✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ◆❣✉②➵♥ ❚r✉♥❣ ❚❤➔♥❤ ❙Û ❉Ö◆● ❇❻❚ ❇■➌◆ ❚❘❖◆● ●■❷■ ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ P❍×❒◆● P❍⑩P P số ữớ ữợ ❤å❝✿ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ tr ữủ t t ì ữớ ữợ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✲❚❙❑❍✲❍⑨ ❍❯❨ ❑❍❖⑩■ P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✲ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤÷đ❝ ❜↔♦ ✈➺ trữợ ỗ t t❤→♥❣ ✳✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✶ ❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ t↕✐ ❚❍× ❱■➏◆ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ◆●❯❨➊◆ ▲➑ ❇❻❚ ❇■➌◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ợ t ữỡ ữủ ❜➜t ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➜t ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❇❻❚ ❇■➌◆ ❚❘❖◆● ❇❷◆● ❙➮ ✷✳✶✳ ❇➜t ❜✐➳♥ ❞ü❛ tr➯♥ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ ❇➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ♠ët ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ♥➔♦ ✤â ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼❐❚ ❙➮ ▲❖❸■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❑❍⑩❈ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✾ ✾ ✶✻ ✷✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ð ✤➛✉ ✧❉➽ ❜✐➳♥ ù♥❣ ✈↕♥ ❜✐➳♥✧ õ ỗ ý ú trữợ ữớ s P trồ tr ữợ ý ❚❤ó❝ ❑❤→♥❣✳ ✧❇➜t ❜✐➳♥✧ ð ✤➙② ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ❞➙♥ të❝✱ tr➯♥ ❝ì sð ✤â ♠➔ t➻♠ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤è✐ s→❝❤ ♠➲♠ ❞➫♦ t❤➼❝❤ ❤đ♣ ✈ỵ✐ t➻♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤♦➔♥ t ữợ tr sủ tõ ♥â✐ tr➯♥ ❝ơ♥❣ ❧➔ ✧❝➞♠ ♥❛♥❣✧ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ♠ët ❧♦↕t ❜➔✐ t♦→♥ rí✐ r↕❝✱ tø ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➳♥ ❙è ❤å❝✱ ♠➔ ✤✐➲✉ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❧➔ t➻♠ ❝❤♦ r❛ ♠ët ✧❜➜t ❜✐➳♥✧✳ ❱➟② ❜➜t ❜✐➳♥ ❧➔ ❣➻❄ ✣â ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤➦❝ ✤✐➸♠ ❝â t➼♥❤ ❝è ✤à♥❤ ❝õ❛ ♠ët ✤è✐ t÷đ♥❣ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❜✐➳♥ ✤ê✐✱ ❝❤✉②➸♥ ❤♦→✳ ◆➳✉ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ❜➜t ❜✐➳♥ t❛ s➩ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✤÷đ❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ ❝→❝ ✈➟t t❤➸ trữợ s q tr tứ õ ❣✐↔✐ ✤→♣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ♠ët ❝→❝❤ ✤ë❝ ✤→♦ ✈➔ ❜➜t ♥❣í✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ❤➺ t❤è♥❣ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝➛♥ ✤↕t ✤÷đ❝ tø ♥❤ú♥❣ ✈à tr➼ ❦❤→❝✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ö r➜t ♠↕♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❧➔ t➼♥❤ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ♠ët sè ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ tr♦♥❣ ❤➺ tố ỳ ữủ ổ t ữợ ỳ t❤❛♦ t→❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t➼♥❤ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝â t❤➸ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ tø ♠ët ❝➜✉ ❤➻♥❤ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ✤↕t tỵ✐ ♠ët ❝➜✉ ❤➻♥❤ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝ơ♥❣ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♠ët ❝→❝❤ ✤ë❝ ✤→♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tê ❤ñ♣✱ sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✳✳✳ ❚✉② ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤ù❝ t↕♣✱ ♥❤÷♥❣ ✤➣ ➞♥ ❝❤ù❛ ♥❤ú♥❣ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ t➼♥❤ ❝❤➤♥✱ ❧➫ ❤♦➦❝ tê♥❣✱ t➼❝❤ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐✳ ▼➦❝ ❞ị ❜➜t ❜✐➳♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❝➜♣✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛②✱ t❤❡♦ ❝❤é ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷đ❝ ❜✐➳t✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔♦ ✈✐➳t ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❱➻ t❤➳✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝è ❣➢♥❣ s÷✉ t➛♠ tø r➜t ♥❤✐➲✉ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❝❤å♥ ❧å❝ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝❤õ ②➳✉ sû ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❞ö♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤➸ ❧➔♠ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚r♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠ü❝ ❝â t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾ ♥➯✉ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤→❝✱ ♠➔ ❝á♥ ❝è ❣➢♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ♠ỵ✐ ✈➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü❛ ✈➔♦ ✤â✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â t❤➸ ❝â ➼❝❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❦❤✐ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤â✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ❝è ❣➢♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t➟♣ t❤✉ë❝ ♥❤✐➲✉ ❧♦↕✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ tê ❤đ♣✱ sè ❤å❝✱ ♥❤➡♠ ❧➔♠ ♥ê✐ ❜➟t t➼♥❤ ♣❤ê ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➜t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❝➜♣✳ ▲✉➟♥ ỗ ữỡ ữỡ ỵ t ❜✐➳♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ■ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ỵ t ỡ s ✤➸ ❣✐↔✐ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ð ✷ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◆â ữủ t tr õ ợ t❤✐➺✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➜t ❜✐➳♥✱ ♠ư❝ ✶✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ❜➜t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ sè✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤å♥ ❧å❝ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉ë❝ ❞↕♥❣ ✤â ✈➔ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✷ ❞↕♥❣ t♦→♥❀ tr♦♥❣ ✤â ♠ö❝ ✷✳✶ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ❞ü❛ tr➯♥ t➼♥❤ ❝❤✐❛ ❤➳t✱ ♠ö❝ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ♠ët ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ♥➔♦ ✤â✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ❧♦↕✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳ ◆❣♦➔✐ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ❜↔♥❣ æ ✈✉ỉ♥❣ ♠➔ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð ❝❤÷ì♥❣ ■■✱ ð ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝ơ♥❣ ❧➔ sû ❞ư♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥ ♥➔♦ ✤â✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t ữợ sỹ ữợ t t ❝õ❛ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ✲ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ✤❛♥❣ ❝ỉ♥❣ t→❝ t Pỏ q ỵ rữớ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❍å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❑❤â❛ ❈❛♦ ❤å❝ ✷✵✵✾ ✲ ✷✵✶✶ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ✈➔ sü ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ♠ỵ✐ ❝❤➾ ❞ø♥❣ ❧↕✐ ð ✈✐➺❝ t➻♠ ❤✐➸✉✱ t➟♣ ❤ñ♣ t➔✐ ❧✐➺✉✱ s➢♣ ①➳♣ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❦➳t q✉↔ t❤❡♦ tø♥❣ ❝❤õ ✤➲ ✤➦t r❛✳ ❉ị ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât ♥❤➜t ✤à♥❤ ✈➔ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ õ ỵ t ổ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✻ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✶ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②➵♥ ❚r✉♥❣ ❚❤➔♥❤ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤÷ì♥❣ ✶ ◆●❯❨➊◆ ợ t ữỡ ❧÷đ♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥ ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳✶✳ a, b, c ∈ R S = a+b+c a b, b c c a S ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ ❝❤é ❝❤♦ ❝❤♦ ✈➔ ✳ ❚❛ ①➨t tê♥❣ ❝❤♦ t❤➻ tê♥❣ ✳ ◆➳✉ t❛ ✤ê✐ ❧✉æ♥ ❝❤➾ ❧➔ ♠ët sè✳ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ①✉➜t t tứ t ữớ ổ trỗ ✤÷đ❝ ♠ët ❝➙② ❦❤➳ t❤➛♥ ❝â ✾✾ q✉↔ ❝❤÷❛ ❝❤➼♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✈➔ ✶✵✵✵ q✉↔ ✤➣ ❝❤➼♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳ ▼ët ❝♦♥ ◗✉↕ ✤➳♥ ➠♥ ♠é✐ ♥❣➔② ❤❛✐ q✉↔ ❦❤➳ ✈➔ õ ợ ữớ ổ ởt q tr ✈➔♥❣✱ ♠❛② tó✐ ❜❛ ❣❛♥❣ ✤❡♠ ✤✐ ♠➔ ✤ü♥❣✑✳ ◗✉↕ ✤➳♥ ➠♥ ❤❛✐ q✉↔ ❦❤➳ ❜➜t ❦➻ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t q✉↔ ①❛♥❤ ✈➔ q✉↔ ✈➔♥❣✳ ◆➳✉ ◗✉↕ ➠♥ ♠ët q✉↔ ✈➔♥❣ ✈➔ ♠ët q✉↔ ①❛♥❤ t❤➻ ❝➙② ❦❤➳ ❧↕✐ s✐♥❤ r❛ ♠ët q✉↔ ①❛♥❤✳ ◆➳✉ ◗✉↕ ➠♥ ❤❛✐ q✉↔ ✈➔♥❣ t❤➻ ❝➙② ❦❤➳ ❧↕✐ s✐♥❤ r❛ ♠ët q✉↔ ✈➔♥❣✳ ◆➳✉ ◗✉↕ ➠♥ ❤❛✐ q✉↔ ①❛♥❤ t❤➻ ❝➙② ❦❤➳ ❧↕✐ s✐♥❤ ❝ơ♥❣ q✉↔ ✈➔♥❣✳ ❍ä✐ ❝â t❤➸ ①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ q✉↔ ❦❤➳ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ tr➯♥ ❝➙② ❧➔ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❦❤æ♥❣❄ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿ ◗✉↔ ❦❤➳ ①❛♥❤ ❧➔ q✉↔ ❦❤➳ ✈➔♥❣ ❧➔ V❀ X❀ q✉↕ ➠♥ q✉↔ ❧➔ ✭✰✮ ✈➔ ❝➙② ❦❤➳ s✐♥❤ q✉↔ ❧➔ ✭✲✮✳ ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❣➢♥ ❣å♥✿ V + V = V, X + X = V, V + X = X ✳ ❚ø ❝→❝❤ ✈✐➳t tr➯♥ t❛ t❤➜② r➡♥❣ sè ❧÷đ♥❣ q✉↔ ①❛♥❤ ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ❤♦➦❝ ❧➔ ❣✐↔♠ ✤✐ ❤❛✐ q✉↔ s❛✉ ♠é✐ ❧➛♥ ➠♥ ✭♠é✐ ❧➛♥ ◗✉↕ ➠♥ ❤❛✐ q✉↔✮✳ ❱➻ tr➯♥ ❝➙②✱ sè ♥❤ú♥❣ q✉↔ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❧➔ ❧➫✱ ❝á♥ sè ♥❤ú♥❣ q✉↔ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ❧➔ ❝❤➤♥✱ ♥➯♥ q✉↔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ tr➯♥ ❝➙② s➩ ❧➔ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝→❝❤ ➠♥ q✉↔ ❝õ❛ ◗✉↕✳ ❚➼♥❤ ❜➜t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ❧➔ ❣➻❄ ✣â ❧➔ sè ♥❤ú♥❣ q✉↔ ①❛♥❤ ❞ị ◗✉↕ ❝â ➠♥ q✉↔ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤✐ ♥ú❛ t❤➻ ♥â ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ❤♦➦❝ ♥➳✉ ♥â t❤❛② ✤ê✐ t❤➻ t❤❛② ✤ê✐ ♠ët ❝→❝❤ ❝è ✤à♥❤ ❧➔ ❣✐↔♠ ✤✐ ❤❛✐ q✉↔✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t➼♥❤ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❝❤➤♥ ❧➫ ❝õ❛ sè ❝→❝ q✉↔ ①❛♥❤ ❧➔ ♠ët ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❈❤➼♥❤ ✤✐➲✉ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ q✉↔ ①❛♥❤ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷❛ t❛ ✤➳♥ ❧í✐ ❣✐↔✐✳ ◆❤÷ ✈➟② ✈✐➺❝ t➻♠ r❛ ❜➜t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✤➣ ❝❤♦ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ r➜t q✉❛♥ trå♥❣✳ ◆❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ ♠ët q tr tt t tữớ tỗ t ởt tr t ởt ỳ ữợ ủ ữợ t ỳ t ❧♦↕✐ ♥➔② t❤÷í♥❣ ♣❤↔✐ tr↔ ❧í✐ ♥❤ú♥❣ ❝➙✉ ❤ä✐ s❛✉ ✤➙②✿ ✶✳ ❈â t❤➸ ✤↕t tỵ✐ ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ✤➣ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣❄ ✷✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ tr↕♥❣ t❤→✐ ố ũ õ t t tợ õ tỗ t ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t✐➳♥ tỵ✐ ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ❦❤ỉ♥❣❄ ✹✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝❤✉ ❦➻ ❝â t❤➸ ❝â tr♦♥❣ ❞➣② tr↕♥❣ t❤→✐❄ ✶✳✷✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➜t ❜✐➳♥ ❳➨t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠❛♥❣ ❝➜✉ tró❝ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ♠➔ tr õ t ỷ ỵ ỳ t t ♥❤❛✉ ð tø♥❣ ♠ù❝ ✤ë✳ ❱➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛✿ ❈â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ✈à tr➼ ♥➔♦ ✤➜② tø ♥❤ú♥❣ ✈à tr➼ ✤➣ ❜✐➳t❄ ▼ët ❝ỉ♥❣ ❝ư r➜t ♠↕♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷ ✈➟② ❧➔ ①➨t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ♠➔ ♥â ❦❤æ♥❣ t tr tứ ữợ tỹ t t ❝❤➜t ❦❤ỉ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ ♥❤÷ tr➯♥ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❚❤❡♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû t❛ ❝â ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ✭❋✮ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✈➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤❡♦ t❤ù tü✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t P ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❜➜t ❜✐➳♥ s❛✉ s ữợ tr tố ự s ữợ ✤ê✐ t❛ ✤➲✉ ♥❤➟♥ ❧↕✐ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❝❤➜t P✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ (an ), (bn ), (cn ) ✈➔ (dn ) ữủ ữ ữợ a0 , b0 , c0 , d0 ∈ Z✱ an+1 = an − bn ✱ bn+1 = bn − cn ✱cn + = cn − dn ✱dn+1 = dn − an , n r ổ tỗ t sè ♥❣✉②➯♥ ❜❛♥ ✤➛✉ a0 , b0 , c0 , d0 ✤➸ s❛♦ ❝❤♦ |an bn − cn dn | , |an cn − bn dn | , |an dn − bn cn | ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ n ≥ ❳➨t ❞➣② sè ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✐✐✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ 503 ❤➳t ❝❤♦ a2012 b2012 , b2012 c2012 , c2012 d2012 , d2012 a2012 ✤➲✉ ❝❤✐❛ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❑✐➸♠ tr❛ trü❝ t✐➳♣ a4 = 2(a0 − 2b0 + 3c0 − 2d0 ) b4 = 2(b0 − 2c0 + 3d0 − 2a0 ) c4 = 2(c0 − 2d0 + 3a0 − 2b0 ) d4 = 2(d0 − 2a0 + 3b0 − 2c0 ) ◆❤÷ sè ✈➟②✱ ♥❣✉②➯♥ ❝ù s t ữợ ứ ✤➙② t❛ ✤➲✉ s✉② ♥❤➟♥ r❛ ❝→❝ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ |an bn − cn dn | , |an cn − bn dn | , |an dn − bn cn | ✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❤➳t ❝❤♦ ✹ ❦❤✐ n ự s ữợ ữủ sè 503 ❤➳t ❝❤♦ ✷ ♥➯♥ a2012 , b2012 , c2012 , d2012 ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✳ ❉♦ a2012 b2012 , b2012 c2012 , c2012 d2012 , d2012 a2012 ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 4503 ✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ❳➨t ❞➣② sè (an ), (bn ), (cn ) ✈➔ (dn ) ữủ ữ ữợ ✤➙②✿ a0 , b0 , c0 , d0 ∈ Z an+1 = an − bn + cn bn+1 = bn − cn + dn cn + = cn − dn + an dn+1 = dn − an + bn , n ≥ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ a2012 − a0 , b2012 − b0 , c2012 − c0 , d2012 − d0 ✤➲✉ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑✐➸♠ tr❛ trü❝ t✐➳♣ a4 = 21a0 − 20b0 + 20c0 − 20d0 b4 = 21b0 − 20c0 + 20d0 − 20a0 c4 = 21c0 − 20d0 + 20a0 − 20b0 d4 = 21d0 − 20a0 + 20b0 20c0 ữ ự s ữợ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❛ ✤➲✉ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ t❤ä❛ xk+4 ≡ xk (mod4)✳ ❚ø ✤➙② s✉② r❛ a2012 − a0 , b2012 − b0 , c2012 − c0 , d2012 − d0 ✤➲✉ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t P✿ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳ ❳➨t ❞➣② sè ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (an ) ✈➔ (bn ) ữủ ữ ữợ a0 , b0 ∈ R, < b0 < a0 an + bn an+1 = bn+1 = 2an bn , n ≥ an + bn √ lim an = lim bn = a0 b0 ✳ n→∞ n→∞ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ (an + bn )2 ≥ an + b n 4an bn , an = bn ✱ ♥➯♥ (an > bn ) ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✳ ❱➻ an+1 = = an ♥➯♥ ❞➣② (an ) ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠✱ ữợ tỗ t a = lim an ✳ ❇ð✐ n→∞ 2an bn > bn ♥➯♥ ❞➣② (bn ) ❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣✱ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✈➻ bn+1 = an + b n tỗ t b = lim bn ✳ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜➜t ❜✐➳♥ P✿ an bn = an+1 bn+1 n→∞ √ an + b n a+b ✈➔ a = lim an+1 = lim = t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ a = b = a0 b ✳ n→∞ n→∞ 2 ❉♦ a0 , b0 > ♥➯♥ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤➾ r❛ an , bn > 0✳ ❉♦ ❜ð✐ ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✷✾✳ ❚❛ t❤❛② ♠é✐ sè tø ✶ ✤➳♥ ✶✳✵✵✵✳✵✵✵ ❜ð✐ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè ❝õ❛ ♥â✳ ❈→❝ sè ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧↕✐ t✐➳♣ tö❝ t❤❛② ❜➡♥❣ tê♥❣ ❝→❝ ❝❤ú sè✳ ▲➔♠ ♥❤÷ ✈➟② ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❝❤➾ ❝á♥ ❧↕✐ ❝→❝ sè ❝â ♠ët ❝❤ú sè✳ ❍ä✐ tr♦♥❣ ❞➣② ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ♥➔②✱ sè ❝❤ú sè ✶ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ❤❛② ➼t ❤ì♥ sè ❝❤ú sè ✷❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤✱ t❤➦♥❣ ❞÷ ❞÷ì♥❣ ❜➨ ♥❤➜t ♠ỉ✤✉❧ỉ ✾ ❝õ❛ ♠é✐ sè ❧➔ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ sè tø ✶ ✤➳♥ ✶✳✵✵✵✳✵✵✵ õ số ỗ ữ ổổ õ số ỗ ữ ổổ tr ❝✉è✐ ❝ị♥❣✱ sè ❝❤ú sè ✶ ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ sè ❝❤ú sè ✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✵✳ ●✐↔ sû M ✈➔ N ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❝â ✾ ❝❤ú sè ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❧➔ ♥➳✉ ❜➜t ❦➻ ❝❤ú sè ❝õ❛ M ✤÷đ❝ t❤❛② ❜ð✐ ❝❤ú sè ❝õ❛ N t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤➻ t ữủ ởt ự r ợ ❜➜t ❦➻ ♠ët sè ✤↕t ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ♠ët ❝❤ú sè ❝õ❛ N t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜ð✐ ♠ët ❝❤ú sè ❝õ❛ M ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ❜ë✐ ❝õ❛ ✼✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❑➳t q✉↔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ d ≡ 2(mod7)✳ mk 10k , N = nk 10k ✱ ð ✤➙② mk ✈➔ nk ❧➔ ❝→❝ ❝❤ú sè✳ ❑❤✐ k ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ k t❛ ❝â 10 (nk − mk ) ≡ − M ( mod 7)✳ ▲➜② tê♥❣ t❤❡♦ k ✱ t❛ k ✤÷đ❝ M − N ≡ dM ( mod 7)✳ ❱➻ t❤➳ N ≡ −M ( mod 7) ✈➔ 10 (nk − mk ) ≡ N (mod7)✳ ❱➟② ❦❤✐ t❤❛② ❜➜t ❦➻ ❝❤ú sè N ❜ð✐ ❝❤ú sè t÷ì♥❣ ù♥❣ tr♦♥❣ M ❱✐➳t M = ❝❤ó♥❣ t❛ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✶✳ ❈→❝ sè ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✷✵✵✺ ✤÷đ❝ ✈✐➳t t❤❡♦ t❤ù tü t➠♥❣ ❞➛♥✳ ❇è♥ sè t✉ý þ tr♦♥❣ ❞➣② ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➳♣ ❧↕✐ t❤❡♦ t❤ù tü ✤↔♦ ♥❣÷đ❝ t↕✐ ❝ị♥❣ ✈à tr➼ ✤➣ ❝â✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤â✱ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❞➣② ✷✵✵✺✱ ✷✵✵✹✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✷✱ ✶ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈ỵ✐ n = 4k + t❤➻ ②➯✉ ❝➛✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❞➣② k = 1✱ ❜✐➳♥ 51234 → 54321✳ ❱ỵ✐ 1, 2, , n✳ ✤ê✐ ♥❤÷ s❛✉✿ 12345 → 15432 → 34512 → 32154 → k > ✈➔ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➣ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ k < k ✳ ❳➨t ❞➣② ✶✱ ✷✱ ✳ ✳ ✳ ✱ 4k + 1✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣ ❝❤♦ k − 1✱ t❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✤÷đ❝ ♥â t❤➔♥❤ ❞➣②✿ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✹✱ 4k + 1✱ 4k ✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✻✱ ✺✳ ●✐↔ sû ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⑩♣ ❞ö♥❣ ❧✐➯♥ t✐➳♣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ 4k + 1✱ k = 1✱ t❛ ❧↕✐ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❞➣② s❛✉ ✹✱ ✸✱ ✷✱ ✶✱ ✹❦✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✻✱ ✺✳ 4k + 1✱ 4k ✱ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✹✱ 4k + 1✱ 4k ✱ 4k − 4k − 1✱✳ ✳ ✳ ✱ ✱ ✹✱ ✸✱ ✷✱ ✶✱ ✻✱ ✺✳ 4k − 2✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✻✱ ✺✳ ··· 4k + 1✱ 4k ✱ 4k − 1✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✻✱ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✹✱ ✺✳ ❱➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ❞➣② s❛✉ ✤➙②✿ 4k + 1✱ 4k ✱ ✳ ✳ ✳ ✱ ✻✱ ✺✱ ✹✱ ✸✱ ✷✱ ✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✷✳ ❈â ✷✺ ①❡ ỉ tỉ ①✉➜t ♣❤→t ❝ị♥❣ ♠ët ❧ó❝ tø ❝→❝ ✈à tr➼ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❞å❝ t❤❡♦ ♠ët ữớ t ũ ởt ữợ ❚❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝õ❛ ❝✉ë❝ ✤✉❛✱ ❝→❝ ①❡ ❝â t❤➸ ✈÷đt ♥❤❛✉✱ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ✈÷đt ✷ ①❡ ❝ị♥❣ ♠ët ❧ó❝ ✭❦❤✐ ❝â ❤❛✐ ①❡ ♥➔♦ ✤â ✤❛♥❣ ✈÷đt ♥❤❛✉ t❤➻ t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❝❤ó♥❣ ❝ị♥❣ ✈à tr➼✱ ①❡ t❤ù ❜❛ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ✈÷đt✮✳ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ❝→❝ ①❡ trð ✈➲ ✈à tr➼ ①✉➜t ♣❤→t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝ị♥❣ ♠ët ❧ó❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❝❤↕②✱ sè ❧➛♥ ❝→❝ ①❡ ✈÷đt ♥❤❛✉ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ ♣❤↔✐ ❞ị♥❣ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ r➜t t❤ỉ♥❣ ❞ư♥❣ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ rí✐ r↕❝✱ ❧➔ ✏✤→♥❤ ❞➜✉✑ ♠ët ✤è✐ t÷đ♥❣ ♥➔♦ ✤â✱ ❦❤✐ ♠➔ ❝→❝ ✤è✐ t÷đ♥❣ ✏❜➻♥❤ ✤➥♥❣✑ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ữ t s ỡ ỵ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦✱ ✈➻ ✤÷í♥❣ ✤✉❛ ❦❤➨♣ ❦➼♥ ♥➯♥ ✈à tr➼ ❝õ❛ ❝→❝ æ tæ ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❜➻♥❤ ✤➥♥❣✳ ❚❛ ❝❤å♥ ♠ët ①❡ ✈➔ ✏sì♥ ♠➔✉ ✈➔♥❣✑ ❝❤♦ ♥â ✭t➜t ♥❤✐➯♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝→❝ ①❡ ❝á♥ ❧↕✐ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ❝â ♠➔✉ ✈➔♥❣✮✳ ❳❡♠ ①❡ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ✤ù♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥✱ t✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔ ❝→❝ ①❡ sè 1, 2, , 24✳ ●✐↔ sû ❝â ♠ët q✉❛♥ s→t ✈✐➯♥ ❣❤✐ ❧↕✐ t❤ù tü ❝→❝ ①❡✱ ✈➔ ❣➢♥ ❝❤♦ ♠é✐ ①❡ sè t❤ù tü ❜❛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ ♥â✳ ▼é✐ ❧➛♥ ❝â ♠ët ①❡ ♥➔♦ ✈÷đt ①❡ ❦❤→❝✱ ❤❛✐ sè ♥➔♦ ✤â s➩ ✤ê✐ ❝❤é ❝❤♦ ♥❤❛✉✳ ●✐↔ sû t↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â✱ ❝â ♠ët ①❡ ✈÷đt q✉❛ ①❡ ♠➔✉ ✈➔♥❣✳ ◆➳✉ t❤ù tü ❝→❝ sè ①❡ trữợ ữủt a1 , a2 , , a24 t❤➻ s❛✉ ❦❤✐ ✈÷đt✱ t❤ù tü s➩ ❧➔ a2 , a3 , , a24 , a1 ✳ P❤➨♣ t❤➳ ♥➔② ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜ð✐ ✷✸ ♣❤➨♣ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ s❛✉ ✤➙②✿ a1 , a2 , , a24 → a2 , a1 , , a24 → a2 , a3 , , a1 , a24 → a2 , a3 , , a24 , a1 ✳ a2 , a3 , a1 , , a24 ◆➳✉ ①❡ ♠➔✉ ✈➔♥❣ ✈÷đt ♠ët ①❡ ❦❤→❝ t❤➻ ♣❤➨♣ t❤➳ → ··· a1 , a2 , , a24 ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn → trð t❤➔♥❤ a24 , a1 , , a23 ✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣✱ ♣❤➨♣ t❤➳ ♥➔② ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜ð✐ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✷✸ ♣❤➨♣ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥✳ ❚â♠ ❧↕✐✱ ❜➜t ❦ý ♠ët ữủt tý ỵ ụ tữỡ ự ợ ởt số ❚↕✐ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ❝ị♥❣✱ t❤ù tü ❝→❝ ①❡ trị♥❣ ✈ỵ✐ t❤ù tü ①✉➜t ♣❤→t ♥➯♥ tê♥❣ sè ♣❤➨♣ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ♣❤↔✐ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ sè ❧➛♥ ❝→❝ ①❡ ✈÷đt ♥❤❛✉ ♣❤↔✐ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✸✳ ❍❛✐ tê ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❧ỵ♣ ❝ị♥❣ ỗ q ởt trỏ s số s õ ũ tờ ỗ ự ♠✐♥❤ r➡♥❣ tê♥❣ sè ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ tê ❧➔ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❈→❝❤ t❤ù ♥❤➜t✿ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ♠ët tê ❜ð✐ ❞➜✉ ✭✰✮ ✈➔ ✭✲✮✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❞➜✉ ✭✰✮ ✈➔ ✭✲✮ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ ♠ët ❤➻♥❤ trá♥ ✭❍➻♥❤ ✸✳✶✾✮✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ①♦→ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➜✉ ❝õ❛ ♠é✐ ♥❤â♠ ❝→❝ ❞➜✉ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ trø ❞➜✉ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✭❦❤✐ ✤➳♠ ❝→❝ ❞➜✉ t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ ữủ ợ q ỗ ỗ õ t❛ ❞➝♥ ✤➳♥ ❤➺ t❤è♥❣ ð ❤➻♥❤ ✷ ♠➔ tr♦♥❣ ✤â✱ ❞➽ ♥❤✐➯♥ sè ❝→❝ ❞➜✉ ❝ë♥❣ ❜➡♥❣ sè ❝→❝ ❞➜✉ trø✳ ❉♦ ✤â✱ tê♥❣ sè ❝→❝ ❞➜✉ tr➯♥ ❤➺ t❤è♥❣ ♥➔② ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ❝❤✉②➸♥ tø ❤➺ t❤è♥❣ ✶ s❛♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ✷ t❛ ✤➣ ①♦→ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➜✉ ❝â ❞➜✉ ❣✐è♥❣ ♥â ð ❜➯♥ ♣❤↔✐ ✈➔ ❝❤➾ ❝á♥ ❧↕✐ ♥❤ú♥❣ ❞➜✉ ❝â ❞➜✉ ❦❤→❝ ♥â ð ❜➯♥ ♣❤↔✐✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✾ ❚❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜➔✐ t♦→♥✱ sè ❝→❝ ❞➜✉ ❜à ①♦→ ❜➡♥❣ sè ❝❤➤♥ ❝→❝ ❞➜✉ ❝á♥ ❧↕✐✳ ❉♦ ✤â✱ tê♥❣ sè ❝→❝ ❞➜✉ ✭tù❝ ❧➔ tê♥❣ sè ❤å❝ s✐♥❤✮ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈→❝❤ t❤ù ❤❛✐✿ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❤å❝ s✐♥❤ ❝õ❛ ♠ët tê ❜ð✐ sè ✶ ✈➔ tê ❦✐❛ ❜ð✐ n sè ✶ ✈➔ ✲✶ ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ ♠ët ❤➻♥❤ trá♥✳ ❚❛ x1 , x2 , , xn ❜➢t ✤➛✉ tø sè ♥➔♦ ✤â t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ ♥❣÷đ❝ sè ✲✶✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ✤→♥❤ sè ❝→❝ sè ❧➔ ✈ỵ✐ ❝❤✐➲✉ q✉❛② ỗ ỗ t t❛ ❝â✿ x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn x1 = ✭✯✮✳ ❱➻ ❝→❝ sè x1 , x2 , , xn ❧➔ ✶ ✈➔ (x1 x2 )(x2 x3 ) (xn x1 ) = 1✳ ❉♦ ✤â sè ❝→❝ sè ➙♠ tr♦♥❣ t➼❝❤ ♥➔② ❧➔ ✲✶ ♥➯♥✿ ♠ët sè ❝❤➤♥✳ ◆❤÷♥❣ tø ✭✯✮ s✉② r❛ sè ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ ❜➡♥❣ sè ❝→❝ sè ➙♠✱ ♥➯♥ n ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✹✳ ▼ët ✈á♥❣ trá♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✶✵ ❝✉♥❣✱ tr➯♥ ♠é✐ ❝✉♥❣ ✤➦t ♠ët ♠✐➳♥❣ ❜➻❛✳ ❈â t❤➸ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ❤❛✐ tý ỵ s ữ t ữủ ợ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr➯♥✱ ❝â t❤➸ ổ ỗ tt ởt ❝✉♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣→♥❤ sè ❝→❝ ❝✉♥❣ trá♥ tø ✶ ✤➳♥ ✶✵✳ Ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❜❛♥ ✤➛✉ s0✱ ♠é✐ s ♥➔♦ ✤â✱ sè ♠✐➳♥❣ ❜➻❛ ð ❝✉♥❣ t❤ù r(s) = (1.a1 (s) + 2.a2 (s) + · · · + 10.a10 (s)) mod 10✳ ❑✐➸♠ ❝✉♥❣ ❝â ✶ ♠✐➳♥❣ ❜➻❛✳ ●✐↔ sû ð tr↕♥❣ t❤→✐ k ❧➔ ak (s)✳ ✣➦t tr❛ r➡♥❣ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❞✐ ❝❤✉②➸♥ ❝→❝ ♠✐➳♥❣ ❜➻❛ t❤❡♦ ❝→❝❤ ✤➣ ❝❤♦✳ ❚❛ ❝â r(s0 ) = (1 + + · · · + 10) mod 10 = 5✳ t ♠➔ ✶✵ ♠✐➳♥❣ ❜➻❛ ♥➡♠ ð ❝ò♥❣ ♠ët ❝✉♥❣ t❤➸ ❝❤✉②➸♥ tø tr↕♥❣ t❤→✐ s0 ✈➲ tr↕♥❣ t❤→✐ t ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â ✤è✐ ✈ỵ✐ tr↕♥❣ t❤→✐ t❤➻ r(t) = 0✳ ❉♦ ✈➟② ❦❤æ♥❣ t❤❡♦ ❝→❝❤ ✤➣ ❝❤♦✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✺✳ ❱➩ ✾ ✈á♥❣ trá♥ q✉❛♥❤ ✸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠ët ✈á♥❣ ð ♠é✐ ❣â❝✱ ❤❛✐ ✈á♥❣ ð ♠é✐ ❝↕♥❤✱ ♠é✐ sè tø ✶ ✤➳♥ ✾ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ✈➔♦ ✶ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈á♥❣ trá♥ ♥➔② s❛♦ ❝❤♦✿ ✐✮ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ✹ sè ð ♠é✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ✐✐✮ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✹ sè tr➯♥ ♠é✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝↕♥❤ t❤♦↔ ♠➣♥ ②➯✉ ❝➛✉ ♥➔②✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ t ởt t tũ ỵ số x, y, z ❧➔ sè ð tr♦♥❣ ❣â❝ ✈➔ S1 , S2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ✹ sè✱ tê♥❣ ❝õ❛ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ✹ sè tr➯♥ ✶ ❝↕♥❤ ❜➜t ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❦ý✳ ❉♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➣ ❝❤♦ t❛ ❝â✿ 2 3S2 = x +y +z + k = x2 +y +z +285✳ ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ✷ t❛ s✉② r❛ x, y, z ❤♦➦❝ t➜t ❝↔ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸ ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ õ số t ỵ P õ số ỗ ữ ổ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t t❤❡♦ ♠ỉ✤✉❧ỉ ✸ t❛ ❝ơ♥❣ s✉② r❛ |(x + y + z) ✳ ◆➳✉ ❉♦ ✤â (x, y, z) = (3, 6, 9) ◆➳✉ ❝↕♥❤ ❧➔ ❦❤❡✳ ❱➻ x ≡ y ≡ z(mod3)✳ ❤❛② (1, 4, 7) t❤➻ S2 = 137 ❤♦➦❝ ✶✼✳ S2 ≡ 1( mod 3) s✉② r❛ ❝❤➾ ❝â ✶ sè tr➯♥ ❜❛ ❧➫✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t❤➸ ✈➻ > sè ❧➫ ✤÷đ❝ ✈✐➳t tr♦♥❣ ♠é✐ 2 t❤➳ (x, y, z) = (2, 5, 8) ✈➔ S2 = 126✳ ❱➻ + > 126 S2 = 137 t❤➻ ♥➯♥ ✾ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ♥➡♠ ❝ị♥❣ ❝↕♥❤ ✈ỵ✐ ✽✱ tù❝ ❧➔ ♥â ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❝❤ù❛ ✷ ✈➔ ✺✳ ❱➻ 72 + 92 72 + 52 + 82 > 126 ♥➯♥ sè ✼ ♣❤↔✐ ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ ❝❤ù❛ ✷ ❤♦➦❝ ✽ ♥❤÷ ✈➟② ✹ ❧➛♥ ❝→❝ sè tr➯♥ ✸ ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❧➔ (2, 4, 9, 5); (5, 1, 6, 8); (8, 7, 3, 2) ✤➸ ❝❤♦ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝→❝ sè tr➯♥ ♠é✐ ❝↕♥❤ ❧➔ ✶✷✻✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ t❤➜② ❝→❝ ❜ë sè tr➯♥ t❤♦↔ ♠➣♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✻✳ ▼ët ❤➻♥❤ trá♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ s→✉ r➫ q✉↕t✳ ◆❤ú♥❣ sè 1, 0, 1, 0, 0, ✤÷đ❝ ✈✐➳t ✈➔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ r➫ q✉↕t ♥➔② t❤ù tü t❤❡♦ ♥❣÷đ❝ ❝❤✐➲✉ ỗ ỗ tỹ t t sè ❝õ❛ ❤❛✐ r➫ q✉↕t ❝↕♥❤ ♥❤❛✉ ❧➯♥ ✶ ✤ì♥ ✈à✳ ❑❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t❤❛♦ t→❝ tr➯♥ ❝â ✤÷❛ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ❝→❝ sè tr♦♥❣ ❝→❝ r➫ q✉↕t ✤➲✉ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❑➼ ❤✐➺✉ a1, a2, a3, a4, a5, a6 ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè tr♦♥❣ ❝→❝ r➫ q✉↕t ❤✐➺♥ t❤í✐✳ ❑❤✐ ✤â tê♥❣ ✤ê✐✳ ❑❤ð✐ ✤➛✉ t❛ S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ❧➔ ♠ët ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â S = ✈➔ ✤➼❝❤ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❤♦↔ ♠➣♥ ❜➔✐ r❛ s➩ ổ t tợ t ữớ t ❝❤✐❛ ❤➻♥❤ trá♥ t❤➔♥❤ ✻ ❤➻♥❤ q✉↕t ✈➔ ✤➦t ✈➔♦ ♠é✐ ❤➻♥❤ q✉↕t ✶ q✉➙♥ ❝í✳ ▼é✐ ❧÷đt ✤✐ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ♠ët q✉➙♥ ❝í ❜➜t ❦➻ s❛♥❣ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤➻♥❤ q✉↕t ❝↕♥❤ ❜➯♥✳ ❍ä✐ s❛✉ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤ó♥❣ ✷✵ ❧÷đt ✤✐ ❝â t❤➸ t➟♣ tr✉♥❣ ❝→❝ q✉➙♥ ❝í ✈➔♦ ♠ët ❤➻♥❤ q✉↕t ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ s❛✉ ✷✵ ❧÷đt ✤✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t➟♣ tr✉♥❣ ❝→❝ q✉➙♥ ❝í ✈➔♦ ♠ët ❤➻♥❤ q✉↕t ✤÷đ❝✳ ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚❛ tæ ✤❡♥ ❝→❝ ❤➻♥❤ q✉↕t ■✱ ■■■✱ ❱ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩ tr➯♥✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ sè q✉➙♥ n ❧➔ an−1 ✳ ❉➽ ♥❤✐➯♥ a0 = ✈➔ ✈ỵ✐ k ≥ t❤➻ ak a1 , a3 , , a19 ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❝❤➤♥✱ ❝á♥ a2 , a4 , , a20 ❝í ổ trữợ tự ak1 ✶✳ ❉♦ ✤â ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❧➫✳ ❙❛✉ ✷✵ ❧÷đt ✤✐ sè ❝→❝ q✉➙♥ ❝í ð ❝→❝ q✉↕t ✤❡♥ ❧➔ ❧➫✳ ◆❤÷♥❣ ♥➳✉ ❝→❝ q✉➙♥ ❝í ✤➲✉ ✤ù♥❣ ð ♠ët ❤➻♥❤ q✉↕t t❤➻ sè ✤â ❧➔ sè ❝❤➤♥ ✭❜➡♥❣ ✵ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✻ ✮✳ ▼➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➔ ✤ó♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✽✳ Ð ✻ ởt ỗ õ số t t ỗ ỗ t ✤ê✐ ❝→❝ sè ♥❤÷ s❛✉✿ ▼é✐ ❧➛♥ ❝❤å♥ ♠ët ❝↕♥❤ t rỗ ộ số tở ❝↕♥❤ ✤â ✈ỵ✐ ❝ị♥❣ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ♥➔♦ ✤â✳ ❍ä✐ s❛✉ ♠ët sè ❧➛♥ t❤❛② ✤ê✐ ♥❤÷ t❤➳ t❤➻ ✻ sè ♠ỵ✐ ð ❝→❝ ✤➾♥❤ ❧ư❝ ❣✐→❝ ❝â t❤➸ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ●å✐ ❝→❝ sè ❝❤➤♥ ❣❤✐ ð ✻ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❧ư❝ ❣✐→❝ ❧ó❝ ✤➛✉ t❤❡♦ t❤ù tü tø a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ✳ ❚❛ ❝â✿ (a2 +a4 +a6 )−(a1 +a3 +a5 ) = 6✳ ✤ê✐ t❤➻ ❤❛✐ sè ❦➲ ♥❤❛✉ ✭t❤❡♦ t❤ù tü tr➯♥✱ ❝♦✐ a6 ❦➲ ✈ỵ✐ a1 ✮ ♥❤ä ✤➳♥ ❧ỵ♥ ❧➔ ▼é✐ ❧➛♥ t❤❛② ✤➲✉ ❝ë♥❣ t❤➯♠ ❝ị♥❣ ♠ët sè ♥➯♥ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ tê♥❣ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐ ✈➔ ❧✉ỉ♥ ❜➡♥❣ ✻✳ ◆➳✉ ✻ sè ♠ỵ✐ ð ❝→❝ ✤➾♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ ❤✐➺✉ tr➯♥ ❜➡♥❣ ✵✱ ♥➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✸✾✳ ▼é✐ ❝↕♥❤ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ♠ët n✲❣✐→❝ ✤➲✉ ✭n ≥ 3✮ ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉ ✤ä ❤♦➦❝ ♠➔✉ ①❛♥❤✳ ❚❛ ❝❤å♥ ♠ët ✤➾♥❤ ✈➔ t❤❛② ✤ê✐ ♠➔✉ ❝õ❛ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥❤➟♥ ✤✐➸♠ ✤â ❧➔♠ ✤➛✉ ♠ót ✤â tø ♠➔✉ ✤ä t❤➔♥❤ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❝→❝❤ tỉ ♠➔✉ ❧ó❝ ✤➛✉ t❤➳ ♥➔♦✱ t❛ ✈➝♥ ❝â t❤➸ ❜✐➳t sè ❝↕♥❤ ♠➔✉ ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠é✐ ✤➾♥❤ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❦➳t q✉↔ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ❝õ❛ ✈✐➺❝ tỉ ♠➔✉ ✤÷đ❝ q✉② ✤à♥❤ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝❤ tỉ ♠➔✉ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ◆❤➟♥ t❤➜②✱ t❤ù tü ❝→❝ ✤➾♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ↔♥❤ ữ tợ t q tổ ố ũ ❝❤å♥ ♠ët ✤➾♥❤ ❤❛✐ ❧➛♥ ❦❤ỉ♥❣ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ tỉ ♠➔✉✳ ❱➻ t❤➳✱ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝ơ♥❣ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✳ ◗✉→ tr➻♥❤ s❛✉ ❝ơ♥❣ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥✱ s❛✉ ✤â ❝❤å♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ✭Ð ✤➙②✱ tr♦♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✱ ♥❤ú♥❣ ✤➾♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ sè ❧➫ ❧➛♥ ❜➙② ❣✐í ✤÷đ❝ ❝❤å♥ t❤❡♦ sè ❝❤➤♥ ❧➛♥ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✮✳ ✣➦t t➯♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❧➔ ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1, 2, 3, , 2n + 1✳ ●å✐ ❧➔ ❝→❝ ✤♦↕♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t tø ✤➾♥❤ t❤ù i✱ ❣å✐ bi ❧➔ sè ❧➛♥ ♠é✐ ✤➾♥❤ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ✈➔ B = bi ✳ ❑❤✐ ❝❤å♥ ✤➾♥❤ k t❤➻ ak trð t❤➔♥❤ 2n − a ≡ ak ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ♠é✐ ✤♦↕♥ tø ✤➾♥❤ k ✤➳♥ ♠ët ✤➾♥❤ ❦❤→❝ ✤ê✐ ♠➔✉ ♥➯♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐ t➼♥❤ ❝❤➤♥ ❧➫✳ ❚➼♥❤ tê♥❣ sè t❤➻ ❝❤♦ r❛ ❦➳t q✉↔ ❧➔ ❤❛✐ ❧➛♥ tê♥❣ sè ❝→❝ ✤♦↕♥ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ✈➻ t❤➳ ❝â ♠ët sè ❝❤➤♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ t❤❛② ✤ê✐ 2x − ❧➛♥ ✤➸ t❤➔♥❤ sè ❝❤➤♥✳ ❚➼♥❤ ❝❤➤♥ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❝á♥ ❧↕✐ t❤➻ t❤❛② ✤ê✐ 2x ❧➛♥ ✤➸ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❉♦ ✤â✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ✤➲✉ ❝â ♠ët sè ❝❤➤♥ ❝→❝ ✤♦↕♥ ♠➔✉ ①❛♥❤✳ ❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ tỉ ♠➔✉ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❚❛ ①➨t ♠ët ❝→❝❤ tỉ ợ t q ữ ố ố ũ số i ❧➔ + B − bi ( mod 2)✳ ❑❤✐ ✤â✱ sè ✤♦↕♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ✤➾♥❤ ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✱ ❞♦ ✤â bj ≡ bk ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❧ó❝ ✤➛✉ aj ≡ ak ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❤♦➦❝ bi ≡ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ≡ ❤♦➦❝ ❧➔ bi ≡ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ≡ 0✱ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ tæ ♠➔✉ ♥❤÷ tr➯♥✳ ❉♦ ✤♦↕♥ ♠➔✉ ①❛♥❤ ①✉➜t ♣❤→t tø ✤➾♥❤ t❤ù ✤â ❦➳t q✉↔ tæ ♠➔✉ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r tr ởt ỗ ổ tỗ t t ♥❤➜t ♠ët ✤➾♥❤ ❧➔ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❣â❝ t❛♠ ❞✐➺♥ ❤♦➦❝ ➼t ♥❤➜t ♠ët ♠➦t ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② ✈➼ ❞ư ♥➔② ❤ì✐ ①❛ ❧↕ s♦ ợ trữợ ổ õ ✤ê✐ ♥➔♦✳ ❚❤ü❝ r❛✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ ①✉➜t ❤✐➺♥ ð ♥❤ú♥❣ ❝❤é ❝â ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♠➔ ♥â ❝á♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❦❤✐ t❛ ①➨t ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ✤è✐ t÷đ♥❣ t❤♦↔ ♠➣♥ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔♦ ✤â✳ ❱➼ ❞ư ✈ỵ✐ ❝➦♣ sè x2 + y ❧➔ ♠ët ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❈á♥ ❊✉❧❡r V − E + F = 2✱ tr♦♥❣ ✤â V (x; y) ð tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ì♥ t ố ợ ỗ t t õ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❧➔ sè ✤➾♥❤✱ ♠➦t ✈➔ E F ❧➔ số số ởt ỗ t ❦ý✳ ❚❛ s➩ ❞ị♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t tr sỷ ữủ tỗ t ởt ❞✐➺♥ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤➾♥❤ ♥➔♦ ❧➔ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët ❣â❝ t❛♠ ❞✐➺♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ♠➦t ♥➔♦ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞♦ ♠ët ♠➦t s➩ ❝â ➼t ♥❤➜t ✹ ❝↕♥❤ ✈➔ ♠ët ❝↕♥❤ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❧➔ ❝↕♥❤ E F ợ ỵ tữỡ E E V + F − E ≤ + − E = 0✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ 2 ♠➦t ♥➯♥ t❛ ❝â tü✱ t❛ ❝â V ≤ E ✳ ❱➻ ✈➟② ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❳♦→ ❜ä ✤✐ ♠ët ♠➦t ❝õ❛ ✤❛ ❞✐➺♥✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❦➨♦ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠➦t ❜à ❜ä ✤✐✱ t❛ ❜✐➳♥ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ t❤➔♥❤ ởt ữợ ợ ữớ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ✈➩ ✤➛✉ ♠✐♥❤ ❤♦↕ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣✳ ❙❛✉ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♥➔②✱ ❝→❝ ♠➦t ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ❧➔ ✤➲✉ ♥ú❛✱ t❤➟♠ ❝❤➼ ❝â t❤➸ ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ ❧➔ ✤❛ ❣✐→❝✳ ◆❤÷♥❣ sè ✤➾♥❤✱ sè ❝↕♥❤ ✈➔ sè ♠➦t ✈➝♥ ❣✐è♥❣ ✈ỵ✐ ✤❛ t tữỡ ự ợ ữợ ữ õ ởt t ✤â ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ✸ ❝↕♥❤✱ t❛ ✈➩ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✱ tù❝ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ♠➦t ✈➔ ♥è✐ ✷ ✤➾♥❤ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ♥è✐✳ ✣✐➲✉ ♥➔② s➩ ❧➔♠ sè ❝↕♥❤ t➠♥❣ ❧➯♥ ✶✱ sè ♠➦t t➠♥❣ ❧➯♥ ✶ ❝á♥ sè ✤➾♥❤ t❤➻ ❦❤æ♥❣ t❤❛② ✤ê✐✱ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❣✐→ trà V −E+F ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t❤➯♠ ❝↕♥❤ t❤❡♦ q✉② t➢❝ ♥➔②✱ t❛ s➩ ✤✐ ✤➳♥ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ ❦❤✐ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➦t ✤➲✉ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ →♣ ❞ö♥❣ ✷ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ s❛✉✿ ✐✮ ❳♦→ ✤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝❤➾ ❝â ✶ ❝↕♥❤ ❣✐→♣ ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ ♥❣♦➔✐✱ ♥❤÷ ♠✐♥❤ ❤♦↕ tr➯♥ ❤➻♥❤ t❤ù ✷✳ ✣✐➲✉ ♥➔② s➩ ❧➔♠ ❣✐↔♠ sè ❝↕♥❤ ✈➔ sè ♠➦t ✤✐ ♠ët ✤ì♥ ✈à ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔♠ t❤❛② ✤ê✐ sè ✤➾♥❤✱ ✈➻ t❤➳ ♣❤➨♣ ①♦→ ♥➔② ❜↔♦ t♦➔♥ V − E + F✳ ✐✐✮ ❳♦→ ✤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✷ ❝↕♥❤ ❣✐→♣ ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ ♥❣♦➔✐✱ ♥❤÷ ♠✐♥❤ ❤♦↕ tr➯♥ ❤➻♥❤ t❤ù ✸✳ ▼ët ♣❤➨♣ ①♦→ ♥❤÷ ✈➟② s➩ ①♦→ ✤✐ ♠ët ✤➾♥❤✱ ✷ ❝↕♥❤ ✈➔ ✶ ♠➦t✱ ✈➻ t❤➳ ✈➝♥ ❜↔♦ t♦➔♥ V E + F ữợ ❧➛♥ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ ❝❤➾ ❝á♥ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✳ ▲ó❝ ♥➔② t❛ ❝â V = 3, E = 3, F = V − E + F = 2✳ ❈♦♥ sè ♥➔② ❜➡♥❣ ❝♦♥ ✭t➼♥❤ ✤➳♥ ♣❤➛♥ ♥❣♦➔✐✮✱ ♥❤÷ t❤➳ sè V −E+F ❜❛♥ ✤➛✉✱ ✈➻ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♠➔ t❛ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❜↔♦ t♦➔♥ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ♥➔②✳ ữ tứ ữợ q tr t ♣❤↔✐ ❝â V − E + F = 2✳ ✣à♥❤ ỵ ữủ ự t õ ố sọ ỗ ỳ sọ ọ õ số ữủ tữỡ ù♥❣ ❧➔ ✶✾✱ ✽ ✈➔ ✾ ✭✈✐➯♥ sä✐✮✳ ❚❛ ✤÷đ❝ ♣❤➨♣ ❝❤å♥ ❤❛✐ ✤è♥❣ sä✐ ✈➔ ❝❤✉②➸♥ ♠ët ✈✐➯♥ sä✐ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤è♥❣ sä✐ ✤➣ ❝❤å♥ s❛♥❣ ✤è♥❣ sä✐ t❤ù ❜❛✳ ❙❛✉ ♠ët sè ❧➛♥ ❧➔♠ ♥❤÷ ✈➟② t❤➻ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ t↕♦ r❛ ♠å✐ ✤è♥❣ sä✐ ✤➲✉ ❝â ✶✷ ✈✐➯♥ sä✐ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➦t sè ✈✐➯♥ sä✐ tr♦♥❣ ❜❛ ✤è♥❣ sä✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ a, b ✈➔ c✳ ❚❛ ①➨t sè ❞÷ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ số t t ỳ số ỗ ữ ❧➔ ✶✱ ✷✱ ✵✳ ❙❛✉ ♠ët ❧➛♥ ❝❤å♥ t❤❛② ✤ê✐✱ ♥❤ú♥❣ sè ❞÷ ♥➔② ❧➔ ✵✱ ✶✱ ✷ ✈➻ ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❤❛✐ ✤è♥❣ sä✐ ❝â sü ❝❤✉②➸♥ ♠ët ✈✐➯♥ sä✐ ✤➳♥ ✤è♥❣ t❤ù ❜❛✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ♥❤ú♥❣ sè ữ ổ ổ ợ ỳ tự tü ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❉♦ ✤â t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤è♥❣ sä✐ ✤➲✉ ❝â ✶✷ ✈✐➯♥ sä✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ✤÷đ❝ ✭✈➻ ❦❤✐ ✤â sè ❞÷ ❝õ❛ ❜❛ ✤è♥❣ sä✐ ❧➔ ✵✱ ✵✱ ✵✱ ✈æ ❧➼✮✳ ❱➟② ❦❤æ♥❣ t❤➸ t↕♦ r❛ ♠å✐ ✤è♥❣ sä✐ ✤➲✉ ❝â ✶✷ ✈✐➯♥ sä✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✷✳ ◆❣♦➔✐ ❜✐➸♥ ✤æ♥❣✱ tr➯♥ ❤á♥ ✤↔♦ s✐♥❤ sè♥❣ ❣✐è♥❣ t❤➡♥ ❧➡♥ ❝â ❜❛ ❧♦↕✐ ♠➔✉✿ ♠➔✉ ①→♠ ❝â ✶✸✸ ❝♦♥✱ ♠➔✉ ♥➙✉ ❝â ✶✺✺ ❝♦♥ ✈➔ ♠➔✉ ✤ä ❝â ✶✼✼ ❝♦♥✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ❦❤→❝ ♠➔✉ ❣➦♣ ♥❤❛✉✱ t ú ỗ tớ s tự ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤❛✐ ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ❝ị♥❣ ♠➔✉ ❣➦♣ ♥❤❛✉ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐ ♠➔✉✳ ❈â ①↔② r❛ t➻♥❤ tr↕♥❣ ❧➔ tr➯♥ ✤↔♦ t➜t ❝↔ t❤➡♥ ❧➡♥ trð t❤➔♥❤ ❝ị♥❣ ♠ët ♠➔✉ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â ❜❛ sè ♥❣✉②➯♥ ✶✸✸✱ ✶✺✺✱ ✶✼✼ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ ✤÷đ❝ ❜ë sè ❞÷ ❧➔ ✶✱ ✷ ✈➔ ✵✳ ❑❤✐ ✤â ①➨t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ s❛✉✿ ◆➳✉ ♠ët ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ①→♠ ❣➦♣ ♠ët ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ t ú ỗ tớ t ọ ✤â t❛ ❝â ✶✸✷ ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ①→♠✱ ✶✺✹ ❝♦♥ ♥➙✉ ✈➔ ✶✼✾ ❝♦♥ ✤ä✳ ◆❤÷♥❣ sè ❞÷ ❝õ❛ ✶✸✷✱ ✶✺✹ ✈➔ ✶✼✾ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✵✱ ✶ ✈➔ ✷✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❧↕✐ ❣➦♣ ❧↕✐ ✤➛② ✤õ ❝→❝ sè ❞÷ ✤➣ ❝â✳ ◆➳✉ ♠ët ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ①→♠ ❣➦♣ ♠ët ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ✤ä t ú ỗ tớ t õ t❛ ❝â ✶✸✷ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ①→♠✱ ✶✺✼ t❤➡♥ ❧➡♥ ♥➙✉ ✈➔ ✶✼✻ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ✤ä✳ ▲➜② ♥❤ú♥❣ sè tr➯♥ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ ❝❤♦ sè ❞÷ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✵✱ ✶ ✈➔ ✷✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❧↕✐ ❣➦♣ ❝↔ ❜❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝õ❛ sè ❞÷✳ ◆➳✉ ❝♦♥ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ♥➙✉ ✈➔ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ✤ä ❣➦♣ ♥❤❛✉ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ❝ò♥❣ ✤ê✐ ♠➔✉ t❤➔♥❤ ♠➔✉ ①→♠✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ✶✸✺ t❤➡♥ ❧➡♥ ①→♠✱ ✶✺✹ t❤➡♥ ❧➡♥ ♥➙✉ ✈➔ ✶✼✻ t❤➡♥ ❧➡♥ ✤ä✳ ❙è ❞÷ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ sè t❤➡♥ ❧➡♥ tr➯♥ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✵✱ ✶ ✈➔ ✷✱ ✈➝♥ ❝â ✤➛② ✤õ ❝→❝ sè ❞÷ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸✳ ❱➟② ❜➜t ❜✐➳♥ ð ✤➙② ❧➔ ❞ò t❤❛② ✤ê✐ ♠➔✉ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ t❤➻ sè ❞÷ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❧÷đ♥❣ t❤➡♥ ❧➡♥ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ ✤➲✉ ❝â ✤➛② ✤õ ❜❛ sè ✵✱ ✶ ✈➔ ✷✳ ❙è ❧÷đ♥❣ t➜t ❝↔ t❤➡♥ ❧➡♥ tr➯♥ ✤↔♦ ❧➔ 133 + 155 + 177 = 465 ❧➔ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ◆➳✉ t➜t ❝↔ t❤➡♥ ❧➡♥ ✤➲✉ ❝ò♥❣ ♠ët ♠➔✉ t❤➻ sè ❞÷ ❝õ❛ ✹✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn sè ❧÷đ♥❣ t❤➡♥ ❧➡♥ ♠➔✉ ①→♠✱ ♥➙✉ ✈➔ ✤ä ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✵✱ ✵✱ ✵✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✱ ✈➻ ❝→❝ sè ❞÷ ♣❤↔✐ ❝â ✤➛② ✤õ ❝→❝ sè ❞÷ ♥➔② ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✸✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ✤÷đ❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✸✳ ❚r♦♥❣ ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è ♥❤✐➺♠ ♠➔✉ ❝â ✶✵ ❦à s➽ tâ❝ ✈➔♥❣✱ ✶✺ ❦à s➽ tâ❝ ✤ä ✈➔ ✷✸ ❦à s➽ tâ❝ ①❛♥❤✳ ❈→❝ ❦à s➽ ❝â ♠ët ✤➦❝ ✤✐➸♠ r➜t t❤ó ✈à ❧➔ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❦❤→❝ ♠➔✉ tâ❝ ❣➦♣ ♥❤❛✉ t❤➻ tâ❝ ❤å s➩ ✤ê✐ s❛♥❣ ♠➔✉ t❤ù ❜❛✳ ▲✐➺✉ s❛✉ ♠ët sè ❧➛♥ ♥➔♦ ✤â t❤➻ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦à s➽ ❝â ❝ị♥❣ ♠➔✉ tâ❝ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❦à s➽ ♠➔ ✤➲ ❜➔✐ ✤➣ ♥➯✉ r❛✱ ♥➳✉ ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❦❤→❝ ♠➔✉ tâ❝ ❣➦♣ ♥❤❛✉ t❤➻ tâ❝ ❤å s➩ ✤ê✐ s❛♥❣ ♠➔✉ t❤ù ❜❛✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t ♥➔② ❝❤♦ t❛ ✤✐➲✉ ❣➻✱ ❤➣② ❣✐↔ sû ❤❛✐ ♥❣÷í✐ ❣➦♣ ♥❤❛✉ ❧➔ ①❛♥❤ ✈➔ ✈➔♥❣✱ ❤å s➩ ✤ê✐ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❦à s➽ tâ❝ ✤ä✳ ◆❤÷ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ✤÷đ❝ ❣➻✱ sè ❦à s➽ tâ❝ ①❛♥❤ ❣✐↔♠ ✤✐ ✶✱ sè ❦à s➽ tâ❝ ✈➔♥❣ ❣✐↔♠ ✤✐ ✶✱ sè ❦à s➽ tâ❝ ✤ä t➠♥❣ ❤❛✐✳ ❙ü t➠♥❣ ❣✐↔♠ ♥➔② ❝❤♦ t❛ t➼♥❤ ❝❤➤♥ ❧➫ ♥➔♦ ÷✱ sè ❦à s➽ tâ❝ ✤ä t➠♥❣ ❧➯♥ ✷ ✤➜② t❤ỉ✐✱ t❤➳ ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❝â tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❣✐↔♠ ❤❛② t➠♥❣ ✶✳ ❱➟② t❤➻ ❝❤ó♥❣ ✤➙✉ ❣✐ú ♥❣✉②➯♥ t➼♥❤ ❝❤➤♥ ❧➫ ÷✳ ❚❛ t❤û ①➨t tê♥❣ ❝→❝ sè✱ tê♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ❣✐ó♣ t❛ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ t❤û ①➨t ❤✐➺✉ ✤✐✱ ❤✐➺✉ ❧➔ 0, 0, 3✳ ❈→❝ sè ♥➔② ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❣➻✱ ❝→❝ sè ♥➔② ✤➲✉ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ t q t t rỗ ữ ❞ò t❤❛② ✤ê✐ t❤➳ ♥➔♦ t❤➻ ❤✐➺✉ sè ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❦à s➽ ❧✉æ♥ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✳ ✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ sü ❜➜t ❜✐➳♥ t❤❡♦ ♠æ✤✉❧æ ✸✳ ❇❛♥ ✤➛✉ ❤✐➺✉ sè ✈➲ sè ❧÷đ♥❣ ❦à s➽ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✸✱ ♥❤÷ ✈➟② t❤➻ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝â ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❦à s➽ ♠❛♥❣ sè ❧÷đ♥❣ ✵✱ ✵ ✤÷đ❝✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â tr÷í♥❣ ❤đ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❦à s➽ ✤➲✉ ❝ò♥❣ ♠➔✉ tâ❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✹✳ ❚r♦♥❣ ♠ët ❝✉ë❝ t❤✐ ✤➜✉ ❜â♥❣ ✤→ ❝â ✶✺ ✤ë✐ õ ợ ỏ trỏ ởt ữủt ✣ë✐ ❝❤✐➳♥ t❤➢♥❣ ✤÷đ❝ ✷ ✤✐➸♠✱ ✤ë✐ t❤✉❛ ✤÷đ❝ ✵ ✤✐➸♠✱ ❝á♥ ♥➳✉ ❦➳t q✉↔ ❤♦➔ t❤➻ ♠é✐ ✤ë✐ ✤➲✉ ✤÷đ❝ ♠ët ✤✐➸♠✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ s❛✉ ❦❤✐ ❦➳t t❤ó❝ ♠ò❛ ❣✐↔✐✱ ➼t ♥❤➜t ❝â ♠ët ✤ë✐ ♠➔ sè ✤✐➸♠ ❣❤✐ ✤÷đ❝ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❇➜t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❞↕♥❣ t❤✐ ✤➜✉ ♥➔② t❤÷í♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ sè ✤✐➸♠ ♠➔ ♠é✐ ✤ë✐ ❝â ✤÷đ❝ s❛✉ ♠é✐ tr➟♥ ✤➜✉✳ Ð ✤➙②✱ ♥➳✉ t❛ ①➨t tê♥❣ ✹✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✤✐➸♠ ♠➔ ❤❛✐ ✤ë✐ t❤✉ ✤÷đ❝ s❛✉ ♠é✐ tr➟♥ ✤➜✉ ❧✉æ♥ ❧➔ ✷✳ ✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤➢♥❣ t❤✉❛ ✈➔ ❤♦➔✳ ❇➜t ❜✐➳♥ ♥➔② ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t ✤✐➲✉ ❣➻✱ t❤ù ♥❤➜t ❧➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷đ❝ sè ✤✐➸♠ tê♥❣ ❝ë♥❣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ✤ë✐ ❜â♥❣✱ tø ✤➙② t❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t sè ✤✐➸♠ ♠➔ ✤ë✐ ✤ù♥❣ t❤ù ♥❤➜t ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ð ✤➙②✱ ✤➲ ❜➔✐ ❧↕✐ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼♥❤ ❝❤➤♥ ❧➫ ♥➯♥ t ú ỵ tợ t t➼❝❤ tr➯♥✱ tê♥❣ sè ✤✐➸♠ ❤❛✐ ✤ë✐ s❛✉ ♠ët tr➟♥ ✤➜✉ ❧➔ ✷✱ tù❝ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ s❛✉ ❦❤✐ ❦➳t t❤ó❝ ♠ị❛ ❣✐↔✐ t❤➻ sè ✤✐➸♠ ♠➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤ë✐ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët sè ❝❤➤♥✱ ❞♦ ✤â ❦❤æ♥❣ ❝â ❝❤✉②➺♥ ♠å✐ ✤ë✐ ✤➲✉ ❝â sè ✤✐➸♠ ❧➫ ✤÷đ❝✱ ❞♦ sè ✤ë✐ ❧➔ ✶✺ ✤ë✐ ❧➔ ♠ët sè ❧➫✳ ◆❤÷ ✈➟② ♣❤↔✐ ❝â ♠ët ✤ë✐ ❣❤✐ ✤÷đ❝ sè ✤✐➸♠ ❝❤➤♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✺✳ ❆ ✈➔ ❇ t✐➳♥ ❤➔♥❤ trá ❝❤ì✐ ✈ỵ✐ ✷✵✶✸ ❤↕t ✤➟✉✳ ▼ët ữợ ọ ố t t trữợ t ♥❤❛✉✳ ◆❣÷í✐ ♥➔♦ ❧➜② ✤÷đ❝ ❤↕t ✤➟✉ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ❧➔ ♥❣÷í✐ ❝❤✐➳♥ t❤➢♥❣✳ ❱➟② ♥❣÷í✐ ♥➔♦ ❝â ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ✤➸ ❧✉ỉ♥ t❤➢♥❣ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ ❝❤ì✐ ✈➔ ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ✤â ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❆ ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ t❤➢♥❣ ♥➳✉ ❆ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t s❛✉✿ ❦❤ð✐ ✤➛✉ ❆ ❧➜② ✶ t ữợ t t s 4x ❤↕t✱ ð ✤➙② x ❧➔ sè ❤↕t ✤➟✉ ❇ ✤➣ ữợ trữợ õ s ❆ ✤✐ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥✱ ❝á♥ ❧↕✐ ✷✵✶✷ ❤↕t ✤➟✉✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❤❡♦ ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t tr➯♥ t❤➻ s❛✉ ♠é✐ ❧➛♥ rỗ ố t ổ ỏ ❧↕✐ sè ❤↕t ❜➡♥❣ ❜ë✐ sè ❝õ❛ ✹✳ ❉♦ ✈➟②✱ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ✤➳♥ ❧÷đt ❇ t❤➻ ❝á♥ ❧↕✐ ✹ ❤↕t✳ ❉ị ❇ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝❤ ♥➔♦ t❤➻ ❆ ❝ơ♥❣ ✤✐ ữủ ữợ ố s t số t ✈➔ ❆ t❤➢♥❣ ❝✉ë❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✻✳ ❚r♦♥❣ ♠ët ❝❤✐➳❝ ❤ë♣ ❝â ✤ü♥❣ ✶✺ q✉↔ ❝➛✉ ①❛♥❤✱ ✈➔ tr♦♥❣ ♠ët ❤ë♣ ❦❤→❝ ❝â ✶✷ q✉↔ ❝➛✉ tr➢♥❣✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐✱ tr♦♥❣ ♠ët ❧÷đt ✤✐✱ ❤å ❜✉ë❝ ♣❤↔✐ ❧➜② ✤✐ ✸ q✉↔ ❝➛✉ ①❛♥❤ ❤♦➦❝ ✷ q✉↔ ❝➛✉ tr➢♥❣✳ ◆❣÷í✐ t❤ù t ỡ ữ t t ợ t ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ ✤✐➸♠ ❜➜t ❜✐➳♥ ð ❜➔✐ t♦→♥ ♥❛② ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➾ ❧➺ : ❣✐ú❛ ❝→❝ q✉↔ ❝➛✉ ①❛♥❤ ✈➔ q✉↔ ❝➛✉ tr➢♥❣✳ ◆❤÷ ợ ữủt ỡ t ữớ ỡ tự t s➩ ❧➜② ✤✐ ✷ q✉↔ ❝➛✉ tr➢♥❣ ✈➔ ❧ó❝ ✤â t➾ ❧➺ ❣✐ú❛ q✉↔ ❝➛✉ ①❛♥❤ ✈➔ q✉↔ ❝➛✉ tr➢♥❣ ❧➔ 15 : 10 = : 2✱ ð ❝→❝ ữợ t t S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❝❤➾ ❝➛♥ ❧➜② ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ t❤➻ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t s➩ t❤➢♥❣✱ ✤↔♠ ❜↔♦ sü ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ t➾ ❧➺ 3:2 ✤➳♥ ❝✉è✐ ❝✉ë❝ ❝❤ì✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✼✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ♠ët trá ❝❤ì✐ ✈ỵ✐ ❤❛✐ ✤è♥❣ ❦➭♦✳ ✣è♥❣ ❦➭♦ t❤ù ♥❤➜t ❝â ✶✷ ❝→✐ ✈➔ ✤è♥❣ ❦➭♦ t❤ù ✷ ❝â ✶✸ ❝→✐✳ ▼é✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ✤÷đ❝ ❧➜② ❤❛✐ ❝→✐ ❦➭♦ ❤♦➦❝ ❝❤✉②➸♥ ♠ët ❝→✐ ❦➭♦ tø ✤è♥❣ t❤ù ♥❤➜t s❛♥❣ ✤è♥❣ t❤ù ❤❛✐✳ ◆❣÷í✐ ❝❤ì✐ ♥➔♦ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ t❤❛♦ t→❝ tr➯♥ ❝♦✐ ♥❤÷ ❧➔ t❤✉❛✳ ❍➣② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ✤✐ ❧÷đt t❤ù ❤❛✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t❤✉❛✳ ◆❣÷í✐ ✤â ❝â t❤➸ t❤➢♥❣ ❦❤ỉ♥❣❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ S ❧➔ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ ✤è♥❣ ❦➭♦ t❤ù ❤❛✐ trø ✤✐ ✤è♥❣ S = |13 − 12| = 1✳ ❙❛✉ ♠é✐ ❧➛♥ ❝❤ì✐ S s➩ ❣✐↔♠ ❤♦➦❝ t➠♥❣ ❧➯♥ ✷✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ sè ❞÷ ❝õ❛ S ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✹ ❝â ❞↕♥❣ 1, 3, 1, 3, ▼é✐ ❧➛♥ s❛✉ ❦❤✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ❝❤ì✐ sè ❞÷ ❝õ❛ S ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✹ ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ ❦➭♦ t❤ù ♥❤➜t✳ ❑❤ð✐ ✤➛✉ ❞÷ ✸✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ❜à t❤✉❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ ❝→✐ ❦➭♦ ♥➔♦ ð ✤è♥❣ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ❝❤➾ ❝á♥ ♠ët ❝→✐ ❦➭♦ ð ✤è♥❣ t❤ù ❤❛✐✱ ❦❤✐ ✤â S = |1 − 0| = 1✳ ❉♦ ✤â ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤ù ❤❛✐ ❧✉ỉ♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝→❝❤ ❝❤ì✐✱ ❞♦ ✤â ♥❣÷í✐ ✤â ❦❤æ♥❣ t❤✉❛✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣✱ ❤♦➦❝ ❧➔ tê♥❣ sè ❦➭♦ ð ❤❛✐ ✤è♥❣ ❣✐↔♠ ✤✐ ❤♦➦❝ ❧➔ sè ❦➭♦ ð ✤è♥❣ t❤ù ♥❤➜t ❣✐↔♠ ✤✐✱ ♥❤÷ ✈➟② trá ❝❤ì✐ ♣❤↔✐ ❝â ❦➳t t❤ó❝✱ ❞♦ ✤â ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤ù ❤❛✐ ♣❤↔✐ t❤➢♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✽✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤❛② ♣❤✐➯♥ ♥❤❛✉ ✈✐➳t ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝→❝ ❝❤ú sè ✤➸ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ t❛ ❝â ♠ët ❝♦♥ sè ❝â ✶✵ ❝❤ú sè✱ t❤❡♦ q✉② ✤à♥❤✿ ◆❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✈✐➳t ❝❤ú sè t❤ù ♥❤➜t✱ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ✈✐➳t ❝❤ú sè t❤ù ❤❛✐✱ ❧↕✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✈✐➳t ❝❤ú sè t❤ù ❜❛✱ ✳✳✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ♠✉è♥ ❝â ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼✱ ❝á♥ ữớ tự t ố ỵ ố ỡ t t ữủ ỵ ố ♠➻♥❤❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ◆❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ ✈✐➳t sè ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✤➸ q✉②➳t ✤à♥❤ ❦➳t q✉↔ sè ➜② ❝â ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼ ❦❤ỉ♥❣✳ ❑❤✐ ♥❣÷í✐ t❤ù ♥❤➜t ✈✐➳t ❝❤ú sè ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ❝õ❛ ♠➻♥❤ t❤➻ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❝â ✾ ❝❤ú sè✳ ✣➸ t➻♠ sè t❤ù ♠÷í✐✱ ♥❣÷í✐ t❤ù ❤❛✐ t❤➯♠ sè ✵ ✈➔♦ sè ✤â✱ s❛✉ ✤â ✤❡♠ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ✼✱ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ s❛✉ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ❝â sè ❞÷ ❧➔ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ − r✳ r✱ t❤➻ sè ❝➛♥ ✈✐➳t t❤➯♠ ✈➔♦ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ✣➙② ❝ơ♥❣ ❧➔ ❝❤✐➳♥ t❤✉➟t ♥❣÷í✐ ✤✐ s❛✉ ❧✉ỉ♥ ❧✉ỉ♥ t❤➢♥❣✳ ✺✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✵✳✹✾✳ ❈â ♠ët ❜➔♥ ✈✉ỉ♥❣ ✈ỵ✐ sè ỉ ✈✉ỉ♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ ❧➫✳ ❍❛✐ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ ❧➛♥ ❧÷đt ✤➦t ỳ ỗ ổ ổ ữớ ỡ ổ ỏ ộ t ỗ ♥❤÷ ❧➔ t❤✉❛ tr➟♥✳ ❍➣② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤ù ♥❤➜t ❝â t❤➸ ❧✉ỉ♥ ❝❤✐➳♥ t❤➢♥❣✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥ ð ✤➙② ❧➔ æ ✈✉æ♥❣ t➙♠ ❜➔♥ ✭❞♦ sè æ ✈✉æ♥❣ ❧➔ ❧➫ ổ ổ t t ổ tỗ t ứ ủ ỵ õ t ữủ tt t ữớ ỡ tự t t ỗ t ổ ổ t t ữợ ỏ t t ỗ ố ự ợ ỗ ữớ tự t q ỗ t ❜➔♥✳ ❱➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠➦t ❜➔♥ ❝á♥ trè♥❣ ❣✐↔♠✱ trá ❝❤ì✐ ♣❤↔✐ ❦➳t t❤ó❝✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ♥❣÷í✐ ❝❤ì✐ t❤ù ♥❤➜t s➩ t❤➢♥❣✳ ✺✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑➳t ❧✉➟♥ ❇➜t ❜✐➳♥ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❝➜♣✱ tø ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ sè ❤å❝✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤➳♥ tê ❤ñ♣✳ ❚✉② ✈➟② ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ð ❱✐➺t ◆❛♠ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔♦ tê♥❣ ❦➳t✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❧➔ ❞ị♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ❝❤÷❛ t t ữợ tr ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞ị♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥✳ ❱➻ t❤➳✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤➦t r❛ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ♠ët sè ✈✐➺❝ s❛✉✿ ợ t ữỡ sỷ t ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ t♦→♥ ❝➜♣✳ ✲ ❚ê♥❣ ❦➳t✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝➛♥ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜➜t ❜✐➳♥✳ ✲ ❙÷✉ t➛♠ ✭❝❤õ ②➳✉ tø ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ q✉è❝ ❣✐❛✱ q✉è❝ t➳ ✈➔ ❝õ❛ ởt số ữợ tr õ t ữủ sỷ ❞ư♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝❤õ ②➳✉✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤➸ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ q✉↔ ✤➸ ❣✐↔✐ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➜♣✳ ❱✐➺❝ s÷✉ t➛♠✱ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❤✐➲✉ ❝ỉ♥❣ sù❝ ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ❇↔♥ ❧✉➟♥ ụ ợ t q ữợ ✈➔ t→❝ ❣✐↔ s➩ ❝è ❣➢♥❣ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ✤➸ ❝â ữủ ởt ợ ú Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ▲➯ ❚r➛♥ ỵ ụ ✭✷✵✵✷✮✱❚✉②➸♥ t➟♣ ✷✵✵ ❜➔✐ t❤✐ ✈æ ✤à♥❤ t♦→♥ ✭❙è ❤å❝ ✈➔ ✤↕✐ sè✮✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ö❝✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥ ✭✷✵✵✹✮✱ ●✐↔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ö❝✳ ❬✸❪ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t✉ê✐ tr➫ ✭✶✾✾✼✲✷✵✵✹✮✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ö❝✳ ❬✹❪ ❚õ s→❝❤ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t✉ê✐ tr➫ ✭✷✵✵✼✮✱ ❈→❝ ❜➔✐ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ t♦→♥ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ❱✐➺t ◆❛♠ ✭✶✾✾✵✲✷✵✵✻✮✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ư❝✳ ❬✺❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ t♦→♥ q✉è❝ ❣✐❛✱ q✉è❝ t➳ ✭✶✾✾✺✲✷✵✶✵✮✳ t ữợ ▼❈❈▼❊✳ ❬✼❪ ❑✈❛♥t ✭❚↕♣ ❝❤➼ t♦→♥ ❤å❝ ❝❤♦ ♥❤➔ tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ❝õ❛ ▲✐➯♥ ❳ỉ ❝ơ ✈➔ ♥❣➔② ♥❛② ❧➔ ▲✐➯♥ ❜❛♥❣ ◆❣❛✱ ♥➠♠ ✶✾✼✵✲✷✵✵✷✮✳ ❬✽❪ ▼❝❊❧✐❡❝❡✳ ❘✳ ❏✱ ❆s❤✳ ❘✳ ❇✱ ❆s❤✳ ❈ ✭✶✾✽✾✮✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❉✐s❝r❡t❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧ ❇♦♦❦ ❈♦✳ ❬✾❪ ❙❝❤❡♥✳ ❆ ✭✷✵✵✼✮✱ ❚rá ❝❤ì✐ ✈➔ ❝❤✐➳♥ tt ữợ q t S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn