Một số vấn đề về phương trình mũ và lôgarit

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hữu Lương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Trần Phương Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Phương trình mũ lơgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lôgarit 1.1.1 Phương trình mũ 1.1.2 Phương trình lơgarit 1.2 Phương pháp biến đổi tương đương đưa số 1.2.1 Biến đổi tương đương 1.2.2 Lôgarit hóa đưa số 1.2.3 Mũ hóa đưa số 1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 1.3.1 Mở đầu phương pháp đặt ẩn phụ 1.3.2 Đặt ẩn phụ phương trình mũ 1.3.3 Đặt ẩn phụ phương trình lơgarit 5 5 6 10 10 12 22 Chương Phương pháp hàm số 2.1 Sử dụng tính liên tục hàm số 2.1.1 Đối với phương trình mũ 2.1.2 Đối với phương trình lơgarit 2.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.2.1 Đối với phương trình mũ 2.2.2 Đối với phương trình lôgarit 2.3 Sử dụng phương pháp giá trị lớn nhất, hàm số 2.3.1 Đối với phương trình mũ 2.3.2 Đối với phương trình lơgarit 2.4 Sử dụng định lý LAGRANGE 30 30 30 31 32 32 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN giá trị nhỏ http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 35 37 38 2.4.1 Đối với phương trình mũ 2.4.2 Đối với phương trình lơgarit 2.5 Sử dụng phương pháp điều kiện cần 2.5.1 Đối với phương trình mũ 2.5.2 Đối với phương trình lôgarit 2.6 Sử dụng phương pháp đánh giá 2.6.1 Đối với phương trình mũ 2.6.2 Đối với phương trình lơgarit đủ Chương Phương pháp đặt nhân tử cho phương trình mũ 3.1 Mở đầu phương pháp nhân tử 3.1.1 Một số ví dụ mở đầu 3.1.2 Phương pháp nhân tử 3.2 Một số dạng phương trình nhân tử 3.2.1 Kiểu 2x2 3.2.2 Kiểu 2x3 3.2.3 Kiểu 2x2x2 3.3 Một số ý tập 3.3.1 Một số ý 3.3.2 Một số tập Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 40 41 41 42 43 43 44 46 46 46 48 50 50 53 58 61 61 62 65 66 Mở đầu Trong hệ thống phương trình học bậc trung học phổ thơng, phương trình mũ, phương trình lơgarit chiếm vị trí quan trọng Được đưa vào giảng dạy thức chương trình lớp 12, với thời lượng dài, phương trình mũ, lơgrarit ngày có nhiều đóng góp quan trọng cho toán sơ cấp Khi nghiên cứu loại phương trình người ta thường quan tâm đến cách giải số dạng phương trình số ứng dụng lĩnh vực khác tốn như: Phương trình hàm, giải tích phức, Ngồi việc kết hợp phương trình mũ với phương trình đại số giúp cho xây dựng thêm nhiều lớp tập với cách giải hay Hiện việc xây dựng số đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, tốt nghiệp trung học phổ thơng, phương trình mũ, lơgarit xuất phần kiến thức chuẩn, thể tính thời vấn đề nghiên cứu Nội dung luận văn "Một số vấn đề phương trình mũ lơgarit" chúng tơi trình bày số phương pháp xây dựng, giải phương trình mũ, lơgarit Mục đích luận văn khơng dừng việc trình bày phương pháp giải mà muốn hướng tới việc xây dựng số tập, ví dụ phục vụ cho