Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA - ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (chun) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện a b c 1 a b c Chứng minh ba số a, b, c có số b) Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2045 x 18 y 7 z 2020 3 Tính giá trị biếu thức: F x 18 2021 y 7 2021 z 2020 2021 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 35 12 x xy y x x b) Giải hệ phương trình: 2 y 18 x 16 x y Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn xy x 2 x x 1 y b) Chứng minh 2n 10a b với a, b, n số tự nhiên thỏa mãn b 10 n ab chia hết cho Câu (3,0 điểm) 450 Về phía ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABMN ACPQ Cho tam giác ABC nhọn có BAC Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM E, đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP F a) Chứng minh tứ giác EFQN nội tiếp đường tròn b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh I tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ D Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ DNP cắt K với K D Các tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B C cắt J Chứng minh bốn điểm D, A, K , J thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Trên đường tròn người ta lấy 2024 điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xen kẽ Tại điểm ta ghi số thực khác cho quy tắc sau thỏa mãn “số ghi điểm màu xanh tổng hai số ghi màu đỏ kể nó; số ghi màu đỏ tích hai số ghi hai điểm màu xanh kế nó” Tính tổng 2024 số HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA - ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (chun) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu a) Ta có: 1 ab bc ca abc a b c Khi 1 a 1 b1 c 1 a b c ab bc ca abc Suy ra: 1 a 1 b1 c Đẳng thức chứng tỏ ba số a, b, c có số a b c b) Đặt a x 18, b y c z 2020 Khi ta có: 3 a b c Do đó: F a 2021 b 2021 c 2021 Ta có: a b3 c3 3abc a b c a b2 c ab bc ca Suy 3abc a b3 c3 Không tính tổng qt giả sử a Khi ta có: b3 c b c Suy F a 2021 b 2021 c 2021 c 2021 c 2021 Vậy F Câu a) Điều kiện xác định: x Ta có: 35 1 x Do x 12 x x 1 Bình phương hai vế phương trình cho, ta được: 1 1225 x 1 144 x 25 144 x 625 x 625 12 x 1 x4 x2 1225 0 x 1 x 1 144 x2 49 x 25 x 1 12 x 1 12 x2 x 1 x 4 x 54 x 53 53x 5 x x 1 5 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x ; x y 2 x 3 x x 1 b) Hệ cho tương đương với: 2 y x 16 x 14 Lấy 2 1 , ta được: y 2 y 2 x 3 x x y 2 y 2 x 3 x 3 2 y x 3 y x6 y x 5 y x x y 5 Trường hợp 1: y x 6, thay vào 1 , ta được: 3x 12 x 15 x 5 x 11 x 5 13 y 17 13 3 Trường hợp 2: y x 4, thay vào 1 , ta được: 3x 10 x 13 17 13 y y 3 5 13 17 13 13 17 13 , ; ; Vậy S 1; 5 , 5; 11 , 3 3 Câu a) Phương trình cho tương đương: y x 2 x 2 x x 1 x 2 y x x 1 x y x x 1 Với x 2, ta có y nguyên thỏa mãn Với y x x 1, suy x x 1 số phương Ta xét hai trường hợp sau: x x x x x 1 Do x khơng thỏa mãn x 1 x x x x 1 Do x 1 