Cấu trúc một số lớp môđun trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH DƯƠNG THỊ PHONG LAN CẤU TRÚC MỘT SỐ LỚP MƠĐUN TRÊN VÀNH CHÍNH Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mỵ Vinh Quang TP Hồ Chí Minh – 2005 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƯƠNG II: MÔĐUN CYCLIC - MÔĐUN TỰA CYCLIC 18 CHƯƠNG III: MÔĐUN CHIA ĐƯỢC 35 CHƯƠNG IV: MÔĐUN KIỂU HỮU HẠN 44 CHƯƠNG V: MÔĐUN NOETHER - MÔĐUN ARTIN 67 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô tổ Đại số trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh trường đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn Đặc biệt, tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn PGS.TS Mỵ Vinh Quang tận tình dạy, hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến q báu cho luận văn Cuối xin cảm ơn bạn lớp cao học Đại số khóa 13 Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tơi trao đổi thảo luận chuyên đề cao học, nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để tơi hồn thành luận văn TP.HCM, ngày 01 tháng năm 2005 Tác giả luận văn Dương Thị Phong Lan MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm Abel chuyên ngành Đại số thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học tiếng, có nhiều kết thú vị tiếng nhóm Abel mặt Đại số, ta xét nhóm Abel mơđun vành z Do mơđun vành xem mở rộng nhóm Abel Theo hướng luận văn cố gắng xây dựng, mở rộng số kết đẹp, thú vị nhóm Abel sang mơđun vành Cụ thể luận văn này, đưa khái niệm cấp phần tử mơđun (trên vành chính) tương tự khái niệm cấp phần tử nhóm Abel Sau dựa vào khái niệp cấp phần tử xây dựng khái niệm môđun cyclic, môđun tựa cyclic, mơđun kiểu hữu hạn Từ chúng tơi đưa chứng minh định lý cho phép mô tả cấu trúc môđun cyclic, tựa cyclic, chia được, môđun kiểu hữu hạn, môđun Noether, môđun Artin Cũng cần lưu ý vành z không vành mà cịn vành Euclide (có thuật chia có dư) khái niệm cấp phần tử mơđun có nhiều khác biệt nên chuyển từ nhóm Abel sang mơđun kỹ thuật chứng minh có nhiều thay đổi Luận văn chia thành chương: Chương I: Các kiến thức Trong chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau bao gồm: khái niệm vành chính, mơđun, tổng trực tiếp, hệ độc lập tuyến tính môđun tự Chương II: Môđun cyclic - Môđun tựa cyclic Trong chương đưa khái niệm cấp phần tử mơđun vành Sau dựa vào khái niệm cấp chúng tơi đưa định nghĩa môđun tựa cyclic đặc biệt chứng minh số tính chất mơđun tựa cyclic Chương III: Môđun chia Trong chương này, chúng tơi xét số tính chất mơđun chia Đặc biệt đưa chứng minh định lý cấu trúc môđun chia cho phép mô tả lớp môđun chia Chương IV: Môđun kiểu hữu hạn Đưa khái niệm môđun kiểu hữu hạn, môđun kiểu vô hạn cuối trình bày định lý mơ tả cấu trúc môđun kiểu hữu hạn Chương V: Môđun Noether - Môđun Artin Trong chương nêu lên vài tính chất mơđun Noether mơđun Artin Đặc biệt đưa chứng minh định lý mơ tả cấu trúc mơđun Noether Artin Vì thời gian khả hạn chế, luận văn có thiếu sót định Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp vui lịng bảo lượng