cơng tác giảng dạy, kiểm tra đánh giá Ngồi luận văn đưa phương pháp để xây dựng phương trình Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương Phương trình mũ lơgarit thường gặp Chương Phương pháp hàm số Chương Phương pháp đặt nhân tử cho phương trình mũ Luận văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Hà Trần Phương - Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn viên bảo hướng dẫn tận tình Thầy hướng dẫn Từ đáy lịng mình, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K3 - Trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm ln văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Đồng Yên - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khóa học Tuy nhiên, thời gian khn khổ luận văn thạc sĩ, nên trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong dạy đóng góp ý kiến quý Thầy Cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2011 Tác giả Nguyễn Hữu Lương Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình mũ lơgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lơgarit 1.1.1 Phương trình mũ Phương trình mũ dạng có dạng ax = m, m số cho, phương trình xác định với x Dễ thấy rằng, m 0, đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = ax , m > 0, đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = m điểm Do đó: Nếu m phương trình ax = m vơ nghiệm Nếu m > phương trình ax = m có nghiệm Nói cách khác ∀m ∈ (0; +∞), ax = m ⇔ x = loga m Ví dụ 1.1 a, 3x = 27 ⇔ x = log3 27 ⇔ x = b, 10x = ⇔ x = log ⇔ x = 1.1.2 Phương trình lơgarit Phương trình lơgarit có dạng loga x = m, m số cho Điều kiện xác định phương trình x > Dễ thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = loga x điểm Do với giá trị tuỳ ý m, phương trình loga x = m ln có nghiệm x = am Nói cách khác, ∀m ∈ (−∞; +∞), loga x = m ⇔ x = ax Ví dụ 1.2 √ 1 ⇔ x = 2 = 2 b, ln x = ⇔ x = e0 ⇔ x = a, log2 x = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 1.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương đưa số Biến đổi tương đương Ta sử dụng phép  biến đổi tương đương sau: a=1 f (x) g(x) a =a ⇔ 00 af (x) = ag(x) ⇔ (nếu số a không đổi) (a − 1) [f (x) − g(x)] = Ví dụ 1.3 Giải phương trình x+17 x+5 32 x−7 = 0, 25.128 x−3 (1.1) Giải Điều kiện x = 3, x = (1.1) ⇔ 5(x+5) x−7 = 2−2 7(x+17) x−3 7(x+17) 5(x+5) ⇔ x−7 = x−3 −2 5(x + 5) 7(x + 17) ⇔ = −2 x−7 x−3 ⇔ x = 10 So với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 Ví dụ 1.4 Giải phương trình √ 10 + x−3 x−1 = √ 10 − x+1 x+3 (1.2) Giải Điều kiện x = −3, x = Nhận xét √ 10 − √ 10 + = ⇒ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN √ 10 − = √ −1 10 + , http://www.lrc-tnu.edu.vn √ (1.2) ⇔ 10 + x−3 x−1 = √ x+1 10 + − x+3 x+1 x−3 =− x−1 x+3 ⇔x =5 √ ⇔ x = ± ⇔ √ So với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = ± Ví dụ 1.5 Giải phương trình √ x − 2x + 4−x2 = (1.3) Giải √ (1.3) ⇔ x − 2x + ⇔ 4−x2 = x2 − 2x + −2 x √ (x2 − 2x + − 1) − x2 =   −2 x ⇔ x2 − 2x + =  − x2 =   −2 x ⇔ x=1  x = ±2 ⇔ x=1 x = ±2 Vậy nghiệm phương trình x = 1, x = ±2 1.2.2 Lơgarit hóa đưa số Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta lơgarit theo số hai vế phương trình, ta có dạng: < a = 1, b > Dạng Phương trình af (x) = b ⇔ f (x) = loga b f (x) g(x) Dạng Phương trình a =b ⇔ loga a f (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN = loga b g(x) ⇔ f (x) = g(x).loga b http://www.lrc-tnu.edu.vn logb af (x) = logb bg(x) ⇔ f (x).logb a = g(x) Ví dụ 1.6 Giải phương trình = Giải Lấy lơgarit số hai vế phương trình ta log2 2x −2x = log2 2 ⇔ x − 2x = log2 − 2x −2x (1.4) ⇔ x2 − 2x + − log2 = 0, ∆ = − + log2 = log2 > Suy phương trình có nghiệm x = ± log2 Ví dụ 1.7 Giải phương trình 5x x−1 x = 500 (1.5) Giải Ta có (1.5) ⇔ 5x 23 x−1 x ⇔ 5x−3 = 53 22 x−3 x = Lấy lôgarit số hai vế, ta log2 5x−3 x−3 x =0 ⇔ log 5x−3 + log2 x−3 x =0 x−3 log2 = x ⇔ (x − 3) log2 + =0 x  x=3  ⇔ x=− log2 ⇔ (x − 3) log2 + log2 Chú ý 1.1 Đối với phương trình cần thiết phải rút gọn trước lơgarit hố Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = − Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 u1 = s1 + s3 ; u2 = s1 + s4 ; v1 = s2 + s3 ; v2 = s2 + s4 Dễ thấy u1 − u2 = v1 − v2 = s3 − s4 Như tốn có dạng: Giải phương trình af1 (x) + af2 (x) − ag1 (x) − ag2 (x) = Có đặc điểm nhận biết phương trình có bốn hạng tử, hai hạng tử mang dấu âm, hai hạng tử mang dấu dương f1 (x) − f2 (x) = f3 (x) − f4 (x) Cách giải Chia bốn hạng tử phương trình thành hai cặp gồm hạng tử dấu hiệu số mũ cặp Sau tiến hành đặt nhân tử chung chuyển phương trình tích Ví dụ 3.4 (Đề thi TS Cao đẳng 2011) Giải bất phương trình √ 4x − 3.2x+ x2 −2x−3 −1 x Giải Điều kiện x √ √ − 41+ x2 −2x−3 > (3.10) Ta có √ x2 −2x−3 − 4.22 x −2x−3 > √ √ 2 ⇔ − 3.2 x −2x−3−x − 4.22( x −2x−3−x) > (3.10) ⇔ 22x − 3.2x+ √ ⇔ − 3.2 √ ⇔ 4.2 √ ⇔ 4.2 x2 −2x−3−x x2 −2x−3−x √ 2( x2 −2x−3−x) − 4.2 √ −1 x2 −2x−3−x x2 −2x−3−x √ − < (do √ ⇔ x −2x−3−x < ⇔ x2 − 2x − − x < −2 ⇔ x2 − 2x − < x − ⇔ x x2 − 2x − < (x − 2)2 ⇔ x x < 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN >0 +1 0) http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 ⇔2 x< Vậy bất phương trình (3.10) có tập nghiệm là: T = 2; Chú ý 3.1 Đối với phương trình nhân tử kiểu 2x2, thường phương trình có nhân tử Ta chia thành nhóm nhân tử dấu nhận xét tổng hay hiệu số mũ nhân tử để có cách đặt nhân tử 3.2.2 Kiểu 2x3 Dạng (as1 − as2 )(as3 + as4 + as5 ) Ta thấy (as1 −as2 )(as3 +as4 +as5 ) = as1 +s3 +as1 +s4 +as1 +s5 −as2 +s3 −as2 +s4 −as2 +s5 , nên phương trình (as1 − as2 )(as3 + as4 + as5 ) = tương đương với as1 +s3 + as1 +s4 + as1 +s5 = as2 +s3 + as2 +s4 + as2 +s5 , hay au1 + au2 + au3 = av1 + av2 + av3 , u1 = s1 + s3 ; u2 = s1 + s4 ; u3 = s1 + s5 ; v1 = s2 + s3 ; v2 = s2 + s4 ; v3 = s2 + s5 Dễ thấy u1 + u2 + u3 − (v1 + v2 + v3 ) = 3(s1 − s2 ) = 3u u1 − v1 = u2 − v2 = u3 − v3 = u Như tốn có dạng: Giải phương trình af1 (x) + af2 (x) + af3 (x) − ag1 (x) − ag2 (x) − ag3 (x) = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Nhận dạng Phương trình có sáu hạng tử, ba hạng tử mang dấu âm, ba hạng tử mang dấu dương f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) − (g1 (x) + g2 (x) + g3 (x)) = 3u Cách giải Chia sáu hạng tử phương trình thành ba cặp, cặp gồm hạng tử dấu dương, hạng tử dấu âm hiệu số mũ cặp u Sau tiến hành đặt nhân tử chung chuyển phương trình tích Ví dụ 3.5 Giải phương trình x3 −x +3 √ x3 −2 x+2 √ −x3 +2 x+2+4 =3 +3 √ x+2 + 80 (3.11) Giải Để ý phương trình có hạng tử, nhiên số 80 viết thành 81-1 nên phương trình tương đương với x3 −4 √ x3 −2 x+2 √ −x3 +2 x+2+4 √ x+2 +3 + 34 (3.12) √ Ta thấy u1 + u2 + u3 − (v1 + v2 + v3 ) = 3(x3 − x + − 4)3u, nên √ u = x3 − x + − +3 +1=3 Do phương trình (3.12) tương đương với x3 −4 (3 ⇔ 3x √ 2− x+2 −3 −4 30 − ) + (3 √ −x3 +2 x+2+4 + (30 − 3−x ⇔ (3x −4 Do 3x−4 + 3x +3 √ x3 −2 x+2 √ x3 −2 x+2 − ) + (3 − + 3x √ +2 x+2+4 √ −x3 +2 x+2+4 √ −2 x+2 (30 − √ −x3 +2 x+2+4 )=0 ) )=0 + 1)(30 − 3−x √ +2 x+2+4 ) = (3.13) √ −2 x+2 + > nên phương trình (3.13) tương tương với √ √ −x3 +2 x+2+4 = 30 ⇔ x3 − = x + Phương trình cuối giải phương pháp khảo sát có nghiệm x = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Dạng (as1 − as2 )(as3 + as4 − as5 ) Ta thấy (as1 −as2 )(as3 +as4 −as5 ) = as1 +s3 +as1 +s4 −as1 +s5 −as2 +s3 −as2 +s4 +as2 +s5 , nên phương trình (as1 − as2 )(as3 + as4 − as5 ) = tương đương với as1 +s3 + as1 +s4 + as2 +s5 = as2 +s3 + as2 +s4 + as1 +s5 , hay au1 + au2 + au3 = av1 + av2 + av3 , u1 = s1 + s3 ; u2 = s1 + s4 ; u3 = s2 + s5 ; v1 = s2 + s3 ; v2 = s2 + s4 ; v3 = s1 + s5 Dễ thấy u1 + u2 + u3 − (v1 + v2 + v3 ) = s1 − s2 = u u1 − v1 = u2 − v2 = u3 − v3 = u Như tốn có dạng: Giải phương trình af1 (x) + af2 (x) + af3 (x) − ag1 (x) − ag2 (x) − ag3 (x) = Nhận dạng Phương trình có sáu hạng tử, ba hạng tử mang dấu âm, ba hạng tử mang dấu dương f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) − (g1 (x) + g2 (x) + g3 (x)) = u Cách giải Chia sáu hạng tử phương trình thành ba cặp, cặp gồm hạng tử dấu dương, hạng tử dấu âm hiệu số mũ cặp u Sau tiến hành đặt nhân tử chung chuyển phương trình tích Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Ví dụ 3.6 Giải phương trình √ 1+2 x Giải Điều kiện x dạng 21+2 +2 √ 1+ x +2 √ 2−2 x √ 1− x =2 + (3.14) Ta viết = + chuyển phương trình √ x √ + 21+ x + 22−2 √ √ x = 21− x + 22 + 21 (3.15) √ Ta thấy u1 + u2 + u3 − (v1 + v2 + v3 ) = x = u nên √ (3.15) ⇔ (21+ x ⇔ 2(22 x ⇔ (2 √ √ x √ Phương trình 22 x √ − 21 ) + (21+ − 1) + 21− − 1)(2 + √ x x − 21− (22 √ 1− x √ x √ x √ ) − (22 − 22−2 − 1) − 22−2 √ 2−2 x −2 √ x √ x (2 x )=0 − 1) = ) = − = có nghiệm x = Phương trình + 21− √ x √ − 22−2 x =0 √ phương trình bậc t = 21− x , có hai nghiệm t1 = −1 (loại) t2 = 2, suy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Dạng (as1 + as2 )(as3 + as4 − as5 ) Ta thấy (as1 +as2 )(as3 +as4 −as5 ) = as1 +s3 +as1 +s4 −as1 +s5 +as2 +s3 +as2 +s4 −as2 +s5 , nên phương trình (as1 + as2 )(as3 + as4 − as5 ) = tương đương với as1 +s3 + as1 +s4 + as2 +s3 + as2 +s4 − as2 +s5 − as1 +s5 = 0, hay au1 + au2 + au3 + au4 = av1 + av2 , Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 u1 = s1 + s3 ; u2 = s1 + s4 ; u3 = s2 + s3 ; u4 = s2 + s4 ; v1 = s1 + s5 ; v2 = s2 + s5 Dễ thấy u1 − u3 = u2 − u4 = v1 − v2 = s1 − s2 Như tốn có dạng: Giải phương trình af1 (x) + af2 (x) + af3 (x) + af4 (x) − ag1 (x) − ag2 (x) = Nhận dạng Phương trình có sáu hạng tử, bốn hạng tử mang dấu dương, hai hạng tử mang dấu âm (hoặc ngược lại) f1 (x) + f3 (x) = f2 (x) − f4 (x) = g1 (x) − g2 (x) Cách giải Chia sáu hạng tử phương trình thành ba cặp, cặp gồm hai hạng tử dấu dương cho hiệu số mũ cặp Sau tiến hành đặt nhân tử chung chuyển phương trình tích Ví dụ 3.7 Giải phương trình √ √ x+1− x √ + 2x+1− x + 2x+1− √ x+1 = 22− √ x + 22− √ x+1 − (3.16) Giải Nhận thấy phương trình có sáu hạng tử, có hai hạng tử dấu dương bốn hạng tử dấu âm Ta biến đổi phương trình dạng √ (2 √ x+1− x √ ⇔ (2 √ ⇔ (2 √ Do √ x+1− x + 1) + (2 √ x+1− x √ +1 √ x+1− x √ +2 ) + 2x+1− − 22− √ x+1− x √ x+1− x 2x+1− + 1)(1 + 2x+1− √ √ x+1 √ x+1 ) − (2 √ x+1 x+1 (2 √ (2 − 22− √ 2− x √ x+1− x +2 √ 2− x+1 )=0 + 1) √ x+1− x √ x+1 + 1) = ) = (3.17) + > nên phương trình (3.17) tương đương với + 2x+1− √ x+1 − 22− √ x+1 = 0, hay 2x+1 + Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN √ x+1 − = (3.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Đặt t = √ x+1 0, phương trình (3.18) trở thành 2t + 2t − = Xét hàm số f (t) = 2t + 2t − có f (t) = 2t.2t ln + 2t ln > nên hàm số f (t) đồng biến Do phương trình (3.18) có nghiệm Dễ thấy nghiệm phương trình (3.18) x = Như phương trình có nghiệm x = 3.2.3 Kiểu 2x2x2 Đối với phương trình nhân tử dạng 2x2x2 có dạng khác nhau, cách thức xây dựng cách đặt nhân tử gần giống Trong phần chúng tơi trình bày số dạng Các dạng khác xây dựng tương tự Ta có (as1 − as2 )(as3 − as4 )(as5 − as6 ) = as1 +s3 +s5 − as1 +s3 +s6 − as1 +s4 +s5 + as1 +s4 +s6 − as2 +s3 +s5 + as2 +s3 +s6 + as2 +s4 +s5 − as2 +s4 +s6 Nên phương trình (as1 − as2 )(as3 − as4 )(as5 − as6 ) = tương đương với phương trình as1 +s3 +s5 + as1 +s4 +s6 + as2 +s3 +s6 + as2 +s4 +s5 = as1 +s3 +s6 + as1 +s4 +s5 + as2 +s3 +s5 + as2 +s4 +s6 , hay au1 + au2 + au3 + au4 = av1 + av2 + av3 + av4 Trong u1 = s1 + s3 + s5 ; u2 = s1 + s4 + s6 ; u3 = s2 + s3 + s6 ; u4 = s2 + s4 + s5 v1 = s1 + s3 + s6 ; v2 = s1 + s4 + s5 ; v3 = s2 + s3 + s5 ; v4 = s2 + s4 + s6 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Đặt u = u1 + u2 + u3 + u4 = v1 + v2 + v3 + v4 Tính chất sau hiển nhiên có cách