Một số phương pháp giải các đề thi olympic về phương trình diophant

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC ĐỀ THI OLYMPIC VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC ĐỀ THI OLYMPIC VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANT Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11, bạn học viên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Đặng Thị Thu Hà ii Mục lục MỞ ĐẦU Chương Phương trình Diophant hệ Diophant 1.1 Phương trình Diophant tuyến tính 1.1.1 Nghiệm riêng 1.1.2 Nghiệm nguyên dương 1.2 Nghiệm nguyên dương hệ phương trình Diophant tuyến tính 2 Chương Các phương pháp giải phương trình Diophant 2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 2.2 Phương pháp đồng dư 2.3 Phương pháp đánh giá 2.4 Phương pháp tham số hóa 2.5 Phương pháp quy nạp toán học 2.6 Phương pháp xuống thang 2.7 Một số phương pháp khác Chương Các dạng toán liên quan đến phương trình trình Diophant 3.1 Một số dạng tốn đa thức nguyên 3.2 Một số dạng toán lượng giác liên quan 3.3 Một số dạng toán thi Olympic liên quan 10 19 19 24 25 27 30 33 40 hệ phương 47 47 50 66 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 Mở đầu Trong kì thi học sinh giỏi toán cấp, Olympic Toán sinh viên, tốn liên quan tới phương trình Diophant (dạng tuyến tính phi tuyến) thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức phương trình Diophant tổng qt khơng nằm chương trình thức giáo trình Số học Đại số bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phương trình Diophant, tơi chọn đề tài luận văn "Một số phương pháp giải đề thi Olympic phương trình Diophant" Tiếp theo, khảo sát số lớp hệ phương trình Diophant liên quan Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức bổ túc số học phương trình Diophant Chương Các phương pháp giải phương trình Diophant Chương Các dạng tốn liên quan đến hệ phương trình Diophant Tiếp theo, cuối chương trình bày tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan Chương Phương trình Diophant hệ Diophant 1.1 Phương trình Diophant tuyến tính Ta nhắc lại thuật tốn Euclid liên phân số trình bày tương đối chi tiết chương trình tốn bậc THCS Định nghĩa 1.1 Số ngun c gọi ước số chung hai số nguyên a b (không đồng thời không) c chia hết a c chia hết b (hay a b chia hết cho c) Định nghĩa 1.2 (xem [3,5, 7]) Một ước số chung d hai số nguyên a b (không đồng thời không) gọi ước số chung lớn a b ước số chung c a b ước d Nhận xét 1.1 Nếu d ước số chung lớn a b −d ước số chung lớn a b Vì vậy, ta quy ước ước số chung lớn a b số nguyên dương Ước số chung lớn hai số a b ký hiệu (a, b) hay gcd(a,b) (greatest common divisor) Như d = (a, b) hay d = gcd(a, b) Ví dụ 1.1 (25,30) = 5, (25,-72) = Định nghĩa 1.3 (xem [3,5,7]) Một số nguyên c gọi ước số chung n số nguyên a1 , a2 , a3 , , an (không đồng thời không) c ước số Định nghĩa 1.4 (xem [5,7]) Một ước số chung d n số nguyên a1 , a2 , a3 , , an (không đồng thời không) gọi ước số chung lớn a1 , a2 , a3 , , an ước số chung c a1 , a2 , a3 , , an ước d Tương tự, ta quy ước ước số chung lớn n số nguyên a1 , a2 , a3 , , an số nguyên dương Ước số chung lớn a1 , a2 , a3 , , an ký hiệu (a1 , a2 , a3 , , an ) hay gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) Như d = (a1 , a2 , a3 , , an ) hay d = gcd(a1 , a2 , a3 , , an ) Định lý 1.1 (Ước số chung lớn nhiều số) Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an khơng đồng thời khơng Khi tồn ước số chung lớn a1 , a2 , a3 , , an Tính chất 1.1 Cho a, b, q, r số nguyên (a2 + b2 = 0) Nếu a = bq + r ≤ r < |b| (a, b) = (b, r) 1.1.1 Nghiệm riêng Trong mục này, ta trình bày hai thuật tốn tìm nghiệm riêng phương trình Diophant, thuật tốn giản phân thuật tốn Euclid Xét phương trình Diophant tuyến tính Ax + By = C (1.1) Để tìm nghiệm riêng dựa vào giản phân, ta tiến hành thực theo bước sau: - Bước Tìm d = (A, B) để đưa phương trình (1.1) phương trình (1.2) với (a, b) = phương trình Diophant tuyến tính ax + by = c (1.2) a = [a0 ; a1 , a2 , , an ] |b| pn−1 Suy pn−1 - Bước Tính giản phân Cn−1 = [a0 ; a1 , , an−1 ] = qn−1 qn−1 - Bước Suy  nghiệm riêng (x0 , y0 ) phương trình (1.2) x = (−1)n−1 c.q n−1 Nếu b > y = (−1)n c.p n−1  x = (−1)n−1 c.q n−1 Nếu b < y = (−1)n−1 c.p n−1 - Bước Viết Bài toán 1.1 Giải phương trình Diophant tuyến tính 342x − 123y = 15 (1.3) Lời giải Phương trình cho tương đương với phương trình 114x − 41y = Ta có 114 = [2; 1, 3, 1, 1, 4], với n = 41   C4 = p4 = [2; 1, 3, 1, 1] = 25 q4  (p4 , q4 ) = (1.4)  p = 25 nên q = Do b = −41 < nên nghiệm riêng (1.4)  x = (−1)5−1 5.9 = 45 y = (−1)5−1 5.25 = 125 Vậy nghiệm phương trình (1.4), tức phương trình (1.14)  x = 45 + 41t , t ∈ Z y = 125 + 114t Để tìm nghiệm riêng dựa vào thuật tốn Euclid, ta tiến hành thực theo bước sau: - Bước Xác định d = (|A| , |B|) theo thuật toán Euclid mở rộng - Bước Biểu thị d tổ hợp tuyến tính A B , chẳng hạn d = nA + mB (n, m ∈ Z) - Bước Nhân hai vế đẳng thức với A C ta thu d Cn Cm +B = C d d - Bước Suy nghiệm riêng (x0 , y0 ) phương trình (1.1)  Cn   x =    d     y0 = Cm d Bài toán 1.2 Giải phương trình Diophant tuyến tính 342x − 123y = 15 (1.5) Lời giải Vì (342, −123) = |15 nên phương trình cho có nghiệm Ta có 342 = 123.2 + 96, 123 = 96.1 + 27, 96 = 27.3 + 15, 27 = 15.1 + 12, 15 = 12.1 + 3, 12 = 3.4 + Suy = 15 − 12.1 = 15 − (27 − 15.1).1 = 15.2 − 27.1 = (96 − 27.3).2 − 27.1 = 96.2 − 27.7 = 96.2 − (123 − 96.1).7 = 96.9 − 123.7 = (342 − 123.2).9 − 123.7 = = 342.9 − 123.25 Suy 342.45 − 123.125 = 15 Từ đó, phương trình (1.14) có nghiệm riêng (x0 ; y0 ) = (45; 125) Suy nghiệm tổng quát phương trình (1.14)  123   t x = 45 +    ,t∈Z    342  y = 125 + t hay  x = 45 + 41t y = 125 + 114t , t ∈ Z Định lý 1.2 Xét phương trình Diophant tuyến tính a1 x1 + a2 x2 + + an xn = c Phương trình (1.6) có nghiệm d = (a1 , a2 , , an ) |c Nếu phương trình (1.6) có nghiệm có vơ số nghiệm (1.6) Chứng minh 1) ⇒) Giả sử (x1 , x2 , , xn ) nghiệm phương trình (1.6), tức n xi = c i=1 n xi , suy d |c Ta có d = (a1 , a2 , , an ), suy d i=1 ⇐) Ta chứng minh khẳng định phương pháp quy nạp theo n Với n = 2, khẳng định Giả sử khẳng định với n = k (k ≥ 2) Với n = k + 1, xét d = (a1 , a2 , , ak+1 ) |c , đặt h = (a1 , a2 , , ak ) Khi đó, ta có d = (h, ak+1 ) |c Suy ra, tồn t, xk+1 ∈ Z để ht + ak+1 xk+1 = c Vì h |ht nên theo giả thiết quy nạp tồn x1 , x2 , , xk ∈ Z để k xi = ht i=1 Do k+1 xi = c i=1 Vậy nên phương trình a1 x1 +a2 x2 + .+ak+1 xk+1 = c có nghiệm (x1 , x2 , , xk+1 ) 2) Ta chứng minh khẳng định phương pháp quy nạp theo n Với n = 2: khẳng định Giả sử khẳng định với n = k (k ≥ 2), tức k xi = c có nghiệm có vơ số nghiệm Với n = k + 1, ta phương trình i=1 k+1 xi = c có nghiệm có vơ số nghiệm chứng tỏ phương trình i=1 k+1 Thật vậy, gọi (t1 , t2 , , tk+1 ) nghiệm phương trình xi = c, tức i=1 k+1 ti = c i=1 ... giỏi chuyên đề phương trình Diophant, tơi chọn đề tài luận văn "Một số phương pháp giải đề thi Olympic phương trình Diophant" Tiếp theo, khảo sát số lớp hệ phương trình Diophant liên quan Cấu trúc... Chương Các kiến thức bổ túc số học phương trình Diophant Chương Các phương pháp giải phương trình Diophant Chương Các dạng tốn liên quan đến hệ phương trình Diophant Tiếp theo, cuối chương trình. .. Vậy tốn có vơ số nghiệm nguyên dương 19 Chương Các phương pháp giải phương trình Diophant Trong chương này, ta xét số phương pháp thơng dụng giải phương trình Diophant tiếp cận đề thi kỳ Olympiad