Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có [r]
(1)ĐỀ SỐ ; Bài : Chứng minh , với m > n > , ta có : m3 m n3 m n mn m n n 1 Bài Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d và parabol( P ) có phương trình (d) : y = ax + b , ( P ) : y = x2 a) Xác định a và b biết đường thẳng d cắt parabol hai điểm A và B có hoành độ là x A 1; xB 2 b) Vẽ trên cùng trên cùng mặt phẳng tọa độ đường thẳng d và ( P ) với các giá trị a và b vừa tìm trên Bài : Cho phương trình : x 2(m 1) x 2m 0 , m là tham số ( 1) a) Chứng minh phương trình ( ) luôn có hai nghiệm với giá trị m b) Định m để phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt dương Bài :Cho tam giác ABC đó B C 90 , ( S ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác này a) Đường vuông góc với BC vẽ từ B cắt đường tròn ( S ) D , Chứng minh CD là đường kính đường ( S ) b) Chứng minh tiếp tuyến At A với đường tròn ( S ) vuông góc với BC c) Tính AB2 + AC2 theo bán kính đường tròn ( S ) Bài : Giải các phương trình sau : a) x x x b) x x x (2) ĐỀ SỐ ; A a b a b a b a b ab Bài : Cho biểu thức ; với a 0; b 0 và a b a) Rút gọn biểu thức A b) Với điều kiện nào a và b thì A = Bài Trong mặt phửng Oxy cho đường thawengr d : y = ax + b cắt trục tung a có tung độ y A 2 và tạo với trục Ox góc 600 Hãy xác định a và b vẽ đường thẳng d với các giá trị a và b vừa tìm mx m x m 0 Bài : Cho phương trình bậc hai tham số m : a) Định m để phương trình có nghiệm số kép Tính nghiệm số kép đó b) Định m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này hai lần nghiệm Bài Cho đường tròn tâm O bán kính R và I là trung điểm dây AB Hai dây CD và EF qua I với EF > CD ; CF và ED cắt AB M và N Vẽ dây FG // AB a) Chứng minh tam giác IFG cân b) Chứng minh tứ giác INDG nội tiếp đường tròn c) Chứng minh IM = IN d) Tìm tập hợp điêm I dây AB di động cho độ dài AB = l không đổi Bài : Giải phương trình : x x 0 (3) ĐỀ SỐ ; Bài : Giải các phương trình sau : a) ( 7) x 3x (4 7) 0 b) x x 0 Bài 2- ) Cho hàm số y = ax + b Tìm a và b biết đồ thị hàm số qua điểm A ( -2 ; ) và B ( 1;-4) 2-2 ) Cho hàm số : y = ( 2m – 1)x + m + a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến b) Tìm giá trị m để hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Bài : Một người xe máy từ A đến B Sau đó 75 phút , ô tô khởi hành từ B A với vận tốc lớn vận tốc xe máy là 20km/h Hai xe gặp C Tính vận tốc xe biết B cách A là 100km và cách C là 30km Bài : Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Kéo dài AC (về phía C ) đoạn CD cho CD = AC a) Chứng minh tam giác ABD cân b) Đường thẳng vuông góc với AC A cắt đường tròn ( O ) E Kéo dài AE ( phía E) đoạn EF cho EF = AE Chứng minh ba điểm D,B,F cung nắm trên đường thẳng c) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A , D , F tiếp xúc với đường tròn( O ) Bài : (4) ĐỀ SỐ ; Bài : a) Rút gọn biểu thức : x 2 b) Tìm x biết : A 5 40 3 Bài 3x y 4 a) Giải hệ phương trình : 2 x y 5 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đồ thị (d) hàm số y = -x + Tìm tọa độ điểm nằm trên đường thẳng ( d) cho khoảng cách từ điểm đó đến trục Ox hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục Oy x x m 0 , m là tham số Bài : Cho phương trình bậc hai : a) Giải phương trình (1) m = -3 b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (1) coa hai nghiêm x1; x2 thỏa điều kiện : 1 x1 x2 30 Bài :Cho đường tròn(O) đường kính AB Trên đường tròn đó lấy điểm G tùy ý ( G khác A và B ) Vẽ GH vuông góc với AH ( H thuộc AB ) , E là điểm tùy ý trên GH( E khác G và H ) , AE và BE cắt đường tròn (O) C và D; AD và BC cắt F a) Chứng minh tứ giác CEDF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh bốn điểm E , H, G, F thẳng hàng (5) Đề số x x 3 x Bài 1: (2đ)Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P x 1 x x 1 : 1 x x b) Tìm giá trị nhỏ P Bài 2: (2đ) Một người đự định xe đạp từ A đến B cách 20 km thời gian đã định Sau với vận tốc dự định, đường khó nên người đó giảm vận tốc 2km/h trên quãng đường còn lại, vì người đó đến B chậm dự định 15 phút Tính vận tốc dự định người xe đạp mx y 3 Bài 3: (1,5đ) Cho hệ phương trình: x my 1 m a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y = Bài 4: (3đ) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm M tuỳ ý trên nửa đường tròn Gọi N và P là điểm chính cung AM và cung MB AP cắt BN I a) Tính số đo góc NIP b) Gọi giao điểm tia AN và tia BP là C; tia CI và AB là D Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp c) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn OC M di động trên nửa tròn tròn tâm O Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x2 (P) và đường thẳng y = 3x + 2m – (d) a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A và B Tìm toạ độ hai điểm đó b) Tìm quỹ tích trung điểm I AB m thay đổi (6) ĐỀ SỐ ; Bài : Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức : A = 2 2 ; B = 13 10 13 10 b) Giải phương trình : x x x 8 Bài 2: Cho Pa bol y = x2 có đồ thị là (P) a) Vẽ (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoàng độ lần lược là -1và b) Tìm trên cung AB (P) điểm M cho diện tích tam giác AMB lớn , tính diện tích lớn đó Bài 3: Cho phương trình bậc hai x2 + mx +n - = a) Cho n = Chứng tỏ P/T luôn có nghiệm với giá trị m b) Với điều kiện câu a tìm m đê phương trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại x1 x 1 2 c) Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x 7 Bài 4:Cho đường tròn (0;R) đường kính AB Gọi C là điểm bất kì thuộc đường tròn đó ( C khác A và B ) , M và N lần lược là các điểm chính các cung nhỏ AC và BC ,các đường thẳng BN , AC cắt I , các dây cung AN và BC cắt P a) chứng minh ICPN nội tiếp , xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp đó b) chứng minh KN là tiếp tuyến ( 0;R) c) Chứng minh C di động trên đường tròn (0;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (7) ĐỀ SỐ ; x y xy x yy x x y xy Bài 1: Cho hai biểu thức : A = B= a) Tìm điều kiện có nghĩa biểu thức b) Rút gọn A và B c) Tính tích A.B với x = và y = Bài 2: Cho phương trình : x2 - m x + m - = a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x1 ; x2 với m , tính nghiệm kép phương trình và giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1.x2 Tìm m cho A = , tìm giá trị nhỏ A và giá trị m tươngứng Bài 3:Một xe tải và xe cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe tải với vận tốc 40km/h ,xe với vận tốc 60km/h Sau xe đoạn đường thì xe nghỉ 40phút chạy tiếp đến B ; xe tải trên quảng đường còn lại đã tăng vận tốc thêm 10km /h Nhưng đến B chậm xe Hãy tính quảng đường AB Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A ,đường cao AH Đường tròn tâm đường kính AH cắt AB và AC lần lược E và F ( E A, F A) Gọi M,N,P lần lược là trung điểm các đoạn thẳng OH ,BH và CH Chứng minh: a) AHF = ACB b) Tứ giác BE FC nội tiếp c) Điểm M là trực tâm tam giác ANP d) Chứng minh S ABC = S AEHF thì tam giác ABC vuông cân ( Hướng dẫn :gọi I là trung điểm BC ) (8) ĐỀ SỐ ; Bài 1: Cho biểu thức A = x + - x x a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A với x = -1 c) Tìm các giá trị cua x để biểu thức A = 1 x Bài 2: a) Trên hệ trục tọa độ 0xy ,vẽ đồ thị (P) hàm số y = b) Xác định hàm số y = a.x + b Biết đồ thị nó qua điểm M( 2; 1) và tiếp xúc với (P) Bài 3: Giải các phương trình sau : 1 a) x x 2 1 x 0 x c) x2 + x - b) x x x 0 Bài 4: Cho đường tròn (0) và điểm P ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến PA,PB ( A ,B là tiếp điểm ) từ A vẽ tia song song với PB cắt (0) C ( C A) Đoạn PC cắt (0) điểm thứ hai là D , tia AD cắt PB M Chứng minh : a) tam giác MAB đồng dạng tam giác MBD b) AM là trung tuyến tam giác PAB Bài 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD ( đáy ABCD là hình vuông ,có đường cao SO vuông góc với mặt phẳng đáy giao điểm hai đường chéo hình vuông ) Tính diện tích xung quang và thể tích hình chóp biết SA = AB = a (9) Đề số Bài (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + n = (1) với n là tham số 1.Giải phương trình (1) n = Tìm n để phương trình (1) có nghiệm Bài (1,5 điểm) x y 5 Giải hệ phương trình: 2 x y 7 Bài (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm B(0;1) và có hệ số góc là k Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E và F với k Gọi hoành độ E và F là x1 và x2 Chứng minh x1 x2 = - 1, từ đó suy tam giác EOF là tam giác vuông Bài (3,5 điểm) Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B C và D Gọi N là tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp CN DN Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy CG DG Đặt BOD Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc R, không phụ thuộc Bài (1,0 điểm) n np p 1 3m 2 Cho số thực m, n, p thỏa mãn : Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : B = m + n + p (10) Đề 10 Câu : ( 2.0 điểm) 2 x y a) Giải hệ phương trình : 3x y 14 A b) Trục mẫu : 25 72 ; B= 4+2 Câu : ( 2.0 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình hệ phương trình Một đội xe cần phải chuyên chở 150 hàng Hôm làm việc có xe điều làm nhiệm vụ khác nên xe còn lại phải chở thêm Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu ? ( biết xe chở số hàng ) Câu : ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – = với m là tham số a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm 3 c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé biểu thức P x1 x2 Câu : ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp b) Chứng minh : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn và tính diện tích trường hợp này Câu : ( 1.0 điểm ) Cho D là điểm trên cạnh BC tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O1 , O2 tiếp xúc AB , AC B , C và qua D Gọi E là giao điểm thứ hai hai đường tròn này Chứng minh điểm E nằm trên đường tròn (O) (11) Đề 11 Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức A = √ x −27+ √ x −3 − √ x −12 với x > a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x cho A có giá trị Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành điểm có hoành độ Bài (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: P = ( 1 − : √ a− √ a )( √ a+1 − √ a+2 √ a − √ a −1 ) với a > 0, a , a≠ Bài (2 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2 Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 60 0, các góc B, C nhọn vẽ các đường cao BD và CE tam giác ABC Gọi H là giao điểm BD và CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB DE c/ Tính tỉ số BC d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vuông góc với DE (12) Đề 12 Câu (2,0 điểm) Rút gọn (không dùng máy tính cầm tay) các biểu thức: a) √ 12− √27+ √ b) 1− √ 5+ √( 2− √5 ) 2 Giải phương trình (không dùng máy tính cầm tay): x2 - 5x + = Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = -2x + có đồ thị là đường thẳng (d) a) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với hai trục toạ độ b) Tìm trên (d) điểm có hoành độ tung độ Câu (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – = (1) a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Câu (1,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2, tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi Tính kích thước (chiều dài và chiều rộng) mảnh vườn Câu (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng (d) không qua tâm O, cắt đường tròn (O) B và C ( B nằm A và C) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) B và C cắt D Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I là giao điểm DO và BC Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp Chứng minh OH.OA = OI.OD Chứng minh AM là tiếp tuyến đường tròn (O) Cho OA = 2R Tính theo R diện tích phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O) (13) Đề 13 Câu 1(2.0 điểm): x x 1 1 1) Giải phương trình: x 2y x y 5 2) Giải hệ phương trình: Câu 2:(2.0 điểm) 2( x 2) x x với x và x 4 a) Rút gọn biểu thức: A = x b) Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng cm và diện tích nó là 15 cm Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đó Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2- 2x + (m – 3) = (ẩn x) a) Giải phương trình với m = a) Tính giá trị m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 và thỏa mãn điều kiện: x12 – 2x2 + x1x2 = - 12 b) Câu 4:(3 điểm) Cho tam giác MNP cân M có cậnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R) Tiếp tuyến N và P đường tròn cắt tia MP và tia MN E và D a) Chứng minh: NE2 = EP.EM a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp b) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) K ( K không trùng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2 Câu 5:(1,0 điểm) 4x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = x (14) Đề 14 Câu 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A 2 27 128 300 a/ b/Giải phương trình: 7x2+8x+1=0 Câu2: (2đ) Cho biểu thức P a2 a 2a a 1 a a 1 a (với a>0) a/Rút gọn P b/Tìm giá trị nhỏ P Câu 3: (2đ) Hai người xe đạp cùng xuất phát lúc từ A đến B với vận tốc kém 3km/h Nên đến B sớm ,muộn kém 30 phút Tính vận tốc người Biết quàng đường AB dài 30 km Câu 4: (3đ) Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm nằm O và A Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) P,Q.Tiếp tuyến D trên cung nhỏ BP, cắt PQ E; AD cắt PQ F Chứng minh: a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp b/ED=EF c/ED2=EP.EQ 1 Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: b c Câu 5: (1đ) Chứng minh ít hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) (15) Đề 15 Bài 1: (2,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 1/ 5x 6x 0 5x 2y 9 2/ 2x 3y 15 Bài 2: (2,0 điểm) 2 1/ Rút gọn biểu thức A ( 2) ( 2) x 2 B x1 2/ Cho biểu thức x 1 x3 x1 : 1 ( x 1)( x 3) x 1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên Bài 3: (1,5 điểm) Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông kém 8m Nếu tăng cạnh góc vuông tam giác lên lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống lần thì tam giác vuông có diện tích là 51m2 Tính độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông ban đầu Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác vuông cân ADB ( DA = DB) nội tiếp đường tròn tâm O Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm AC với đường tròn (O) Chứng minh rằng: 1/ HBCD là tứ giác nội tiếp 2/ DOK 2.BDH 3/ CK CA 2.BD Bài 5: (1,0 điểm) 2 Gọi x1 , x là hai nghiệm phương trình: x 2(m 1)x 2m 9m 0 (m là tham số) Chứng minh : 7(x1 x ) x1 x 18 (16) Đề 16 Bài 1: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình và phương trình sau: 3x 2y 1 1/ 5x 3y 4 2/ 10x 9x 0 Bài 2: (3,0 điểm) Cho hàm số : y x có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) 1/ Khi m = Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ 2/ Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) toạ độ và phép toán m = 3/ Tìm các giá trị m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và 1 6 B(x B ; yB ) cho x A x B P Bài 3: (1,0 diể m) Rút gọn biểu thức : y x x x y y xy (x 0; y 0) Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự E và D 1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB 2/ Gọi H là giao điểm DB và CE Gọi K là giao điểm AH và BC Chứng minh AH BC 3/ Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm).Chứng minh ANM AKN 4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y >0 và x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1 x y xy Bài 73: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (E A) Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự C và D a Gọi M là tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn DM CM b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ đó suy DE CE c Gọi N là giao điểm AD và BC Chứng minh MN // BD d Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO e Đặt AOC = α Tính theo R và α các đoạn AC và BD Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc giá trị R, D M C N (17) không phụ thuộc vào α HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 900) E b) AC // BD (cùng EB) ∆EAC ~ ∆EBD A O B CE AC CE CM DM CM DE BD (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) DE DM (2) DE CE NC AC NC CM c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD NB BD (3) Từ 1; 2; NB DM MN // BD EC AE OE EM AE.EO EC.EM AE ( AE AO ) EC EM ACE MOE ( g g ) 2 d) EA EA AO EC.EM EA EC.EM EA AO e) O1 = O ; O3 = O mà O1 + O + O3 + O = 1800 O + O3 = 900 ; O + D1 = 900 (…) OB R D O O 1= = = α Vậy: DB = tg = tg ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα AC.DB = R.tgα R tg AC.DB = R2 (Đpcm) ĐÁP ÁN đề Bài (1,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + n = (1) với n là tham số 1.Giải phương trình (1) n = x2 – 4x + = Pt có nghiệm x1 = 1; x2 = Tìm n để phương trình (1) có nghiệm ’ = – n n Bài (1,5 điểm) x y 5 Giải hệ phương trình: 2 x y 7 x 3 HPT có nghiệm: y 1 Bài (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm B(0;1) và có hệ số k y = kx + Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E và F với k Phương trình hoành độ: x2 – kx – = = k2 + > với k PT có hai nghiệm phân biệt đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E và F với k Gọi hoành độ E và F là x1 và x2 Chứng minh x1 x2 = -1, từ đó suy tam giác EOF là tam giác vuông (18) Tọa độ điểm E(x1; x12); F((x2; x22) PT đường thẳng OE : y = x1 x và PT đường thẳng OF : y = x2 x Theo hệ thức Vi ét : x1 x2 = - đường thẳng OE vuông góc với đường thẳng OF EOF là vuông Bài (3,5 điểm) 1, Tứ giác BDNO nội tiếp 2, BD AG; AC AG BD // AC (ĐL) GBD đồng dạng GAC (g.g) CN BD DN CG AC DG 3, BOD = BD = R.tg ; AC = R.tg(90o – ) = R cotg BD AC = R2 3m n np p 1 (1) Bài (1,0 điểm) … ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (n – p)2 = (m – p)2 + (n – p)2 = - ( m + n + p )2 (m – p)2 + (n – p)2 = – B2 vế trái không âm – B2 B2 B 2 dấu m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p = Min B = m = n = p = C N M A H Max B = m = n = p = D O B Gợi ý đáp án câu khó: đề 10 Câu 3: b Ta có ac = -m2+6m-5 = -((m-3)2+4)<0 với m => phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 x2 4 c Theo Viét x1 x2 m 6m 3 2 => P = x1 +x2 = (x1 + x2)(x + x – x1.x2) = x1 x2 x1 x2 3x1 x2 (19) 4 42 m 6m 4 16 3m 18m 15 4 3m2 18m 31 4 3.m 3.m.3 27 2 4 3.m 3 4 3.m 3 16 16 => PMin= 16 m=3 Câu 4: a Góc ADB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) mà AD//BC (gt) => DBBC Xét tứ giác DMBC có góc DMC = góc DBC = 90 => Tứ giác nội b Ta có DBN đồng dạng với CAD ( DAC DBN , BDN BAN DCA ) DN DB => DC AC => DB.DC = DN.AC A tiếp O D c SABCD = DH.AB B C Do AB không đổi = 2R O1 => SABCD max DH max D nằm chính cung AB O2 E Câu 5: Ta có DEC BCA ( Góc nội tiếp và góc tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung) Tương tự: DEB ABC Mà DEB DEC CBE BCE 180 (tổng góc BEC) => ABC BCA CBE BCE 180 => ABE ACE 180 => Tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn tâm O => E (O) Gợi ý đáp án: ( Một số câu) đề11 Bài 2: Vì ABO vuông cân O nên nhận tia phân giác góc xOy là đờng cao =>(y = mx + 2) (y = ± x) => m = 1 Bài 3: Gọi x, y lần lợt là số xe và số hàng chở đợc xe lúc đầu (x N *, y>8) xy 480 Theo bµi ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ( x 3)( y 8) 480 Giải hệ phơng trình trên ta đợc x = 12, y = 40 (thoả mãn) b2 Bµi 5: Tõ 2a2 + + a = (ab)2 = - 8a4 + 16a2 – = – 8(a4 – 2a2 +1) ≤ -2 ≤ ab ≤ 2007 ≤ S ≤ 2011 MinS = 2007 ab = -2 vµ a2 = a = ± , b = 2 Bài 4: (20) a Ta cã BHE BME 90 => BHME lµ tø gi¸c néi tiÕp đờng tròn đờng kính BE => B, H, M, E cùng thuộc đờng tròn b Sử dụng hệ thức lợng tam giác vuông ODE với đờng cao ta đợc OM.OE = OD2 =R2 B A c Gäi HE c¾t (O) t¹i N Ta cã BOM ®.d¹ng víi EOH => OH.OB = OM.OE = R2 C => OH.OB = ON2 ( v× ON=R) => OHN đồng dạng với ONB DM H M Mµ gãc OHN = 900 => BNO 90 O N D XÐt OBN cã BNO 90 vµ A lµ trung ®iÓm cña OB => ON = NA E => ANO c©n t¹i N Mà NH là đờng cao => NH là đờng trung tuyến => H là trung điểm OA Đề 12 Bài a ) BEC BDC =900 => EBC ADE ( Cïng bï víi EDC ) => ADE đồng dạng với ABC (Chung gãc A vµ EBC ADE ) a XÐt tø gi¸c ADHE AEH ADH = 900 => Tø gi¸c ADHE néi tiÕp b Ta cã tø gi¸c BEDC néi tiÕp v× cã A d 0 c XÐt AEC cã AEC 90 vµ A 60 => ACE 300 E => AE = AC:2 (tÝnh chÊt) Mà ADE đồng dạng với ABC D H O ED AE => BC AC C B d Kẻ đờng thẳng d OA A => ABC CAd (Gãc néi tiÕp vµ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cïng ch¾n mét cung) Mµ EBC ADE => EDA CAd => d//ED Ta l¹i cã d OA (theo trªn) => EDOA Đề 13 Câu (3,5 điểm) Giải D M a) Ta có: DH AO (gt) OHD = 90 CD OC (gt) DOC = 900 Xét Tứ giác OHDC có OHD + DOC = 1800 Suy : OHDC nội tiếp tròn b) Ta có: OB = OC (=R) O mằn trên trung trực BC; DB = DC (T/C hai tiếp cắt nhau) D mằn trên đường trung trực BC C I B A O H E đường đường tuyến (21) Suy OD là đường trung trực BC => OD vuông góc với BC Xét hai tam giác vuông ∆OHD và ∆OIA có DOA chung ∆OHD đồng dạng với ∆OIA (g-g) OH OD OI =OA ⇒OH OA=OI OD (1) c) Xét ∆OCD vuông C có CI là đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: OC2 = OI.OD mà OC = OM (=R) OM2 = OC2 = OI.OD (2) OM OH Từ (1) và (2) : OM2 = OH.OA ⇒ OA =OM OM OH Xét tam giác : ∆OHM và ∆OMA có : AOM chung và OA = OM Do đó : ∆OHMS ∆OMA (c-g-c) OMA = OHM= 900 AM vuông góc với OM M AM là tiếp tuyến (O) d) Gọi E là giao điểm OA với (O); Gọi diện tích cần tìm là S S = S∆AOM - SqOEBM Xét Δ OAM vuông M có OM = R ; OA = 2R Áp dụng định lí Pytago ta có AM2 = OA2 – OM2 = (2R)2 – R2 = 3R2 AM = R √ S∆AOM = OM.AM = R2 √ (đvdt) AM √3 = MOA = 600 OA Π R 60 Π R2 = SqOEBM = (đvdt) 360 √3 Π R2 =R2 √3 − Π => S = S∆AOM - SqOEBM = R2 − 6 Ta có SinMOA = (đvdt) Dề14 Giải C©u III: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn hai sè vµ lµ nghiÖm? Gi¶ sö cã hai sè thùc: x1 = 3; x2 = XÐt S = x1 + x2 = + = 7; P = x1 x2 = 3.4 = 12 =>S2 - 4P = 72 - 4.12 = > VËy x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - 7x +12 = C©u IV §æi 36 phót = h 10 Gäi vËn tèc cña « t« kh¸ch lµ x ( x >10; km/h) VËn tèc cña «t« t¶i lµ x - 10 (km/h) Thời gian xe khách hết quãng đờng AB là: 180 (h) x 180 Thời gian xe tải hết quãng đờng AB là: (h) x −10 Vì ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT: 180 180 − = x −10 10 x ⇔ 180 10 x −6 x ( x − 10)=180 10(x −10) ⇔ x2 −10 x − 3000=0 Δ ' =52+ 3000=3025 √ Δ' =√3025=55 (22) x1 = +55 = 60 ( TM§K) x2 = - 55 = - 50 ( kh«ng TM§K) VËy vËn tèc cña xe kh¸ch lµ 60km/h, vËn tèc xe t¶i lµ 60 - 10 = 50km/h C©u V 1/ a) Δ AHI vu«ng t¹i H (v× CA HB) Δ AHI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI Δ AKI vu«ng t¹i H (v× CK AB) A K Δ AKI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI B Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đờng tròn đờng kính AI I b) H Ta cã CA HB( Gt) O M CA DC( góc ACD chắn nửa đờng tròn) => BH//CD hay BI//CD (1) D Ta cã AB CK( Gt) AB DB( góc ABD chắn nửa đờng tròn) C => CK//BD hay CI//BD (2) Từ (1) và (2) ta có Tứ giác BDCI là hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song) Mµ DI c¾t CB t¹i M nªn ta cã MB = MC => OM BC( đờng kính qua trung điểm dây thì vuông góc với dây đó) 2/ B V× BD lµ tia ph©n gi¸c gãc B cña tam gi¸c ABC; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: AD AB AB = ⇔ = ⇒ BC=2 AB DC BC BC V× Δ ABC vu«ng t¹i A mµ BC = 2AB nªn E H ACB = 300; ABC = 600 C A V× B1 = B2(BD lµ ph©n gi¸c) nªn ABD = 30 D V× Δ ABD vu«ng t¹i A mµ ABD = 300 nªn BD = 2AD = = 4cm => AB 2=BD − AD2=16 − 4=12 V× Δ ABC vu«ng t¹i A => BC=√ AC2 + AB2=√ 36+12=4 √ Vì CH là tia phân giác góc C tam giác CBD; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: DC DH DH = ⇔ = ⇒ BH=√ DH BC HB √ HB ¿ BH+ HD=4 BH=√ HD ⇔ Ta cã: ¿ √ BH+ √ HD=4 √ BH=√ HD ⇒BH (1+ √ 3)=4 √ ¿{ ¿ √ 3( √ −1) √3 BH= = =2 √ 3( √ −1) VËy (1+ √ 3) Đề 15 BH=2 √ (√ 3− 1)cm (23) M E H A O B K N VI / Hình vẽ đúng Chú ý: Kể trờng hợp đặc biệt MN qua O Tõ gi¶ thiÕt: AKM 90 , AHM 90 Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc đờng tròn NAH NMK = s® KH (2) NAH NMB = s® NB Tõ (1) vµ (2) NMK NMB MN lµ ph©n gi¸c cña gãc KMB 1 MAB MNB MAB MKH s® MB s® MH ; K,M,E,N cùng thuộc đờng tròn MNB MKH MEN MKN 1800 ME NB 1 S MAN MK.AN; S MNB ME.NB; S AMBN MN.AB 2 MK.AN ME.BN MN.AB MK.NA ME.NB lín nhÊt MN.AB lín nhÊt MN lín nhÊt (V× AB= const ) M lµ chÝnh gi÷a AB x x3 y y3 4) §K: x,y x y VT VP 3 x y x>y x < y VF VT x y tháa m·n B x 2x 10 (x 1)2 9 x MinB = Khi x = y = -1 x x3 y y3 §K: x,y x2 ( x y )( x xy y ) ( x xy y ) x y ( x y )( 1) 0 y y x3 x2 y 2 x2 y2 (24) ( x xy y ) 1 2 ( x y ) 0 (v× x y >0) x = y B x 2x 10 (x 1) 9 x MinB = Khi x = y = -1 Đề 16 Câu III ' b, Để PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì m m (*) Theo Vi-et : x1 x2 2 x1 x2 m M (1) (2) O Theo bài: x21 -2x2 + x1x2 = - 12 => x1(x1 + x2 ) -2x2 =-12 2x1 - 2x2 = -12 ) ( Theo (1) ) hay x1 - x2 = -6 Kết hợp (1) x1 = -2 ; x2 = Thay vào (2) : m - = -8 m = -5 ( TM (*) ) K H F N P I D Câu IV NE ME NE ME.PE EP NE a, NEM đồng dạng PEN ( g-g) b, MNP MPN ( tam giác MNP cân M ) PNE NPD (cùng NMP ) => DNE DPE Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE góc nên tứ giác DNPE nội tiếp MP MI MP MF MI (1) MF MP c, MPF đồng dạng MIP ( g - g ) NI IF NI MI IF(2) MI NI MNI đồng dạng NIF ( g-g ) Từ (1) và (2) : MP2 + NI2 = MI.( MF + IF ) = MI2 = 4R2 ( 3) NMI KPN ( cùng phụ HNP ) => KPN NPI => NK = NI ( ) Do tam giác MNP cân M => MN = MP ( 5) Từ (3) (4) (5) suy đpcm Câu V k 8x kx x k 0 (1) x 1 +) k=0 Phương trình (1) có dạng 8x-6=0 x= ' +) k 0 thì (1) phải có nghiệm = 16 - k (k - 6) E (25) k 8 1 Max k = x = Min k = -2 x = Đề 17 b/Tìm giá trị nhỏ P 1 a a2 a 4 1 ( a ) ( ) P a2 1 Vậy P có giá trị nhỏ là a 1 0 < => a a 2 Câu 4: (3đ) a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửađường tròn (o)) FHB 900 ( gt ) 0 => ADB FHB 90 90 180 Vậy Tứ giác BCFD nội tiếp b/ED=EF Xét tam giác EDF có ) EFD sd ( AQ PD (góc có đỉnh nằm đường tròn (O)) ) EDF sd ( AP PD (góc tạo tiếp tuyến và dây cung) Do PQ AB => H là trung điểm PQ( định lý đường kính dây cung)=> A là trung điểm PA AQ PQ EDF => EFD tam giác EDF cân E => ED=EF E P D F B A O H Q c/ED2=EP.EQ; Xét hai tam giác: EDQ;EDP có => EDQ Câu 5: (1đ) ED EQ ED EP.EQ EPD=> EP ED E chung Q1 D1 (cùng chắn PD ) (26) 1 b c => 2(b+c)=bc(1) x2+bx+c=0 (1) Có 1=b2-4c; x2+cx+b=0 (2) ;Có 2=c2-4b Cộng 1+ 2= b2-4c+ c2-4b = b2+ c2-4(b+c)= b2+ c2-2.2(b+c)= b2+ c2-2bc=(b-c) (thay2(b+c)=bc ) Vậy 1; 2có biểu thức dương hay ít hai phương trình x 2+bx+c=0 (1) x2+cx+b=0 (2) phải có nghiệm: Đê 18 Híng dÉn chÊm m«n to¸n (Thi tuyÓn sinh vµo THPT n¨m häc 2009 -2010) ©u ý a/ b/ c/ Néi dung 2x x 11x 2x(x 3) (x 1)(x 3) 11x A x 3 x x2 x 9 x2 x 9 2 2x 6x x 4x 11x 3x 9x 3x(x 3) 3x (x 3)(x 3) x x2 x 9 3x 3x 2 20 x x 3x 2x x 6 0 0 6x 3 x x A2 3x 3x 9 3 Z Z x x x x x 1; 3; 9 x 1 x 4 (t/m) x x 2 (t/m) x 3 x 6 (t/m) x x 0 (t/m) x 9 x 12 (t/m) x x (t/m) VËy víi x = - 6, 0, 2, 4, 6, 12 th× A nguyªn Gäi sè s¸ch ë gi¸ thø nhÊt lóc ®Çu lµ x (x nguyªn d¬ng, x > 50) Th× sè s¸ch ë gi¸ thø hai lóc ®Çu lµ 450 – x (cuèn) Khi chuyÓn 50 cuèn s¸ch tõ gi¸ thø nhÊt sang gi¸ thø hai th× sè s¸ch ë gi¸ thø nhÊt lµ x – 50 vµ ë gi¸ thø hai lµ 500 – x Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: A x 50 2500 5x 4x 200 9x 2700 x 300 500 x VËy sè s¸ch lóc ®Çu ë gi¸ thø nhÊt lµ 300 cuèn, sè s¸ch ë gi¸ thø hai lµ 450 – 300 = 150 cuèn b/ m 0 §Ó PT cã nghiÖm ph©n biÖt th× ' m 2m (m 1)(m 2) ; (27) m 0 m m (*) 2 ' m 2m 1 m m m m 2(m 1) m x1 x ; x1x m 1 m 1 Mµ theo §L Viet ta cã: 1 x1 x x x x x 2 Tõ ta cã: 2(m 1) m 2(m 1) m : m 1 m 1 m 1 m 2 2(m 1) m 2 4m 3m m tho¶ m·n (*) VËy m ph¶i t×m lµ -2 a/ + Vẽ hình đúng cho 0,25 điểm + Ta cã MA=MC(t/c tiÕp tuyÕn) OA=OC (b¸n kÝnh) MO lµ trung trùc cña AC MO AC AQ MB (Góc AQB là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Suy Q, I cïng nh×n AM díi gãc vu«ng Tứ giác AIQM nội tiếp đờng tròn