không thỏa mãn 2 Thử trực tiếp: x 0, ta y y 1 x 1, ta y y 2 x 1, ta y Vậy phương trình có có nghiệm x; y 2; a , 0;1 , 0; 1 , 1; 2 , 1; 2 , 1; 0 với a b) Ta có: 2n 10a b suy b chia hết cho mà b 10 nên b 2; 4; 6; 8 Bây đặt n 4k r với k r 0; 1; 2; 3 Ta có: n k r 16k 2r r mod15 Mà 2r 1; 2; 4; 8 2n chia 15 dư 1; 2; 4; Nếu a 3m 1, 10a b 10 3m 1 b 30m b 10 Suy 2n 10a b b 10 mod15 Do b 10 chia 15 dư 1; 2; 4; Mà b 2; 4; 6; 8 nên b Nên ab Nếu a 3m 2, 10a b 10 3m 2 b 30m b 20 Suy 2n 10a b b mod15 Do b chia 15 dư 1; 2; 4; Mà b 2; 4; 6; 8 nên khơng có giá trị b thỏa mãn Hay không tồn a dạng 3m cho 2n 10a b Nếu a 3m ab 3mb mà b chẵn nên ab Vậy trường hợp a, b thỏa mãn 2n 10a b ab chia hết cho Câu CAF (do phụ với BAC ) a) Ta có: ABE ACF 900 BAE Suy ABE ACF AB AN AE AF AC AD Do AEF ANQ AFE NQA Từ tứ giác NQFE nội tiếp b) Bổ đề: Nếu gọi M , N trung điểm BD, AC với ABCD hình thang AB CD MN AB CD Chứng minh: Gọi K trung điểm AD KM AB CD KN DC AB Từ suy K , M , N thẳng hàng hay MN AB CD Trở lại toán gọi S , L trung điểm AC , AB Áp dung bổ đề cho hình thang AFCE với I trung điểm EF , S trung điểm AC ta có IS CF Mà CF AC nên IS AC trung điểm S AC hay IS trung trực AC 1 Chứng minh tương tự ta có IL trung trực AB 2 Từ 1 2 suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Gọi K1 , K giao điểm DA với đường tròn ngoại tiếp DMQ DNP DQE 900 nên DE đường kính đường tròn ngoại tiếp DMQ Do DME Suy DK E 90 Chứng minh tương tự ta có DK F 90 Do tứ giác DQK1 E nội tiếp DA K1 A EA QA Tứ giác DNK F nội tiếp DA K A FA NA Theo câu a) tứ giác NQFE nội tiếp nên EA QA FA NA Từ suy DA K1 A DA K A hay K1 K DMQ DNP K Do D, A, K thẳng hàng 1800 BKE 900 EAB BAC BIC EAB CAF CKF Suy BKC Ta có: BKE CKJ Do tứ giác BKIC nội tiếp, mà IBJC nội tiếp JB JC nên BKJ Hay KJ phân giác BKC 1800 Mặt khác BKA AEB 1800 AFC Suy tia đối tia KA phân giác BKC Do A, K , J thẳng hàng Hay bốn điểm D, A, K , J thẳng hàng Câu Gọi điểm đánh số A1 , A2 , A3 , , A2024 Trong Ak với k lẽ tơ màu xanh, k chẵn tô màu đỏ với k 1, 2, , 2014 Giả sử A1 x A2 y với x, y khác Khi A3 A1 A2 A3 Do A2 A4 A3 A4 A3 A2 A2 y A1 x y y x y y Tương tự ta tính A5 1 x, A6 1 x y, A7 1 , A8 x y x x y y y y Suy ra: A1 A2 A8 x y y 1 x 1 x y 1 x y x x x x Ta tính A9 A8 x A10 y A7 Do A1 A9 , A2 A10 nên trình tiếp tục thấy sau điểm liên tiếp số lặp lại theo thứ thứ tự điểm ban đầu 2024 Do A i i 1 2024 2024 A8 759 i1 Vậy tổng số cần tìm 759 - HẾT - ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA - ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (chun) Ngày thi: 17/07 /2020 Thời gian làm bài:150... 3 Ta có: n k r 16k 2r r mod15 Mà 2r 1; 2; 4; 8 2n chia 15 dư 1; 2; 4; Nếu a 3m 1, 10a b 10 3m 1 b 30m b 10 Suy 2n 10a b b 10 mod15 Do b 10 chia... ta y Vậy phương trình có có nghiệm x; y 2; a , 0;1 , 0; 1 , 1; 2 , 1; 2 , 1; 0 với a b) Ta có: 2n 10a b suy b chia hết cho mà b 10 nên b 2; 4; 6; 8 Bây
Ngày đăng: 19/06/2021, 14:08
Xem thêm:
