Hỏi một bè nứa trôi tự do từ A đến B hết mấy giờ.. Gọi K là giao điểm của AH với DI.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TÂN YÊN ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN CHU KỲ: 2012 - 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3 điểm) a) Chứng minh p và p + là các số nguyên tố lớn thì tổng chúng chia hết cho 12 b) Giải phương trình sau: c) Tìm x , y , z biết: ( x 2+ x − ) ( x 2+ x −6 )=24 x y z = = =x + y + z y + z +1 z+ x +1 x+ y − Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình: x2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = (1) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 là các nghiệm (1) Tìm các giá trị nguyên m để biểu thức A = x12 + x22 chia hết cho 11 Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE cắt H Chứng minh rằng: BC2 = BH.BD + CH.CE Câu 4: (1,5 điểm) Một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B hết và ngược từ B A hết 30 phút Hỏi bè nứa trôi tự từ A đến B hết Câu 5: (2 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 900) Gọi E là trung điểm AD, kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE (H BE, I CE) Gọi K là giao điểm AH với DI Chứng minh rằng: a) Tam giác EHI đồng dạng với tam giác ECB b) EK vuông góc với BC Họ và tên giáo viên dự thi: SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG CẤP HUYỆN CHU KỲ 2012 - 2014 (2) Câu Ý a b Câu c Nội dung Điểm Xét p + p + = 2(p + 1) chia hết cho 2, cần chứng minh p + chia hết cho Xét p(p + 1)(p + 2) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Do p; p + là các số nguyên tố lớn nên p(p + 2) không chia hết cho => p + chia hết cho KL: Phân tích thành ( x+ )( x −1 ) ( x +3 )( x − )=24 Biến đổi thành ( x 2+ x − ) ( x +2 x −3 ) =24 Đặt ẩn phụ t ¿ x 2+2 x − ta có phương trình t(t+5) = 24 Giải nghiệm t thay vào giải tìm nghiệm x KL: Áp dụng t/c dãy tỉ số được: x+ y+z =x+ y + z 2( x+ y+z) (1) Xét trường hợp + TH 1: x+ y+ z=0 từ giả thiết => x= y=x=0 + TH 2: x+ y+ z ≠ từ (1) => x+ y+ z= 1 Kết hợp giả thiết tính x= y= , z=− 2 KL: Tính = m2 - 4m + = (m - 2)2 + Giải thích > với m KL: b Áp dụng ĐL Vi-ét ta có x1 + x2 = 2(m - 3); x1x2 = -2(m - 1) Biến đổi A = (2m - 5)2 + = (2m - 5)2 - + 11 => A ⋮ 11 ⇔ (2m - 5)2 - ⋮ 11 ⇔ (2m - 3)(2m - 7) ⋮ 11 => (2m - 3) ⋮ 11 (2m - 7) ⋮ 11 + Nếu 2m - ⋮ 11 tính m = 11k - (k Z) + Nếu 2m - ⋮ 11 tính m = 11t - (t Z) KL: Vẽ đúng hình chấm A Gọi F là giao Ah với BC => AF BC (do H là trực D tâm) E - Chứng minh H BHF S BCD => BH.BD = BF.BC (1) - Chứng minh C B CHF S CBE F => CH.CE = CF.BC (2) Cộng vế (1) và (2) với chú ý ABC nhọn nên H nằm B và C ta có đpcm a Câu Câu Câu Đổi 4h30' h (Giải thích và được) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Trong 1h ca nô xuôi Trong 1h ca nô ngược Trong 1h bè nứa trôi ( quãng sông AB (vận tốc xuôi) 0,25 quãng sông AB (vận tốc ngược) − :2= quãng sông AB 18 0,25 ) 0,25 => Bè nứa trôi hết khúc sông AB 18h KL: Câu a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABE ta có AE2 = EH.EB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DCE ta có DE2 = EI.EC Vì E là trung điểm AD nên AE = DE => EH.EB = EI.EC - Chứng minh EHI S ECB (theo trường hợp c.g.c) b) Chỉ tứ giác EHKI nội tiếp 0,25 0,25 A 0,25 B F H 0,25 K 0,25 E 0,25 I 0,25 => EHI = EKI Do EHI S ECB nên EHI = ECB D C 0,25 => EKI = ECB => tứ giác CIKF nội tiếp => KIC + KFC = 1800 Mà KIC = 90 đó KFC = 90 Hay EK BC (đpcm) 0,25 0,25 (4)