Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didactic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  TRẦN ANH DŨNG KHÁI NIỆM LIÊN TỤC MỘT NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN VÀ DIDACTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn khoa học : TS LÊ VĂN TIẾN Tp Hồ Chí Minh – 2005 PHẦN MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Ở cấp độ Đại học, nói đến Giải tích dường không kể đến khái niệm liên tục hàm số Với tư cách đối tượng toán học, hình thành nên chủ đề nghiên cứu quan trọng Với tư cách công cụ tác động đến nhiều vấn đề khác Giải tích phương trình, đạo hàm, tích phân,… Sự thống dường bậc trung học phổ thông nước khác chí hệ thống dạy học nước Chẳng hạn, hệ thống dạy học toán phổ thông Cộng Hòa Pháp thể nhiều lưỡng lự việc lựa chọn khái niệm liên tục đối tượng giảng dạy tường minh : Thời kì cải cách toán học đại năm 1970, chiếm vị trí quan trọng chương trình, sau bị loại bỏ khỏi chương trình thuộc giai đoạn 1990 -2000, để tái xuất chương trình hành Trong chương trình giảng dạy Australia [J.B Fitzpatrick ,2001, p.309], khái niệm liên tục đối tượng cần giảng dạy, tiếp cận mức độ định nghóa hàm số liên tục điểm đoạn [a;b] Ở Việt Nam, khái niệm liên tục chiếm vị trí truyền thống chương trình sách giáo khoa, vai trò dường quan trọng so với đối tượng tri thức khác Mặt khác, thuật ngữ liên tục thường sử dụng sống thường ngày Thuật ngữ có tương đồng hay khác biệt so với thuật ngữ liên tục toán học ? Những ghi nhận lôi ý đặc biệt khái niệm liên tục làm nảy sinh gợi hỏi ban đầu sau : Khái niệm liên tục nảy sinh tiến triển lịch sử ? Nó có đặc trưng ? Còn hệ thống dạy học toán trường phổ thông, tiếp cận ? Có tương đồng khác biệt khái niệm liên tục thuộc ba phạm vi khác : lịch sử, hệ thống dạy học toán đời sống thường ngày ? Những ràng buộc hệ thống dạy học sống đời thường ảnh hưởng hiểu biết giáo viên học sinh khái niệm liên tục ? Mục đích nghiên cứu phạm vi lí thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát luận văn tìm câu trả lời cho số câu hỏi đặt Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi didactic toán Cụ thể, vận dụng số khái niệm công cụ lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân) lí thuyết tình (khái niệm hợp đồng didactic) Trong phạm vi didactic với khái niệm công cụ chọn, câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu trình bày lại sau : Trong lịch sử phát triển toán học, trình hình thành tiến triển khái niệm liên tục có đặc trưng ? Trong hệ thống dạy học toán trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đối tượng liên tục xây dựng tiến triển ? Nó có đặc trưng so với trình phát triển lịch sử ? Nó phải chịu ràng buộc ? Có quy tắc ngầm ẩn hợp đồng didactic gắn liền với khái niệm liên tục đáng lưu ý ? Những ràng buộc thể chế dạy học ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh ? Đặc biệt, chúng có dẫn tới việc hình thành quy tắc hợp đồng chuyên biệt gắn liền với khái niệm liên tục không ? Phương pháp tổ chức nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu mà áp dụng luận văn thực đồng thời hai nghiên cứu : Nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế Nghiên cứu thứ yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế Sau đó, tổ hợp kết hai nghiên cứu sở đề xuất câu hỏi đặc biệt giả thuyết nghiên cứu mà tìm cách trả lời hay hợp thức hóa thực nghiệm Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, trình bày tổ chức nghiên cứu sau :  Phân tích tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm liên tục để làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm  Phân tích chương trình sách giáo khoa toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng liên tục, đặc biệt ràng buộc mối quan hệ  Tổng hợp kết hai phân tích để đề xuất câu hỏi hay giả thuyết nghiên cứu  Xây dựng tình thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho số câu hỏi hay đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu đặt Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần : Phần mở đầu, chương I, chương II, chương III phần kết luận chung  Trong phần mở đầu, trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài nghiên cứu, mục đích đề tài, phương pháp tổ chức nghiên cứu tổ chức luận văn  Trong Chương I, trình bày nghiên cứu khoa học luận khái niệm liên tục Cụ thể, tổng hợp công trình nghiên cứu có khái niệm liên tục để làm rõ đặc trưng khái niệm liên tục lịch sử tiến triển  Trong Chương II, thực phân tích chương trình sách giáo khoa toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm liên tục Từ việc phân tích mối quan hệ thể chế, làm rõ ràng buộc thể chế qui tắc hợp đồng chuyên biệt gắn liền với khái niệm liên tục Tổng hợp phân tích chương để đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu  Trong Chương III, trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết mà đặêt hệ phân tích khoa học luận chương I phân tích chương trình sách giáo khoa chương II  Trong phần kết luận, tóm tắt kết đạt chương I,II,III nêu số hướng mở từ luận văn  CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM LIÊN TỤC I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH Như làm rõ phần mở đầu, mục đích chương tiến hành phân tích tổng hợp số công trình nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận khái niệm liên tục để làm rõ đặc trưng đối tượng trình phát sinh phát triển Cụ thể, nhắm tới trả lời câu hỏi sau : Khái niệm liên tục hình thành phát triển qua giai đoạn lịch sử ? Trong phạm vi ? Nó gắn liền với việc giải toán ? Những quan niệm1 khái niệm liên tục hàm số xuất ? Những quan niệm có đặc trưng ? Các công trình nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận mà sử dụng cho phân tích : Carl Benjamin Boyer (1949); Charles Henry Edwards, Jr (1991); Habiba El Bouazzaoui (1988) II ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM LIÊN TỤC Lịch sử tiến triển khái niệm liên tục hàm số chia thành giai đoạn với quan niệm khác Giai đoạn Từ Hy lạp cổ đại đến đầu kỷ 17 : Quan niệm nguyên thủy (QNT) – Liên tục lấy chế tiền toán học (protomathématique)  Theo Boyer [1959, p.301] The history of the calculus and its conceptual development trở ngại lớn cho phát triển toán học lịch sử phát triển 2500 năm cứng nhắc nội tính lôgic cao Người Hy lạp thừa nhận có tính chặt chẽ, xác, xác định cách rõ ràng từ suy luận lôgic Họ không chấp nhận mập mờ, đoán dẫn tới nghịch lý Chính nhà toán học Hy lạp cổ loại bỏ khái niệm mà chúng khai sinh ngành giải tích, khái niệm biến thiên ; tính liên tục ; khái niệm vô hạn vô bé Các tác