tính tốn số mũ phương trình Mệnh đề 2.1 Với hoán vị {i1 , i2 , i3 , i4 } {1, 2, 3, 4} ln tồn hốn vị {j1 , j2 , j3 , j4 } {1, 2, 3, 4} cho ui1 + ui2 = vj1 + vj2 ; ui1 − vj1 = ui3 − vj3 ; ui3 + ui4 = vj3 + vj4 ui2 − vj2 = ui4 − vj4 Chứng minh Ta xét trường hợp, trường hợp lại chứng minh tương tự Chọn {i1 , i2 , i3 , i4 } = {1, 2, 3, 4}, hốn vị {j1 , j2 , j3 , j4 } = {1, 2, 4, 3} thỏa mãn mệnh đề Bây ta xét toán nhân tử kiểu 2x2x2: af1 (x) + af2 (x) + af3 (x) + af4 (x) = ag1 (x) + ag2 (x) + ag3 (x) + ag4 (x) , (3.19) f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + f4 (x) = g1 (x) + g2 (x) + g3 (x) + g4 (x) Nhận dạng Phương trình có tám hạng tử, bốn hạng tử mang dấu dương, bốn hạng tử mang dấu âm Cách giải Bước Phân ly hạng tử dấu hai vế phương trình Bước Theo Mệnh đề 2.1 với hoán vị {1, 2, 3, 4}, tồn hoán vị {j1 , j2 , j3 , j4 } thỏa mãn Mệnh đề 2.1, tức f1 (x) + f2 (x) = gj1 (x) + gj2 (x); f3 (x) + f4 (x) = gj3 (x) + gj4 (x) f1 (x) − gj1 (x) = f3 (x) − gj3 (x); f2 (x) − gj2 (x) = f4 (x) − gj4 (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Suy f1 (x) + f2 (x) − g1 (x) − g2 (x) = f3 (x) + f4 (x) − g3 (x) − g4 (x) = 0, f1 (x) − gj1 (x) = f3 (x) − gj3 (x) = −(f2 (x) − gj2 (x)) = −(f4 (x) − gj4 (x)) Nên phương trình (3.19) viết lại af1 (x) − agj1 (x) + af2 (x) − agj2 (x) + af3 (x) − agj3 (x) + af4 (x) − agj4 (x) = 0, hay (af1 (x)−gj1 (x) − 1)(agj1 − af2 (x) + agj3 (x) − af4 (x) ) = Bước Phân tích agj1 − af2 (x) + agj3 (x) − af4 (x) thành tích hai nhân tử (kiểu 2x2), ta phương trình tích Ví dụ 3.8 Giải phương trình √ x2 +x+ x + 8.2 + 4.2 + Giải Điều kiện x √ x2 +x+ x √ x2 +2 x+3 x+1 = 4.2 x2 +x +2 √ x+ x+1 +2 √ x2 + x + 0, phương trình cho tương đương với +2 x2 +2 √ +2 x2 +x+2 x+1 =2 +2 √ x+ x+1 +2 √ x2 + x + 23 Chọn √ x, f2 (x) = x + 3, f3 (x) = x2 + 2, f4 (x) = x + 1; √ √ gj1 (x) = x2 + x + 2, gj2 (x) = x + x + 1, gj4 (x) = x2 + x, gj4 (x) = f1 (x) = x2 + x + √ Áp dụng thuật toán ta có lời giải sau: Phương trình cho tương đương với √ x2 +x+ x (2 ⇔ 2x +x+2 √ −2 √ (2 x2 +x+2 ) + (2 √ + (2 x−2 x+1 x+3 √ − 1) + 2x+3 (1 − √ + 23 (2 x−2 x−2 − 1)(2x ⇔ (2 x−2 − 1)(2x+3 (2x ⇔ (2 x−2 − 1)(2x+3 − 23 )(2x √ +x−2 −1 −2 x−2 +2 +2 √ (1 − x−2 ) + 23 ) = − 1) − 23 (2x ) + 2x √ x2 + x − 1) = − 2x+3 − 2x ) + (2 x2 +2 − 23 ) = ⇔ (2 √ −2 √ x+ x+1 −1 −1 − 1)) = − 1) = Từ phương trình có nghiệm x = 4, x = 0, x = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn ) 61 3.3 3.3.1 Một số ý tập Một số ý Bằng kỹ thuật tương tự, ta xây dựng thêm kiểu phương trình nhân tử khác dạng 3x3, 3x4, Về nguyên tắc, đa thức phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc vơ nghiệm nên tập phương trình mũ mà đổi biến số để đưa phương trình đa thức giải phương pháp Chẳng hạn, ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 3.9 Giải bất phương trình 32x − 8.3x+ √ x+4 √ −9 x+4+1 > Giải Bất