đờng kính AM M Q C N I A b/ c/ H O B AMI AQI + Ta cã (= s® cungAI) Vµ AMI IAO (cïng phô víi gãc AMO) Mµ IAO ACO ( AOC c©n) Suy AQI ACO + Tø gi¸c AIQM néi tiÕp MAI IQN (Cïng bï víi gãc MQI) Mµ MAI ICN (so le trong) Suy IQN ICN tø gi¸c QINC néi tiÕp QCI QNI (cïng b»ng 1/2 s® cung QI) MÆt kh¸c QCI QBA (=1/2 s® cung QA) QBA QNI IN // AB Mµ I lµ trung ®iÓm cña CA nªn N lµ trung ®iÓm cña CH NC=NH (®pcm) Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB, O lµ giao ®iÓm cña AC vµ B BD, trung trùc cña AB c¾t AC vµ BD lÇn lît t¹i I vµ J Ta có I, J lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp M ABD, ABC vµ R = IA, r = JB I O A C J D AMI AOB Cã R IA IA AM AB AO AB.AM a AC BD 2 AO AC R a T¬ng tù: r a (28) Suy ra: 1 AC BD 4AB2 R r2 a4 a a Đề 19 C©u IV Cho PT: x2 + 2x - m = (1) Khi m = ta cã: x2 + 2x - = Ta cã: a + b + c = + - = PT cã hai nghiÖm: x1 = 1; x2 = -3 VËy PT(1) cã hai nghiÖm: x1 = 1; x2 = -3 m = TÝnh: Δ ' =1+m §Ó PT(1) cã nghiÖm th× Δ ' ≥ ⇔1+m ≥0 ⇔ m≥ −1 VËy víi m≥ −1 th× PT(1) cã nghiÖm C©u xÐt tø gi¸c HEKB cã: M EHB = 900 ( v× MN AB) EKB = 900 ( vì AKB là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) K I =>EKB + EHB =1800 E => Tứ giác HEKB nội tiếp vì có tổng hai góc đối 1800 V× MN AB nªn A n»m chÝnh gi÷a cung nhá MN A B H O => cung AM = cung AN =>AMN = AKM( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) XÐt Δ AME vµ Δ AKM cã: A chung AME = AKM ( cm trªn) N => Δ AME đồng dạng với Δ AKM ( g.g) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ EKM Ta cã gãc AME = BME ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AM là tiếp tuyến đờng tròn tâm I( Theo bài tập 30-Tr79 SGK toán tập 2) => I thuéc BM => NI ng¾n nhÊt NI MB Vì M; N; B cố định nên ta có thể xác định K nh sau: (29) Kẻ NI vuông góc với BM, vẽ đờng tròn (I;IM) cắt đờng tròn tâm O đâu đó là K C©u VI:(0,5 ®iÓm) Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = (1) 2 2 Ta cã: x + xy +y - x y = <=> 4x2+ 4xy +4y2 - 4x2y2 = <=> 4x2+ 8xy +4y2 - (4x2y2 + 4xy +1) - = <=> (2x + 2y)2 - (2xy + 1)2 = <=> (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = ¿ 2x + 2y - 2xy - = 2x + 2y + 2xy + 1=-1 ¿ ¿ ¿ 2x + 2y − 2xy − 1=-1 => ¿ 2x + 2y + 2xy + 1=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Giải hệ PT ta đợc (x; y) = (0; 0) x = - y Thay x = - y vào (1) ta tìm đợc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1) VËy c¸c cÆp sè x; y nguyªn tho¶ m·n (1) lµ:(0; 0); (1; -1); (-1; 1) GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 DAKLAK NĂM HỌC : 2009 – 2010 (Ngày thi : 26/06/2009) - ****** Bài 1: 1/ PT: 5x 6x 0 ; / 9 5( 8) 49 / 7 ; x 37 3 ; x1 5 -4 S ; 5 PT đã cho có tập nghiệm : 5x 2y 9 15x 6y 27 19x 57 5x 2y 9 2/ 2x 3y 15 4x 6y 30 HPT có nghiệm (x;y) = (3;-3) x 3 y (9 15) : Bài 2: 1/ A ( 2) ( 2)2 4 x 0 x 1; 4;9 2/ a) ĐKXĐ: ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 1) x x B : ( x 1)( x 3) x1 x x x x 1 x ( x 1)( x 3) x1 x x -2 x 3 y (30) b) B x ( Với x 0 vµ x 1; 4;9 ) B nguyên x ¦(2)= 1 ; 2 x 1 x x x x 2 x x x x = ; 16 Vậy : Với 3 x 9 (lo¹i) x 1 (lo ¹i) 1 x 16(nhËn) 4 x 0 (nhËn) 0 thì B nguyên Bài 3: Gọi độ dài cạnh góc vuông bé là x (m) (đ/k: x ) Thì độ dài cạnh góc vuông lớn là x + (m) x 8 x 2x 51 2(x 8) 51 Theo đề bài ta có PT: x 8x 153 0 ; Giải PT : x1 9 (tm®k) ; x 17 (lo¹i) Vậy: độ dài cạnh góc vuông bé là 9m ; độ dài cạnh góc vuông lớn là 17m Bài 4: D 1/ DH AC (gt) DHC 900 K BD AD (gt) BD BC BC // AD (t / c h ×nh b×nh hµnh) DBC 900 C I H A Hai đĩnh H,B cùng nhìn đoạn DC góc không đổi 900 O B HBCD nội tiếp đường tròn đường kính DC (quỹ tích cung chứa góc) 2/ + D1 C1 (1/ 2s® BH đường tròn đường kính DC) + C1 A1 (so le trong, AD//BC) D1 A1 + DOK 2A1 (Góc tâm và góc nội tiếp cùng chắn DK (O)) DOK 2D1 2BDH 3/ 0 + AKB 90 (góc nội tiếp chắn ½ (O) BKC DHA 90 ; C1 A1 (c/m trên) AHD CKB (cạnh huyền – góc nhọn) AH CK +AD = BD ( ADB cân) ; AD = BC (c/m trên) AD BD BC (31) + Gọi I AC BD ; Xét ADB vuông D , đường cao DH ; Ta có: BD AD AH.AI CK.AI (hệ thức tam giác vuông) (1) 2 Tương tự: BD BC CK.CI (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: CK.AI CK.CI 2BD2 CK(AI CI) 2BD2 CK.CA 2BD (đpcm) Bài 5: PT : / x 2(m 1)x 2m 9m 0 2 (1) + m 2m 2m 9m m 7m / 2 + PT (1) có hai nghiệm x1 , x 0 m 7m 0 m 7m 0 (m + 1)(m + 6) 0 ; Lập bảng xét dấu m (*) x1 x 2(m 1) +Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét: x1 x 2m 9m 7(x1 x ) 14(m 1) x1 x (2m 9m 7) 7m 2m 9m 2m 16m 14 2 2(m 8m 16) 14 32 18 2(m + 4) 18 2(m + 4)2 18 2(m + 4)2 + Với m thì 18 2(m 4) 0 Suy 2 Vì 2(m 4) 0 18 2(m + 4) 18 Dấu “=” xảy m 0 m (tmđk (*)) 7(x1 x ) x1 x 18 Vậy : (đpcm) Đáp án