phẩm Euclide minh chứng cho điều Các công trình Archimedes thành to lớn thời ông từ bỏ ý tưởng chặt chẽ lôgic kiểu Hy lạp vận dụng khái niệm bị loại bỏ Mặc dù xem ông tổ ngành Giải tích với công trình việc tính toán độ dài, diện tích, thể tích phương pháp vét kiệt, Archimedes khái niệm liên tục chưa xuất Tuy nhiên quan sát phương pháp vét kiệt việc tính diện tích hình viên phân parabol hay phương pháp nén chặt (method of compression) việc tính độ dài đường xoắn ốc (the spiral) Archimedes, người ta thấy lúc ông phải sử dụng lượng phụ để tính toán Ở đây, thuật ngữ “Quan niệm” dùng Bouazzaoui (1988) không trùng với khái niệm “Quan niệm” dùng lí thuyết trường quan niệm G.Vergnaud (1990), mà theo nghóa hẹp “biểu tượng” hay tìm liên hệ với cho trước Những số hạng ngày ta hiểu cận hay cận hay giới hạn, đạt trình tiến tới cách liên tục Như vậy, qui luật liên tục có tính ngầm ẩn phương pháp nhà toán học Hy lạp cổ  Thời kỳ trung đại thời kỳ mà người ta tìm cách định lượng số tượng : nhiệt độ, vận tốc Các luật tự nhiên bắt đầu nghiên cứu phụ thuộc đại lượng vào đại lượng Trong Khảo luận hình dạng đại lượng chuyển động (Treatise on the Configurations of Quantities and Motions) viết vào khoảng năm 1350, học giả người Paris Nicole Oresme giới thiệu khái niệm biểu diễn đồ thị hay gọi hình dạng hình học trạng thái đại lượng Oresme dùng đoạn AB để biểu thị đại lượng thời gian t, ông gọi đường AB kinh tuyến Độ lớn vận tốc thời điểm kinh tuyến biểu diễn đoạn vuông góc với kinh tuyến điểm Chẳng hạn với chuyển động nhanh dần khoảng thời gian [0;t] tương ứng với kinh tuyến AB hình 1, vó tuyến hình điểm P AB PQ mà độ lớn biểu thị vận tốc tức thời đó, cạnh CD hình vẽ biểu diễn đồ thị thời gian – vận tốc Oresme nhận thấy chuyển động nhanh dần kéo theo CD đoạn thẳng Cạnh hình thang AD = v0 vận tốc ban đầu , BC = v f vận tốc sau AB = t Ông thừa nhận mà không chứng minh cách rõ ràng diện tích hình thang ABCD tổng số quãng đường khoảng thời gian [0;t], ông nhận xét hình thang tạo thành vô số vó tuyến phân chia được, vó tuyến biểu thị cho vận tốc liên tục khoảng thời gian bé Như quan niệm trực giác biểu thị tương quan thời gian – vận tốc hình ảnh đường liền nét xuất thời cổ đại quan hệ phụ thuộc hai đại lượng mô tả lời sơ đồ mà chưa có xuất công thức Ý tưởng liên tục gắn liền với chuyển động  Giai đoạn đầu thời phục hưng xem kỷ dè dặt, đến kỷ 16, người ta tin tưởng cách nghiêm túc vào thành Archimedes tiền đề cho đời phép tính vô bé, yếu tố không phân chia Johann Képler (15711630) khám phá qui luật chuyển động hành tinh theo đường elip tính toán độ dài q đạo theo phương pháp Archimedes Các công trình có tính hệ thống Képler tính diện tích thể tích cho thấy rõ kỹ thuật "vô bé" sử dụng Chẳng hạn, Nova stereometria dollorum vinariorum hay dịch Hình học thùng rượu vang, cách phân chia vật tròn xoay thành vô hạn mảnh vô bé, Kepler thiết lập công thức tính thể tích 90 loại khối tròn xoay Kỹ thuật "vô bé" tính toán diện tích thể tích Bonaventura Cavalieri (1598-1674) trình bày rõ ràng hai tác phẩm ông :Geometria indivisibilibus (1635) Exercitationes geometricae sex (1674) Với việc đề xuất phương pháp phân chia Cavalieri tìm nhiều công thức tính toán diện tích, thể tích Một thí dụ kết mà Cavalieri đạt định lý mà ngày biết