thứ CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chương sau bao gồm: Khái niệm vành chính, mơđun, tổng trực tiếp, hệ độc lập tuyến tính mơđun tự Định nghĩa 1.1: Vành vành giao hốn, có đơn vị, khơng có ước iđêan iđêan Định nghĩa 1.2: Cho R vành chính, môđun R (hay gọi gọn R-môđun) nhóm cộng Abel M với ánh xạ: φ: RxM → M (a,x) ↦ ax thỏa mãn tiên đề sau: với a, b ∈ R, với x, y∈ M a(x+y) = ax + ay (a+b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) lx = x 87T Về sau cho R-môđun M mà khơng nói thêm ta hiểu cho M mơđun vành R Định nghĩa 1.3: Khái niệm tổng trực tiếp họ mơđun trình bày theo hai cách: Cho R-môđun M {Mi }i∈I họ môđun M, M tổng trực tiếp họ {Mi }i∈I , Ký hiệu M = ⨁ Mi nếu: 87T i) Mọi phần tử i∈I x ∈M 87T95T biểu thị dạng x=  ∑ x i , xi ∈ Mi hữu hạn x i ≠ i∈I ii) M= ∑ M i , Mi ∩ i∈I ∑M i≠ j j R = {0} Hai cách định nghĩa tương đương với nhau, thật vậy: i)⇒ii) ∀x ∈ M , x biểu diễn dạng x = ∑x i∈I i , x i ∈ M i M = ∑ M i Giả sử M i ∩ ∑ M j ≠ {0} , tồn x ≠ để x ∈ M i ∩ ∑ M j Khi x có i≠ j i∈I i≠ j hai cách biểu diễn x= ∑ x k , x i =x, vị trí khác 0, k∈I x = ∑ x k x i =0 tồn số j ≠ i: x j =x Điều vơ lý theo i) x k∈I biểu diễn Vậy Mi ∩ ∑M i≠ j j = {0} ii) ⇒ i) Theo ii) M = ∑ M i nên x biểu diễn sau: X = ∑ x i Nếu x có thêm i∈I i∈I cách biểu diễn khác: x = ∑ x ′i : i∈I x i - x ′i = ∑ x j -∑ x ′j ∈ M i ∩ ∑ M=j j≠ i j≠ i {0} , ∀i ∈ I i≠ j , ∀i ∈ I Vậy x i = x ′i , ∀i ∈ I Tức biểu Do x i - x ′i = ∑ x j -∑ x ′j = j≠ i j≠ i diễn x ♦ Định nghĩa I.4: Cho X tập khác rỗng M, tập hợp môđun M chứa X khác rỗng chứa M Giao tập hợp môđun M gọi môđun sinh tập hợp X, kí hiệu X Nếu M = X X gọi hệ sinh M Nếu M = X X hữu hạn M gọi hữu hạn sinh Mệnh đề I.5: Môđun R-môđun M sinh tập khác rỗng X M tập hợp tất tổ hợp tuyến tính với hệ tử R phần tử X: X = � ∑ a x x / hữu hạn a x khác � x∈X Chứng minh: 10 M cyclic vô hạn ≠ N ≤ M N mơđun cyclic vô hạn |M : N| hữu hạn nên M thỏa điều kiện tối đại ♦ Nếu n > l , chứng minh định lý cách quy n p theo n Giả sử môđun N M N = x1 ,x , , x n −1 thỏa điều kiện tối đại Mặt khác ta có = x n mơđun cyclic M N thỏa điều kiện tối đại suy M thỏa điều kiện tối đại hay M môđun Noether Bổ đề V.3: Tổng trực tiếp hữu hạn môđun Noether (Artin) môđun Noether (Artin) 70 -71Chứng minh: n Xét ∑M i =1 i , M i mơđun Noether (Artin), chứng minh quy n −1 nạp theo n Giả sử ∑M i =1 i môđun Noether (Artin) mơđun thương n ∑M i =1 n −1 i ≅ ∑ M i môđun Noether (Artin) Hơn M n môđun Noether (Artin) Mn i =1 n nên ∑M i =1 i môđun Noether (Artin) Mệnh đề V.4: 71 Cho M R-môđun tự hữu hạn sinh, X sở M X hữu hạn Chứng minh: Thật v ậ y, giả sử s hệ sinh hữu hạn M, phần tử s ∈ biểu thị tuyến tính qua sở X, gọi X ' tập X dùng để biểu diễn s ∈ S.Vì s hữu hạn nên X' tập hữu hạn X Mọi phần tử M biểu thị tuyến tính qua s qua X ' , tồn x ∈ X \ X ' x biểu thị tuyến tính qua X' X ' ∪ { x } ⊆ X phụ thuộc tuyến tính X phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với X sở M X=X' X hữu hạn Định lý V.5: (Cấu trúc môđun Noether) 72 -73M R-môđun Noether