Bất đẳng thức đại số trong tam giác

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Phm Cụng nh Bất đẳng thức đại số tam giác Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi nguyờn - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲ P❤↕♠ ❈ỉ♥❣ ✣➾♥❤ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ✣❸■ ❙➮ ❚❘❖◆● ❚❆▼ ●■⑩❈ ▲❯❾◆ ò Pì PP P số ữớ ữợ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ◆❿▼ ✷✵✶✸ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✏❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t ữủ t t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ✈➔ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✳ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ sü ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ù t t rữợ t tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ữớ t ữợ tæ✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♥➠♠ ❤å❝ ✈ø❛ q✉❛✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ◗✉❛♥ ❤➺ q✉è❝ t➳✱ ❇❛♥ ❈❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ tr÷í♥❣ ❚❍P❚ ❈❤✉ ❱➠♥ ❆♥ ✲ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t↕♦ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ♥❤➜t ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❜➯♥ tæ✐✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ ❈ỉ♥❣ ✣➾♥❤ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ử ởt số ỵ ũ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✶ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❧✐➯♥ q t ỵ ỡ ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ✶✳✷ ❍➺ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❝→❝ ②➳✉ tè ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✸ ✺ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✵ ✷ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ✤♦ ✤ë ❞➔✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✷✶ ✷✳✶ ❳➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ✤♦ ✤ë ❞➔✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ✷✳✸ ✷✶ ❈→❝ ❞↕♥❣ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ②➳✉ tè ✤↕✐ sè ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✶ ▼ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✷ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷✳✸ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷✳✷✳✹ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✺ ❙û ❞ö♥❣ ♠ët sè ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s♦ s→♥❤ ✈ỵ✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ✸✶ ▼ët sè ❜➔✐ t➟♣ →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✸ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✈➔ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✹✶ ✸✳✶ ◆❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✸✳✷ ◆❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✸✳✸ ◆❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ P❤ö ❧ö❝ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✸ ▼ð ✤➛✉ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ ❝➜♣✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝❤✐➳♠ ✈à tr➼ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧♦↕✐ ❦❤â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ q✉è❝ ❣✐❛✱ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ t♦→♥ q✉è❝ t➳✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝ơ♥❣ ❤❛② ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✈➔ t❤÷í♥❣ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ❦❤â✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❝ü❝ trà tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❤❛② ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ ữủ t ỗ ữù ✈✐➯♥ ✈➔ ❤å❝ s✐♥❤ ❝❤✉②➯♥ t♦→♥ ❜➟❝ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤è✐ ✤➛② ✤õ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟② t ữủ t q ợ õ ỵ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥➔② ❧➔ r➜t ❦❤â✳ ❚✉② ✈➟② ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙② ♠ët sè ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈➝♥ t ữủ ởt số t q ợ õ ỵ ✈➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥➔②✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤➡♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❝→❝ ②➳✉ tè ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ✤♦ ✤ë ❞➔✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ỗ tớ ụ ữ r ữủ ởt số ❞ü♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ♠ỵ✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❦❤æ♥❣ ♥❣ø♥❣ ♥é ❧ü❝ ✤➸ ❤å❝ ❤ä✐✱ t➻♠ tá✐ ✈➔ s÷✉ t➛♠ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ số tr t ỗ ✤➛✉ ✈➔ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t ỗ tớ tr tự sè ❝õ❛ ❝→❝ ②➳✉ tè ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ✤♦ ✤ë ❞➔✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ Số hóa trung tâm học lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ữỡ ợ t ởt số ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ỗ tớ ữ r ởt số q q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼✲●▼ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ q✉è❝ ❣✐❛ ✈➔ q✉è❝ t➳ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✈➔ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ ❝→❝ ❧♦↕✐ t❛♠ ❣✐→❝✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ✈✉ỉ♥❣✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥✱ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺ ▼ët sè ỵ ũ tr ã ã • ❆P▼❖ • ❆▼ ✲ ●▼ • sym • cyc ✲ ◆❛t✐♦♥❛❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❖❧②♠♣✐❛❞✳ ✲ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❖❧②♠♣✐❛❞✳ ✲ ❆s✐❛♥ P❛❝✐❢✐❝ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❖❧②♠♣✐❛❞✳ ✲ ✲ ✲ ❚ê♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ❚ê♥❣ ❤♦→♥ ✈à✱ • ma ; mb ; mc ♣❤→t tø ❝→❝ ✤➾♥❤ ✲ •r: •R: ✲ ✲ • ; rb ; rc sym cyc ❧➔ ✈✐➳t t➢t ❝õ❛ ❧➔ ✈✐➳t t➢t ❝õ❛ symmetric cyclic ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ữớ tr t t A, B, C ã la ; lb ; lc ✲ tø ❝→❝ ✤➾♥❤ A, B, C • ; hb ; hc ✤➾♥❤ A, B, C ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ♠❡❛♥ ✲ ●❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡❛♥✳ ✲ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ①✉➜t ♣❤→t ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✳ ✲ ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✻ •p ✲ ❧➔ ♥û❛ ❝❤✉ ✈✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ •S ✲ ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✶✳✶ ỵ ỡ t r t s sỷ ởt số ỵ t❤è♥❣ ♥❤➜t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤÷ s❛✉✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ỵ ABC ABC t AB = c; AC = b; BC = a ỵ ❤➔♠ sè s✐♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ ✳ ❚r♦♥❣ t ổ õ tự s ỵ ABC ✱ a b c = = = 2R sin A sin B sin C ỵ số ❝♦s✐♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❧✉æ♥ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ỵ ABC ỵ số t❛♥❣ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❧✉æ♥ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ A−B a−b A−B C = = tan tan ; A+B a+b 2 tan tan Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✽ B−C b−c B−C A = = tan tan ; B+C b+c 2 tan C −A tan c−a C −A B = = tan tan C +A c+a 2 tan tan ỵ ✭❈ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ = 2S p(p − a)(p − b)(p − c) = ; a a 2S p(p − a)(p − b)(p − c) = ; b b 2S p(p − a)(p − b)(p − c) hc = = c c hb = ỵ ✳ ✭❈ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ t✉②➳♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ b2 + c2 a2 = − ; 2 a +c b2 mb = − ; a2 + b2 c2 m2c = m2a ỵ ✭❈ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ 2bc A cos ; b+c 2ac B lb = cos ; a+c 2ab C lc = cos a+b la = ỵ ✳ ✭❈ỉ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣✱ ①❡♠ ❬✹❪✱❬✻❪✮ R= a b c abc abc = = = = sin A sin B sin C 4S p(p − a)(p − b)(p − c) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✸ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â S = (p − b)(p − c) ⇔ S = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a)(p − b)(p − c) = (p − b)2 (p − c)2 ⇔ p(p − a) = (p − b)(p − c) ⇔ p2 − pa = p2 − (b + c)p + bc ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c − a)(b + c + a) = 2bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ (b2 + c2 + 2bc) − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 ❱➟② ∆ABC ✈✉æ♥❣ t↕✐ ❆✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ ABC ❈❤♦ t❤♦↔ ♠➣♥ = r + rb + rc ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ✈✉ỉ♥❣✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ = r + rb + rc ⇔ S S S S = + + p−a p p−b p−c ⇔ 1 1 1 1 = + + ⇔ − = + p−a p p−b p−c p−a p p−b p−c ⇔ p − (p − a) (p − c) + (p − b) a a = ⇔ = (p − a)p (p − b)(p − c) (p − a)p (p − b)(p − c) ⇔ (p − a)p = (p − b)(p − c) ⇔ (b + c − a)p = bc ⇔ (b + c)2 − a2 = 2bc ⇔ b2 + c2 = a2 ❱➟② ∆ABC ✈✉æ♥❣ t↕✐ ❆✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❈❤♦ ABC ❝â r + + rb + rc = a + b + c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ✈✉æ♥❣✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â r = 4R sin Số hóa trung tâm học liệu A B C sin sin 2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✹ ⑩♣ ❞ö♥❣ a + b + c = 2R [sin A + sin B + sin C] = 8R cos A B C cos cos 2 = ptg A a+b+c A A B C = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rb = ptg B a+b+c B B C A = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 rc = ptg C a+b+c C C A B = tg = 4R sin cos cos 2 2 2 ❑❤✐ ✤â✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ r + + rb + rc = a + b + c ⇔ 4R sin A B C A B C sin sin + sin cos cos 2 2 2 + sin = 8R cos A B C A B C A B C cos cos ⇔ sin sin sin + sin cos cos 2 2 2 2 + sin ⇔ sin B C A C A B A B C cos cos + sin cos cos = cos cos cos 2 2 2 2 A B C B C A B C C B sin sin + cos cos + cos sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 = cos ⇔ sin B C A C A B cos cos + sin cos cos 2 2 2 A B C cos cos 2 A B C cos − 2 + cos Số hóa trung tâm học liệu A B C sin + 2 = cos A B C cos cos 2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✺ ⇔ sin A B−C cos 2 + cos A B+C sin 2 = cos ⇔ sin A B+C B−C cos + cos 2 A B−C A A A A A B−C cos + cos cos − cos sin − cos cos =0 2 2 2 2 ⇔ sin A A B−C A A A − cos cos − cos sin − cos =0 2 2 2 ⇔ sin A A − cos 2 cos B−C A − cos =0 2   A A A sin = cos  2   tg = ⇔ ⇔ B−C =A ⇔  B−C A C −B =A cos = cos 2 ❱➟② ∆ABC A = π/2 B = π/2 C = π/2 ✈✉æ♥❣✳ ✸✳✷ ◆❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✻✳ ❈❤♦ ABC ❝â a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ = a3 (b2 − c2 ) + b3 (c2 − a2 ) + c3 (a2 − b2 ) = a3 (b2 − c2 ) − a2 (b3 − c3 ) + b2 c2 (b − c) = (b − c) a3 (b + c) − a2 (b2 + bc + c2 ) + b2 c2 = (b − c)(a − b)(a − c)(ab + bc + ca) a−b=0 a=b ⇔ b−c=0 ⇔ b=c c−a=0 c=a ⇔ ABC ❝➙♥✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✻ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✼✳ ABC ❈❤♦ ❝â hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc ABC ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ hb hc hb hc + + = + + hb hc ha hb hc ⇔ b c a a b c + + = + + a b c b c a ⇔ b2 c + c2 a + a2 b = a2 c + b2 a + c2 b ⇔ b2 (c − a) + ca(c − a) − b(c2 − a2 ) = ⇔ (c − a)(b − c)(b − a) = ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✽✳ ⇔ a−b=0 b−c=0 ⇔ c−a=0 ⇔ ABC ❈❤♦ ABC ❝➙♥✳ ❝â sin ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC a=b b=c c=a A a = √ 2 bc ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â − cos A b2 + c2 − a2 a2 − (b − c)2 sin = = 1− = 2 2bc 4bc 2A ❉♦ ✤â✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✼ sin A a = √ 2 bc a2 a2 − (b − c)2 a2 ⇔ sin = ⇔ = 4bc 4bc 4bc 2A ⇔ a2 − (b − c)2 = a2 ⇔ b = c ⇔ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✾✳ ABC ABC ❈❤♦ ❝➙♥✳ ❝â 4rrc = c2 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ 4rrc = S S pp−c =4 p(p − a)(p − b)(p − c) = 4(p − a)(p − b) p(p − c) =4 b + c − ac + a − b = c2 − (a − b)2 2 ❉♦ ✤â 4rrc = c2 ⇔ c2 − (a − b)2 = c2 ⇔ a = b ❱➟② ABC ❝➙♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳ ❈❤♦ ABC ❝â + cos B 2a + c =√ sin B 4a2 − c2 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✽ + cos B 2a + c (1 + cos B)2 (2a + c)2 =√ ⇔ = sin B 4a2 − c2 sin2 B 4a2 − c2 (1 + cos B)2 (2a + c)2 ⇔ = − cos2 B (2a + c)(2a − c) ⇔ + cos B 2a + c = − cos B 2a − c ⇔ + cos B 2R [2 sin A + sin C] = − cos B 2R [2 sin A − sin C] ⇔ + cos B sin A + sin C = (1 + cos B) + (1 − cos B) (2 sin A + sin C) + (2 sin A − sin C) ⇔ + cos B sin A + sin C = ⇔ sin A [1 + cos B] = sin A + sin C sin A ⇔ sin(A + B) + sin(A − B) = sin C ⇔ sin(A − B) = ⇔ A = B ❱➟② ABC ❝➙♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳ ❈❤♦ ABC ❝â (p − a) cot ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC B A = ptg 2 ❝➙♥✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ (p − a) cot B A p−a A B = ptg ⇔ = tg tg 2 p 2 ❚❛ ❝â p−a b + c − a 2R [sin B + sin C − sin A] = = p b + c + a 2R [sin B + sin C + sin A] B+C B−C A A cos − sin cos 2 2 = B+C B−C A A sin cos + sin cos 2 2 sin Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✾ A B−C B+C cos − cos 2 = A B−C B+C cos cos + cos 2 2 cos B C sin 2 = tg B tg C = B C 2 cos cos 2 sin ❉♦ ✤â✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ p−a A B B C A B C A = tg tg ⇔ tg tg = tg tg ⇔ tg = tg ⇔ C = A p 2 2 2 2 ❱➟② ABC ❝➙♥✳ ✸✳✸ ◆❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✷✳ ABC ❈❤♦ ABC ❝â = 3r ✈➔ ma = 3r✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤➲✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❉♦  A  ra = ptg  r = (p − a)tg A ❚ø ♥➯♥ = 3r ⇔ p = 3(p − a) ⇔ b + c = 2a (1) ma = 3r ⇔ m2a = 9r2 9S 9p(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ ma = = p p2 2b2 + 2c2 − a2 9(p − a)(p − b)(p − c) ⇔ = p 9(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) = 4(a + b + c) 9(2a − a) a2 − (b − c)2 ⇔ 2b2 + 2c2 − a2 = a + 2a 2 2 ⇔ 2b + 2c − a = a − (b − c)2 ⇔ 5b2 + 5c2 − 6bc = 4a2 = (b + c)2 ⇔ 4(b − c)2 = ⇔ b = c (2) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✵ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✸✳ ❈❤♦ a = b = c✳ ABC ✤➲✉✳ ABC ❝â   sin B sin C = 3 a − b − c  a2 = a−b−c ABC ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❱➟② ✤➲✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ a3 − b3 − c3 a = ⇔ a2 [a − b − c] = a3 − b3 − c3 a−b−c ⇔ a2 (b + c) = b3 + c3 ⇔ a2 (b + c) = (b + c) b2 + c2 − bc ⇔ a2 = b2 + c2 − bc ⇔ bc = b2 + c2 − a2 bc b2 + c2 − a2 ⇔ = 2bc 2bc ⇔ sin B sin C = = cos A ⇔ A = π/3 ⇔ [cos(B − C) − cos(B + C)] = ⇔ cos(B − C) + cos A = ⇔ cos(B − C) = ⇔ B = C ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✹✳ a = b = c✳ ❈❤♦ (1) ABC ❱➟② ABC (2) ✤➲✉✳ ❝â 2(p2 − r2 − 4Rr) = ab + bc + ca ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ✤➲✉✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✶ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ S2 abc S 2(p − r − 4Rr) = 2p − 2 − p 4S p 2p(p − a)(p − b)(p − c) 2abc = 2p2 − − p2 p (p − a)(p − b)(p − c) + abc = 2p2 − p p − (a + b + c)p2 + (ab + bc + ca)p − abc + abc = 2p − p = 2(a + b + c)p − 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 2 ❉♦ õ tự tữỡ ữỡ ợ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = ⇔ a = b = c ❱➟② ABC ✤➲✉✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✺✳ ❈❤♦ ABC ❝â b+c= ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ABC √ a + ✤➲✉✳ ❚❛ ❝â √ √ a a + ⇔ b + c = + (b sin C) 2 √ ⇔ 2R [sin B + sin C] = R sin A + 2R sin B sin C √ √ 1 ⇔ sin B + sin C = sin A + sin B sin C = sin(B + C) + sin B sin C 2 √ ⇔ sin B + sin C = [sin B cosC + sin C cos B] + sin B sin C √ √ 3 ⇔ sin B − cosC − + sin C + sin C − cosB − + sin B = 2 2 b+c= ⇔ sin B − cos π −C  π  cos −C =1   ⇔ ⇔  π   cos −B =1 Số hóa trung tâm học liệu + sin C − cos π −B =0 C = π/3 B = π/3 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✷ ABC ❱➟② ✤➲✉✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✻✳ ❈❤♦ ABC ❝â (a + b)(b + c)(c + a) R = 4abc r ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ✤➲✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❛ ❝â r = 4R sin ♥➯♥ R = r A B C sin sin 2 A B C sin sin sin 2 ⑩♣ ❞ö♥❣ (a + b)(b + c)(c + a) 8R3 (sin A + sin B)(sin B + sin C)(sin C + sin A) = 4abc 4.8R3 sin A sin B sin C sin = cos = A+B A−B B+C B−C C +A C −A cos sin cos sin cos 2 2 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A−B B−C C −A cos cos 2 A B C sin sin sin 2 ❚ø ✤â✱ s✉② r❛ ✤➥♥❣ tự tữỡ ữỡ ợ cos AB BC C −A cos cos =1 2 ⇔ cos A−B B−C C −A = cos = cos =1 2 ⇔ A = B = C ❱➟② ABC ✤➲✉✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✸ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✼✳ ABC ❈❤♦ ❝â √ (a + b2 + c2 ) 12 S= ABC ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤➲✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ S= p(p − a)(p − b)(p − c) (p − a) + (p − b) + (p − c) p √ p p2 p = √ = (a + b + c)2 36 3 ≤ = √ 36 (1 ≤ + 12 + 12 )(a2 + b2 + c2 ) √ = ❉➜✉ ✧❂✧ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✽✳ (a + b2 + c2 ) 12 ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ABC ❈❤♦ ABC ❝â ✤➲✉✳ √ 3 S = Rr ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ABC ✤➲✉✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ √ √ 3 3 S= Rr ⇔ pr = Rr 2 √ ⇔ a + b + c = 3R √ ⇔ 2R [sin A + sin B + sin C] = 3R √ 3 ⇔ sin A + sin B + sin C = ❚❛ ❝â Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✹ sin A + sin B + sin C √ √ √ sin A 3 sin B = √ sin A + sin B + √ cos B + √ cos A 2 3 ≤√ sin2 A + + sin2 B + √ + 3 sin2 A + cos2 B + sin2 B + cos2 A √ 3 = ❉➜✉ ✧❂✧ ①↔② r❛ ⇔A=B=C⇔ Số hóa trung tâm học liệu ABC ✤➲✉✳ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✺ P❤ư ❧ư❝ • ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❆▼ ✲ ●▼ ❈❤♦ a1 , a2 , , an ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â a1 + a2 + + an √ ≥ n a1 a2 an ✳ n ❉➜✉ ✏❂✑ ①↔② r❛ • ⇔ a1 = a2 = = an ✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✲ ❙❝❤✇❛r③ a1 , a2 , , an ✈➔ b1 , b2 , , bn ✱ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ an )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ợ số tỹ tũ ỵ t❤ù❝ (a1 + a22 + + ❉➜✉ ✏❂✑ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ (a1 , a2 , , an ) ✈➔ (b1 , b2 , , bn ) ❧➔ ❤❛✐ ❜ë t➾ ❧➺✳ • ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❙❝❤✉r ❱ỵ✐ a, b, c ≥ ✈➔ k ❧➔ sè t❤ü❝ ❜➜t ❦➻ t❛ ❧✉æ♥ ❝â ak (a − b)(a − c) + bk (b − a)(b − c) + ck (c − a)(c − b) ≥ ❉➜✉ ✏❂✑ ①↔② r❛ ⇔a=b=c Số hóa trung tâm học liệu ❤♦➦❝ a = b, c = ✈➔ ❝→❝ ❤♦→♥ ✈à✳ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✑❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✑ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❝→❝ ②➳✉ tè ❜➯♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ✤♦ ✤ë ❞➔✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ tr♦♥❣ ✤â ❝â ♥❤✐➲✉ ❤➺ t❤ù❝ t q ợ õ ỵ ợ t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ♠ỵ✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❳➨t ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✈➔ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✺✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✱ ✷✵✵✻✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱ơ ▲÷ì♥❣ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮✱ ▼ët sè ❜➔✐ ❣✐↔♥❣ ✈➲ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✼✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✱ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✲ ✣à♥❤ ❧➼ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ư❝✱ ❬✶❪ ❱ơ ✣➻♥❤ ❍á❛✱ ✷✵✵✻✳ ❬✹❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭❈❤õ ❜✐➯♥✮✱ ❞ư♥❣✱ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ❝❤å♥ ❧å❝ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ö❝✱ ✷✵✵✾✳ ❇➔✐ ❣✐↔♥❣ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ✲ ❝❤✉é✐ ❧ơ② t❤ø❛ ❤➻♥❤ t❤ù❝ ✈➔♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥ ❝➜♣✱ ✷✵✶✷✳ ❬✻❪ ❚↕ ❉✉② P❤÷đ♥❣✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❜❛ ✈➔ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❬✺❪ ✣➔♠ ❱➠♥ ◆❤➾✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❉ư❝✱ ✷✵✵✻✳ ❬✼❪ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣ ✭❝❤õ ❜✐➯♥✮✱ t♦→♥ ❤å❝✱ ❱➫ ✤➭♣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✶✵✳ ❬✽❪ ❚r➛♥ P❤÷ì♥❣✱ ❍➺ t❤ù❝ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✱ Số hóa trung tâm học lieäu ◆❳❇ ❍➔ ◆ë✐✱ ✷✵✵✷✳ http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Pì PP P số ữớ ữợ ❦❤♦❛ ❤å❝ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ◆❿▼ ✷✵✶✸ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✏❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ số tr t ữủ t ... ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ ❈ỉ♥❣ ✣➾♥❤ Số hóa trung tâm học lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ử ởt số ỵ ❤✐➺✉ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✶ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ số q t ỵ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ✶✳✷ ❍➺... ởt số ❝→❝❤ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤↕✐ sè ♠ỵ✐ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❦❤æ♥❣ ♥❣ø♥❣ ♥é ❧ü❝ ✤➸ ❤å❝ ❤ä✐✱ t➻♠ tá✐ ✈➔ s÷✉ t➛♠ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❜➜t tự số