Ánh xạ tuyến tính compact và phổ của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP CHÍ MINH Inthakoumman Kounnavong ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH COMPACT VÀ PHỔ CỦA NĨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Inthakoumman Kounnavong ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH COMPACT VÀ PHỔ CỦA NĨ Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luâ ̣n văn tha ̣c si ̃ Toán ho ̣c với đề tài “ Ánh xa ̣ tyuế n tiń h compact và phổ của nó ” thực hiêṇ với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Bích Huy, không chép của bấ t cứ Nô ̣i dung của luâ ̣n văn có tham khảo và sử du ̣ng mô ̣t số thông tin, tài liêụ từ các nguồ n sách, ta ̣p chí đươ ̣c liêṭ kê danh mu ̣c tài liê ̣u tham khảo Tôi xin hoàn toàn chiụ mo ̣i trách nhiê ̣m về luâ ̣n văn của mình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Ho ̣c viên thực hiê ̣n INTHAKOUMMAN Kounnavong LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bích Huy, Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phịng Tổ chức hành chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt trình học tập làm luận văn Và cảm ơn bạn Học viên K25 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! INTHAKOUMMAN Kounnavong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xa ̣ liên hơ ̣p 1.2 Phổ ánh xạ tuyến tính, liên tục Chương ÁNH XẠ COMPACT 12 2.1 Định nghĩa, các tính chất 12 2.2 Các đinh ̣ lí Fredholm 14 2.3 Phổ của ánh xa ̣ compact 17 Chương TỐN TỬ TUYẾN TÍNH COMPACT TỰ LIÊN HỢP TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 20 3.1 Toán tử tự liên hơ ̣p không gian Hilbert 20 3.2 Phổ của toán tử tự liên hơ ̣p không gian Hilbert 22 3.3 Phổ của toán tử tự liên hơ ̣p compact không gian Hilbert 28 KẾT LUẬN 37 TÀ I LIỆU THAM KHẢO 38 CÁC KÍ HIỆU K trường số thực L( X ,Y ) tập ánh xạ A : X  Y tuyến tính liên tục L( X ) L( X , X ) Isom( X )  A  L( X ) : A song ánh  ( A) tập giải A  ( A) phổ A A* ánh xạ liên hợp A M không gian bù trực giao M m inf Ax, x M sup Ax, x x 1 x i 1 f C( X ) x 1 n x số phức i , với x  ( x1 , x2 , , xn )  X sup  f ( x ) : x  [a, b] với f :[a, b]  K liên tục không gian hàm liên tục từ X  K MỞ ĐẦU Ánh xạ tuyến tính liên tục với khơng gian tơpơ tuyến tính hai đối tượng nghiên cứu Giải tích hàm Tuy tượng Tự nhiên Xã hội mô tả phương trình phi tuyến, để nghiên cứu chúng nhà Toán học phải sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để đưa chúng phương trình với ánh xạ tuyến tính Lớp ánh xạ tuyến tính compact lớp ánh xạ tuyến tính quan trọng Chúng nhà Toán học quan tâm nghiên cứu hai lí Về mặt lí thuyết, chúng có tính chất đặc biệt q trình nghiên