Cac dang Toan Casio co ban

Nhaän xeùt:  Dạng toán này là dạng toán khó, thường rất ít xuất hiện trong các kỳ thi “Giải toán bằng máy tính bỏ túi Casio”, nhưng sử dụng phương pháp hệ cơ số giúp chúng ta phân tích [r]

Chuyên đề “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Nhằm góp phần đổi phương pháp dạy học môn Toán, đồng thời giúp học sinh phổ thông làm quen với máy tính điện tử và các phương pháp giải toán trên máy tính điện tử Máy tính điện tử giúp GV và học sinh bổ sung nhiều kiến thức toán học bản, đại và thiết thực Nhờ khả xử lý số liệu phức tạp với tốc độ cao, máy tính điện tử cho phép thiết kế bài toán gắn với thực tế MỘT SỐ YÊU CẦU KHI THAM GIA DỰ THI Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các thi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính điện tử Casio” Đội tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở tỉnh gồm thí sinh Những thí sinh đạt giải cộng điểm kỳ thi tốt nghiệp và bảo lưu kết suốt cấp học Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm 150 phút Quy định: Thí sinh tham dự dùng các loại máy tính (đã Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép sử dụng trường phổ thông) là Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx500 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 MS,Casio fx-570 ES  Yêu cầu các em đội tuyển có thể sử dụng máy Casio fx-500 MS, Casio fx-570 MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570 ES  Neáu khoâng qui ñònh gì theâm thì caùc keát quaû caùc ví duï vaø baøi taäp cuûa taøi lieäu phaûi viết đủ 10 chữ số trên màn hình máy tính  Các dạng toán sau đây có sử dụng tài liệu tham khảo +TS.Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Trạch :Các đềø thi HSG giải toán trên MTBT casio 1996 – 2004 +Nguyễn Phước - Giải toán nhanh MTBT (NXB.TH – TP.HCM) +Lê Hồng Đức và Đào Thiện Khải - Giải toán trên MTBT Casio Fx 570MS dành cho các lớp THCS +Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Ly : Một số dạng toán thi HSG “Giải toán trên máy tính điện tử Và số bài tập trích từ các đề thi (đề thi khu vực, đề thi các tỉnh, các huyện tỉnh Lâm Đồng) từ năm 1986 đến nay, từ tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán học tuổi thơ , đề thi chọn đội tuyển HSG các tỉnh Bắc Ninh Phú Thọ, Thừa Thiên – Huế +Tạ Duy Phượng : Hệ đếm và ứng dụng (NXB GD – 2006) +Tạp chí Toán Tuổi Thơ (Từ số – 64) A/ PHAÀN I CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI A SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH I.Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HAØNH Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, thức, các phép toán lượng giác, thời gian Có kỹ vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số sử dụng biến nhớ Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: a b A  649 13.180   13  2.649.180   1986 B 2  1992   1986  3972   1987 1983.1985.1988.1989 C c    6,35 : 6,5  9,8999  12,8    1,2 : 36  : 0,25  1,8333    : 0,125  :  0,2  0,1  34,06  33,81   : D 26 :    2,5  0,8  1,2  6,84 :  28,57  25,15   21  d   1     0,3  1   x  4  : 0,003 20        : 62  17,81: 0,0137 1301  20    2,65  :  1,88         25     e.Tìm x bieát:   20 1  13   : 1  15,2.0,25  48,51:14,7  44 11 66   y   3,2  0,8   3,25    f Tìm y bieát: Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị x từ các phương trình sau:  4  4 1   0,5   x  1,25.1,8 :    3       5,2 :  2,5    4   15,2.3,15  :   1,5.0,8    a   0,152  0,352  :  3x  4,2         5 12,5   12  :   0,5  0,3.7,75  :   17  3 :  1,2  3,15  b Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị) b a bieát: a Tìm 12% cuûa 1  :  0,09 :  0,15 :  2  a 0,32.6  0,03   5,3  3,88   0,67 b  2,1  1,965 :  1,2.0,045  0,00325 : 0, 013 5   85  83  : 18   30 0,004 b Tính 2,5% cuûa 1: 0,25 1,6.0,625 17   8   110  217  55 2     :1 20   c Tính 7,5% cuûa  2,3  : 6,25   1  6 :  x :1,3  8,4     7 8.0,0125  6,9   14 d Tìm x, neáu: Thực các phép tính: 2  6    A    :    :  1,5   3,7  5  4    e  3  B 12 :1   :   11 121  f 1  12  10  10  24  15     1, 75  3 7  11   C 5  60  194   0,25  99 9  11 g 1 1 1,5 0,25 D 6 :  0,8 :   50 46 6 0,4  2,2.10 1: h  4   0,8 :  1.25   1,08  : 25     E    1,2.0,5 : 1  0,64     25  17  i 1  90 F 0,3(4)  1,(62) :14  : 11 0,8(5) 11 k Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a A 3 5 4 2 B  200  126  20  25 54 18 3  63 3 1 1 b Bài 5: (Thi khu vực 2001) 17 26 45  245  a  , b 16 ,c 10   ,d  125 46  247  a Hãy xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: 33  0,(5).0,(2) :  :     :  25    b Tính giá trị biểu thức sau:   4   8  9 c Tính giá trị biểu thức sau: Nhận xét:  Dạng bài kiểm tra kỹ tính toán thực hành là dạng toán nhất, tham gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả giải dạng toán này Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng cách tùy tiện Để tránh vấn đề này yêu cầu trước dùng máy tính để tính cần xem kỹ có thể biến đổi không, sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ - - 6 Ví duï: Tính T =  999999999  0,999999999 Dùng máy tính trực tiếp cho kết là: 9,999999971 x 1026 Biến đổi: T=  16  9999999996  0,999999999 6  , 6 Duøng maùy tính tính  999999999  0,999999999 =999 999 999 Vaäy T  999999999 999999999 Như thay vì kết qủa nhận là số nguyên thì trực tiếp vào máy tính ta nhận kết là số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số a)  Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, các kỳ thi cấp khu vực dạng này chiếm khoảng 20% - 40%  Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó II DẠNG 2: ĐA THỨC Dạng 2.1 Tính giá trị đa thức Bài toán: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) n n Viết P(x) a0 x  a1x   an dạng P(x) ( (a0 x  a1 )x  a2 )x  )x  a n Vaäy P(x ) ( (a0 x  a1 )x  a2 )x  )x  an Ñaët b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giaûi treân maùy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: b ALPHA M + a Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans A k-1 k 3x  2x  3x  x 4x3  x  3x  x = 1,8165 Aán phím: 8165  ( Ans ^  Ans ^  Ans x  Ans  )  ( Ans ^  Ans x  Ans  )  Keát quaû: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X Aán phím: 8165 SHIFT STO X ( ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X x  ALPHA X  )  ( ALPHA X ^  ALP Keát quaû: 1.498465582 Nhaän xeùt:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 và fx500A, còn máy fx-500 MS và fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể các giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? đó khai báo các giá trị biến x ấn phím là  xong Để có thể kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x vào biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị 3x  2x  3x  x A 4x3  x  3x  x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Ví duï: Tính  235678 SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím  là xong  Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm đến điểm bài thi Khả tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu là kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Baøi taäp Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: Khi đó ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: a Tính x  5x  3x  x  x = 1,35627 b Tính P(x) 17x  5x  8x  13x  11x  357 x = 2,18567 Dạng 2.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn P(x)=Q(x)(ax+b) + r, đó r là số b b x   a ta P( a ) = r (không chứa biến x) Thế b  Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( a ), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1 x14  x  x  x  x  x  723 x  1,624 Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P= 14 Soá dö r = 1,624 - 1,624 - 1,624 + 1,624 + 1,624 + 1,624 – 723 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím: 624 SHIFT STO X ALPHA X ^ 14  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X  Keát quaû: r = 85,92136979 Baøi taäp x  6,723x3  1,857x2  6,458x  4,319 x  2,318 Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho cho x – vaø x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? P x  x  5x  4x  3x  50 Tìm phaàn dö r1, r2 chia P(x) Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) b  chia hết cho x – a thì m + r = hay m = -r = - P( a ) Như bài toán trở dạng toán 2.1 Ví duï: Xaùc ñònh tham soá 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x  7x  2x  13x  a chia hết cho x+6 - Giaûi a   ( 6)4  7( 6)3      13       Soá dö Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) ( ) SHIFT STO X AÁn caùc phím: ( ) ( ALPHA X ^  ALPHA X x  ALPHA X x  )  13 ALPHA X Keát quaû: a = -222 1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giaûi –    3  17   3  625     3  17     625    => a =  Soá dö a = -  Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) ( ) ( ( (  ) ) x3  17 ( (  ) )  625 )  Keát quaû: a = 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 vaø a = - 27,51363298 Dạng 2.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương là đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 vaø soá dö r Vaäy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát Ví duï: Tìm thöông vaø soá dö pheùp chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giaûi -Ta coù: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) ( ) SHIFT STO M  ALPHA M   (-5)  ALPHA M  (23)  ALPHA M  ( ) (-118)  ALPHA M  (590)  ALPHA M  (-2950)  ALPHA M  (14751)  ALPHA M  ( ) (-73756) Vaäy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 Dạng 2.5 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(x-c)+r2(xc)2+…+rn(x-c)n Ví duï: Phaân tích x4 – 3x3 + x – theo baäc cuûa x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vaäy x – 3x + x – = + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4 Dạng 2.6 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương đa thức Nếu phân tích P(x) = r + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri  với i = 0, 1, …, n thì nghiệm thực P(x) không lớn c Ví dụ: Cận trên các nghiệm dương đa thức x – 3x3 + x – là c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259) Nhaän xeùt:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán (chưa thấy xuất các kỳ thi) dựa vào dạng toán này có thể giải các dạng toán khác phân tích đa thức thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, …  Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano quá phức tạp Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng cách khéo léo hợp lí các bài làm Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) tích các thừa số bậc c Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích các thừa số bậc Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Bieát P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) a Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Bieát Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a Tìm giá trị m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm nhaát Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm soá dö pheùp chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) coù nghieäm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) 89 f( )  ; f( )  ; f( )  500 Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết 108 f( ) Tính giá trị đúng và gần đúng ? Bài 6: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III Bộ GD, 1975) Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 Từ kết câu trên suy biểu thức n – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với số nguyeân n Bài 7: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984) (n  1)2 Có chính xác đúng số nguyên dương n để n  23 là số nguyên Hãy tính số lớn Bài 8: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư là Chia P(x) cho x – số dö laø -4 Haõy tìm caëp (M,N) bieát raèng Q(x) = x 81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia heát cho (x-1)(x2) Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c Với m vừa tìm hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 34 6,15 6 7 P(x) Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254 F= 7x y-x y3 +3x y+10xy -9 5x -8x y +y3 2.Cho x=2,1835 vaø y= -7,0216 Tính x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281 3.Tìm soá dö r cuûa pheùp chia : 4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + b Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f