z  bị chặn z  r }, với chuẩn w r  sup w  z  z r Đặt X   A r0  , Y  A  r  Z  A r    (0,1], r    r 1   ,   ,   (0,1]    Đặt 1   fˆ , uˆ  fˆ  z  uˆ  z     uˆ  z   uˆ  z  (4.2) Đặt   53 Cho fˆ A r0    , uˆ A     , ta có    fˆ , uˆ A      uˆ A     1    Nếu r0  nhỏ, ta chọn   nhỏ Khi giả thiết (1)-(3) định lí 4.4.1 thoả 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp tuyến tính hóa phương trình phi tuyến với kĩ thuật khác như: sử dụng định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương toàn cục, phép chiếu Liapunov-Schmidt ứng dụng vào toán điểm phân nhánh, định lí hàm ẩn thang không gian ứng dụng vào toán mẫu số nhỏ Luận văn tài liệu tham khảo cho học viên cao học học chuyên đề giải tích phi tuyến Luận văn chủ yếu xét vấn đề mang tính lí thuyết số ví dụ đơn giản Có nhiều lĩnh vực Toán học áp dụng phương pháp tuyến tính hoá mà hạn chế kiến thức thời gian mà tác giả chưa thể trình bày Tác giả hi vọng nghiên cứu vấn đề tương lai TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Giải Tích Hàm, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 Haim Brezis, Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002 Hoàng Tụy, Lý thuyết hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia K.C.Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2003, 1-62 K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 [...]... ,Y   Tuy nhiên, nếu ta đồng nhất không gian các ánh xạ song tuyến tính bị chặn với L  X , L  X ,Y   , và f   x0  là một ánh xạ song tuyến tính đối xứng, sẽ thấy trong định lí 1.3.1 bên dưới, thì ta có định nghĩa tương đương của đạo hàm cấp hai f   x0  như sau: 15 Cho f : U  Y , x0  U  X , nếu tồn tại một ánh xạ song tuyến tính f   x0 ,  của X  X  Y thoả f  x0  h   f ... chặn từ Ldp  , Khi đó f : u  x  Ldp  , N 2 1 N  vào  Chứng minh Tính bị chặn được suy ra từ bất đẳng thức Minkowski: f u  p2  b trong đó  p là chuẩn trong Ldp  , N  p2 a u p1 p2 p1 , Tiếp theo chứng minh tính liên tục   sao cho f u   f u  p un 1 , u n  u trong L 1 , thì có một dãy con un  ni i trong Lp Thật vậy có thể tìm một dãy con un  của un  hội tụ hầu khắp nơi... compact, xtn có dãy con hội tụ về x*  X Do tính liên tục, ta suy ra F t * , x*    Điều này chứng tỏ t *  S , nghĩa là S đóng (b) Nếu t  S tồn tại duy nhất nghiệm địa phương xt của phương trình F  t ,    , và nếu tồn tại C  0 sao cho xt X C, trong đó xt là đạo hàm của xt , thì S là tập đóng Chứng minh Cho tn 1 là một dãy nằm trong khoảng mở chứa trong S , với tn  t * Khi đó  tn xt ... , trong đó ut là đạo hàm theo t Ta được ut C0  I , X    A ut C0  I , X    B1 y  f  C0  I ,Y  , trong đó B1  0 là hằng số phụ thuộc vào B và x0 , x1 Như phần (1), tồn tại C  0 sao cho ut C0  I , X   C t  S Theo phương pháp liên tục, 1 S Điều này mâu thuẫn Tính đơn ánh của f đã được chứng minh 32 Chƣơng 3 PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT 3.1 Sự phân nhánh Chúng ta thường gặp các phương. .. nghiệm gần điểm phân nhánh? (4) Cấu trúc toàn cục của  S ? (5) Cho F  x,     là phương trình dừng của phương trình vi phân: x  F  x,   , ta nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong S khi  gần 0 Trong phần này chúng ta tập trung thảo luận vấn đề (1) và (2) Ta giả sử U  X là một lân cận mở của gốc  trong không gian Banach X , và F : U    Y là liên tục, và thoả F  ,       Điều... x   f y1  x, u  x   f x  x, u  x  h   h   h , Nghĩa là u  C1 , và u  x    f y1  x, u  x   f x  x, u  x   Hệ quả 2.1.2 Trong định lí 2.1.1, không gian X có thể được giả sử là không gian topo Thật sự, ánh xạ tuyến tính và tính chất của chuẩn không được sử dụng 2.2 Định lí hàm ngƣợc Định lí ánh xạ mở Định lí 2.2.1 (Định lí hàm ngƣợc) Cho V  Y là tập mở, và g  C1 V , X...   , 2  C  1 1 và r 1 2  C  1 (2.6) 25 Bây giờ, x  Br   ta tìm y  B   , thoả g  y   x Đặt 1 R  y   g  y   Ay Điều này tương đương với việc giải phương trình sau: Ay  x  R  y  (2.7) Chúng ta giải phương trình này bằng dãy qui nạp Đầu tiên, ta chọn h0   Giả sử chọn được hn  B   ; từ (2.6), ta có thể tìm hn1 , 1 thoả Ahn1  x  R  hn  , và hn1  hn   C... thiết liên tục của f y trong định lí 1.2.3 là mạnh trong một vài ứng dụng Các điều kiện đã được giảm bớt trong định lí sau Định lí 2.2.3 Cho X , Y , Z là không gian Banach, và cho Br    Y là quả cầu đóng tâm  bán kính r Giả sử T  L Y , Z  có ánh xạ ngược bị chặn, và  : X  Br  Z thoả điều kiện Lipschits:   x, y1    x, y2   K y1  y2 y1 , y2  Br   , x  X trong đó K  T 1 1... tục thì u liên tục 2.3 Phƣơng pháp liên tục Định lí hàm ẩn toàn cục Cho X , Y là không gian Banach, và f : X  Y thuộc C 1 Tìm nghiệm của phương trình: f  x   Cho t  0,1 và ánh xạ F : 0,1  X  Y sao cho F và Fx liên tục, và F 1, x   f  x  Giả sử tồn tại x0  X thoả F  0, x0    ; ta muốn từ nghiệm x0 thoả phương trình F  0, x    đi đến nghiệm của phương trình F 1, x    Đặt... gian Sobolev được sử dụng rất thường xuyên Chúng ta nghiên cứu toán tử phi tuyến tính được định nghĩa trên không gian Sobolev 1.2 Ánh xạ Nemytscki Cho  là một tập mở con của N Định nghĩa 1.2.1 Cho p  1 và số nguyên m , không gian Sobolev bậc m, p được định nghĩa như sau Wm, p    u  Lp   |  u  Lp   |   m , trong đó  u là đạo hàm suy rộng bậc  của u Trên Wm, p   ta định ... x     x, D u  x   n   p1 ánh xạ liên tục bị chặn từ W m, p    vào Lp    Hệ 1.2 .6 Giả sử   n  :     x,   hàm Caratheodory Nếu 2n   x,    b  x   a  , b  Ln2... X Thật y*  Y * , ta xét hàm   s, t   y* , f  x0  t  s  Đạo hàm bậc hai t  s  : 16 2 2   0,0   0,0 ts st Do f   x0  t  s  liên tục t , s nhỏ, ta có    t ,... xạ ngược Chọn 1   0,   r  , thoả g  y   A  y  B   ,  C  1 r 1  C  1 (2 .6) 25 Bây giờ, x  Br   ta tìm y  B   , thoả g  y   x Đặt R  y   g  y   Ay Điều