đề 21 - ****** Bài 1: 1/ 3x 2y 1 5x 3y 9x 6y 10x 6y x 11 3x 2y 1 x 11 y 3( 11) : x 11 y 17 HPT có nghiệm (x;y) = (-11;17) 2/ 10x 9x 0 ; Ðặt x t (t 0) 10 10t 9t 0 ; cã a - b c 0 t 1(lo¹i) , t 1/10(nhËn) x 10 x 10 10 S ± 10 PT đã cho có tập nghiệm: Bài 2: 1/ m = ; (d) : y 2x ; x 0 y 1 x 2 1 P(0;1) ; y 0 x 1/ Q( 1/ 2;0) (32) 4 y x 1 1 4 2/ m = +Dựa vào đồ thị ta nhận thấy (d) tiếp xúc với (P) tiếp điểm A( 1; 1) +PT hoành độ giao điểm (P) và (d) là: x 2x 0 (x 1)2 0 x ; Thay x vào PT (d) y Vậy : (d) tiếp xúc với (P) điểm A( 1; 1) x A 0 x B 0 Vậy để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) 3/ Theo đề bài: và B(x B ; y B ) thì PT hoành độ giao điểm : x 2x m 0 (*) phải có nghiệm phân biệt x A , x B khác 1 6 xA xB / 1 m m 0 +Theo đề bài : m m 0 x A x B (**); Với đ/k (**), áp dụng đ/l Vi-ét ta có : x A x B m 1 6 xA xB 2 1 6 x x x x A B A B xA xB 6 x x x x A B A B m1 (NhËn) m 2 / (NhËn) thì (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A(x A ; y A ) và B(x B ; yB ) thoả mãn 2 6 2m 6m 3m + m - = m m Vậy: Với m = -1 ; 2/3 1 6 xA xB P y x x x y y xy Bài 3: (x 0; y 0) (x y y x ) ( x y) xy xy( x y) ( x y) xy 1 = x+ y Bài 4: 1/ Nối ED ; AED ACB (do BEDC nội tiếp) ACB AED BEC BDC 900 AE AD AE.AB AD.AC AC AB 2/ (góc nội tiếp chắn ½ (O)) BD AC Vµ CE AB Mà BD EC H H là trực tâm ABC AH là đường cao thứ ABC AH BC K 3/ Nối OA, OM, ON ; Ta có: ( x y)( xy 1) xy (33) OM AM, ON AN (t/c tiếp tuyến); OK AK (c/m trên) AMO AKO ANO 900 điểm A,M,O,K,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO (quỹ tích cung chứa góc) M K 1 (=1/2 sđ AN ) ; Mà N1 M1 (=1/2 sđ MN (O)) N1 K1 hay ANM AKN AD AH AD.AC AH.AK (1) 4/ + ADH AKC (g-g) AK AC AD AN AD.AC AN (2) ANC ADN AN AC + (g-g) AH AN AH.AK AN AN AK T (1) và (2) AH AN +Xét AHN và ANK có: AN AK và KAN chung AHN ANK K ANM ANH K N ANH N ; mà 1 (c/m trên) ba điểm M, H, N thẳng hàng Bài 5: V i a 0, b ; Ta có : 2 a b2 2 a b2 2ab (Bdt Cô si) a b 2ab 4ab (a b) 4ab (a b)(a b) a b a a 1 4 (*) ab ab a b ab ab a b a b a b 2 Áp dụng BÐT (*) v i a = x y ; b = 2xy ; ta có: 1 4 2 x y 2xy x y 2xy (x y) 2 (1) 1 (x y) 4xy 4xy (x y) xy (x y) (2) Mặt khác : 1 1 1 1 A 2 x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy xy 4 1 1 6 2 (x y) (x y) (x y) (x y) 2 [Vì x, y >0 và x y 1 (x y) 1 ]; minA = Bµi 1: a)N = x=y= 2d Đề 23 2 √ n −1 + √ n+1 = ( √ n − ) + ( √n+ ) √ n+1 √ n− ( √ n+1 ) ( √ n −1 ) = n− √ n+1+ n+ √ n+1 n −1 ( n+1 ) n −1 b) N = ( n+1 ) = ( n −1 ) + = + n −1 n −1 Ta cã: N nhËn gi¸ trÞ nguyªn ⇔ ⇒ n-1 { ±1 ; ± 2; ± } + n-1 = -1 ⇔ n = + n-1 = ⇔ n = n− cã gi¸ trÞ nguyªn n− = ⇔ n-1 lµ íc cña víi n 0, n (34) + n-1 = -2 ⇔ n = -1 (Kh«ng tháa m·n víi §KX§ cña N) + n-1 = ⇔ n = + n-1 = -4 ⇔ n = -3 (Kh«ng tháa m·n víi §KX§ cña N) + n-1 = ⇔ n = Vậy để N nhận giá trị nguyên và n { ; 2; ; } Bµi 2: (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = vµ (d3): nx - y = n - 1; n lµ tham sè a) Gọi N(x;y) là giao điểm hai đờng thẳng (d1) và (d2) đó x,y là nghiệm hệ phơng trình: { x − y=4 − x+ y=2 ( I ) ⇔ { y=x +22 x=6 Ta cã : (I) { y=5 x=3 VËy: N(3;5) b) (d3) ®i qua N(3; 5) ⇒ 3n - = n -1 ⇔ 2n = ⇔ n= Vậy: Để đờng thẳng (d3) qua điểm N(3;5) ⇔ n = Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - = (1), víi n lµ tham sè a) Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = ⇒ (n+1).32 - 2(n-1).3 + n-3 = ⇔ 9n + - 6n + + n - = ⇔ 4n = -12 ⇔ n = -3 b) Víi n -1, ta cã: Δ ' = (n-1)2 - (n+1)(n-3) = n2 - 2n + - n2 +2n +4 =5>0 VËy: víi mäi n -1 th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 4: F P N a) Ta cã: ∠ QPR = 900 ( v× tam gi¸c PQR vu«ng c©n ë P) Qx) ∠ QER = 900 ( RE D x không đổi (900) ⇒ Tứ Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dớiE góc M giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR b) Tø gi¸c QPER néi tiÕp ⇒ ∠ PQR + ∠ PER = 1800 mµ ∠ PER + ∠ PEF = 180 Q (Hai gãc kÒ bï) ⇒ ∠ PQR = ∠ PEF ⇒ ∠ PEF = ∠ PRQ (1) Mặt khác ta có: ∠ PEQ = ∠ PRQ (2) <Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ đờng tròn I ngo¹i tiÕp tø gi¸c QPER> R Tõ (1) vµ (2) ta cã ∠ PEF = ∠ PEQ ⇒ EP lµ tia ph©n gi¸c cña gãcDEF c) V× RP QF vµ QE RF nªn D lµ trùc t©m cña tam gi¸c QRF suy (35) FD QR ⇒ ∠ QFD = ∠ PQR (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) mµ ∠ PQR = 450 (tam gi¸c PQR vu«ng c©n ë P) ⇒ ∠ QFD = 450 d) Gọi I là trung điểm QR và N là trung điểm PQ (I,N cố định) Ta có: MI là đờng trung bình tam giác QRE ⇒ MI//ER mà ER QE QE ⇒ ∠ QMI = 900 ⇒ M thuộc đờng tròn đờng kính QI ⇒ MI Khi Qx QR th× M I, Qx QP th× M N Vậy: tia Qx thay đổi vị trí nằm hai tia QP và QR thì M luôn nằm trên cung NI đờng tròn đờng kính QI cố định (36)