bieát P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài 13: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) b Tìm soá dö r1 chia P(x) cho x – c Tìm soá dö r2 chia P(x) cho 2x +3 Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm soá dö r1 chia P(x) cho x + c Tìm soá dö r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm soá dö r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 15: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương là đa thức Q(x) có baäc Haõy tìm heä soá cuûa x2 Q(x)? III Dạng 3: GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng chính tắc để ñöa caùc heä soá vaøo maùy khoâng bò nhaàm laãn Ví duï: Daïng chính taéc phöông trình baäc coù daïng: ax2 + bx + c = Daïng chính taéc phöông trình baäc coù daïng: ax3 + bx2 + cx + d = a1x  b1y c1  a x  b2 y c2 Daïng chính taéc heä phöông trình baäc coù daïng:  a1x  b1y  c1z d1  a2 x  b2 y  c2z d a x  b y  c z d 3 Daïng chính taéc heä phöông trình baäc coù daïng:  Daïng 3.1 Giaûi phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = (a≠0) 3.1.1: Giaûi theo chöông trình caøi saün treân maùy AÁn MODE MODE  nhaäp caùc heä soá a, b, c vaøo maùy, sau moãi laàn nhaäp heä soá aán phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = Giaûi -Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) MODE MODE  85432  (  ) 321458  (  ) 45971   x1 = 2.308233881    x2 = -0.574671173  Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn trên máy góc trái màn hình máy R  I thì nghiệm đó là nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm này chưa học đó không trìn bày nghiệm này bài giải Nếu có nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, hai nghiệm là nghiệm phức coi phương trình đó là vô nghiệm 3.1.2: Giải theo công thức nghiệm Tính  b  4ac + Neáu  > thì phöông trình coù hai nghieäm:  b  2a b  2a x1,2  x1,2 + Neáu  = thì phöông trình coù nghieäm keùp: + Neáu  < thì phöông trình voâ nghieäm Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = Giaûi -Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) ( ) 542 x2  2 354  ( ( ) 141 ) SHIFT STO A (27,197892) ( 542  ALPHA A ) 2 2 354  ( 542  ALPHA A ) 2 2 354  (x1 = 1,528193632) (x2 = - 0,873138407) Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải  Hạn chế không nên tính  trước tính các nghiệm x1, x2 vì dẫn đến sai số xuất biến nhớ  sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm lớn  Dạng toán này thường ít xuất trực tiếp các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực đa thức, … Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể dạng này Daïng 3.2 Giaûi phöông trình baäc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a≠0) 3.2.1: Giaûi theo chöông trình caøi saün treân maùy AÁn MODE MODE  nhaäp caùc heä soá a, b, c, d vaøo maùy, sau moãi laàn nhaäp heä soá aán phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất các nghiệm gần đúng với chữ số thập phân phương trình x3 – 5x + = Giaûi -Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím MODE MODE  0  ( ) 1 (x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639675) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn trên máy góc trái màn hình máy R  I thì nghiệm đó là nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm này chưa học đó khoâng trìn baøy nghieäm naøy baøi giaûi 3.2.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc thành tích phương trình bậc và bậc nhất, đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết Chú ý:  Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải Daïng 3.3 Giaûi heä phöông trình baäc nhaát aån 3.3.1: Giaûi theo chöông trình caøi saün treân maùy AÁn MODE MODE nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, a2, b2, c2 vaøo maùy, sau moãi laàn nhaäp heä soá ấn phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998) 83249x  16751y 108249 x  Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x  83249y 41715 thì y (chọn đáp soá) A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 Giaûi – Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) MODE MODE AÁn caùc phím 83249 16751 108249 16751 83249 41751 (1, 25) = (0, 25) b/ c AÁn tieáp: MODE 1 25 a 25  (5) Vậy đáp số E là đúng Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm vô định thì máy tính báo lỗi Math ERROR 3.3.2: Giải theo công thức nghiệm D D x  x ;y  y D D với D a1b  a2 b1; D x c1b2  c2 b1; D y a1c2  a2 c1 Ta coù: Quy trình aán phím :(maùy Casio Fx 500 MS, Casio Fx 570 MS) AÁn : a1 x b2 – a2 x b2 shift STO M Tìm x : c1 x b2 – c2 x b1 =  ALPHA M = Keát quaû x = ? Tìm y : Đưa trỏ lên sửa lại hệ thức trên thành a x c2 – a2 x c1 = ALPHA M = Keát quaû y = ? Trong trường hợp hệ số x, y là các số thập phân có nhiều chữ số thập phân ta có thể chuyển hệ phương trình sau : Đặt a1 = A, b1 = B, c1 = C, a2 = D, b2 = E (X) , c2 = F(Y) = AE – DB , x = CE – FB , y = AF – BC Quy trình ấn phím sau : A shift STO A B shift STO B C shift STO C D shift STO D E shift STO E F shift STO F Ấn tiếp : ALPHA A ALPHA E – ALPHA D ALPHA B SHIFT STO M Tính x : Ấn : ( ALPHA C ALPHA E – ALPHA F ALPHA B )  ALPHA M = Kết x = ? Tính y : Ấn : ( ALPHA A ALPHA F – ALPHA B ALPHA C )  ALPHA M = Kết y = ? Daïng 3.4 Giaûi heä phöông trình nhaát ba aån Giaûi theo chöông trình caøi saün treân maùy AÁn MODE MODE nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vaøo maùy, sau moãi laàn nhập hệ số ấn phím  giá trị ghi vào nhớ máy tính 3x  y  2z 30  2x  3y  z 30 x  2y  3z 30  Ví duï: Giaûi heä phöông trình Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) MODE MODE 3 1 2 30 2 3 1 30 1 2 3 30 (x = 5) (y = 5) (z = 5) Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta x + y + z = 15 suy x = y = z = Nhaän xeùt:  Dạng toán là dạng bài dễ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính Do đó các kỳ thi dạng toán này ít chúng thường xuất dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là số lẻ Bài tập tổng hợp Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình: 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 1.3 x3 + x2 – 2x – =0 1.4 4x3 – 3x + = Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 1,372x  4,915y 3,123  2.1 (Sở GD Đồng Nai, 1998) 8,368x  5,214y 7,318 13,241x  17,436y  25,168  2.2 (Sở GD Hà Nội, 1996) 23,897x  19,372y 103,618 1,341x  4,216y  3,147  2.3 (Sở GD Cần Thơ, 2002) 8,616x  4,224y 7,121 2.4 2x  5y  13z 1000  3x  9y  3z 0 5x  6y  8z 600  IV Dạng 4: LIEÂN PHAÂN SOÁ Liên phân số (phân số liên tục) là công cụ toán học hữu hiệu các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó a Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số b b a a0  a0  b b b b0 có thể viết dạng: Vì b0 laø phaàn dö cuûa a chia cho b neân b > b Laïi tieáp tuïc bieåu dieãn phaân soá b b a1  a1  b0 b0 b0 b1 b a a0  a0  b b a1  1 an Cứ tiếp tục quá trình này kết thúc sau n bước và ta được: Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có  a ,a , ,an  Soá voâ tæ coù theå bieåu biểu diễn dạng liên phân số, nó viết gọn diễn dạng liên phân số vô hạn cách xấp xỉ nó dạng gần đúng các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số a0  a1  a an   a n dạng b Dạng toán này Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số an   gọi là tính giá trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta có thể tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số đó Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) b/ c b/ c Ans  a0  ab/ c Ans  Ấn an   a an  an   a 15  17  1 a b đó a và b là các số dương Tính Ví dụ 1: (Vô địch toán New York, 1985) Biết a,b? Giaûi -15 1 1     17 17   1  15 15 15 7 2 Vaäy a = 7, b = Ta coù: A 1  2 3 Ví duï 2: Tính giaù trò cuûa Giaûi Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)  ab / c   ab/ c Ans 1  ab / c Ans  SHIFT a b / c ( 23 ) 16 AÁn caùc phím: Nhaän xeùt:  Dạng toán tính giá trị liên phân số thường xuất nhiều các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ tính toán và thực hành Trong các kỳ thi gần đây, liên phân 8,2 A 2,35  6,21 2 0,32 3,12  với dạng này thì nó lại thuộc soá coù bò bieán theå ñi ñoâi chuùt ví duï nhö: dạng tính toán giá trị biểu thức Do đó cách tính trên máy tính liên phân số (tính từ lên, có sử dụng biến nhớ Ans) Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính và viết kết dạng phân số: A 3  2 2 2 B 7  3 3 2 Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003) A a Tính và viết kết dạng phân số: 329  1051  2 5 20 3 a 1 3 B 1 4 5 6 1 7 b b Tìm các số tự nhiên a và b biết: Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị x, y từ các phương trình sau: x x 4  y y 1  1 4 1 1 1 2 2 3 1 1 3 4 3 2 a b Bài 4: (Thi khu vực, 2001, lớp - 7) Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau M  3,7,15,1,292  vaø tính   M ? Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp – 7, dự bị) M  1,1,2,1,2,1,2,1 a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị liên phân số sau vaø tính  M ? A 5 4 b Tính và viết kết dạng phân số: A 30   1 12 2 3 10  3 1 4 5 2003 Bài 6: (Sở GD Hải Phòng, 2003 - 2004) Cho A  a0 ,a1 , ,an  Hãy viết lại A dạng ? Bài 7: Các số 2, ,  có biểu diễn gần đúng dạng liên phân số sau:  1,2,2,2,2,2  ;  1,1,2,1,2,1 ;   3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3 Tính caùc lieân phaân soá treân vaø só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn? Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng) D=5+ 6+ 7+ 8+ Tính và viết kết dạng phân số 9+ 10 V Dạng 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM *Hệ đếm số 10 : Trong hệ đếm số 10 (hệ gồm 10 kí tự), ta dùng các kí tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, để biểu diễn các số Ví dụ các số 1975 và 2008 viết hệ s[os 10 sau : 1975 = 1.1000 + 9.100 + 7.10 + 5.1 = 1.103 + 9.102 + 7.101 + 5.100 2008 = 2.1000 + 0.100 + 0.10 + 8.1 = 2.103 + 0.102 + 0.101 + 8.100 Như ta đã viết các số 1975, 2008 dạng tổng các lũy thừa 10 Các chữ số 1, 9, 7, (hay 2, 0, 0, 8) tương ứng với các hàng : nghìn, trăm, chục, đơn vị Trong hệ đếm số 10, chữ số vị trí khác (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, thì có giá trị khác Hai số giống đứng gần thì kém 10 lần Trong hệ đếm La Mã, kí tự có giá trị định không phụ thuộc vào vị trí chữ số đó Ví dụ : 35 = XXXV – có ba chữ số X đứng vị trí khác có giá trị là 10 Các quy tắc tính toán số học (cộng, trừ, nhân chia, ) hệ đếm số 10 khá đơn giản vaø quen thuoäc Để cộng hai số (số có nhiều chữ số)trong số 10 , chúng ta sử dụng quy tắc quen thuoäc laø coäng haøng doïc (theo coät) Một điều lý thú đó là : Cộng với số với chính số đó viết theo thứ tự ngược lại, tổngta lại làm , sau số hữu hạn bước số làđối xứng *HỆ ĐẾM CƠ SỐ BẤT KỲ : Ngoài hệ đếm số 10, còn nhiều hệ đếm số khác Người Babilon đã dùng hệ đếm số 60, mà ngày ta dùng để tính thời gian và đo góc Một lý hệ đếm này sử dụng rộng rãi là vì 60 có rấy nhiều ước số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, đó khá thuận tiện tính toán Tuy nhiên, hệ đếm số 60 cần quá nhiều ký tự (60 ký tự) nên ngày khoâng coøn thoâng duïng nhö cô soá 10 Trong thời đại thông tin , nhu cầu tính toán trên máy tính, lại xuất việc sử dụng hệ số : hệ số 2(hệ nhị phân) và các hệ đếm có số lũy thừa 2(hệ đếm số 8, số 16) Hệ đếm số có hai ký tự và Mọi số hệ số biểu diễn dạng hai chữ số và Vì hệ số có hai ký tự là và nên tính toán hệ số này đơn giản Hệ đếm số không quan trọng tính tóan trên máy tính mà còn có nhiều ứng dụng tuyệt vời thực tế (lý thuyết mật mã, truyền thông tin, ) Tuy nhiên, để biểu diễn số lớn, ta cần nhiều chữ số và 1, vì người ta còn dùng thêm các hệ đếm số 8(là hệ đếm gồm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) và hệ đếm số 16 gồm 16 ký tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (laø 10 heä cô soá 10) B(laø 11 heä cô soá 10), C (laø 12 heä cô soá 10), D (laø 13 heä đếm số 10), E (là 14 hệ đếm số 10), F (là 15 hệ đếm số 10) để tiện biểu diễn và hổ trợ tính toán cho hệ số Để rõ biểu diễn số hệ đếm số k, người ta thường đẻ số đó dấu ngoặc kèm theo số k dưới, nhiều trường hợp người ta bỏ dấu ngoặc mà viết số k số đó beân phaûi Ví dụ : số 2009 biểu diễn dạnh số 10, số 2, số và cớ số 16 và các số khác nhö sau : 200610 = 2.1000 + 0.100 + 0.10 + 8.1 = 2.103 + 0.102 + 0.101 + 6.100 200610 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 22 + = (11111010110)2 200610 = 7.162 + 13.16 + 6.160 200610 = 3.83 + 7.82 + 2.81 + 6.80 = (7D6)8 200610 = 5.202 + 6.200 = (506)20 *ĐỔI MỘT SỐ TỪ CƠ SỐ NAØY SANG CƠ SỐ KHÁC Ví dụ : Đổi số 119 từ số 10 sang số Chia 119 cho 23 dư 4, chữ số là hàng đơn vị, lại chia 23 cho dư chữ số là hàng chục, chữ số thuộc hàng trăm Cuï theå : 119 23 (119)10 = (434)5 Ví duï : Vieát soá 100 cô soá 10 sang cô soá 100 50 25 12 1 10010 = 11001002 5.1 Tính chaát chia heát - Một số chia hết cho (cho 9) tổng các chữ số nó chia hết cho (cho 9) - Một số chia hết cho (cho 5) chữ số tận cùng nó chia hết cho (cho 5) Chú ý: Tính chất chia hết đúng hệ số cụ thể Ví dụ: Xét hệ đếm với số 12, ta có: Một số viết hệ đếm số 12 chi hết cho (3, 4, 6) chữ số cuối cùng nó chia hết cho (3, 4, 6) a  an a n  a2 a1a  12 a a  Soá chia heát cho (cho 9) neáu 12 chia heát cho (cho 9) a  an a n  a2 a1a  12 Soá chia heát cho 11 neáu an  an 1   a1  a0 chia heát cho 11 a  an an  a2 a1a  12 Mở rộng: Số chia heát cho q – neáu an  an 1   a1  a chia heát cho q 5.2 Heä cô soá Bài toán mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi là có thể đoán số cho trước (nhỏ 1000) sau: - Số đó có chia hết cho không?(Nếu có ghi 0, không ghi 1) - Thương số đó chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, không ghi 1) Nếu tiếp tục ta dãy các số Dãy này chính là biểu diễn số cần tìm số Vì số nhỏ 1000 có nhiều là 10 chữ số biểu diễn số nên 10 câu hỏi là đủ để biết số đã cho Đổi qua số 10 ta số cần tìm Ví dụ: Số cho trước là 999 Vì 999 = 499.2 + 1; 499 = 249.2 + 1; 249 = 124.2 + 1; 124 = 62.2 +1; …; = 1.2 + neân ta seõ coù daõy soá: 11111001112 = 99910 5.3 Ứng dụng hệ số giải toán Trong nhiều bài toán khó có thể sử dụng hệ đếm để giải Nói cách khác, thì hệ đếm có thể sử dụng phương pháp giải toán Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) và f(2n+1) = f(2n) + với n nguyên dương Tìm giá trị lớn n ≤ n ≤1994 Giaûi -Ta coù: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(100 2) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; … Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số lớn biểu diễn số các số nhỏ 1994 Vì 1994 < 211 – nên f(n) có nhiều là 10 chữ số Ta có f(1023) = f(1111111 2) = 10 Vậy giá trị lớn là 10 Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) số chữ số biểu diễn số n Chứng minh: 1) n chẵn thì n = 2m = 102.m Vì m và n = 102.m có cùng số chữ số biểu diễn số (trong hệ số 2, nhân số với = 10 2, ta thêm số vào cuối số đó) Theo quy nạp (vì m < n), f(m) đúng chữ số m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) đúng chữ số m, tức là n 2) n lẻ thì n = 2m + = 10 2.m + n có số chữ số nhiều m là Ta có: f(n) = f(2m + 1) = f(m) + Áp dụng quy nạp ta có, f(m) đúng số chữ số m nên f(n) đúng số chữ số m cộng 1, tức là đúng số chữ số n Nhaän xeùt:  Dạng toán này là dạng toán khó, thường ít xuất các kỳ thi “Giải toán máy tính bỏ túi Casio”, sử dụng phương pháp hệ số giúp chúng ta phân tích số bài toán từ đó sử dụng các phương pháp chứng minh toán học và các nguyên lý để giải Nói cách khác, đây là phương pháp giải toán Bài tập tổng hợp Bài 1: Tìm số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630) q chia hết cho Biểu diễn số a với q tìm cô soá 10 (HD: aùp duïng tính chaát chia heát) Bài 2: Hai người chơi lấy số viên sỏi bất kì từ ba đống sỏi Người nhặt viên sỏi cuối cùng thắng Người trước thường thắng Vì sao? (HD: sử dụng hệ số 2) Baøi 3: (Voâ ñòch Trung Quoác, 1995) Cho f: N -> N thoûa maõn f(1) = vaø f(2n) < 6f(n), 3f(n).f(2n+1) = f(2n).(1+3f(n)) với n nguyên dương Tìm nghiệm phương trình f(k) + f(n) = 293 (HD: Vì 3f(n)+1 vaø 3f(n) laø nguyeân toá cuøng neân f(2n) = 3pf(n), suy p nguyeân döông f(2n) = 3f(n) và f(2n + 1) = 3f(n)+1 dẫn đến: Với số n viết hệ số thì f(n) có đúng các chữ số cuûa n vieát heä cô soá 3)  n  1 f(n) 1  f     neáu n chaün, Baøi 4: Xaùc ñònh taát caû caùc haøm soá f: N -> R thoûa maõn f(1) = 1;  n f(n) 1  f     n lẻ (HD: Dùng qui nạp chứng minh: f(n) chính là số chữ số n viết cô soá 2) Bài 5: Giả sử f: N -> N thỏa mãn f(1) = 1; f(3) = và với n nguyên dương thì f(2n) = f(n); f(4n+1)=2f(2n+1) - f(n); f(4n+3) = 3f(2n+1) – 2f(n) Tìm soá n ≤ 1988 maø f(n) = n VI Dạng 6: DAÕY TRUY HOÀI Daïng 6.1 Daõy Fibonacci 6.1.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ tháng để đôi thỏ con, đôi thỏ sau tháng lai sinh đôi thỏ nữa, sau tháng lại sinh đôi thỏ khác v.v… và giả sử tất các thỏ sống Hỏi có đôi thỏ nuôi từ tháng giêng đến tháng thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuoái naêm coù bao nhieâu ñoâi thoû? Giaûi Thaùng (gieâng) coù moät ñoâi thoû soá - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số Vậy có đôi thỏ tháng - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy có đôi thỏ tháng - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy thaùng coù ñoâi thoû Tương tự ta có tháng có đôi thỏ, tháng có 13 đôi thỏ, … Như ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12) Đây là dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng trước đó Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2) u  Daõy n coù quy luaät nhö treân laø daõy Fibonacci un goïi laø soá (haïng) Fibonacci 6.1.2 Công thức tổng quát số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh số hạng thứ n n n   1   1    un              (*) dãy Fibonacci tính theo công thức sau: Chứng minh   1   1   1   u1    u1       1           Với n = thì ; Với n = thì 3  1   1    u1      2         Với n = thì ; Giả sử công thức đúng tới n  k Khi với n = k + ta có:  1      1    ; k k k k  1     1   1     1    u k 1 u k  u k                           k k  1     1        1  1                  k k  1      1                            k 1 k 1  1    1                 Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã chứng minh 6.1.3 Caùc tính chaát cuûa daõy Fibonacci: Tính chaát 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1 Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có: u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233) 2 Tính chaát 2: u = u = u u + u u = un 1  u n 2n+1 (n+1)+n n n n n+1 Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm sau: 2 u = u13  u12 = 2332 + 1442 = 7502 25 Tính chaát 3: u2n  u n 1 u n   1 n Tính chaát 4: u1  u3  u5   u 2n  u 2n Tính chaát 5: n ta coù: un 4 u n   u n 2 un 3 Tính chaát 6: n soá 4un  u2 un 2 un 4  laø soá chính phöông Tính chaát 7: n soá 4u n un k u nk  1un 2k 1  u2k u2k 1 laø soá chính phöông un 1 u 1 vaø lim n 2 n   u n   u n n 1 Tính chaát 8: đó 1; 2 là nghiệm phương trình x2 – x – lim 1 1 1  1,61803 ; 1   0,61803 2 = 0, tức là Nhaän xeùt:  Tính chaát vaø cho pheùp chuùng ta tính soá haïng cuûa daõy Fibonacci maø khoâng caàn biết hết các số hạng liên tiếp dãy Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn dãy Fibonacci tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính (kết không hiển thị trên màn hình) Các tính chất từ đến có tác dụng giúp chúng ta việc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp các bài thi, tính chaát giuùp tìm caùc soá haïng khoâng chæ cuûa daõy Fibonacci maø caùc soá haïng cuûa caùc daõy bieán theå cuûa Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) khoảng nào đó Dạng toán này thường gặp các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực 6.1.4 Tính các số hạng dãy Fibonacci trên máy tính điện tử 6.1.4.1 Tính theo công thức tổng quát n n   1   1    un              Trong công thức tổng quát số Ta coù coâng thöc toång quaùt cuûa daõy: hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím:  ab / c 5( ( (1 )  ) ) ^ Ans  ( (  )  ) ) ^ Ans )  Muốn tính n = 10 ta ấn 10  , dùng phím  lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn  6.1.4.2 Tính theo daõy Ta coù daõy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u = vào biến nhớ A Laëp laïi caùc phím:  SHIFT STO B > laáy u2+ u1 = u3 gaùn vaøo B  ALPHA A SHIFT STO A > laáy u3+ u2 = u4 gaùn vaøo A  ALPHA B SHIFT STO B > laáy u4+ u3 = u5 gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ dãy Fibonacci? Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A  SHIFT STO B  ALPHA A SHIFT STO A AÁn caùc phím:  ALPHA B SHIFT STO B       (21) Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng u n dãy qui trình trên đây là qui trình tối ưu vì số phím ấn ít Đối với máy fx-500 MS thì ấn   , máy fx-570 MS có thể ấn   ấn thêm  SHIFT COPY  để tính các số hạng từ thứ trở Daïng 6.2 Daõy Lucas Toång quaùt: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n  a, b là hai số tùy ý nào đó) Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát dãy Fibonacci, với a = b = thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) b SHIFT STO A AÁn caùc phím: Laëp laïi caùc phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A  a SHIFT STO B > laáy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gaùn vaøo B  ALPHA A SHIFT STO A > laáy u3+ u2 = u4 gaùn vaøo A  ALPHA B SHIFT STO B > laáy u4+ u3 = u5 gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n  2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình trên tính u13, u17? Giaûi -a Laäp qui trình baám phím Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 13 SHIFT STO A AÁn caùc phím:  SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím:  ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA B SHIFT STO B b Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17 AÁn caùc phím:                 (u13 = 2584)         (u = 17711) 17 Keát quûa: u13 = 2584; u17 = 17711 Daïng 6.3 Daõy Lucas suy roäng daïng Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n  a, b là hai số tùy ý nào đó) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) b SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A  A  a  B SHIFT STO B > tính u (u = Ab+Ba) gaùn vaøo B Laëp laïi caùc phím:  A  ALPHA A  B SHIFT STO A > Tính u gaùn vaøo A  A  ALPHA B  B SHIFT STO B > laáy u gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giaûi -Laäp qui trình baám phím Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 13 SHIFT STO A AÁn caùc phím:   2 SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím:   ALPHA A  SHIFT STO A   ALPHA B  SHIFT STO B Daïng 6.4 Daõy phi tuyeán daïng u un  u n  (với n  2) Cho Cho u1 = a, u2 = b, n 1 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 2 b SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A x2  a x2 SHIFT STO B > laáy u 2+ u = u (u = b2+a2) gaùn vaøo B 3 Laëp laïi caùc phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A > laáy u32+ u22 = u4 gaùn vaøo A x2  ALPHA B x2 SHIFT STO B > laáy u42+ u32 = u5 gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần 2 Ví duï: Cho daõy u = 1, u = 2, un 1 un  u n  (n  2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giaûi -a Laäp qui trình baám phím Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: x2  x2 SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A x2  ALPHA B x2 SHIFT STO B b Tính u7 AÁn caùc phím:   (u6 =750797) Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Keát quûa: u7 = 563 696 885165 Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị đầy đủ các chữ số trên màn hình đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ tính Ví dụ: 750797 = 750797 (750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209 Daïng 6.5 Daõy phi tuyeán daïng 2 Cho Cho u = a, u = b, u n 1 Au n  Bu n  (với n  2) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) b SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u2 = b vào biến nhớ A x2  A  a x2  B SHIFT STO B > Tính u = Ab2+Ba2 gaùn vaøo B Laëp laïi caùc phím: A x2  A  ALPHA A x2  B SHIFT STO A > Tính u4 gaùn vaøo x2  A  ALPHA B x2  B SHIFT STO B > Tính u5 gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần u 3u2n  2u2n  Ví duï: Cho daõy u1 = 1, u2 = 2, n 1 (n  2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giaûi -Laäp qui trình baám phím Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: x2   x2  SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím: x2   ALPHA A x2  SHIFT STO A x2   ALPHA B x2  SHIFT STO B Daïng 6.6 Daõy Fibonacci suy roäng daïng Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n  3) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u2 = vào biến nhớ A SHIFT STO B > gán u = vào biến nhớ B ALPHA A  ALPHA B  SHIFT STO C Laëp laïi caùc phím:  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A > tính u4 ñöavaøo C > tính u5 gán biến nhớ A  ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B > tính u gán biến nhớ B  ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C > tính u gán biến nhớ C Bây muốn tính un ta   và  , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2? Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím: SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A  ALPHA B  SHIFT STO C  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B  ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C          (u = 149) 10 Daïng 6.7 Daõy truy hoài daïng Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n  2) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) b SHIFT STO A AÁn caùc phím: > gán u = b vào biến nhớ A  A  a  B + f(n) SHIFT STO B > tính u (u = Ab+Ba+f(n)) gaùn vaøo 3 B Laëp laïi caùc phím:  A  ALPHA A  B + f(n) SHIFT STO A > Tính u gaùn vaøo A  A  ALPHA B  B + f(n) SHIFT STO B > tính u gaùn vaøo B Ví duï: Cho daõy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + n (n  2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giaûi -a Laäp qui trình baám phím Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: 13 SHIFT STO B SHIFT STO X Laëp laïi caùc phím: ALPHA X  SHIFT STO X ALPHA B  ALPHA A  a b / c ALPHA X SHIFT STO A   ALPHA A  ALPHA B  ab / c ALPHA X SHIFT STO B b Tính u7 ? AÁn caùc phím:                   (u7 = 8717,92619) Keát quûa: u7 = 8717,92619 Daïng 6.8 Daõy phi tuyeán daïng Toång quaùt: Cho u = a, u = b, u = F1 (un )  F2 (un  ) (với n  2) n+1 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) a SHIFT STO A AÁn caùc phím: b SHIFT STO B F1 ( ALPHA B )  F2 ( ALPHA A ) SHIFT STO A Laëp laïi caùc phím: F1 ( ALPHA A )  F2 ( ALPHA B ) SHIFT STO B un 1  5un  u2n    Laäp qui trình aán phím tính un+1? Ví duï: Cho u1 = 4; u2 = 5, Giaûi -Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) SHIFT STO A AÁn caùc phím: SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím: ( ( ALPHA B  ) a b/ c )  ( ALPHA A x  ) a b/ c ) SHIFT STO A ( ( ALPHA A  ) ab/ c )  ( ALPHA B x  ) a b/ c ) SHIFT STO B Daïng 6.9 Daõy Fibonacci toång quaùt k un 1  Fi (u i ) i 1 Toång quaùt: đó u1, u2, …, uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u Dạng toán này tùy thuộc vào bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng Chuù yù: Caùc qui trình aán phím treân ñaây laø qui trình aán phím toái öu nhaát (thao taùc ít nhaát) xong coù nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên không cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết baøi giaûi 2 Ví dụ: Cho u = a, u = b, u n 1 Au n  Bu n  (với n  2) Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím: a SHIFT STO A b SHIFT STO B > gán u1 = a vào biến nhớ A > Tính u2 = b gaùn vaøo B 2 Laëp laïi caùc phím: A ALPHA B x  B ALPHA A x SHIFT STO A > Tính u3 gaùn vaøo A A ALPHA A x2  B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gaùn vaøo B Bây muốn tính un ta  lần và  , liên tục n – lần Nhaän xeùt:  Lập qui trình theo kiểu này thì tất dạng toán làm được, ít nhầm lẫn tính tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 thì để tính u ta cần ấn  n  lieân tuïc n – laàn, coøn laäp nhö treân thì phaûi aán n – laàn  Nhờ vào máy tính để tính các số hạng dãy truy hồi ta có thể phát quy luật dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) giúp chúng ta lập công thức truy hồi dãy các dãy số  Đây là dạng toán thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học toán theo hướng đổi Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng toán này Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 a Lập qui trình bấm phím để tính un+1 u u u4 u ; ; ; u u2 u3 u5 b Tính chính xác đến chữ số sau dấu phẩy các tỉ số Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1 a Tính u3; u4; u5; u6; u7 b Viết qui trình bấm phím để tính un c Tính giaù trò cuûa u22; u23; u24; u25 n   3    3  n un Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho dãy số a Tính số hạng đầu tiên dãy b Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un c Laäp moät qui trình tính un d Tìm các số n để un chia hết cho Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1 a Laäp moät quy trình tính un+1 b Tính u2; u3; u4; u5, u6 c Tìm công thức tổng quát un 2 Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u = u2 = 1; un 1 un  un  Tìm số dư un chia cho Bài 6: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1 Chứng minh: A=4un.un+2 + laø soá chính phöông Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giaù trò a100? Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số u n xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng: a Daõy soá treân coù voâ soá soá döông vaø soá aâm b u2002 chia heát cho 11 Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un xác định bởi:  u n 1  9un ,n 2k  9u  5u n ,n 2k  u0 = 1, u1 = vaø un+2 =  n 1 với n = 0, 1, 2, 3, … Chứng minh rằng: 2000  u2k a k 1995 chia heát cho 20 b u2n+1 không phải là số chính phương với n Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho daõy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = 5u n u  n  u n  un với n 3 a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm soá haïng u8 cuûa daõy? Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho daõy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n 2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm soá haïng u14 cuûa daõy? Baøi 13: (Phoøng GD Baûo Laâm, 2005) a.Cho u1 =1,1234 ; u n+1 =1,0123.u n (n  N; n 1) Tính u 50 ? u1 =5 ; u n+1 = 3u 2n +13 u 2n +5 (n  N; n 1) b Cho Tính u15 ? c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n 2) Tính u12 ? x n 1  Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định công thức nhieân, n >= Bieát x = 0,25 Vieát qui trình aán phím tính xn? Tính x100? 4x n  x n  , n là số tự VII : Daïng : PHÖÔNG TRÌNH SAI PHAÂN : Phương trình sai phân là dạng toán khó và phức tạp, nó không nhắc đến các sách giáo khoa phổ thông (cả sách cấp và cấp 3) mà nguyên cứu các trường đại học, cao đẳng Đối với toán phổ thông viết dạng các bài toán thực tế lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … các kỳ thi HSG gần đây dạng toán này thường xuyên xuất hiện, là các kỳ thi cấp khu vực Trong phần này trình bày các kiến thức và đơn giản phương trình sai phân và các dạng toán có liên quan đến các kyø thi HSG baäc THCS Yêu cầu: Các thí sinh phải nắm vững các kiến thức dãy truy hồi, phương trình bậc hai, heä phöông trình baäc nhaác hai aån soá, phöông phaùp tuyeán tính hoùa PHÖÔNG TRÌNH SAI PHAÂN BAÄC NHAÁT : 1)Phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc nhaát : a)Phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát baäc nhaát : *Ñònh nghóa : Phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát baäc nhaát coù daïng axn+1 + bxn = , n = 0, 1, 2, 3, … , (1) đó a  , b  là số cho trước Ta thường viết phương trình (1) dạng : xn+1 = qxn , n = 0, 1, 2, 3, … , (2) Trong đó q = - la số Phöông trình sai phaân naøy coøn goïi laø caáp soá nhaân (caáp soá nhaân laø daõy soá maø soá haïng sau baèng số hạng trước nhân với số không đổi – gọi là công bội) Nếu biết x0 thì dễ dàng tính nghiệm (2) theo công thức : xn = qnx0 (Đây chính là công thức tìm số hạng tổng quát (hay là số hạng thứ n) cấp số nhân Các công thức cần nhớ cấp số nhân : Coâng boäi : q= = Số hạng thứ n : an = a1qn-1 Tính chaát : (an)2 = an-1.an+1 Tổng n số hạng đầu : Sn = (q  ; 1) a1 ( −q n ) −q Toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn : S = a1 + a2 + a3 + + an-1 + an = , |q| < Caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát baäc nhaát treân maùy tính Casio f(x) 500MS : Ví dụ : Giải phương trình xn+1 = 2xn , n = 0, 1, 2, 3, … , với x0 = Cách : Tính theo công thức nghiệm tổng quát Để tính xn theo công thức nghiệm tổng quát xn = qnx0 = 2n Khai baùo : 10 SHIFT STO Khai baùo heä soá : (-) a b/c = Giả sử với n = 10 X SHIFT STO M Khai báo công thức nghiệm : Tính x10 : Aán (− 13 ) ^ ALPHA nghiệm x10 (- 34 X x ALPHA M 4) Laäp laïi quy trình sau : Dùng trỏ để trở vê dòng 10 Khai baùo laïi n : n SHIFT X STO X Dùng trỏ để trở vê dòng công thức : Vaø baám phím = (với n là cần tính) ^ ALPHA X x ALPHA M ta giá trị xn Cách : Tính theo công thức truy hồi Khai báo giá trị ban đầu : ( - ) ab/c = Tính xn theo công thức truy hồi : Liên tiếp bấm phím x = Tiện là bấm liên tiếp phím = sau ta khai báo ( - ) ab/c = x Lần lượt ta các giá trị xn Lưu ý : * Cách : Có thể tính trực tiếp xn với n mà không cần tính giá trị trước đó *Caùch : Quy trình thao taùc ñôn giaûn hôn Caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát baäc nhaát treân maùy tính Casio f(x) 570MS Ngoài cách tính trên Casio F(x) 500MS, có thể sử dụng phím CALC máy F(x) 570 MS thuaän tieän hôn nhö sau : Để tính xn theo công thức nghiệm tổng quát xn = (- ).2n , ta khai báo hệ số : AÁn (-) ab/c SHIFT STO M Khai báo công thức nghiệm : Ấn : ^ ALPHA X x ALPHA M AÁn : CALC , maùy hoûi X ? Tính x10 : Ấn 10 = nghiệm x10 (- 34 4) Tính tieáp x15 AÁn : CALC , maùy hoûi X ? – AÁn 15 = x15 (-10922 3) b)Phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát : *Ñònh nghóa : Phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát laø phöông trình coù daïng axn+1 + bxn = dn, n = 0, 1, 2, 3, … , (3) đó a  và b là số, dn là các số nào đó Phương trình này viết dạng xn+1 =q.xn + dn , n = 0, 1, 2, 3, … (4) Để giải phương trình (4) biết x0, trước tiên ta tính vài giá trị đầu : x1 = qx0 + d0 x2 = qx1 + d1 = q(qx0 + d0) + d1 = q2x0 + qd0 + d1 x3 = qx2 + d2 = q(q2x0 + qd0 + d1) + d2 = q3x0 + q2d0 + qd1+ d2 Từ đây ta dễ dàng tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính không nhaát baäc nhaát (4) : xn = qnx0 + qn-1d0 + qn-2d1 + … + qdn-2 + dn-1 (5) Tuy nhiên, dn là hàm thì công thức (5) không đẹp mặt toán học (không rút gọn được) và không tiện sử dụng Trái lại, ta dễ dàng tính nghiệm phương trình sai phân (3) (4) trên MTBT nhờ công thức truy hồi (4) Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát : x n + x❑n Mệnh đề : Nghiệm tổng quát phương trình (3) có dạng : xn = ~ x = C λn laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát Trong đó ~ n (1) vaø ❑ xn laø moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình sai phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (3) Vaän duïng : 1)Tính toång Ví duï : Xeùt phöông trình sai phaân xn+1 = xn + n , n = 0, 1, 2, … Phöông trình ñaëc tröng λ - = coù nghieäm λ = Vaäy nghieäm cuûa phöông trình thuaàn ❑ là xn = C Ta tìm nghiệm riêng phương trình trên dạng x n = n(C1n + C2) Thay vào phương trình ta đồng thức đúng với n (n + 1)(C1(n + 1) + C2 = n(C1n + C2) + n So sánh hệ số hai vế ta C1 = ; C2 = Vậy nghiệm tổng quát phương trình đã cho là : xn = C + Nếu cho trước x0 thì nghiệm là xn = x0 + Neáu x0 = thì nghieäm xn = Nhaän xeùt : Neáu x0 = thì xn+1 = xn + n = xn-1 + (n – 1) + n = + + … + n Như , xn+1 chính là tổng n số tự nhiên đầu tiên và xn+1 = xn + n = xn-1 + (n – 1) + n = … = + + … + n = Ta đã biết cách tính Sn = + + … + n sau : Viết lại tổng trên dạng : Sn = n + (n – 1) + … + + Cộng hai đẳng thức trên ta : 2Sn = (1 + + … + n) + (n + (n – 1) + … + 1) = (n + 1) + … + (n + 1) = n(n + 1) n => Sn = Ví duï : Xeùt phöông trình sai phaân xn+1 = xn + (n + 1)2 Phöông trình ñaëc tröng : λ - = coù nghieäm λ = Vaäy nghieäm cuûa phöông trình thuaàn là xn = C Vì dn = (n + 1)2 là tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng x❑n = n.(an2 + bn + c) Thay vào phương trình trên ta đồng thức đúng với n (n + 1).(a.(n + 1)2 + b(n + 1) + c) = n.(an2 + bn + c) + (n + 1)2 Suy a = , b = , c = Vaäy phöông trình xn+1 = xn + (n + 1)2 coù nghieäm laø : xn = C + n3 + n2 + n Nếu cho trước x0 thì nghiệm là xn = x0 + n3 + n2 + n Neáu x0 = thì nghieäm laø xn = n3 + n2 + n Nhaän xeùt : Neáu x0 = thì xn+1 = xn + (n +1)2 = xn-1 + n2 + (n + 1)2 = … = 12 + 22 + 32 + … + n2 + (n + 1)2 hay xn = 12 + 22 + 32 + … + n2 Như , xn chính là tổng n số tự nhiên đầu tiên và xn = n3 + n2 + n = Suy công thức : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1).(2n + 1) Ví duï : Xeùt phöông trình sai phaân xn+1 = xn + (2n + 1)2 Phöông trình ñaëc tröng : λ - = coù nghieäm λ = Vaäy nghieäm cuûa phöông trình thuaàn là xn = C Vì dn = (2n + 1)2 là tam thức bậc hai nên ta tìm nghiệm dạng đa thức baäc ba x❑n = n.(an2 + bn + c) Thay vào phương trình trên ta đồng thức đúng với n (n + 1).(a.(n + 1)2 + b(n + 1) + c(n + 1)) = n.(an2 + bn + c) + (2n + 1)2 Suy a = ,b=0, c= - Vậy phương trình đã cho xn+1 = xn + (2n + 1)2 có nghiệm là : xn = C + n3 - n Nếu cho trước x0 thì nghiệm là xn = x0 + n3 - n Neáu x0 = thì nghieäm laø xn = n3 - n Nhaän xeùt : Neáu x0 = thì xn+1 = xn + (2n +1)2 = xn-1 + (2n - 1)2+ (2n + 1)2= … = 12 + 32 + … + (2n + 1)2 hay xn = 12 + 22 + 32 + … + n2 Như , xn chính là tổng n số tự nhiên đầu tiên và xn = n3 - n = n.(4n2 – 1) = n.(2n – 1).(2n + 1) Suy công thức 12 + 32 + … + (2n + 1)2 = n.(4n2 – 1) Kết luận : Có thể sử dụng công thức nghiệm phương trình sai phân phương pháp để tính toång 2) Toán kinh tế Laõi ngaân haøng : a)Lãi đơn : Lãi tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố định trước Ví dụ : Khi gởi 000 000đ vào ngân hàng với lãi suất là 5%/năm thì sau năm ta nhận số tiền laõi laø : 000 000 x 5% = 50 000ñ Số tiền lãi này cộng vào hàng năm Kiểu tính lãi này gọi là lãi đơn Như sau hai naêm soá tieàn caû goác laãn laõi laø 000 000 + x 50 000 = 100 000ñ Nếu gởi sau n năm thì nhận số tiền gốc lẫn lãi là : 000 000 + 50 000n đ Kiểu tính lãi này không khuyến khích người gởi, vì ta cần rút tiền Ví dụ ta gởi 000 000 đ với lãi suất 5%/năm, sau 18 tháng ta tính lãi năm đầu và tổng số tiền rút là 000 000 + 50 000 = 050 000đ Vì các ngân hàng thường tính chu kỳ lãi suất ngắn hơn, có thể tính theo tháng Nếu lãi suất %/tháng thì cuối tháng đầu chúng ta có số tiền lãi từ triệu đồng là 000 000 x % = 4166 đ Và sau năm tổng số tiền lãi là : 4166 x 12 = 50 000 đ Như vậy, với lãi đơn, không có sai khác gì ta nhận lãi theo tròn năm hay theo tháng Tuy nhiên, ta rút tiền chừng, ví dụ sau 18 tháng thì ta số tiền lãi là 4166 x 18 = 75 000đ Do đó tiền lãi nhiều so với tính lãi theo năm b)Lãi kép : Sau đơn vị thời gian lãi gộp vào vốn và tính lãi Loại lãi này gọi laø laõi keùp Ví dụ : Khi gởi 000 000đ với lãi suất 5%/năm thì sau năm ta nhận số tiền gốc lẫn lãi là 050 000đ Toàn số tiền này gọi là gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai là : 050 000 + 050 000 x 5% = 102 500ñ Gọi xn là số tiền nhận cuối năm n thì với x0 = 000 000đ = 106 đ Sau năm thứ ta nhận : x1 = 106 + 106 x 5% = 106 (1 + 5%) = 106x 1,05 = 050 000đ Sau năm thứ hai ta nhận : x2 = x1 + x1.5% = x1(1 + 5%) = x0.(1 + 5%)2 đ Sau năn thứ ba ta nhận : x3 = x2 + x2.5% = x0.(1 + 5%)3 đ Sau năm thứ n ta nhận số tiền gốc lẫn lãi là : xn+1 = (1 + 5%)xn = 1,05xn Phương trình này chính laø phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc nhaát xn+1 = q.xn , n = 0, 1, 2, … PHÖÔNG TRÌNH SAI PHAÂN BAÄC HAI 7.1 Phöông trình sai phaân tuyeán tính thuaàn nhaát baäc 2: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai với hệ số là số có ax dạng: n 2  bx n 1  cx n 0 (*); với n 0;1;2; đó a 0; b, c là số Nghieäm toång quaùt: b ax n 2  bx n 1 0  x n 2  x n 1 x n 1 a  Neáu c = thì phöông trình (*) coù daïng: coù nghieäm n toång quaùt x n+1 =  x  Neáu phöông trình (*) coù phöông trình ñaëc tröng laø a + b + c = coù hai nghieäm 1 ,  thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm phương trình đặc trưng là phân biệt ( 1  ) phương n n trình (*) có nghiệm tổng quát là: x n = C1  + C2  đó C1, C2 là số gọi là số tự và xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví duï 1: Tìm nghieäm cuûa phöông trình sai phaân: u0 7; u1  6; un 2 3un 1  28un Giaûi Phöông trình ñaëc tröng  -3  28 = coù hai nghieäm 1  4;  7 Vaäy nghieäm toång quaùt coù n n daïng: un = C1 (-4) + C2 Với n = ta có: C1 + C2 7(x ) Với n = ta có: -4.C1 + 7C2  6(x1 ) C1 + C2 7  -4.C1 + 7C2  Giaûi heä  => C1 5  C2 2 n n Vaäy nghieäm toång quaùt phöông trình coù daïng: un = 5.(-4) + 2.7 1   b a thì nghieäm toång quaùt cuûa Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép x = C1 1n + C2 n 1n  C1 + C2 n   1n phöông trình (*) coù daïng: n đó C1, C2 là số tự và xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 Ví duï 2: Tìm nghieäm phöông trình sai phaân: u0  1; u1 2; u n2 10u n1  25u n Giaûi Phöông trình ñaëc tröng  -10  25 = coù hai nghieäm 1  5 Vaäy nghieäm toång quaùt coù daïng: un = (C1 + C2 n)5n Với n = ta có: C1  Với n = ta có: (C1 + C2 ).5 2  C2  7 un = (-1+ n)5n Vaäy nghieäm toång quaùt phöông trình coù daïng: Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát phương B 2 n r  A  B ;   arctg ; x n = r  C1 cos n  C2 sin n  A trình (*) coù daïng: đó  b ;B  2a 2a ; C1, C2 là số tự xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1 u0 1; u1  ; u n 2 u n 1  u n Ví duï 3: Tìm nghieäm cuûa phöông trình sai phaân: A  Giaûi -1 i 1,2  Phương trình đặc trưng  -   = có hai nghiệm phức  A  ; B  ; r 1;   2 Ta coù: n n un = C1 cos  C2 sin 3 Vaäy nghieäm toång quaùt coù daïng:   u0 1; u1  C1 cos  C2 sin  thì C1 = vaø 3 => C2 = Với n u n = cos Vaäy nghieäm toång quaùt coù daïng: Baøi taäp Tìm nghieäm un cuûa caùc phöông trình sau: a u0 8; u1 3; u n 2 12u n  u n 1 b u0 2; u1  8; un 2  8un 1  9un 0 c u 1; u1 16; u n2  8u n1  16u n 0 7.2 Phöông trình sai phaân phi tuyeán baäc 2: 7.2.1 Mở đầu: Daïng toång quaùt: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; … Daïng chính taéc: xn+2 = f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; … 2 Ví duï: Tính giaù trò daõy: u0 u1 1; un 1 un  un  1; n 2 7.2.2 Phöông phaùp tuyeán tính hoùa: 7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng tuyến tính: u2n   u0 u1 1; un  ; n 3 un  Ví duï 1: Cho daõy Tìm dạng tuyến tính dãy đã cho? Giaûi Goïi soá haïng toång quaùt cuûa daõy coù daïng: u n au n   bu n   c Cho n = 1; 2; ta u3 3; u 11; u5 41 Thay vào (*) ta hệ: a  b  c 3  3a  b  c 11 11a  3b  c 41  => (*) a 4   b  c 0  Vaäy un 4un   un  Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên 7.2.2.2 Phöông phaùp ñaët aån phuï: 1 u n  1u n  u0  ; u1  ; u n  ; n 2 3u  2u n  n  Ví duï 2: Cho daõy Tìm công thức tổng quát dãy Giải -Ta thấy un 0 (với n) vì un = thì un-1 = un-2 = đó u2 = u1 = Vô lí  un aáy v n 3v n  2v n coù phöông trình ñaëc tröng   3  0 coù nghieäm Ñaët 1 1;  2 C1 1;C2  n v  C  C 2 Công thức nghiệm tổng quát: n Với n = 0; ta có: un  n v    2n Vaäy n hay 7.2.2.3 Phương pháp biến đổi tương đương: Ví duï 3: Cho daõy daõy Giaûi u0 2; u1 6  33; u n1  3u n  8u2n  1; n 2 Tìm công thức tổng quát 2 Bình phương hai vế phương trình đã cho ta có: u n 1  6un 1 un  un 1 2 Thay n + n ta được: un  6un u n   u n  1 Trừ vế hai phương trình trên ta được:  un1  un    un 1  6un  un   0 un 1  3un  8u 2n  neân un 1  3un  9un   un   3  Suy u n 1  6u n  u n 0 coù phöông trình ñaëc tröng   6  0 coù nghieäm 1,2 Do Công thức nghiệm tổng quát Từ các giá trị ban đầu suy ra: Vaäy soá haïng toång quaùt: Baøi taäp un un C1   C1,2  8   n  C2    n  66 66   n  8 66    n Baøi 1: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình sau: u0 0; un 1 5un  24u2n  u1 1; u n 1  Baøi 2: Xaùc ñònh soá haïng toång quaùt cuûa daõy soá: 7.3 Một số dạng toán thường gặp: 7.3.1 Lập công thức truy hồi từ công thức tổng quát: n Ví dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số un 2 theo u n 1 , un un un   u2n 3 2  3 2  2 n Lập công thức truy hồi để tính Giaûi - Caùch 1: Giả sử un 2 au n 1  bun  c (*) Với n = 0, 1, 2, ta tính u0 0; u1 1; u2 6; u3 29; u 132 Thay vào (*) ta hệ phương trình : Vaäy un 2 6un 1  7un a  c 6  6a  b  c 29 29a  6b  c 132  => a 6   b  c 0  Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử un 2 au n 1  bu n thì bài toán giải nhanh  Caùch 2:  3  2;  3  Ñaët 1   6 và 1  7 chứng tỏ 1 ,  là nghiệm phương 2  61   6  trình đặc trưng   6  0   6  đó ta có: vaø n 2 n 1 n Suy ra: 1 61  71  2n 2 6 2n 1  7 2n Vaäy 1n 2   2n2 (61n1  71n )  (6 2n 1  7 2n ) 6  1n 1   2n 1    1n   2n  3 2 hay 3 2  2 n 2 n 2  3   3 2  n 2 n 2 2 6       3 6   2    n 1 n 1  3   n 1 3 2    7 3   n 1 2    3   7   2    n   3 2 n n   3 2   n 2     tức là un 2 6un 1  7u n 7.3.2 Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi: Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy số u0 2; u1 10 và un 1 10u n  u n  (*) Tìm công thức tổng quaùt un cuûa daõy? Giaûi -2  5 2 Phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình (*) laø:   10  0 coù hai nghieäm 1,2 Vaäy un C11n  C2  2n C1    n  C2    n C1  C2 2   C1   C2 10 Với n = 0; ta có hệ phương trình sau:  => un      6 5 6 n   C1 1  C2 1 n Vaäy soá haïng toång quaùt 7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều dẫn đến thao tác sai, đó ta tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực tính Ví dụ 3: Cho dãy số u0 2; u1 10 và un 1 10un  u n  Tính số hạng thứ u ? Giaûi - Caùch 1: Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) AÁn caùc phím: SHIFT STO A 100 10 SHIFT STO B Laëp laïi caùc phím: 10 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A  ALPHA B SHIFT STO B Bây muốn tính u100 ta   96 lần  Caùch 2: un    n   5 6 Tìm công thức tổng quát Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) (52 )  100  (  n )  100  Nhận xét: Như cách nhanh và chính xác nhiều so với cách thời gian để tìm công thức tổng quát Do đó số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta duøng caùch VIII Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TOÁN Với máy tính điện tử, xuất dạng đề thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có bài toán khó không đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, đó các dạng toán này thích hợp các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện toán học) Moät soá ví duï minh hoïa Ví dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a  20203  21n Tìm tất các số tự nhiên n (1010 n 2010) cho n là số tự nhiên Giaûi -Vì 1010  n  2010 neân 203,5  41413  an  62413  249,82 Vì an nguyeân neân 204  n  249 Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + + 21n Suy ra: an2 – = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n) a2   an  1  an  1 Do đó, n chia heát cho Chứng tỏ (an - 1) (an + 1) chia hết cho Vậy an = 7k + an = 7k – * Neáu an = 7k – thi 204  n =7k-1  249 => 29,42  k  35,7 Do k nguyeân neân k  30;31;32;33;34;35 Vì an  7k(7k  2) chia heát cho 21 neân k chæ laø: 30; 32; 33; 35 Ta coù: k n an 30 1118 209 32 1406 223 33 1557 230 35 1873 244 * Neáu an = 7k + thi 204  n =7k-1  249 => 29,14  k  35,57 Do k nguyeân neân k  30;31;32;33;34;35 Vì an  7k(7k  2) chia heát cho 21 neân k chæ laø: 30; 31; 33; 34 Ta coù: k n an 30 1118 209 32 1406 223 33 1557 230 35 1873 244 Như ta có tất đáp số Ví duï 2: Tính A = 999 999 9993 Giaûi -Ta coù: =729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999 99 00 99        99 n  chữsố n  chữ số n chữ số n chữ số Từ đó ta có quy luật: Vaäy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999 Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị) a Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n là số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối 1, tức là n3 = 111 1111 a  57121  35n b Tìm số tự nhiên n cho (1000  n  2000) cho n là số tự nhiên c Tìm tất các số tự nhiên n cho n = 2525******89 , các dấu * vị trí khác có thể là caùc soá khaùc d Tìm tất các số n có ba chữ số cho n69 = 1986 , n121 = 3333 Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị) a Tìm các chữ số a, b, c để ta có: a5 bcd 7850 b Tìm các số có không quá 10 chữ số mà ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó taêng leân gaáp laàn 224 c Hãy tìm chữ số cuối cùng số  (Số Fecma thứ 24)  x  + 2002 = với  x  là phần nguyên x d Giaûi phöông trình x2 – 2003 Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư chia 20012010 cho số 2003 Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10) a Tìm các ước số nguyên tố nhỏ và lớn số 215 + 3142 b Tìm số lớn và nhỏ các số tự nhiên dạng 1x2y3z4 chia hết cho Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 12 – chia hết cho hai số tự nhiên nằm khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó? Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN hai số sau: a = 24614205; b = 10719433 Bài 7: Kiểm nghiệm trên máy tính các số dạng 10n + là hợp số với n = 3, …, 10 Chứng minh raèng, soá daïng 10n + coù theå laø soá nguyeân toá chæ n coù daïng n = p (Giaû thieát: 10n + laø soá nguyên tố và n = n = 2) Bài 8: Tìm tất các cặp số ab và cd cho đổi ngược hai số đó thì tích không đổi, tức là: ab cd ba dc (Ví duï: 12.42 = 21.24 = 504) m m (  m,n    n Baøi 9: Tìm phaân soá n xaáp xæ toát nhaát hai chữ số là nhỏ nhất), đó m, n là số có Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050  n 8040) cho an = 80788  7n là số tự nhiên a an phải nằm khoảng nào? b Chứng minh an có thể là các dạng sau: a n = 7k + a n = 7k – N) Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 và ak  (với k  2k  (k  k)2 Tính k? Nhaän xeùt:  Dạng bài này thực chất là bài thi học sinh giỏi toán, nó nâng cao ý nghĩa mục đích đưa máy tính vào trường phổ thông, phù hợp với nội dung toán SGK đổi Nhờ máy tính bỏ túi giúp cho ta dẫn dắt tới giả thuyết, quy luật toán học, nghiên cứu toán học nghieâm tuùc  Trong các kỳ thi tỉnh dạng bài này chiếm khoảng 20% - 40%, các kỳ thi khu vực khoảng 40% - 60% số điểm bài thi Có thể nói dạng toán này định các thí sinh tham dự kỳ thi có đạt giải hay không Như vậy, yêu cầu đặt là phải giỏi toán trước, giỏi tính  Hiện nay, đa số thí sinh có mặt đội tuyển, phụ huynh nhận định chưa chính xác quan điểm môn thi này, thường đánh giá thấp môn toán (thậm chí coi môn thi này là môn học không chính thức, mang tính chất hình thức “thử cho biết”) thực tế hầu hết các thí sinh đạt giải là các thí sinh hoàn thành các bài tập dạng này Trong xu hướng toán học đại là kết hợp hữu suy luận toán học và máy tính điện tử (vi tính), chương trình học chính khóa, SGK luôn có bài tập sử dụng máy tính điện tử IX Dạng 9: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH Trong nhiều trường hợp để giải phương trình ta có thể tìm nghiệm gần đúng nó (nghiệm thường là số thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng sống thực tế phần lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên là hữu hạn mà thoâi Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = có nghiệm  a, b  Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy giá trị x1 (đủ lớn) nào đó tùy ý  a, b  Thay x1 vào (1) ta được: x2 = g(x1) khoảng nghiệm (2) Thay x2 vào (2) ta được: x3 = g(x2) (3), …, tiếp tục bước n + mà cho các giá trị liên tiếp … = x n-1 = xn = xn+1 thì giá trị x đó là nghiệm gần đúng phương trình f(x) = Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng phương trình:x16 + x – = Giaûi -Ta coù: x16 + x – = <=> x = 16  x Choïn x1 = Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 16 Duøng pheùp laëp: x =  x 16 SHIFT AÁn caùc phím:  x (  Ans )     Keát quaû: 1,128022103 Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng x  x 1 Giaûi -Ta coù: x = + x Choïn x1 = Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) Duøng pheùp laëp: x = + AÁn caùc phím:  x Ans      Keát quaû: 2,618033989 Nhaän xeùt:  Phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng phương trình, xét cách làm tương đối đơn giản, cần thay vị trí có x g(x) biến nhớ Ans, sau ấn phím  giá trị theo lại thay vào g(x) Nhưng đây là dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý là cách biến đổi để nhận biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức g(x) càng phức tạp thì sai số càng lớn dẫn đến đáp số không chính xác, có trường hợp chọn biểu thức x = g(x) thực phép lặp làm tràn nhớ máy tính quá tải Ví dụ: Ở ví dụ biến đổi x = – x 16, cho x = là giá trị ban đầu thì sau ba lần x  x  1 thực phép lặp máy tính báo lỗi Math ERROR Ở ví dụ 2, biến đổi vaø choïn x = là giá trị ban đầu thì có hai nghiệm và là số nguyên, còn chọn x = 15 thì sau số lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhưng x = + x thì x ban đầu lớn bao nhiêu máy cho nghiệm là 2,618033989 sau số lần lặp và hiển nhiên không thể chọn x ban đầu là âm  Như dùng phép lặp để tìm nghiệm gần đúng x = g(x), việc hội tụ  x  g  xn   (caùc giaù trò x1 > x2 >… > xn-1 = xn = xn+1)tuøy thuoäc vaøo ñieàu kieän hoäi tuï cuûa cuûa daõy n  a, b chứa nghiệm có thỏa mãn thì có kết hàm x = g(x) và giá trị ban đầu x trên đoạn Một phường trình đa thức có thể tìm nhiều nghiệm gần đúng, đó làm bài cần ghi rõ là dùng phép lặp nào và cẩn thận biến đổi các hàm x = g(x) cho phù hợp Bài tập tổng hợp (Xem các đề thi chương sau) X Dạng 10: THOÁNG KEÂ MOÄT BIEÁN Đây là dạng toán nói đến nhiều cách sách tham khảo Yêu cầu các thành viên đội tuyển tự nghiên cứu phương pháp giải dạng toán này và các vấn đề có liên quan đến nhớ máy tính giải dạng toán này Ví dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm lần bắn và số lần bắn theo bảng sau: Haõy tính x;  x; n;  n ; 2n Ñieåm soá 10 Soá laàn baén 25 42 14 15 ? Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) MODE MODE 10 SHIFT ; 25 DT SHIFT ; 42 DT ……………… SHIFT ; DT Đọc các số liệu SHIFT S.VAR  AC SHIFT S.SUM  AC SHIFT S.SUM  AC SHIFT S.VAR  ( x = 8,69) x 869 ( ) ( n 100 ) (  n 1,12 ) ( n 1,25 ) Chú ý: - Trước nhập bài toán thống kê khác nên xóa liệu cũ máy - Nếu số liệu cho chưa lập dạng bảng tần số cần lập bảng tần số giải - Không để máy nhận số liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy Bài tập tổng hợp (Xem các đề thi chương sau) SHIFT S.VAR  XI Dạng 11: LÃI KÉP – NIÊN KHOẢN Bài toán mở đầu: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% n thaùng Tính caû voán laãn laõi A sau n thaùng? Giaûi -Goïi A laø tieàn voán laãn laõi sau n thaùng ta coù: Thaùng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Thaùng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………………… Thaùng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vaäy A = a(1 + r)n (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n thaùng Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính các đại lượng khác sau: A ln Ar a(1  r)  (1  r)n  1 A a a  n r n  A (1  r)  (1  r)n  1 ln(1  r) a r 1) ; 2) ; 3) ; 4) (ln công thức là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp) Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính vốn lẫn lãi sau thaùng? Giaûi -Ta coù: A = 58000000(1 + 0,7%)8 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 58000000 (  007 ) ^  Keát quaû: 61 328 699, 87 Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng? Giaûi -70021000 n  58000000 ln   0, 7% ln Số tháng tối thiểu phải gửi là: Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) ln 70021000 a b/ c 58000000  ln (  007 )  Keát quaû: 27,0015 thaùng Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng (Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết trên số tháng tối thiểu là 28 tháng) Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng thì lãnh 61 329 000đ Tìm lãi suất haøng thaùng? Giaûi -Laõi suaát haøng thaùng: r 8 61329000 1 58000000 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 8^ x 61329000 a b / c 58000000   SHIFT %  Keát quaû: 0,7% Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng thì lãnh voán laãn laõi laø bao nhieâu? Giaûi-Soá tieàn laõnh caû goác laãn laõi: A 580000(1  0,007)  (1  0,007)10  1 0,007  580000.1,007  1,00710  1 0,007 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 580000 1 007 ( 007 ^ 10  )   007  Keát quaû: 6028055,598 Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu tháng Với lãi suất gửi là 0,6%? Giaûi -a Số tiền gửi hàng tháng: 100000000.0,006 100000000.0,006  10 10   0,006     0,006   1 1,006  1,006  1 Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 100000000 1 006  ( 006 ( 006 ^ 10  ) )  Nhaän xeùt: Keát quaû: 9674911,478  Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: + Gửi số tiền a lần -> lấy vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a -> lấy vốn lẫn lãi A  Cần phân tích các bài toán cách hợp lý để các khoảng tính đúng đắn  Có thể suy luận để tìm các công thức từ 1) -> 4) tương tự bài toán mở đầu  Các bài toán dân số có thể áp dụng các công thức trên đây Bài tập tổng hợp (Xem các đề thi chương sau) CHƯƠNG II: MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” Qui ñònh:  Yêu cầu các em sử dụng máy Casio fx-500 A, Casio fx-500 MS, Casio Fx-500 ES, Casio Fx-570 MS và Casio fx-570 ES để giải Ngoài các em có thể sử dụng các dạng máy tính khác phải có các chức tương tự để giải  Nếu không qui định gì thêm thì các kết các đề thi phải viết đủ 10 chữ số hieän treân maøn hình maùy tính  Trình bày bài giải theo các bước sau: - Lời giải vắn tắt - Thay số vào công thức (nếu có) - Vieát qui trình aán phím - Keát quaû Nhận xét: - Qua chương “Các dạng toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử Casio” ta ruùt caùc nhaän xeùt nhö sau: Máy tính điện tử giúp củng cố các kiến thức và tăng nhanh tốc độ làm toán Máy tính điện tử giúp liên kết kiến thức toán học với thực tế Máy tính điện tử giúp mở rộng các kiến thức toán học - Qua các đề thi tỉnh, thi khu vực các năm, đặc biệt từ năm 2001 đến (tháng 05/2005), đề thi thể rõ nét các nhận xét trên đây Có thể nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến soạn theo các định hướng sau đây: Bài thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính điện tử” phải là bài thi học sinh giỏi toán có trở giúp máy tính để thử nghiệm tìm các quy luật toán học tăng tốc độ tính toán Đằng sau bài toán ẩn tàng định lý, chí lý thuyết toán học (số hoïc, daõy truy hoài, phöông trình sai phaân, ….) Phát huy vai trò tích cực toán học và máy tính giải các bài toán thực tế Đề : (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vòng 1, THCS Thì gian 30 phút) Baøi : Tính A, bieát A = ¿ 13 ,241 x +17 , 436 y=− 25 ,168 Baøi : Giaûi heä phöông trình : 23 , 897 x −19 , 372 y=103 , 618 ¿{ ¿ Baøi : Tìm P(x) = 17x5 – 5x4 + 8x3 + 13x2 – 11x – 357 x = 2,18567 Baøi : Tìm soá dö cuûa pheùp chia x3 – x2 – 35x + cho x – 12 Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 4,6892 ; BC = 5,8516 1)Tính góc B (độ và phút) 2)Tính đường cao AH 3)Tính độ dài đường phân giác CI Baøi : Cho sin a = 0,4578 ( goùc a nhoïn) Tính P = Bài : Tính chu vi hình tròn nội tiếp tam giác có cạnh a = 4,6872 Bài : Dân số nước là 65 triệu, mức tăng dân số là 1,2% năm Tính dân số nước sau 15 naêm Baøi : Tính P(x) 19x – 13x – 11x x = 1,51425367 Bài 10 : Cho hình chữ nhật có chu vi là 15,356, tỉ số hai kích thước là Tính đường chéo hình chữ nhật Baøi 11 : Tính A = Bài 12 : Cho sin a = 0,7895 , cos b = 0,8191 (a, b là góc nhọn) Tính X = a + 2b (độ và phút) Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, BC = 8,3721 , goùc C = 27043’ Tính dieän tích cuûa tam giaùc Đề : (Sở GD& ĐT Hà Nội, 1996, vòng chung kết THCS) Baøi : Tìm soá dö chia x3 – 3,256x + 7,321 cho x – 1,617 Bài : Tam giác ABC có diện tích S = 27 đồng dạng với tam giác A’B’C’ có diện tích S’ = 136,6875 ; AB và A’B’ là hai cạnh tương ứng Tính tỉ số và ghi phân số tối giản Bài : Cho tam giác ABC vuông A, BC = 8,916 và AD là đường phân giác góc A Bieát BD = 3,178, tính hai caïnh AB, AC Bài : Cho tam giác ABC có đường cao AH = 12, 341 Các đoạn thẳng BH = 4,183 ; CH = 6,784 a)Tính dieän tích tam giaùc b)Tính góc A (độ và phút) Bài : Cho hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 50,17 cm và cạnh AC tạo với cạnh AB góc 31034’ a)Tính diện tích hình chữ nhật b)Tính chu vi hình chữ nhật Bài : Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với Hai đáy có độ dài là 15,34cm vaø 24,35cm a)Tính độ dài cạnh bên hình thang b)Tính dieän tích cuûa hình thang Bài : Có 100 người đắp 60 m đê chống lũ, nhóm nam đắp 5m/người, nhóm nữ đắp 3m/người Nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm Bài : Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + Baøi : Tính A = , bieát x = 1,8597 , y = 1,5123 Bài 10 : 1)Tính thời gian (giờ, phút, giây) để người hết quãng đường ABC dài 435 km, biết đoạn AB dài 147 km với vận tốc 37,6km/h và đoạn BC với vận tốc 29,7km/h 2)Nếu người luôn với vận tốc ban đầu (37,6km/h) thì đến C sớm khoảng thời gian laø bao nhieâu ? ¿ x =0 ,3681 y Baøi 11 : Giaûi heä phöông trình (x, y laø hai soá döông) (I) x 2+ y =19 ,32 ¿{ ¿ Đề 3: (Thi chọn đội tuyển thi vòng huyện trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên năm 2004) Baøi 1: 1.1 Thực phép tính (kết viết dạng hỗn số) A = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 0,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm tròn với chữ số thập phân) 8,95433  981,6355 : 113 B  : 3 4 5 6 7 815   6  589, 43111  3,5 :1  : 3,9814 173   9 513 1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số) C (14  4)(54  4)(9  4)(134  4)(174  4)(214  4)(254  4) (34  4)(74  4)(114  4)(154  4)(194  4)(234  4)(274  4) 1.4 Cho cotg = 0,06993 (00 <  < 900) Tính: D tg (1  cos5 )  cot g 7(1  tg3) (sin3   tg3)(1  3sin ) (8h 47ph 57gi  7h8ph 51gi ).3h 5ph 7gi E  h ph gi h ph gi 18 47 32 :  h 7ph 27gi 1.5 Tính: Baøi 2: 2.1 Cho đa thức P(x) = 5x7 + 8x6 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,1394 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x + 2,312) c Với m vừa tìm hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 34 6,15 6 7 P(x) 2.2 Giaûi heä phöông trình sau:  x  y 55,789  x 6,86 y  2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y = ax + b qua hai ñieåm A(0;-4) vaø B(2;0) Baøi 3: 3.1 Cho ABC coù ba caïnh a = 17,894 cm; b = 15,154 cm; c = 14,981 cm Kẻ ba đường phân giác ABC cắt ba cạnh A1, B1, C1 Tính phần diện tích giới hạn ABC và A1B1C1? 