cứu chúng nhà Tốn học phát minh phương pháp khái niệm Toán học Về mặt ứng dụng, chúng sử dụng nhiều phương trình khoa học - cơng nghệ Đến nay, Lí thuyết ánh xạ tuyến tính compact Ứng dụng xây dựng hồn chỉnh tìm ứng dụng sâu sắc Lí thuyết phương trình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển,… Việc tìm hiểu Lí thuyết giúp học viên bổ sung cho kiến thức mới, đại, chúng sử dụng để học tập nghiên cứu lĩnh vực Mu ̣c tiêu của luâ ̣n văn là trình bày chi tiết hệ thống kết ánh xạ tuyến tính compact ứng dụng như: tính compact ánh xạ liên hợp, của ánh xạ giới hạn, của daỹ ánh xa ̣ compact, định lí Fredholm, tính chất phổ ánh xạ compact tự liên hợp khơng gian Hilbert, tính compact số ánh xạ tích phân,… Luâ ̣n văn đươ ̣c hoàn thành sở tìm hiểu sách chuyên khảo báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp kiến thức thu trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học chi tiết Luận văn gồm có chương sau: Chương 1: Trin ̀ h bày các kiến thức chuẩn bị về ánh xa ̣ liên hơ ̣p, phổ của ánh xa ̣ tuyế n tin ́ h liên tu ̣c Chương 2: Giới thiêụ ánh xa ̣ compact tổ ng quát và trình bày các tiń h chấ t bản, các đinh ̣ lí Fredholm và tính chấ t phổ của anh xa ̣ compact Chương 3: Trình bày về toán tử tuyến tính tự liên hợp compact khơng gian Hilbert tiń h chấ t phổ của toán tử tự liên hơ ̣p, đinh ̣ lí phân tích phổ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xa ̣ liên hơ ̣p Đinh ̣ nghiã 1.1.1 Cho các không gian đinh ̣ chuẩ n X , Y trường số K và A : X  Y là ánh xa ̣ tuyế n tính liên tu ̣c Khi đó, ánh xa ̣ A : Y   X  , A  f   f A go ̣i là ánh xa ̣ liên hơ ̣p của ánh xa ̣ A Nế u ký hiêụ f  y  , với f  Y  , y  Y bởi f , y thì ta có A f , x  f , Ax , x  X , f Y  Đinh ̣ lí 1.1.1 A là ánh xa ̣ tuyế n tính liên tu ̣c và A  A Chứng minh: • Với f , g Y * ;  ,   K , ta có x  X : A*  f   g  , x   f   g , Ax   f , Ax   g , Ax   A* f , x   A* g , x   A* f   A* g , x Do đó A*  f   g    A* f   A* g • Ta có A* f , x  f , Ax  f Ax  f A x , f Y * , x  X nên A* f  A f , f  Y * Do đó A* liên tu ̣c và A*  A • Ax  sup g , Ax  sup A* g , x  A* x g 1 g 1 Suy A  A* Vâ ̣y A  A Mênh ̣ đề 1.1.1 Cho các không gian đinh ̣ chuẩ n X , Y , Z ; A, B  L  X , Y  , C  L Y , Z  Ta có: 1)   A 2) C    A ,  A  B   A  B   A   A C   Chứng minh: 1) Ta dễ dàng kiểm tra tính chất từ định nghĩa 2) Với mo ̣i h  Z  , ta có: C A  h   h  C   A    h C  A   C h  A  A  C h   A C   h  Vậy C A   A C   Định nghĩa 1.1.2 Cho các không gian đinh ̣ chuẩ n X , Y và A  L  X , Y  Ta ký hiê ̣u: R  A   A  X  , N  A   KerA Với M  X , L  X  ta đinh ̣ nghiã các tâ ̣p M   X  , L  X bởi: M    f  X  : f  x   0, x  M  L   x  X : f  x   0, f  L Dễ thấy M  , L không gian vectơ đóng Bở đề 1.1.1 Nế u M  X là không gian vectơ thì  M    M  24 Khi đó  z,  A   I  x  z, Ax   x  Az   z, x , x  X Suy Az   z (3.2.2) Nế u  là số phức thì ̣ thức (3.2.2) cho thấ y số phức liên hơ ̣p  là giá tri ̣ riêng của toán tử A Điề u này mâu thuẫn với đinh ̣ lí 3.2.1 Nế u  là số thực thì 0 z   Az   z   Az   z  (vô lý) Do đó z  X mà z ⊥ X thì z  X là không gian đóng của X Thâ ̣t vâ ̣y, giả sử  yn   X và yn  y X Đă ̣t yn  A xn , với mo ̣i số nguyên dương n, m ta có xn  xm   A  xn  xm   yn  ym  Vì  yn  là daỹ bản nên  xn  là daỹ bản X Do đó  xn  hô ̣i tu ̣ Đă ̣t x  lim xn Ta đươ ̣c A x  lim A xn  lim yn  y Do đó y  X Vì vâ ̣y n  n  n  X là không gian đóng của X Theo suy X  X Do đó toán tử A   I là song ánh ánh xa ̣ X lên chiń h nó nên tồ n ta ̣i toán tử giải R   A   I  xác đinh ̣ X Mo ̣i y  X có 1 thể viế t da ̣ng y  A x, x  X Từ đó ta có R y  x   A x  Suy R là toán tử tuyế n tính bi ̣chă ̣n và R  Vì vâ ̣y  là giá tri ̣chiń h qui của toán tử A y   25 Hê ̣ quả 3.2.1 Số  thuô ̣c phổ của toán tử tự liên hơ ̣p A và chỉ tồ n ta ̣i daỹ  xn   X , xn   n  1, 2,  cho lim A xn  n Chứng minh: Suy trực tiế p từ đinh ̣ lí 3.2.3 Đinh ̣ lí 3.2.4 Mo ̣i số phức   a  bi với b  đề u là giá tri ̣chính qui của toán tử tự liên hơ ̣p A Chứng minh: Với mo ̣i x  X , ta có A x, x  Ax, x   x, x , và x, A x  A x, x  Ax, x   x, x Do đó   x, A x  A x, x     x, x  2bi x Suy b x  x, A x  A x, x  x, A x  A x, x  x A x Từ đó ta có A x  b x , x  X Theo Đinh ̣ lí 3.2.3 ta có sớ   a  bi,  b   là giá tri ̣chính qui của toán tử A Định lí 3.2.5 Phổ của toán tử tự liên hơ ̣p A thuô ̣c  X  là khác rỗng Chứng minh: Theo Đinh ̣ lí 3.2.4 thì phổ của toán tử tự liên hơ ̣p chỉ có thể nằ m tru ̣c thực Đă ̣t m  inf Ax, x , M  sup Ax, x x 1 x 1 Ta có A  sup Ax, x  max  m , M  x 1 26 Ta nhâ ̣n thấ y với số thực t tùy ý phổ của toán tử At  A  tI nhâ ̣n đươ ̣c từ phổ của toán tử A bằ ng cách tinh ̣ tiế n theo tru ̣c thực mô ̣t đoa ̣n bằ ng t ; các số m, M đươ ̣c thay bằ ng m  t , M  t Thâ ̣t vâ ̣y , giả sử 0 là mô ̣t giá tri ̣ phổ của toán tử A Theo Hê ̣ quả 3.2.1, tồ n ta ̣i daỹ  xn   X , x  cho lim Axn  0 xn  n Do đó lim At xn   0  t  xn  lim  A  tI  xn   0  t  xn n n  lim Axn  0 xn  n Suy số 0  t là giá tri ̣phổ của toán tử A Theo đinh ̣ nghiã câ ̣n đúng và câ ̣n dưới đúng ta đươ ̣c sup  Ax, x  t   M  t , inf  Ax, x  t   m  t x 1 x 1 Không mấ t tính tổ ng quát, ta có thể xem  m  M Khi đó A  M Theo đinh ̣ nghiã câ ̣n đúng, tồ n ta ̣i daỹ  xn   X , xn  cho lim n Axn , xn  M Đă ̣t d n  M  Axn , xn Ta có dn  0, n và lim d n  n  Do đó Axn  Mxn  Axn  Mxn , Axn  Mxn  Axn  M Axn , xn  M 27  M  M Axn , xn  2Mdn , n Từ đó lim Axn  Mxn  0, n tức là M thuô ̣c phổ của toán tử A Tương tự, ta chứng minh đươ ̣c m thuô ̣c phổ của toán tử A Đinh ̣ lí 3.2.6 (Cấ u trúc phở của toán tử tư ̣ liên hơ ̣p) Phổ của toán tử tự liên hơ ̣p A nằ m đoa ̣n  m, M  của tru ̣c X  thực, đó m  inf Ax, x , M  sup Ax, x x 1 x 1 Các số m, M thuô ̣c phổ của A Chứng minh: Theo Đinh ̣ lí 3.2.4, ta chỉ cầ n chứng minh mo ̣i số thực  không thuô ̣c đoa ̣n  m, M  đề u là giá tri ̣chính qui Giả sử   m Đă ̣t d  m   thì d  và, với mo ̣i x  X , ta có d  m    Ax, x   x, x  A x, x  A x x Suy A x  d x Với mo ̣i x  X , x  0, đă ̣t y  x x thì y  Theo chứng minh ta có A y  d y Từ đó A x x d x x Do đó A x  d x 28 Bấ t đẳ ng thức nghiêm ̣ đúng x  Vì vâ ̣y A x  d x , x  X Suy λ là giá tri ̣chin ́ h qui của toán tử A Tương tự, ta chứng minh đươ ̣c   M thì λ là giá tri ̣chính qui của A 3.3 Phổ của toán tử tư ̣ liên hơ ̣p compact không gian Hilbert Đinh ̣ lí dưới trình bày cấ u trúc phổ của toán tử compact tự liên hơ ̣p khơng gian Hilbert Định lí 3.3.1 Giả sử X là không gian Hilbert A là toán tử compact tự liên hơ ̣p  X  Khi đó, mỗi giá tri ̣ phổ   của A đề u là giá tri ̣ riêng của A ( A có phổ điể m ) Chứng minh: Theo Hê ̣ quả 3.2.1, tồ n ta ̣i daỹ  xn   X , xn  cho lim Axn   xn  n Đă ̣t yn  Axn   xn thì xn    Axn  yn  Do A compact nên daỹ  Axn  chứa daỹ  Axnk  hô ̣i tu ̣ X Mă ̣t khác, vì daỹ  yn  hô ̣i tu ̣ về nên daỹ sau hội tụ xnk    Ax nk   ynk , k  1,2, Đă ̣t x  lim n xnk thì x  và   x  lim Axnk  ynk  n  Suy Ax   x Vâ ̣y  là mô ̣t giá tri ̣riêng của A Từ đinh ̣ lí ta có các ̣ quả trực tiế p sau: Ax 29 Hệ 3.3.1 Giả sử X là không gian Hilbert Nế u A  X  là toán tử compact tự liên hơ ̣p có vô số giá tri ̣ riêng thì tâ ̣p các tri ̣ riêng của A là đế m đươ ̣c và là điể m giới ̣n nhấ t của các giá tri ̣riêng đó Hê ̣ quả 3.3.2 Giả sử A  ( E n ) đươ ̣c xác đinh ̣ bởi ma trâ ̣n thực đố i xứng qua đường chéo chin ́ h Khi đó, nế u  không là giá tri ̣ riêng của A thì phương triǹ h  A  I  x  y có nghiê ̣m nhấ t y  n Hê ̣ quả 3.3.3 Nế u H là mô ̣t không gian Hilbert, và A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p khác không thì phổ của toán tử A là mô ̣t tâ ̣p hơ ̣p không rỗng và tồ n ta ̣i mô ̣t số  thuô ̣c phổ của A cho   A Chứng minh: Hai số m và M (trong Đinh ̣ lí 3.2.6.) đề u thuô ̣c phổ của toán tử ̣ lí 3.1.1 ta có A Theo Đinh A  sup Ax, x  max  m , M  x 1 Vâ ̣y hoă ̣c m  A hoă ̣c M  A Nhận xét 3.3.1 Giả sử H là mô ̣t không gian Hilbert và A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact Khi đó, phổ của toán tử A có các tính chấ t sau: a)   A    m, M   R, đó m  inf Ax, x , M  sup Ax, x x 1 x 1 m và M đề u thuô ̣c   