tên định lý Cavalieri Nếu hai cố thể có chiều cao nhau, tỉ số diện tích thiết diện tạo với mặt phẳng song song cách đáy độ cao không phụ thuộc vào độ cao (bằng k) tỉ số thể tích hai cố thể k (hình 2) Hình Cho đến đầu kỷ 17, khái niệm hàm số ngầm ẩn Tính trực giác thể qua biểu diễn hình vẽ nhiều lúc qua phát biểu lời Khái niệm liên tục ngầm ẩn, chủ yếu dựa trực giác định lượng biến thiên cách liên tục theo thời gian đường đi, q đạo Do đó, có tính tổng thể Tóm lại từ thời cổ đại giai đoạn đầu thời phục hưng quan niệm nguyên thủy (QNT) liên tục có chế tiền toán học (protomathématique), có tính tổng thể ngầm ẩn Nó chưa có tên, chưa định nghóa xuất công cụ ngầm ẩn cho phép giải vấn đề tính diện tích, thể tích phạm vi hình học Trong phạm vi vật lí tác động ngầm ẩn qua việc biểu diễn tương quan vận tốc, thời gian quãng đường Nó gắn liền với đối tượng vật lí đường đi, q đạo , Giai đoạn Thế kỷ 17 18 : Quan niệm hình học liên tục - Liên tục lấy chế cận toán học (paramathématique) 2.1 Quan niệm hình học Descartes (QHD) Với mục đích đại số hoá hình học cách tiếp cận Descartes Fermat có khác Descartes toán hình học liên quan tới đường cong cho đường cố định hay q tích chuyển động liên tục (kiểu đường xoắn ốc Archimedes) Công việc ông chuyển toán hình học sang ngôn ngữ phương trình đại số giải toán đại số Ngược lại, Fermat phương trình đại số để tìm tính chất hình học tương ứng với phương trình Chẳng hạn Fermat bắt đầu phương trình bậc hai ẩn : ax  bxy  cy  dx  ey  f  phép chuyển trục hay phép quay ông chứng minh đường cônic, trừ số trường hợp suy biến Descartes xét đường cong đại số biểu diễn phương trình mà ông gọi hình học để phân biệt với đường cong học Ông xét đường cong hình học mà ông phân loại sau : - Đường cong loại : biểu diễn phương trình bậc hai - Đường cong loại : biểu diễn phương trình bậc ba, bậc bốn - Đường cong loại : biểu diễn phương trình bậc năm, bậc sáu Về khái niệm liên tục, Descartes không ghi thành định nghóa, mà phát biểu lời : "một hàm số liên tục đồ thị vẽ mà nhấc viết chì khỏi tờ giấy" [Bert G Wachsmuth, 2000 ver 1.9.3] (hình 3) Hình Như quan niệm liên tục Descartes dựa trực giác hình học có tính tổng thể Công trình kinh điển tiếng Isaac Newton (1642-1727) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica xuất năm 1687 Công trình hệ thống nguyên lý, nguyên tắc Newton học lý thuyết vạn vật hấp dẫn Principia trình bày quan điểm vô bé lý luận giới hạn, xem công trình giải tích Tuy nhiên, Principia diễn đạt ngôn ngữ cách thức tổng hợp hình học cổ diển mà không sử dụng thuật toán giải tích fluxion Newton Có thể Newton đề tiên đề Principia qua việc sử dụng công cụ giải tích phép toán fluxion sau khoác lại cho áo hình học tổng hợp chấp nhận nhằm tránh tranh cãi gay gắt Ông coi đường gồm điểm kề mà điểm chuyển động liên tục tạo thành, đường cong liên tục tạo nên nét liên tục h ình Ông xét đường cong f(x,y) = (hình 4) q tích điểm giao điểm hai đường thẳng thay đổi, thẳng đứng nằm ngang Các tọa độ x y điểm thay đổi hàm số theo thời gian t Khi chuyển động hợp hai chuyển động : chuyển động theo phương ngang với vectơ vận tốc có độ dài x chuyển động theo phương đứùng với vectơ vận tốc có độ dài y Vectơ tổng biểu thị chuyển động điểm tiếp tuyến đường cong nên độ dốc đường cong y / x Sau ta biết x = dx/dt y = dy/dt Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) xem người khai sinh phép tính vi phân giải tích vô bé Nếu Newton tiếp cận ngành toán học từ khái niệm fluxion hay thay đổi thời gian dựa ý tưởng trực giác chuyển động liên tục hiệu vô bé rời rạc biến hình học lại đóng vai trò trung tâm giải tích Leibniz [C.H.Edwards ,Jr 1937, p.266] Mặc giải tích ông đánh giá có vị trí quan trọng toán học không cần phải bàn cãi continum chẳng hạn để giải đáp chuyển từ hữu hạn sang trạng thái vô bé ông lại phải nhờ tới nguyên lý triết học (quasi-philosophical principle) gọi luật liên tục Theo Leibniz :" thiên nhiên hình thành bước nhảy Một vật từ trạng thái qua trạng thái khác mà qua trạng thái khác nhau." Vì vậy, ông xem tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến Dường ngầm ẩn quan niệm Leibniz tư tưởng định lí giá trị trung gian gắn liền với khái niệm liên tục hàm số, mà tới kỉ 19 xuất Cauchy Như vậy, từ Newton đến Leibniz, quan niệm liên tục quan niệm hình học Descartes, lại gắn liền với chuyển động liên tục (không bước nhảy) vật lí có đặc tính không gian rõ ràng Trong đó, đặc trưng hình học trội Vì ta gọi quan niệm quan niệm hình học Descartes (QHD) Với quan niệm này, khái niệm liên tục có đặc trưng tổng thể lấy chế khái niệm tiền toán học (paramathématique) 2.2 Quan niệm hình học Euler (QHE) Thế kỷ 18 giai đoạn củng cố mở rộng khám phá to lớn kỷ 17 toán học ứng dụng vào việc giải vấn đề khoa học Nổi bật kỷ Leonard Euler (1707 – 1783), người xem nhà toán học thời đại Công trình Introductio Euler công trình mà khái niệm hàm số đường cong, đóng vai trò trung tâm đối tượng nghiên cứu chính, cho phép số hóa hình học dẫn tới việc tách giải tích vô bé khỏi hình học Mặc dù khái niệm hàm số dùng trước Leibniz, Descartes Euler nhà toán học làm cho khái niệm hàm số bật lên thực nghiên cứu có tính hệ thống Ông phân loại tất hàm sơ cấp đồng thời với đạo hàm nguyên hàm chúng Trong Introductio ([5] , p.158 , §4) Euler cho định nghóa hàm số : Một hàm số đại lượng biến thiên biểu thức giải tích hợp thành theo cách từ đại lượng biến thiên từ số hay đại lượng không đổi Euler phân biệt hàm liên tục, hàm không liên tục (hay hàm hỗn hợp) Định nghóa hàm liên tục không liên tục Euler công trình ông vào khoảng 1784 sau : Hàm số liên tục hàm số mà tất giá trị liên kết với theo quy tắc hay phụ thuộc vào phương trình Như hiểu, hàm số liên tục theo nghóa Euler hàm số biểu thị biểu thức giải tích theo biến Ông phân biệt hàm số liên tục với hàm không liên tục (hay hỗn hợp) – hàm xác định biểu thức khác khoảng khác miền xác định Không liên tục thể thay đổi “quy tắc” (hay luật) xác định hàm số Ông định nghóa đường cong liên tục đường cong xác định phương trình định, cho người ta vẽ dịch chuyển không “lỗ hổng” tay Hàm số liên tục theo nghóa Euler tương ứng với hàm số khả vi khác với kiểu liên tục mảnh mà ngày ta thường dùng Minh họa cho tư tưởng này, Grattan-Guinness (1970) cho ví dụ sau : (hình 5) : hình Euler : liên tục Hiện : khả vi Euler : Không liên tục Hiện : liên tục Euler : không liên tục Hiện : liên tục mảnh Sự tranh cãi xung quanh toán tiếng phương trình dây rung thời liên quan đến quan niệm liên tục Euler Năm 1747, D'Alembert nghiên cứu dao động sợi dây rung bị căng đầu