3.2 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R, có các cạnh a = 3,657 cm; b = 4,155 cm; c = 5,651 cm; d = 2,765 cm Tính phaàn dieän tích giới hạn đường tròn và tứ giác ABCD? x 3.3 Cho bảng số liệu sau Hãy tính Tổng số trứng (  ); số trứng trung bình gà ( x ); phương sai (  x ) và độ lệch tiêu chuẩn ( x )? Số lượng trứng 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Soá gaø meï 10 14 25 28 20 14 12 3.4 Dân số tỉnh Lâm Đồng năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh Lâm Đồng năm đó? (Kết làm tròn hai chữ số thập phân) 3.5 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 000 000đ với lãi suất 0,45% tháng Hỏi sau năm người nhận bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị) Baøi 4: 4.1 Cho ABC vuoâng taïi A, coù AB = c, AC = b a Tính khoảng cách d từ chân đường phân giác góc vuông đến cạnh góc vuông? b Với b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm Tính khoảng cách đó? 4.2 Tìm số tự nhiên a nhỏ mà a2 bắt đầu chữ số 15 và kết thúc 56? Baøi 5: 5.1 Cho daõy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n 2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm soá haïng u14 cuûa daõy? 5.2 Cho số tự nhiên n (5050  n 8040) cho an = 80788  7n là số tự nhiên a an phải nằm khoảng nào? b Chứng minh an có thể là các dạng sau: an = 7k + an = 7k – (với k  N) Đề 4: (Thi thử vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai năm 2004) Baøi 1: 1.1 Thực phép tính A = 6712,53211 : 5,3112 + 166143,478 : 8,993 1.2 Tính giá trị biểu thức (làm tròn với chữ số thập phân) 8,93  91,526 : 113 B    6  635,4677  3,5 :  : 3,9 183   11  513 1.3 Rút gọn biểu thức (kết viết dạng phân số) (14  6)(74  6)(134  6)(19  6)(254  6)(314  6)(374  6) (34  6)(9  6)(154  6)(214  6)(274  6)(334  6)(39  6) 1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính: tg (sin   cos5 )  cot g 7(sin   tg3) D (sin   tg3)(1  3sin ) C E (8h 45ph 23gi  12 h 56 ph 23gi ).3h 5ph 7gi 16 h 47ph32gi : h 5ph 9gi 1.5 Tính: Baøi 2: 2.1 Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648 b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c Với m vừa tìm hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) 5 6,15 x -2,53 4,72149 6 7 34 P(x)  x  y 66,789  x 5,78 y  2.2 Giaûi heä phöông trình sau: 2.3 Tìm góc  hợp trục Ox với đường thẳng y = ax + b qua hai ñieåm A(0;-8) vaø B(2;0) Baøi 3: 3.1 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao là AH Cho biết AB = 0,5 , BC = 1,3 Tính AC , AH , BH , CH gần đúng với chữ soá thaäp phaân? 3.2 Cho tam giaùc ABC coù AB = 1,05 ; BC = 2,08 ; AC = 2,33 a)Tính độ dài đường cao AH b)Tính độ dài trung tuyến AM c)Tính soá ño goùc C d) Tính dieän tích tam giaùc ABC 3.3 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 10 000 000đ với lãi suất 0,55% tháng Hỏi sau năm người nhận bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị) Baøi 4: 4.1 Cho daõy u1 = 3; u2 = 11; un +1 = 8un - 5un-1 (n 2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u1 đến u12 dãy? 5u n u  n  un  un 4.2 Cho daõy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n 3 a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm soá haïng u8 cuûa daõy? Đề 5: (Thi voøng huyeän Phoøng GD – ÑT huyeän Baûo Laâm naêm 2004) Baøi : 123 581 521 2 4 28 1.Tính A= 52 2.Tính B=( 3+1) 6-2 2+ 12+ 18- 128     1,6:  1,25   1,08-  : 25   +  C= +0,6.0,5:  1 0,645 -2   25   17 3.Tính D=5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 4.Tính 5.Giaûi heä phöông trình sau : 1,372 x  4,915 y 3,123  8,368 x  5,124 y 7,318 2 2 2 6.Cho M=12 +25 +37 +54 +67 +89 N=212 +782 +342 +762 +232 +Z2 Tìm Z để 3M=2N Baøi : 1 1 = + + 3 3 1.Tìm h bieát : h 3,218 5,673 4,815 2.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254 3.Cho x=2,1835 vaø y= -7,0216 7x y-x y3 +3x y+10xy -9 F= 5x -8x y +y3 Tính 4.Tìm soá dö r cuûa pheùp chia : x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281 5.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Baøi : sin25o 12'28''+2cos45o -7tg27 o cos36o +sin37 o13'26'' 1.Tính P= 2.Cho cosx = 0,81735 (goùc x nhoïn) Tính : sin3x vaø cos7x cos a-sin 3a tga 3.Cho sina = 0,4578 (goùc a nhoïn) Tính: Q= S= tg x(1+cos x)+cotg x(1+sin 3x) (sin x+cos x)(1+sinx+cosx) 4.Cho cotgx = 1,96567 (x laø goùc nhoïn) Tính 5.Cho u1 =1,1234 ; u n+1 =1,0123.u n (n  N; n 1) Tính u 50 3u +13 u1 =5 ; u n+1 = n2 (n  N; n 1) u +5 n 6.Cho Tính u15 7.Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n 2) Tính u12 Baøi : 1.Cho tam giác ABC vuông A với AB=4,6892 cm ; BC=5,8516 cm Tính góc ABC (bằng đơn vị đo độ), tính độ dài đường cao AH và phân giác CI 2.Cho ngoâi caùnh nhö hình beân Các khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp ngôi AC=BD=CE= … = 7,516 cm Tìm bán kính R đường tròn qua đỉnh ngôi 3.Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường cao AH, lấy các điểm D, E cho AE=HD= AH Các đường thẳng BE và BD cắt cạnh AC F và G Biết BC=7,8931 cm a Tính dieän tích tam giaùc ABE b Tính diện tích tứ giác EFGD Đề 6: (Thi chọn đội tuyển thi khu vực Tỉnh Lâm Đồng năm 2004) Bài 1: Thực phép tính: 1.1 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x = -3,1226 3 1 1.2 Tính 4x6 + 3x4 – 2x3 +7x2 + 6x – 11 với x = x  y  z  2xy 3 2 1.3 Tính x  z  y  2xz với x= ; y= 1,5; z = 13,4 1.4 Cho cotg = 0,05849 (00 <  < 900) Tính: D tg2 (sin   cos6 )  cot g8 sin3   tg3 (8h 45ph 23gi  12 h 56 ph 23gi ).3h 5ph 7gi E 16 h 47ph32gi : h 5ph 9gi 1.5 1.6 Tính (1,23456789)4 + (0,76543211)4 – (1,123456789)3.(0,76543211)2 – - (1,23456789)2 (0,76543211)3 + 16 (1,123456789).(0,76543211) 1.7 Tính toång caùc soá cuûa (999 995)2  1   1.8 Tính tổng 12 chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy  11  12 16  9999999996  0,999999999 999999999 1.9 Tính 1.10 Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + Baøi 2: I   9999999992  0,999 999 999 Tính Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f bieát P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? Baøi 3: ak  2k  (k  k)2 Tính k=? Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 vaø Cho tam giác ABC với cạnh BC = 5,1123; AB = 3,2573; AC = 4,7428 Tính đường phân giác AD? 135 222 Tia phân giác chia cạnh huyền thành hai đoạn và Tính hai cạnh góc vuông? Baøi 4: x 17  38  14   2  Tính H = (3x + 8x + 2) với Cho tam giác ABC với cạnh BC = 14; AB = 13; AC = 15 Gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB vaø  Q m 12 BE  FD; R DF  FC; P AD  EF AQ  AR  BP  BR  CP  CQ AB2  BC2  AC2 2 2 2 Tính: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB Cho góc BDC = 900;Tìm AB, CD, AC với AD=3,9672; BC=5,2896 Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Đề : (Thi chọn đội tuyển TP Hồ Chí Minh - 2003) Bài 1) Tìm số nhỏ có 10 chữ số biết số đó chia cho dư và chia cho 619 dư 237 Bài 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số : 172002 Bài 3) Tính : a) 214365789 897654 (ghi kết dạng số tự nhiên) b) (ghi kết dạng hỗn số ) c) 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 (ghi kết dạng hỗn số ) Bài 4) Tìm giá trị m biết giá trị đa thức f(x) = x - 2x3 + 5x2 +(m - 3)x + 2m- x = - 2,5 là 0,49 Bài 5) Chữ số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy phép chia 13 cho 23 là : Bài 6)Tìm giá trị lớn hàm số f(x) = -1,2x2 + 4,9x - 5,37 (ghi kết gần đúng chính xác tới chữ số thập phân) Bài 7) Cho u1 = 17, u2 = 29 và un+2 = 3un+1 + 2un (n ≥ 1) Tính u15 Bài 8) Cho ngũ giác ABCDE có độ dài cạnh 1.Gọi I là giao điểm đường chéo AD và BE Tính : (chính xác đến chữ số thập phân) a) Ðộ dài đường chéo AD b) Diện tích ngũ giác ABCDE : c) Ðộ dài đoạn IB : d) Ðộ dài đoạn IC : Bài 9) Tìm UCLN và BCNN số 2419580247 và 3802197531 Đề 8: (Đề thi chính thức năm 2002 cho học sinh Trung học Cơ sở) Bài Tính giá trị x từ các phương trình sau: Câu 1.1 Câu 1.2 Bài Tính giá trị biểu thức và viết kết dạng phân số hỗn số: Câu 2.1 Câu 2.2 Bài Câu 3.1 Cho biết sin = 0,3456 ( ) Tính: Câu 3.2 Cho biết cos2 = 0,5678 ( ) Tính: Câu 3.3 Cho biết ( ) Tính: Bài Cho hai đa thức: và Câu 4.1 Tìm giá trị m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho (x-2) Câu 4.2 Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) với giá trị m, n vừa tìm được, hãy chứng tỏ đa thức R(x)chỉ có nghiệm Bài Cho dãy số xác định công thức , n là số tự nhiên, n >= Câu 5.1 Biết x = 0,25 Viết qui trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn Câu 5.2 Tính x100 Bài Câu 6.1 Cho biết thời điểm gốc nào đó, dân số quốc gia B là a người ; tỉ lệ tăng dân số trung bình năm quốc gia đó là m% Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia B đến hết năm thứ n Câu 6.2 Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là 1,2%? Câu 6.3 Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là bao nhiêu? Bài Cho hình thang vuông ABCD có: AB = 12,35 cm, BC =10,55cm, (Hình 1) Câu 7.1 Tính chu vi hình thang ABCD Câu 7.2 Tính diện tích hình thang ABCD Câu 7.3.Tính các góc còn lại tam giác ADC Bài Tam giác ABC có góc B = 120 0, AB = 6,25 cm, BC = 12,50 cm Đường phân giác góc B cắt AC D ( Hình 2) Câu 8.1 Tính độ dài đoạn thẳng BD Câu 8.2 Tính tỉ số diện tích các tam giác ABD và ABC Câu 8.3 Tính diện tích tam giác ABD Bài Cho hình chữ nhật ABCD Qua đỉnh B, vẽ đường vuông góc với đường chéo AC H Gọi E, F, G thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AH, BH, CD (xem hình 3) Câu 9.1 Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành Câu 9.2 Góc BEG là góc nhọn, góc vuông hay góc tù? vì sao? Câu 9.3 Cho biết BH = 17,25 cm, Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Câu 9.4 Tính độ dài đường chéo AC Bài 10 Câu 10.1 Cho đa thức và cho biết P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9 , P(4)=16, P(5)=15 Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) Câu 10.2 Cho đa thức và cho biết Q(1)=5, Q(2)=7, Q(3)=9, Q(4)=11 Tính các giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Đề 9: (Chọn đội tuyển thi khu vực Tỉnh Phú Thọ – năm 2004) Baøi 1: Tìm taát caû caùc soá N coù daïng N = 1235679x4y chia heát cho 24 Bài 2: Tìm cặp hai số tự nhiên nhỏ có tổng là bội 2004 và thương  1        x3  1  855       Baøi 3: Giaûi phöông trình Bài 4: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33, biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài 5: Tìm các số bình phương có tận cùng là chữ số Có hay không các số bình phương có tận cùng là chữ số 4? Bài 6: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước N = 1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004 không chia heát cho 900? Bài 7: Cho dãy số tự nhiên u0, u1, …, có u0 = và un+1.un-1 = kun.k là số tự nhiên 7.1 Laäp moät quy trình tính un+1 7.2 Cho k = 100, u1 = 200 Tính u1, …, u10 7.3 Bieát u2000 = 2000 Tính u1 vaø k? Bài 8: Tìm tất các số có chữ số thỏa mãn: Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị Laø soá chính phöông Bài 9: Với số nguyên dương c, dãy số un xác định sau: u1 = 1; u2 = c; un =(2n+1)u n-1 -(n -1)u n-2 , n 2 Tìm c để u chia hết cho u với i  j  10 i j Bài 10: Giả sử f : N -> N Giả sử f(n+1) > f(n) và f(f(n)) = 3n với n nguyên dương Hãy xaùc ñònh f(2004) Đề 10: (Đề thi chính thức thi khu vực lần thứ tư – năm 2004) Bài 1: Tính kết đúng các tích sau: 1.1 M = 2222255555.2222266666 1.2 N = 20032003.20042004 Bài 2: Tìm giá trị x, y dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau: x x 2.1   y y 1 2.2  1 1 4 1 1 1 2 2 3 1 1  4 3 2 Baøi 3: 3.1 Giải phương trình (với a > 0, b > 0): a  b  x 1  a  b  x 3.2 Tìm x bieát a = 250204; b = 260204 Bài 4: Dân số xã Hậu Lạc là 10000 người Người ta dự đoán sau năm dân số xã Hậu Lạc là 10404 người 4.1 Hoûi trung bình moãi naêm daân soá xaõ Haäu Laïc taêng bao nhieâu phaàn traêm 4.2 Với tỉ lệ tăng dân số vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?   