A  b)   A  là mô ̣t tâ ̣p hơ ̣p hữu ̣n hoă ̣c đế m đươ ̣c Trong trường hơ ̣p   A  là đế m đươ ̣c thì là điể m tu ̣ nhấ t của   A  (theo Hệ 3.3.1) c) Nế u     A và   thì  là mô ̣t giá tri ̣riêng của A (Định lí 3.3.1) d) Với mo ̣i   , N  A   I  là mô ̣t không gian hữu ̣n chiề u của H 30 Từ tính chấ t c) vừa nêu của phổ của toán tử tự liên hơ ̣p compact và Hệ 3.3.3 ta có định lí sau đây: Đinh ̣ lí 3.3.4 Giả sử H là mô ̣t không gian Hilbert và A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact khác không Khi đó, tồ n ta ̣i it́ nhấ t mô ̣t giá tri ̣ riêng  của A cho   A Chứng minh: Giả sử H mô ̣t không gian Hilbert và A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact khác không Vì tâ ̣p hơ ̣p các giá tri ̣riêng của A là hữu ̣n hoă ̣c đế m đươ ̣c, ta có thể viế t các giá tri ̣ riêng khác không của A thành mô ̣t daỹ vn  (hữu ̣n hoă ̣c vô ̣n) cho  vm với n  m (Từ đinh ̣ lí 3.3.4 suy rằ ng tâ ̣p hơ ̣p các giá tri ̣riêng khác không của A là khác  ) Do   A  không có điể m tu ̣ khác không, có thể cho ̣n cho v1  v2  Đă ̣t dim N  A  I   qn , n  1, 2, với qn là mô ̣t số hữu ̣n đươ ̣c go ̣i là bô ̣i của giá tri ̣riêng   Go ̣i e1 , , eq1 là mô ̣t sở trực chuẩ n của không gian   N  A  v1I  , eq1 1 , , eq1 q2 là mô ̣t sở trực chuẩ n của không gian   N  A  v2 I  , , eq1   qn 1 1 , , eq1   qn là mô ̣t sở trực chuẩ n của không gian N  A  I  Vì các phầ n tử riêng của A ứng với hai giá tri ̣ riêng khác của A là trực giao với (do Bổ đề 3.3.1), nên daỹ en  vừa xây dựng là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n không gian Hilbert H Ta go ̣i daỹ en  là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n đầ y đủ các phầ n tử riêng của toán tử tự liên hơ ̣p compact A Đă ̣t 31 1  2   q  v1 , q 1   q q  v2 , 1 q   q n 1 1   q1   qn  , Đă ̣t n  go ̣i là daỹ các giá tri ̣ riêng tương ứng với daỹ các phầ n tử riêng en  của toán tử A Chú ý rằ ng mỗi của daỹ vn  có mă ̣t daỹ n  mô ̣t số lầ n bằ ng bô ̣i Định lí 3.3.5 Giả sử H là mơ ̣t khơng gian Hilbert, A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact, en  là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n đầ y đủ các phầ n tử riêng của A Khi đó, với mỗi x  H tồ n ta ̣i mô ̣t phầ n tử nhấ t x0 của H cho Ax0  0, và x  x0   x, en en (3.3.8) n Chứng minh: Ta thấ y rằ ng nế u x0 tồ n ta ̣i thì nó đươ ̣c xác đinh ̣ mô ̣t cách nhấ t Đă ̣t L  Lin en  Khi đó x đươ ̣c biể u diễn mô ̣t cách nhấ t dưới da ̣ng x  x0  x1 đó x1  L và x0  L Vì en  là mô ̣t sở trực chuẩ n của L nên ta có x1   x1 , en en   x, en en n Từ đó, ta có đẳ ng thức (3.3.8) n 32 Để kế t thúc chứng minh ta chỉ rằ ng Ax0  Thâ ̣t vâ ̣y, giả sử Ax0  Go ̣i M là phầ n