x = x = L trục hoành Ông đề xuất điều kiện tương đương với phương trình đạo hàm riêng : 2 y  y a t x (1) Cả hai ông, trước tiên D'Alembert (1747) sau Euler (1748) biểu diễn nghiệm tổng quát (1) dạng : y(x,t) =  (x + at) +  (x – at)  ; hàm "tuỳ ý" theo biến số Thừa nhận thời điểm ban đầu, hàm f đặc trưng cho dạng sợi dây cho công thức y = f(x) dao động sau cho : y(x,t) = 12 f(x + at) + 12 f(x – at) Cách giải D'Alembert Euler giống hình thức bất đồng xảy vấn đề hàm số f ban đầu phải hàm ? Euler không đòi hỏi hàm số phải xác định toàn khoảng [0;L] biểu thức giải tích nhất, nghóa không cần phải liên tục theo "kiểu Euler", hàm hàm hỗn hợp Chẳng hạn, kéo căng điểm sợi dây từ vị trí cân ban đầu đến cách vị trí ban đầu đơn vị (hình 6) cho dao động rõ ràng hàm f ban đầu hàm "hỗn hợp" cho :  2x L  y=   ( L  x)  L  L x  0;   2 L  x   ; L 2  (hình 6) Euler cho xác định vị trí ban đầu sợi dây cách đơn giản "đường cong vạch nên chuyển động tự tay ", trường hợp đó, vẽ đồ thị hàm  theo đồ thị dễ dàng thiết lập hình học dạng sợi dây thời điểm tuỳ ý Ngược lại D'Alembert cho hàm ban đầu f mà hàm  cần phải tuân theo qui luật giải tích Cái nhìn hàm số cuối kỷ 18 chìm tranh cãi gay gắt lâu dài toán dây rung "Sự liên tục" hàm số ám đến việc biểu diễn biểu thức giải tích hàm số để ý đến dính liền đồ thị "Sự không liên tục " hàm số để ám đến gãy hàm số điểm tới hạn (những điểm mà hàm số đổi công thức) ám đến không tồn biểu thức giải tích để biểu diễn hàm số (như trường hợp đường cong vẽ tự do) Ngược lại, ngày không liên tục gần đồng nghóa với không dính liền đồ thị Sự phân biệt lần diễn đạt rõ ràng đầy đủ Louis Arbogast (1759 – 1803) Vào năm 1807, viện hàn lâm St Peterburg trao cho ông giải thưởng việc giải đáp vấn đề tranh cãi A26 A27 A28 A29 A30 TC HS A31 A32 A33 A34 A35 A36 A37 A38 A39 A40 A41 A42 A43 A44 A45 A46 A47 A48 A49 A50           10 12 Caâu S4a1 S4a2 S4b S4c  S5a S5b 13 1 Caâu S5c 3 S5d                                        A51 A52 A53 A54 A55 A56 A57 A58 A59 A60 TC HS A61 A62 A63 A64 A65 A66 A67 A68 A69 A70 A71 A72 A73                     Caâu S4a1 S4a2 S4b 10 S4c S5a S5b 14 Caâu S5c  S5d                          A74 A75 A76 A77 A78 A79 A80 A81 A82 A83 A84 A85 A86 A87 A88 A89 A90 TC HS A91 A92 A93 A94 A95 A96                                  10  10 Caâu S4a1 S4a2 S4b   S4c S5a S5b 15 0 Caâu S5c S5d            A97 A98 A99 A100 A101 A102 A103 A104 A105 A106 A107 A108 A109 A110 TC                            10 0 THỐNG KÊ TỈ LỆ (Trên tổng số 110 hs tham gia thực nghiệm A) Câu Số Liệu Tổng số Tỉ lệ % Câu S4a1 S4a2 S4b S4c S5a S5b 33 27 28 22 26 30 24,5 25,4 20 23,6 6,4 Caâu S5c 47 1 S5d 42,7 0,9 0,9 5.5 22 20 PHỤ LỤC THỐNG KÊ CÂU 4,5 – THỰC NGHIỆM B HS B01 B02 B03 B04 B05 B06 B07 B08 B09 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 B17 B18 B19 B20 B21 B22 B23 B24 B25 Caâu S4a1 S4a2 S4b S4c   S5a S5b S5d                                     Caâu S5c             B26 B27 B28 B29 B30 TC HS B31 B32 B33 B34 B35 B36 B37 B38 B39 B40 B41 B42 B43 B44 B45 B46 B47 B48 B49 B50          21 Caâu S4a1 S4a2 S4b             S4c S5a 17 S5b Caâu S5c 3 S5d                              B51 B52 B53 B54 B55 B56 B57 B58 B59 B60 TC HS B61 B62 B63 B64 B65 B66 B67 B68 B69 B70 B71 B72 B73                24 Caâu S4a1 S4a2 