M tổng trực tiếp hữu h n mơđun cyclic vơ hạn có cấp lũy thừa nguyên tố Sự phân tích phần xoắn M p-môđun Chứng minh: ( ⇒ )Đầu tiên giả sử M môđun không xoắn, M Noether nên ta chứng minh M môđun tự Thật vậy: Giả sử M ≠ 0, X tập hữu hạn phần tử sinh khác M M khơng xoắn nên x ∈ X rx = ( r ∈ R ) r = Nếu có tập khác rỗng s = {x ,x , , x } X tập lớn thỏa mãn tính chất: r1x1 ,r2 x , , rk x k = ⇒ r i 73 k = 0, ∀i Rõ ràng môđun F sinh s R-môđun tự sở S Lấy y ∈ X \ S , tính tối đại S tồn k ≠ ry , r1 ,r2 , , rk ∈ R cho ry y + r1x1 +r2 x + +rk x k =0 ⇒ ry y = - ∑ ri x i ∈ F , i =1 r y ≠ r y = tính độc lập S, r i =0, ∀i , điều mâu thuẫn với tính tối đại s Vì X hữu hạn nên tồn r ∈ R , r ≠ (có thể lấy r = ∏r y∈X\S y ) cho rX = {rx / x ∈ X } ⊆ F, rM = {rx /x ∈ M } Ánh xạ: f:M →M a  đồng cấu R-môđun với imf = rM M khơng xoắn nên kerf = suy M ≅ imf = rM ≤ F 74 -75Do F môđun tự nên theo mệnh đề I.11 M mơđun tự Vì M tự M hữu hạn sinh nên theo mệnh đề II M có sở hữu hạn { x , x , , x n } Do theo mệnh đề IV.7 M = ⊕ x i Vậy M tổng trực tiếp hữu h n môđun cyclic vô hạn Cuối cùng, lấy T phần xoắn M M hữu h n sinh không xoắn T theo chứng minh M T mơđun tự do, theo mệnh đề I.14 M = T ⊕ F, F ≅ M mơđun tự có sở hữu hạn T Mặt khác, T môđun xoắn hữu h n sinh T kiểu hữu hạn theo định lý IV.10 T tổng trực tiếp hữu hạn môđun cyclic có cấp lũy thừa 75 nguyên tố F mơđun tự hữu hạn sinh nên F có sở hữu hạn Theo mệnh đề I.9 F tổng trực tiếp hữu hạn môđun cyclic vô hạn Vậy M tổng trực tiếp hữu h n mơđun cyclic có cấp lũy thừa ngun tố hữu h n môđun cyclic vô hạn ( ⇐ )Mơđun cyclic vơ h n có cấp lũy thừa nguyên tố môđun hữu hạn sinh nên mơđun Noether theo bổ đề V.3 tổng trực tiếp hữu hạn chúng môđun Noether Trong trường hợp phần xoắn T M p-mơđun T phân tích thành tổng trực tiếp hữu h n môđun cyclic có cấp l ũ y thừa p, phân tích M d u y 76 -77Định nghĩa V.6 : Một môđun gọi rút gọn khơng có mơđun chia không t ầ m thường Mệnh đề V.7: Cho R-môđun M tồn môđun chia lớn D M M = D ⊕ E , E rút gọn Chứng : 77 Lấy D = D i Di chia mơđun sinh tất mơđun chia M D chia được, II suy M = D ⊕ E D ∩ E = nên E rút gọn Định lý V.8: (Cấu trúc môđun Artin) M R-môđun Artin M tổng trực tiếp hữu h n mơđun tựa cyclic mơđun cyclic có cấp l ũ y thừa nguyên tố Chứng minh: ( ⇒ ) Nếu M mơđun Artin M môđun xoắn, thật v ậ y giả sử M khơng mơđun xoắn Khi tồn x ∈ M,x ≠ x có cấp vơ hạn, mơđun cyclic x có cấp vơ hạn Lấy p phần tử nguyên tố thuộc R 78 px -79môđun thật x ta có dãy giảm vơ hạn mơđun sau: x > px > > pn x > , điều n y m â u thuẫn với M môđun Artin Vậy M môđun xoắn theo mệnh đề II.10 M tổng trực tiếp thành phần p-nguyên sơ Do giả sử M p-môđun Theo mệnh đề V.7 môđun M có mơđun chia lớn D M=D ⊕ E E rút gọn Hơn D môđun chia xoắn nên theo hệ III 10 D tổng trực tiếp hữu h n môđun tựa cyclic B â y cần chứng minh E môđun kiểu hữu hạn, thật vậy: giả sử E kiểu vô hạn Ta có M mơđun Artin nên mơđun E mơđun Artin, tìm môđun kiểu vô h n tối tiểu N E Nếu N=pN N mơđun chia N=0 (do tính rút gọn E), trái với N kiểu vô hạn Vậy pN