phương trình giải hai cách: √ Cách√ Chia hai vế bất phương trình cho x+4 > đặt t = 3x− x+4 > ta bất phương trình bậc t: t2 − 8t − > ⇔ (t + 1)(t − 9) > ⇔ t > 9, √ t > Suy x − > x + Từ ta giải có nghiệm x > Cách Biến đổi phương trình sau: 2x +3 √ x+ x+4 ⇔ 32x + 3x+ ⇔ 3x+ ⇔ 3x+ √ √ ⇔x+ x+4 x+4 √ √ (3 √ x+ x+4 − 9.3 x+4 −3 √ x− x+4 − 32 √ √ x+ x+4+2 + 1) − 32 x+4+2 √ √ −9 −3 √ x+4+1 >0 √ x+4+2 x+4+2 (3 >0 √ x− x+4 + 1) > >0 x+4>2 x+4+2 √ ⇔ x − > x + Từ ta có nghiệm x > Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 3.3.2 Một số tập Chúng đưa hướng dẫn giải số tập: Bài tập 3.1 Giải phương trình 2x −5x+6 + 21−x = 2.26−5x + (3.20) Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình (3.20) dạng 2 2 2x −5x+6 + 21−x = 2(x −5x+6)+(1−x ) + Đặt u = 2x −5x+6 , u, v > Khi ta có v = 21−x 2x −5x+6 21−x − = −1 2x −5x+6 − = 21−x − = ⇔  x=3 ⇔x=2 x = ±1 Đáp số: x = 3, x = 2, x = ±1 Bài tập 3.2 Giải phương trình 2 3.9x + 3x = 3.32x +x + 3x +x (3.21) Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình dạng 3x +1 +1 3x − 3x +x = Đáp số: x = Bài tập 3.3 Giải phương trình 2x+1 8x +2x2 +2x+1 = 4x +2x2 +2x+1 (3.22) Hướng dẫn Biến đổi đưa phưong trình (3.22) dạng 8x −2x2 +2 = 4x +x+1 ⇔ 3x3 − 8x2 − 2x + = ⇔ (3x − 2) x2 − 2x − = √ Đáp số: x = , x = ± 3 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Bài tập 3.4 Giải phương trình √ 25 x + 5.5 √ x √ +5 x+1 = 25.5 √ x− x + √ x− x+3 + 125.5 √ x−2 x (3.23) Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình dạng √ x √ − 5x−2 x+2 √ x √ +5 x+1 + = Đáp số: x = 1, x = Bài tập 3.5 Giải phương trình 8sinx + 4cosx 2sinx + 2.2sinx+2cosx = 4sinx 2cosx + 8cosx + 2.22sinx+cosx (3.24) Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình dạng 2sinx − 2cosx Đáp số: x = 22sinx + 22cosx − 2sinx+cosx+1 = π + kπ, k ∈ Z Bài tập 3.6 Giải phương trình 2.8x+1 + 48.4x + 8x + 3.4x = 2x+6 + 2x+2 (3.25) Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình dạng 2x+1 + 2x−3 22x + 3.2x − = Đáp số: x = Bài tập 3.7 Giải phương trình 3x √ +4x+ x−4 + 3x +3x √ +3 x−1 + 3x+5 = 3x √ +3x+ x−5 + 3x +4x+1 + 3x+ Hướng dẫn Biến đổi phương trình dạng √ 3x+ √ x+1 −3 ⇔ 3x+1 − √ x−2 − 3x+4 + 27 x−2 − 27 3x 3x +3x−3 +3x−3 −3 =0 − = Đáp số: x = 1, x = 3, x = 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn √ x + 81 64 Bài tập 3.8 Giải phương trình 32x −1 + 27.3−3x + 9.3x + = 9.3x −x + 3x −2x + 3x +2x−1 + 27.3−x Hướng dẫn Biến đổi đưa phương trình dạng 3x ⇔ 3x 2 −2x −1 3x −2x −1 3x 2 +2x−1 + 3−x +2x−1 −1 −x+3 − 3−x Đáp số: x = −3, x = 0, x = 1, x = 2, x = −1 ± Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN − 3x+2 − = √ −2x+3 = http://www.lrc-tnu.edu.vn −x 65 Kết luận Phương trình mũ lơgarit có vai trị quan trọng tốn sơ cấp Với mục đích tổng hợp số phương pháp giải, gợi ý số cách xây dựng ví dụ tập phương trình mũ logarit, luận văn đạt số kết sau: - Tổng hợp số phương pháp giải phương trình mũ, lơgarit: Các phương pháp đại số, phương pháp dùng hàm số Trong loại phương trình, ngồi việc trình bày kiến thức phương pháp giải, cố gắng gợi ý số cách để xây dựng ví dụ, tốn phục vụ cho cơng tác nghiên cứu Ngồi chúng tơi cố gắng đề tiêu chí để đánh giá mức độ khó, dễ toán - Đưa phương pháp để xây dựng số phương mũ: Phương pháp đặt nhân tử Các tốn phần không mới, cách tiếp cận khác biệt với cách tiếp cận trước Chúng xây dựng lý thuyết cụ thể đưa số ví dụ dạng nhân tử kiểu 2x2, 2x3, 2x2x2 Trong loại, việc đưa phương pháp xây dựng ví dụ, chúng tơi cịn gợi ý cách thức nhận dạng toán phương pháp giải tốn Ngồi kiểu nhân tử trình bày luận văn, ta có kiểu đặt nhân tử khác Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn chúng tơi chưa trình bày Các phương pháp trình bày luận văn tác giả sử dụng giảng dạy học sinh phổ thông đạt kết định Một số kết người hướng dẫn dạy bồi dưỡng cho giáo viên trung học phổ thơng số tỉnh phía Bắc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Viết Diễn (2010), Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ lôgarit 12, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Lê Hồng Đức (2003), Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội [3] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2010), Phương pháp giải tốn mũ - lơgarit, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Huy Đoan (2001), Giải tốn ơn tập giải tích, NXB Giáo Dục [5] Trần Văn Hạo (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học đại số, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Thái Hịe (2001), Dùng ẩn phụ để giải tốn, NXB Giáo Dục [7] Phan Huy Khải (2001), Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Văn Mậu (2001), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [9] Trần Thành Minh (2001), Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo Dục [10] Đặng Hùng Thắng (1998), Phương trình, bất phương trình hệ phương trình, NXB Giáo Dục [11] Trần Phương, Lê Hồng Đức (2003), Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội [12] MICHAEL SULLIVAN College Algebra Dellen Publíhing Company, San Francico, Caliornia 1990 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thời vấn đề nghiên cứu Nội dung luận văn "Một số vấn đề phương trình mũ lơgarit" chúng tơi trình bày số phương pháp xây dựng, giải phương trình mũ, lơgarit Mục đích luận văn khơng dừng việc trình. .. 1.3.2 Đặt ẩn phụ phương trình mũ Có thể nói phương pháp để chuyển phương trình mũ phương trình đại số Bài tốn 1.1 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình mũ thành phương trình với ẩn phụ • Phương pháp chung... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương trình mũ lơgarit thường gặp 1.1 Phương trình mũ lơgarit 1.1.1 Phương trình mũ Phương trình mũ dạng có dạng ax = m, m số cho, phương trình xác định với x Dễ thấy