Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử nếu có để tìm nhân tử chung.. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.[r]
(1)Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung II – Các dạng bài toán thường gặp: 1- Rút gọn phân thức ( x a)2 x a x 4ax ( x a x)( x a x ) (a x) a (2 x a) (2 x a) a 2x a Câu1: a) a 3a a a 2a a 3a a (a 2a 1) Câu : b) a 2a a a ( a 1) (a 1) a a ( a 1) (a a )( a a ) (a a 1)( a a 1) Câu: c) y2 y 2 y y 12 y (2 y y ) ( y 2) (2 y y ) (5 y 10 y ) (2 y 4) y ( y 2) ( y 2) 2 y ( y 2) y ( y 2) 2( y 2) ( y 2)(2 y 1) ( y 2)(2 y y 2) (2 y 1) (2 y 1)( y 2) y 2 Với: y -2 và y - 2- Chứng minh (a a 1) (a a 1) (2) a 4a a a 1 Câu2 : a) Hãy chứng minh: a 7a 14a a Giải: a 4a a a a 14a (a a ) (4a 4) (a 8) (7 a 14a) a (a 1) 4(a 1) (a 2)(a 2a 4) a (a 2) ( a 4)( a 1) (a 2)(a 5a 4) (a 4)(a 1)(a 1) (a 2)(a 4)( a 1) a 1 a Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: ( x a)(1 a ) a x ( x a)(1 a) a x Giải: ( x a )(1 a) a x ( x a )(1 a) a x x2 x2 a a a2 a2 x2 x2 x2 a a a2 a2 x2 x2 x2 a a2 x2 a2 a x x2a a2 x2 a2 a 1 x (1 a a ) (1 a a ) x (1 a a ) (1 a a ) ( x 1)(1 a a ) ( x 1)(1 a a ) a a2 a a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x (3) 1 1 Câu2: c) Chứng minh x y z x y z thì ba số x, y, z ít có cặp số đối Giải: 1 1 x y z xyz Từ: yz xz xy xyz x yz Ta có: Từ đó ta có: ( x y z )( yz xz xy ) xyz Hay ( x y z )( yz xz xy ) xyz 0 Biến đổi vế trái: ( x y z )( yz xz xy ) xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz ( xyz xz y z yz ) ( x y x z xy xyz ) z ( xy xz y yz ) x ( xy xz y yz ) ( xy xz y yz )( x z ) ( x y )( y z )( x z ) Vậy: ( x y )( y z )( x z ) 0 Tích ba nhân tử chứng tỏ ít phải có nhân tử 0, từ đó suy ít có cặp đối 3- Tính giá trị x3 x x Câu3 : a) Tính giá trị phân thức C = x x với x = 2008 Giải: C = x x x x3 x x ( x x 6) x( x 4) x x 3x ( x 2)( x 2) x ( x 2) 3( x 2) ( x 2)( x 2) x 3 x2 (4) 2011 Với x = 2008 thì C = 2010 Câu 3: b) Cho a+b+c = Tính giá trị phân thức a b3 c 3abc a b c ab bc ac Ta có: a b3 c 3abc a b3 c3 3a b 3ab2 3a b 3ab 3abc a 3a b 3ab b3 c3 3a b 3ab 3abc (a b)3 c 3ab(a b c) (a b c)[(a b)2 (a b)c c ] 3ab(a b c) (a b c)(a b c ab bc ca ) a b3 c 3abc (a b c )(a b c ab bc ac ) a b c 5 2 (a b c ab bc ac) Vậy: a b c ab bc ac a b c x y z 0 1 x y z a b c Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn và x2 y z 2 Tính: a b c Giải: x y z 1 a b c x y z ( ) 1 a b c x y z 2 xy xz yz 1 ab ac bc a b c x y z 2 xyz c b a ( ) 1 abc z y x a b c x y z 2 xyz a b c ( ) 1 a b c abc x y z a b c 0 Mà: x y z x2 y z 1 Vậy: a b c (5) 4- Tổng hợp mn n (n m) 4 Câu4 : a) Cho biểu thức A = m n 2n m a1) Rút gọn A a2) Chứng minh A dương a3) Với giá trị nào m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải: mn n (n m) m n 2n m mn n mn m n m 2n n4 (n 1)( m 2) m 2 a1) A = a2) Ta có: m2 0, m Nên: m2 + > 0, m Do đó: m > 0, m Vậy: A > 0, m a3) Ta có: m2 0, m Nên: m2 + 2, m 1 Do đó: m 2 , m Hay: A , m Vậy: A đạt giá trị lớn A = Suy ra: m2 + = hay m = 2 x2 x 3x x : 3x Câu4: b) Cho M = 3x x x b1) Rút gọn biểu thức M b2) Tìm giá trị M với x = 2008 b3) Với giá trị nào x thì M < ? (6) b4) Với giá trị nào x thì M nhận giá trị nguyên? Giải: b1) Điều kiện: x 0, x -1, x M= 2 x2 x 3x x : x 1 x 1 3x 3x ( x 2)( x 1) 2.3 x 3.3 x.( x 1) x x x 4x x.( x 1) 3x x 3x x x x x x x 4x 3x.( x 1) 3x ( x 2)( x 1) x x x.( x 1)(2 x) 3x 2(1 x)(1 x) 3x x 2.3 x.(1 x) 3x x 3x x 3x x( x 1) 3x x b2) Với x = 2008 2008 669 M= b3) M < x – < tức là x < Kết hợp với điều kiện Vậy: M nhận giá trị âm với x < trừ các giá trị 0, -1, b4) M nhận giá trị nguyên (x-1) hay x -1 = 3k Vậy: x = 3k +1 (k Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: (k Z) (7) 2 ab ab a b a a : 2 M = a b a b a b Giải: 2 ab ab a b a a : 2 a b a b a b M= a ab ab ab a ab a b 2 a b a b a b a4 a b2 a b2 a b2 a4 a b2 Câu5: b) Chứng tỏ: a2 a , a2 a R Giải: Ta có: a 1 a 2a (1) Chia hai vế (1) cho 2(a +1), ta được: a 2 a 1 a 1 1 a 1 Do đó: a2 a 2 a 1 a a 1 2 , Vậy: a a R Câu5: c) Tính giá trị biểu thức sau: x 2a b x a a b Q x x a 2b với x b Giải: a b , ta có: Với a b b a x a a 2 x (8) a b a b b 2 x a b a x b a b x b Ta lại có: a b 3b 3a 3(b a) 2a b 2 a b 3a 3b 3( a b) x a 2b a 2b 2 x 2a b 3(b a) x a 2b 3( a b) x 2a b Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: 1 A = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Với a, b, c đôi khác Giải: A= 1 ( a b)(a c) (b c)(b a) (c a )(c b) 1 1 1 (a b)(c a) (b c)(a b) (c a )(b c) (b c) (c a ) (a b) (a b)(b c )(c a ) b c c a a b (a b)(b c )(c a ) (a, b, c đôi khác nhau) 0 Câu6: b) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c 4a 4b 4c B = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Với a, b, c đôi khác Giải: (9) 4a 4b 4c B (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) a2 b2 c2 4 ( a b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 1 (a b)(a c) (b c )(b a) (c a )(c b) a2 b2 c2 4 ( a b)(c a) (b c)(a b) (c a)(b c) a (b c ) b ( c a ) c ( a b ) 4 ( a b)(b c)(c a ) a b a c b c ab ac bc 4 (a b)(b c )(c a ) a c b c ab a b ac bc 4 (a b)(b c)(c a ) c (a b ) ab(a b) c (a b) 4 ( a b)(b c)(c a ) ( a b)[c( a b) ab c ] 4 (a b)(b c)(c a) (a b)(cb c ab ca ) 4 ( a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) 4 4 (a b)(b c)(c a) ( a, b, c đôi khác ) Câu6: c) Tính giá trị biểu thức sau: P x 2a x 2b 4ab x x 2a x 2b với a b Giải: (10) x 2a x 2b x 2a x 2b ( x 2a )( x 2b) ( x 2a)( x 2b) ( x 2a )( x 2b) P x 2bx 2ax 4ab x 2bx 2ax 4ab x 2(a b) x 4ab 2( x 4ab) x 2( a b) x 4ab Thay x 4ab a b vào P ta có: 16a b 2 4ab ( a b) P 2 16a b 8ab 4ab ( a b) 16a b 2 4ab ( a b) 2 16a b 4ab ( a b) 2 (11)