S4b      S4c S5a S5b   Caâu S5c                        S5d  B74 B75 B76 B77 B78 B79 B80 B81 B82 B83 B84 B85 B86 B87 B88 B89 B90 TC HS B91 B92 B93 B94 B95 B96                                   14 Caâu S4a1 S4a2 S4b       S4c S5a S5b 12 Caâu S5c S5d       B97 B98 B99 B100 B101 B102 B103 B104 B105 B106 B107 B108 B109 B110 TC                             14 THOÁNG KÊ TỈ LỆ (Trên tổng số 110 hs tham gia thực nghiệm B) Câu Câu Số S4a1 S4a2 S4b Liệu Tổng 11 19 73 số Tỉ lệ 10 17,3 66,4 % S4c S5a 32 6,3% 29,1 S5b 28 Caâu S5c 29 25,5 26,4 1,8 S5d 14 12,7 4,5 PHUÏ LUÏC THỐNG KÊ CÂU 8,9,10 – THỰC NGHIỆM B Câu Caâu HS B01 B02 B03 B04 B05 B06 B07 B08 B09 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 B17 B18 B19 B20 TC a b c d    a b c d   b c d              a2    d a b            d a b c d a Caâu 10 c d    c     d       c    b2        b1      c a1 Caâu HS b    Caâu a d        11 c   b      a       d       c       b     a          a       Caâu 10 b c d a b c d a1 a2 b1 b2 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B27 B28 B29 B30 B31 B32 B33 B34 B35 B36 B37 B38 B39 B40 TC                           4 12 c           12            11 d a b c d a           b c d a       b c d a  b c a1 a2       b2 c d    b1      d    Caâu 10      Caâu   12          b         Caâu a                                           HS B41 B42 B43 B44 B45 B46 B47             B48 B49 B50 B51 B52 B53 B54 B55 B56 B57 B58 B59 B60 TC                         17 14 Caâu b c d            8 a b c d a b c d        b c        d        a b c d       a1 a2 b1 b2 c d                                 a Caâu 10                  Caâu a                            HS B61 B62 B63 B64 B65 B66 B67 B68 B69 B70 B71 B72 B73 B74                    B75 B76 B77 B78 B79 B80 TC            17   16 Caâu B81 B82 B83 B84 B85 B86 B87 B88 B89 B90 B91 B92 B93 B94 B95 B96 B97 B98 B99 B100 TC b c d       a b c d            12 10         a b d b d    a b c                   20        10 a2    a1                              d      18 c   a            18 c Caâu 10            11           Caâu HS a          11   b1 b2 c d Caâu Caâu HS a B101 B102 B103 B104 B105 B106 B107 B108 B109 B110 TC b c d a b c   d a                             4 Caâu 10 b c d a b c d a b c  d           b1 b2 c           d      a2   10 a1  THỐNG KÊ TỈ LỆ (TRÊN TỔNG SỐ 110 HS THAM GIA THỰC NGHIỆM B) u Caâu Caâu Caâu 10 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a1 a2 b1 b2 c d 35 35 30 73 30 76 25 34 16 49 42 29 33 25 56 13 31,9 31,9 1,8 27,3 66,4 3,6 0,9 27,3 69,1 4,6 0,9 22,8 30,9 7,3 14,5 44,5 38,2 2,7 26,4 30 22,8 50,9 5,5 3,6 11,8 0,9 u eä ... với khái niệm liên tục không ? Phương pháp tổ chức nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu mà áp dụng luận văn thực đồng thời hai nghiên cứu : Nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế Nghiên cứu. .. nghóa khái niệm hàm số liên tục điểm Khái niệm liên tục xuất tường minh lần qua khái niệm hàm số liên tục, đường cong liên tục thấy lịch sử phát triển Thuật ngữ “Hàm số liên tục? ?? định nghóa khái niệm. .. luận nghiên cứu nêu trên, trình bày tổ chức nghiên cứu sau :  Phân tích tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm liên tục để làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm  Phân