bù trực giao của L Nế u u  M thì u, en  0, với mo ̣i n Do đó, Au, en  u, Aen  u, nen  n u, en  0, với mo ̣i n Vâ ̣y Au  M Ta đã chứng minh A  M   M Đă ̣t A1  A M Vì A1 x0  Ax0  0, nên A1  Theo Đinh ̣ lí 3.3.4, tồ n ta ̣i mô ̣t giá tri ̣riêng  của A1 cho   A1 Go ̣i x là phầ n tử riêng của A1 ứng với giá tri riêng  Ta có ̣ x  M , x  0, và A1x   x Hiể n nhiên, Ax   x ;  là mô ̣t giá tri ̣ riêng khác không của A nên nó trùng với mô ̣t  n nào đó Do đó x  N  A  n I  Vâ ̣y x là mô ̣t tổ hơ ̣p tuyế n tính của mô ̣t số hữu ̣n phầ n tử riêng ek Từ đó suy x  L Vì x  L  M nên x  ; điề u này trái với x  đã nêu ở Đinh ̣ lí 3.3.6 Giả sử H là mô ̣t không gian Hilbert, A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact, en  là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n đầ y đủ các phầ n tử riêng của A , n  là day ̃ các giá tri ̣riêng tương ứng Khi đó với mỗi x  H , ta có Ax   n x, en en n Chứng minh: Theo Đinh ̣ lí 3.3.4, tồ n ta ̣i mô ̣t phầ n tử x0 của H cho x  x0   x, en en , Ax0  n Do 33 Ax  Ax0   x, en Aen   n x, en en vì Aen  n en n n Đinh ̣ lí 3.3.7 Giả sử H là mô ̣t không gian Hilbert, A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact, en  là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n đầ y đủ các phầ n tử riêng của A, n  là day ̃ các giá tri ̣riêng tương ứng Khi đó, nế u  là mô ̣t số khác không và   n với mo ̣i n , thì với mo ̣i y  H , phương trình Ax   x  y (3.3.9) có mô ̣t nghiê ̣m nhấ t x  1 n y, en en  y     n n    Chứng minh: Vì   và   n với mo ̣i n , nên  là mô ̣t giá tri ̣ chính quy của A Do đó phương trình (3.3.9) có mô ̣t nghiê ̣m nhấ t x   A   I  y 1 Từ (3.3.9) suy  x  Ax  y nên x   Ax  y  (3.3.10) Vì Ax   n x, en en (Đinh ̣ lí 3.3.5) nên n x 1   x , e e  y  n n n    n  (3.3.11) Từ (3.3.10) suy  x, en  Ax, en  y, en , với mo ̣i n Ta la ̣i có Ax, en  x, Aen  x, nen  n x, en , thay vào (3.3.12) ta có (3.3.12) 34  x, en  n x, en  y, en Từ đó x, en  y , en , với mo ̣i n , n   thay vào (3.3.11), ta đươ ̣c đẳ ng thức (3.3.9) cầ n chứng minh Bổ đề 3.3.2 Giả sử H không gian Hilbert A  H    H  N  A   R  A  H  N A  R  A  Chứng minh: Để chứng minh H tổng trực giao hai không gian đóng N  A  R  A  H , ta cần chứng minh N  A  R  A    Thật vậy, ta có x  N  A  Ax   Ax, y  0, y  H  x, A y  0, y  H  x  R  A   x  R  A   xRA    Vậy ta chứng minh H  N  A  R  A  Tương tự ta thay A A có H  N  A   R  A  35 Đinh ̣ lí 3.3.8 Giả sử H là mô ̣t không gian Hilbert A  H  là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p compact, en  là mô ̣t ̣ thố ng trực chuẩ n đầ y đủ các phầ n tử riêng của A, n  là day ̃ các giá tri ̣riêng tương ứng Khi đó, nế u  là mô ̣t giá tri ̣ riêng khác không có bô ̣i q , tức là   m1  m   m q , thì phương trình Ax   x  y (3.3.13) có nghiê ̣m và chỉ y trực giao với mỗi nghiê ̣m của phương trình Ax   x  (3.3.14 ) Khi đó, nghiệm tổng quát phương trình (3.3.13) x  1 n y, en en  y   c1em1   cnemq ,     nm1, ,mq n    (3.3.15) đó c1,…,cq là những sớ tùy ý Chứng minh: Do A tốn tử compact   , dễ dàng thấy R  A  không gian đóng H (trong A  A   I ) Từ đó, vì A là mô ̣t toán tử tự liên hơ ̣p, suy R  A   R  A  R  A  Do theo Bổ đề 3.3.2 ta có H  N  A   R  A  (3.3.16) Từ (3.3.16) suy (3.3.13) có nghiê ̣m và chỉ y ⊥ N( A𝜆 ) , tức là y trực giao với các nghiê ̣m của phương trình (3.3.14) Giả sử y trực giao với các nghiê ̣m của phương triǹ h (3.3.14) Khi đó, y trực giao với các phầ n tử em+1 ,…, em+q Gọi x nghiệm phương trình (3.3.13) Khi đó,  x  Ax  y (3.3.17) 36 suy x   Ax  y   1  n x, en en  y     n  Từ (3.3.17) suy  x, en  Ax, en  y, en  n x, en  y, en , tức  n    x, en  y, en , với n (3.3.18) Do x, en  y, en , n   , tức với n  m  1, , m  q n   Với n  m  1, , m  q (3.3.18) trở thành x, en  Khi đó, x, en lấy giá trị tùy ý Do đó, ta có khai triể n (3.3.15) Đảo la ̣i, dễ dàng thử la ̣i đươ ̣c rằ ng các giá tri ̣ của x (3.3.15) đề u là nghiê ̣m của phương trình (3.3.13) 37 KẾT LUẬN Luâ ̣n văn đã giới thiêụ tương đố i đầ y đủ và ̣ thố ng về Lí thuyế t các ánh xa ̣ tuyế n tiń h compact Việc thực đề tài giúp học viên hiểu sâu toàn diện kiến thức học Tơpơ, Giải tích hàm, Phương trình vi phân; thấy rõ mối liên hệ môn học này; biết vận dụng kiến thức học để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Đại học học viên Cao học học học phần Giải tích hàm, Giải tích thực Luâ ̣n văn có thể phát triể n theo hướng nghiên cứu các ánh xa ̣ compact không tuyế n tính 38 TÀ I LIỆU THAM KHẢO Tiế ng Viêṭ Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Viê ̣t Nam Hồng Tụy (2005), Lí thuyết hàm Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nơ ̣i Tiế ng Anh Brezis H (2010), Functional Analysis and Partial Differential Equations, Springe Rudin W (1973), Functional Analysis, Mc Graw- Hill ... tiết hệ thống kết ánh xạ tuyến tính compact ứng dụng như: tính compact ánh xạ liên hợp, của ánh xạ giới hạn, của daỹ ánh xa ̣ compact, định lí Fredholm, tính chất phổ ánh xạ compact tự liên... chúng nhà Toán học phải sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để đưa chúng phương trình với ánh xạ tuyến tính Lớp ánh xạ tuyến tính compact lớp ánh xạ tuyến tính quan trọng Chúng nhà Tốn học quan tâm... 1.2 Phổ ánh xạ tuyến tính, liên tục Chương ÁNH XẠ COMPACT 12 2.1 Định nghĩa, các tính chất 12 2.2 Các đinh ̣ lí Fredholm 14 2.3 Phổ của ánh xa ̣ compact