Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.. Nếu hàm số dưới dấu tích[r]
(1)Chuyên đề: PHẦN : ĐẠO HÀM A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: f x x f x y lim x x x x f x lim 2) Các quy tắc tính đạo hàm: a) Đạo hàm tổng, hiệu: b) Đạo hàm tích: u1 u2 un u1 u2 un u.v u.v u.v * Trường hợp đặc biệt: v k ( k là số) ta được: k.u k.u u uv u.v v 0 v v c) Đạo hàm thương: v v 0 v * Trường hợp đặc biệt: u 1 ta được: v 3) Các công thức tính đạo hàm: u u k sin u un nun 1u n * cot gu u 2uu u 0 e e u sin u cos u.u a a cos u sin u.u ln u u tgu u cos2 u u u u u ln au a 1 u u u k loga u u a 1; u u ln a B) BÀI TẬP: Ghi nhớ: Để làm các bài toán giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đó có chứa biểu thức trước, ta thực các bước sau: Tìm tập xác định hàm số F x, y, y, y, y, , với y f x là hàm số cho y f x y f x trước, sau đó tính đạo hàm) Tính y, y, y, (có ta phải rút gọn hàm số Thay y, y, y, vừa tìm vào biểu thức F , thực theo yêu cầu bài toán (2) x x 1 Bài 1: Cho hàm số Giải phương trình y xy 0 x xy x y Bài 2: Cho hàm số y x e Chứng minh đẳng thức: x y cos2 Chứng minh đẳng thức: y cos x ysin x y Bài 3: Cho hàm số y x Bài 4: Cho hàm số y e sin x Chứng minh rằng: y y y 0 y x 1 cos x Hãy tìm các giá trị x cho: Bài 5: Cho hàm số x 1 y y y 0 4 Bài 6: Cho hàm số y cos x sin x a Chứng minh rằng: y sin x 0 b Giải phương trình y y 0 2 Bài 7: Cho hàm số y ln x Giải bất phương trình y xy x y 3 y e x x 1 Bài 8: Cho hàm số y y y y 0 Tìm các giá trị x cho: Bài 9: Cho hàm số y ln e x x 1 a Giải phương trình y x 1 y 0 b Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ y x Bài 10: Cho hàm số y xe Chứng minh bất đẳng thức sau: y y y y 0, x g x sin x sin x f x cos x cos x Bài 11: Cho hai hàm số: ; f x g x a Tính , b Chứng minh rằng: Bài 12: Cho hàm số f x g x 0 y f x tg3x.tg2 x.tgx Chứng minh rằng: f x 3tg 3x 2tg 2 x tg x (3) PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN §1 NGUYÊN HÀM: 1) Định nghĩa : Hàm F x gọi số F x f x , x a, b là nguyên hàm hàm số f x trên a, b F x là nguyên hàm f x thì hàm số có dạng F x C ( C là f x F x C là nguyên số) là nguyên hàm và hàm số có dạng f x F x C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x và ký hàm Ta gọi f x dx Ghi nhớ : Nếu hiệu là f x dx F x C Như vậy: 2) Tính chất: kf x dx k f x dx; k 0 a.TC1: b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx c.TC3: Nếu f x dx F x C thì f u du F u C a, b a 0 : 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ dx x C dx ax b a ln ax b C x 1 x dx C , 1 1 e dx e sin xdx cos x C e cos xdx sin x C sin axdx dx cos tgx C , x k x x ax x C dx e ax C a cos ax C a cos axdx a sin ax C (4) dx sin x cot gx C, x k dx tgx C , x k cos2 ax a dx x ln x C, x 0 dx sin2 ax a cot gax C, x k Bài tập: Ghi nhớ: Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) các nguyên hàm hàm số thành phần Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số không tích (thương) các nguyên hàm hàm số thành phần Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm 1 F x x sin x f x cos2 x Bài 1: Cho hai hàm số ; F x f x a Chứng minh là nguyên hàm G 0 G x b Tìm nguyên hàm biết cos x cos x cos x f x cos4 x sin x Bài 2: Cho hàm số F x hàm số f x biết F f x 2 cos2 x cos x G x G x f x và Bài 3: Cho hàm số Tìm hàm số biết 29 G ; G 144 12 32 Tìm nguyên hàm Bài 4: Cho hàm số f x 8 sin x cos x cos x cos x a Giải phương trình f x f x 0 b Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua M ;0 điểm sin x F x cos x là nguyên hàm f x Hãy tìm các giá trị x Bài 5: Biết hàm số f x f x 0 cho x Bài 6: Cho hàm số y xe y a Tính y và (5) x f x x 2007 e b Tìm nguyên hàm hàm số x f x e sin x Chứng minh hàm số f x f x là nguyên hàm Bài 7: Cho hàm số f x hàm số x 3x 3x 1 f x F F x x x ,biết (Đề Bài 8: Tìm nguyên hàm hàm số thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN : b 1) Định nghĩa: 2) Tính chất: a TC1: b TC2: c TC3: d TC4: b f x dx F x a F b F a a b a a b f x dx f x dx b b a a kf x dx k f x dx (k 0) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx b c b a a c f x dx f x dx f x dx b e TC5: f TC6: f x 0, x a; b thì Nếu f x dx 0 a f x g x , x a; b thì Nếu b b a a f x dx g x dx b m f x M , x a; b m b a f x dx M b a a g TC7: Nếu thì 3) Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số đã biết nguyên hàm Nếu hàm số dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho trên đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính các tích phân sau đây: (6) a cos x cos xdx b cos x sin x dx x2 x dx x 1 c e2 x ln x dx x d x x và hàm số F x ln x Bài 2: Cho hàm số F x f x a Chứng minh là nguyên hàm f x xdx 1 b Áp dụng câu a tính Bài 3: Cho hàm số a Tính x f x x ln x x ln x f x e b Áp dụng câu a tính Bài 4: Biết hàm số ln F x xdx cos x sin x cos x sin x là nguyên hàm f x Hãy tính : f x dx §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: b f x x dx f t dt a 1) Công thức tổng quát: Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng f x x (hàm số theo biến là ) với đạo hàm hàm tích trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: x Áp dụng công thức a) TH1: f sin x cos xdx Đặt t sin x t p sin x q p, q n t p sin x q biểu thức p sin x q nằm n (7) b) f cos x sin xdx TH2: Đặt t cos x t p cos x q p, q n t p cos x q biểu thức p cos x q nằm c) TH3: n f ln x dx x Đặt t ln x p, q t p ln x q n t p ln x q biểu thức p ln x q nằm dấu d) TH4: f tgx cos x n t ptgx q biểu thức ptgx q nằm dấu f cotgx sin x Đặt t cotgx t pcotgx q n p, q a cos xdx sin x 1 dx x ln x b xdx 19 d x2 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a x dx x 4x n cos x sin xdx e c dx n t pcotgx q biểu thức pcotgx q nằm 2) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: p, q t ptgx q n dx Đặt t tgx e) TH5: b e2 tgx dx cos2 x (8) dx cot gx sin x c Bài 3: Tính các tích phân sau đây: d e dx x 1 x a sin tgxdx cos3 x b sin xdx cos4 x sin x c Bài 4: Tính các tích phân sau đây: d x cos3 xdx cos xdx sin x cos x a sin3 xdx cos4 x b x 1x 3dx dx tgx tg x sin xdx sin x c d §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b b b uvdx uv a vudx 1) Công thức tổng quát: a b a udv uv hay a b a b vdu a (1) 2) Các bước thực hiện: u u( x ) Ñaët dv v( x )dx Bước 1: du u( x )dx ( Đạo hàm) v v( x ) (nguyeân haøm) Bước 2: Thế vào công thức (1) b vdu uv a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp a Tính b Bước 3: (tích phân này có thể tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy bài toán cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: Tích phân phần thường áp dụng để tính các tích phân có dạng sau: b a) Dạng 1: p x q x dx a (9) Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm sin ( x ) cos ( x ) u p x dv q x dx Trong trường hợp này ta đặt: Ghi nhớ : Trong trường hợp này đặt ngược lại thì vào công thức ta b vdu a b phức tạp udv a ban đầu b b) Dạng 2: p x q x dx a Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm logarit u q x dv p x dx Trong trường hợp này ta đặt: Ghi nhớ: Trong trường hợp này đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a x 1 sin xdx b c x cos 2 x cos xdx xdx d x xdx cos2 x e x 1 e x dx 3x dx x e f g ( x 3)2 dx x h x x e dx Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a 3x 1 ln xdx x ln x 1 dx b (10) e ln c xdx d 1 x ln x 1 dx §5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây: 1 a cos x dx sin x b c x sin x sin x cos xdx cos2 x x sin xdx d cos x x x cot g x sin x dx ln x x e dx e f 1 x xdx 2 e cos x cos xdx sin x g h x ln 3x 1dx §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: C1 : y f x ; C2 : y g x ; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) b S f x g x dx a a) Công thức: b) Các bước thực hiện: (2) Bước1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình Bước 2: Áp dụng công thức (2) f x g x (PTHĐGĐ C1 và C2 ) để tìm f x g x , sau đó xét dấu hiệu này Bước 3: Rút gọn biểu thức Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu bài toán này cho chung bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, trên đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, nằm trên C2 thì hiệu f x g x 0 , và C1 nằm C2 thì hiệu f x g x 0 C1 (11) 2) Diện tích hình phẳng giới hạn các đường không rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát) Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích công thức (2) Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất các hình nhỏ 3) Thể tích hình tròn xoay quay hình phẳng giới hạn các đường sau đây quanh trục Ox: C : y f x ; Ox; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) b V f x dx a a) Công thức: b) Các bước thực hiện: (3) Bước 1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình f x 0 (PTHĐGĐ C và trục Ox) để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (3) 4) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x 6x x và trục Ox C : y x x 3 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và trục Ox C : y x x và trục Ox C : y x 3x và đường thẳng Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong d : y 3 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x2 2x C : y x ; đường tiệm Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C cận xiên ; Ox; x e C : y x 3x x Viết phương trình tiếp tuyến C tọa độ O Từ đó tính diện tích hình phẳng giới hạn và d Bài 6: Cho đường cong Bài 7: Cho parabol P : y x d C gốc 6x P các giao điểm P với trục Ox P b Tính diện tích hình phẳng giới hạn và các tiếp tuyến nói câu a a Viết phương trình các tiếp tuyến Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C : y x d : y 2 x ; và Ox P : y 4 x Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol d : y 2 x và đường thẳng (12) P : y 4 x Bài 10: Cho parabol P điểm tung độ P b Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: , trục Ox và tiếp tuyến nói câu a a Viết phương trình tiếp tuyến Bài 11: Cho đường cong C : y 2x 1 x Gọi (H) là hình phẳng giới hạn các đường: C ; Ox; Oy Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox C : y x x Bài 12: Cho đường cong Gọi (H) là hình phẳng giới hạn thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox C và trục Ox Tính (13)