Bài 5: Cho AD và BC cùng vuông góc với AB, AED BCE , AD = 10cm, AE = 15cm, BE = 12cm Tính: 5.1 Tính diện tích tứ giác ABCD (SABCD) và diện tích tam giác DEC (SDEC) 5.2 Tính tæ soá phaàn traêm SDEC vaø SABCD  Bài 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với BC góc DAB Biết AB = a = 12,5cm; DC = b = 28,5cm Tính: 6.1 Độ dài đường chéo BD 6.2 Tỉ số phần trăm diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác BDC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A với AB = a = 14,25cm; AC = b = 23,5cm; AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và đường phân giác tam giác ABC Tính: 7.1 Độ dài các đoạn thẳng BD và CD 7.2 Dieän tích tam giaùc ADM Bài 8: Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: 8.1 Các hệ số b, c, d đa thức P(x) 8.2 Tìm soá dö r1 chia P(x) cho x – 8.3 Tìm soá dö r2 chia P(x) cho 2x + n  5 7   5 7  n un Baøi 9: Cho daõy soá với n = 0, 1, 2, 3, … 9.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4 9.2 Chứng minh un+2 = 10un+1 – 18un 9.3 Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính un+2 n n  3   3  un     2     Baøi 10: Cho daõy soá , với n = 0, 1, 2, … 10.1 Tính u0, u1, u2, u3, u4 10.2 Lập công thức tính un+1 10.3 Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính un+1 Đề 11 : Baøi 1: Giaûi phöông trình  x  71267162  52408 (Đề dự bị thi khu vực lần thứ tư – năm 2004) x  26022004    x  821431213  56406 x  26022004 1  Bài 2: Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người đó nhận số tiền nhiều (hay ít hơn) bao nhiêu ngân hàng trả lãi suất 12 % tháng (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)   n  q(n)    n      với n = 1, 2, 3, … đó  x  là phần nguyên x Tìm tất các Baøi 3: Kí hieäu soá nguyeân döông n cho q(n) > q(n + 1) Baøi 4: 4.1 Laäp moät qui trình tính soá Phiboânacci u0 = 1; u1 = 1; un+1 = un + un+1 4.2 Từ hình chữ nhật 324cm x 141cm cắt hình vuông có cạnh là 141cm còn hình chữ nhật có cạnh là 141cm và cạnh ngắn Sau đó lại cắt từ hình chữ nhật còn lại hình vuông có cạnh cạnh nhỏ hình chữ nhật đó Tiếp tục qúa trình không cắt Hỏi có bao nhiêu loại hình vuông kích thước khác và độ dài cạnh các hình vuoâng aáy 4.3 Với số tự nhiên n, hãy tìm hai số tự nhiên a và b để cắt hình chữ nhật a x b trên ta đúng n hình vuông kích thước khác Bài 5: Điền các số từ đến 12 lên mặt đồng hồ cho bất kì ba số a, b, c nào ba vị trí kề (b nằm a và c) thỏa mãn tính chất: b2 – ac chia hết cho 13 Bài 6: Dãy số un xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1 = 2un – un-1 + với n = 1, 2, 3, … 6.1 Laäp moät qui trình tính un 6.2 Với n  hãy tìm số k để tính uk = un.un+1 Bài 7: Tìm tất các cặp số nguyên dương (m,n) có bốn chữ số thỏa mãn: 7.1 Hai chữ số m là hai chữ số n các vị trí tương ứng Hai chữ số còn lại m nhỏ hai chữ số tương ứng n đúng đơn vị 7.2 m và n là số chính phương u  Bài 8: Dãy số n tạo theo qui tắc sau: số sau tích hai số trước cộng với 1, u0 = u1 = 8.1 Laäp moät qui trình tính un u  8.2 Có hay không số hạng dãy n chia hết cho 4? x  y 1960 Baøi 9: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình Bài 10: Một số có chữ số gọi là số vuông (squarish) nó thỏa mãn ba tính chất sau: Không chứa chữ số 0; Laø soá chính phöông; Hai chữ số đầu, hai chữ số và hai chữ số cuối là số chính phương có hai chữ soá Hoûi coù bao nhieâu soá vuoâng? Tìm caùc soá aáy Đề 12: (Đề chính thức Hải Phòng – năm 2003) 20032004 a  243 b c d e Tìm các chữ số a, b, c, d, e? Baøi 1: Bieát Bài 2: Tính độ dài các cạnh a, b, c và bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác a, b, c tỉ lệ với 20, 21, 29 và chu vi tam giác 49,49494949(m) Bài 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba goùc baèng a Xaùc ñònh caùc goùc cuûa tam giaùc ABC b Biết độ dài BC  54,45 cm, AD là phân giác tam giác ABC Kí hiệu S và S là diện tích hai tam giác ADM và ABC Tính S0 và tỉ số phần trăm S0 và S? 1 sin x  sin y  5, 10 Tính A = x + y? Baøi 4: a Cho B  tg  0,17632698 sin x cos x ? b Cho Tính 2 2 x0    2  2 Baøi 5: Cho a Tính giá trị gần đúng x0? b Tính x = x0 - vaø cho nhaän xeùt> c Bieát x0 laø nghieäm cuûa phöông trình x3 + ax2 + bx – 10 = Tìm a,b  Q? d Với a, b vừa tìm được, hãy tìm các nghiệm còn lại phương trình câu c? n   1     1   n un Baøi 6: Cho a Tìm u1, u2, u3, u4, u5 b Tìm công thức truy hồi tính un+2 theo un+1 và un? c Vieát moät qui trình baám phím lieân tuïc tính un? Bài 7: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(-3) = -41 a Tìm các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm soá dö r1 chia P(x) cho x + c Tìm soá dö r2 chia P(x) cho 5x + d Tìm soá dö r3 chia P(x) cho (x + 4)(5x + 7) Bài 8: Cho hình thang ABCD có cạnh đáy nhỏ là AB Độ dài cạnh đáy lớn CD, đường chéo BD, cạnh bên AD cùng và p Cạnh bên BC có độ dài q a Viết công thức tính AC qua p và q b Biết p  3,13cm, q 3,62cm Tính AC, AB và đường cao h hình thang Đề 13: (Đề dự bị Hải Phòng – năm 2003) x 17  38  2   14  Baøi 1: Cho a Tìm x b Tính A = (3x8 + 8x2 + 2)25 c A viết dạng thập phân có bao nhiêu chữ số? d Tổng các chữ số A vừa tìm là bao nhiêu? Bài 2: Có 480 học sinh dự trại hè ba địa điểm khác 10% số học sinh địa điểm một, 8,5% số học sinh địa điểm hai và 15% số học sinh địa điểm ba tham quan địa danh lịch sử Địa danh lịch sử cách địa điểm 60km, cách địa điểm hai 40km, cách địa điểm ba 30km Để trả đủ tiền xa với giá 100đ/1người/1km, người tham quan phải đóng 4000đ Hỏi có bao nhiêu người địa điểm tham quan di tích lịch sử Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao BD = 6cm, độ dài trung tuyến CE = 5cm Khoảng cách từ giao điểm BD với CE đến AC 1cm Tìm độ dài cạnh AB?   Baøi 4: Hình thang ABCD (AB//CD) coù AB  2,511cm; CD  5,112cm; C  29015'; D  60045' Tính: a Caïnh beân AD, BC b Đường cao h hình thang c Đường chéo AC, BD Bài 5: Hai hình chữ nhật cắt nhau: S1 a Kí hiệu S = k2 là diện tích tứ giác ANCQ; S là diện tích tứ giác BPDM Tính tỉ số S2 b Bieát AB = 5cm; BC = 7cm; MQ = 3cm; MN = 9cm Tính k? A B N M P Q C D CD  Bài 6: Người ta phải làm vì kèo sắt Biết AB  4,5cm; BD ; AM = MD = DN = NB Viết công thức và tính độ dài sắt làm vì kèo biết hao phí sản xuất là 5% (làm tròn đến mét) C Q P A B M Baøi 7: B Cho N 1 1 1 1 1    2 2 2 2 a Tính gần đúng B  B b Tính C D a Tính 2,0000004  1, 0000004   2,0000004 D ; 2,0000002  1,0000002   2,0000002 C D b Tính Bài 8: a Tìm các số tự nhiên x, y, z cho 3xyz – 5yz + 3x + 3z = b Viết qui trình bấm phím tính toán trên Baøi 9: Bieát phöông trình x4 – 18x3 + kx2 – 500x – 2004 = coù tích hai nghieäm baèng -12 Haõy tìm k? Đề 14: (Đề học sinh giỏi THCS tỉnh Thái Nguyên – năm 2003) A 17   12 1 23  1 1 3 12 17  7 2003 2003 Baøi 1: a Vieát quy trình tính b Tính giaù trò cuûa A  13    : 2,5   15,2.0,25  48,51:14,7  14 11 66   x  11  3,2  0,8   3,25    Baøi 2: Tìm x bieát: Baøi 3: Tính A, B bieát: A sin 34036 ' tan180 43' tan 40 26 '36'' tan 770 41' B  ' cos 78012''  cos1317'' cos 67012' sin 230 28' ; x n 1  x 3n  Bài 4: Cho dãy số xác định công thức a Biết x1 = 0,5 Lập qui trình bấm phím liên tục để tính xn b Tính x12, x51 Baøi 5: Tìm UCLN cuûa: a 100712 vaø 68954 b 191 vaø 473 Bài 6: Một tam giác có ba cạnh với độ dài là 30,735cm; 40,980cm; 51,225cm Tính diện tích tam giác đó Baøi 7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d coù P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002) Bài 8: Khi chia đa thức P(x) = 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức (x - 2) ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) Baøi 9: Vieát qui trình baám phím tìm thöông vaø soá dö pheùp chia 123456789 cho 23456 Tìm giaù trò cuûa thöông vaø soá dö Bài 10: Tìm tất các ước số – 2005 Đề 15: (Đề chọn đội tuyển thi khu vực tỉnh Thái Nguyên – năm 2003) 2 A   0,19981998 0,019981998 0, 0019981998 Baøi 1: Tính Bài 2: Tìm tất các ước nguyên tố số tìm bài  x  Tìm  B Bài 3: Phần nguyên x (là số nguyên lớn không vượt quá x) kí hiệu là bieát: 2 B 1 1     2 10 x x x x1n  x 2n   x nn Bài 4: Phương trình sau đây gọi là phương trình Fermat: n Phaùt bieåu lời: Tìm các số có n chữ số cho tổng lũy thừa bậc n các chữ số chính số Trong caùc soá sau ñaây, soá naøo laø nghieäm cuûa phöông trình: 157; 301; 407; 1364; 92727; 93064; 948874; 174725; 4210818; 94500817; 472378975 Bài 5: Một người muốn sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe máy Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng là bao nhiêu, biết lãi suaát tieát kieäm laø 0,075% thaùng Baøi 6: Tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường vuông góc với đường chéo CA H Biết BH = ' ''  1,2547cm; BAC 37 28 50 Tính dieän tích ABCD   Baøi 8: Cho tam giaùc ABC coù B 120 , BC = 12cm, AB = 6cm Phaân giaùc cuûa B caét caïnh AC taïi D Tính dieän tích tam giaùc ABD Bài 9: Số 211 – là số nguyên tố hay hợp số? Baøi 10: Tìm UCLN cuûa hai soá 7729 vaø 11659 Đề 16: (Đề thi học sinh giỏi THCS tỉnh Thái Nguyên – năm 2004) Baøi 1: Tính: a A = 1,123456789 – 5,02122003 b B = 4,546879231 + 107,356417895 Bài 2: Viết các số sau đây dạng phân số tối giản a C = 3124,142248 b D = 5,(321) 100 1 x  x  Bài 3: Giả sử a0  a1x  a2 x   a200 x Tính E a0  a1   a200 ? 1 1 1 1        Bài 4: Phải loại các số nào tổng 12 12 14 16 để kết Bài 5: Cho tam giác nội tiếp đường tròn Các đỉnh tam giác chia đường tròn ba cung có độ dài 3, 4, Tìm diện tích tam giác? Bài 6: Tìm số tự nhiên a lớn để chia các số 13511; 13903; 14589 cho a ta cùng soá dö Bài 7: Cho số nguyên, cộng ba số bất kì ta các số là 180; 197; 208; 222 Tìm số lớn các số nguyên đó? Đề 17: (Đề chọn đội tuyển thi khu vực tỉnh Thái Nguyên – năm 2004) Bài 1: Tìm chữ số thập phân thứ 15 sau dấu phẩy 2003 Bài 2: Tìm chữ số thập phân thứ 2004 sau dấu phẩy kết phép chia cho 53? Baøi 3: Tính 20120032 2003 un n  n Baøi 4: Tìm soá haïng nhoû nhaát taát caû caùc soá haïng cuûa daõy M 3 Baøi 5: Tính 54 1 3 5 200  126  sin  2x  15 22'   sin 2x  cos5x  tan 7x  : cos3x Baøi 6: Cho với 00 < x < 900 Tính Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù AB = 3,14; BC = 4,25; CA = 4,67 Tính dieän tích tam giaùc coù ñænh laø chân ba đường cao tam giác ABC Đề 18: (Tạp chí Toán học & tuổi trẻ năm 2005) Baøi 1: Tìm UCLN vaø BCNN cuûa hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546 x  3y  5z    2x  y3 x    2y  z  A x  x  5y    z  Bài 2: Tính giá trị biểu thức taïi x  ; y  ;z 4 Baøi 3: Tìm caùc soá nguyeân döông x vaø y cho x2 + y2 = 2009 vaø x > y Bài 4: Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc A tam giác ABC biết AB = 15cm, AC = 20cm vaø BC = 24cm  1 B  1 C  A Bài 5: Tính gần đúng diện tích tam giác ABC biết vaø AB = 18cm 4 Bài 6: Tính gần đúng giá trị biểu thức M = a + b + c a + b + c = 3, ab = -2, b2 + c2 = Bài 7: Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm đa thức đó Bài 8: Cho bốn điểm A, B, C, D, E trên đường tròn tâm O bán kính 1dm cho AB là đường kính, OC  AB vaø CE ñi qua trung ñieåm cuûa OB Goïi D laø trung ñieåm cuûa OA Tính dieän tích cuûa  tam giác CDE và tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây) Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và có các cạnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn (độ, phút, giây) tứ giác đó 1 a  1,a  2,a  a  an n  n  * a  Bài 10: Dãy số n xác định sau: với n  N Tính tổng 10 số hạng đầu tiên dãy số đó A 2x  7x  x  4x  Bài 11: Tính gần đúng giá trị nhỏ và lớn phân thức Bài 12: Tìm nhóm ba chữ số cuối cùng (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) số: 12  23  34   1415  1516 sin x.cos x   sin x  cos x  2 Bài 13: Tính gần đúng góc nhọn x (độ, phút, giây) Baøi 14: Ñieåm E naèm treân caïnh BC cuûa hình vuoâng ABCD Tia phaân giaùc cuûa caùc goùc EBD, EAD MN cắt các cạnh BC, CD tương ứng M, N Tính gần đúng giá trị nhỏ tỉ số AB Tính gần MN  đúng (độ, phút, giây) góc EAB AB Bài 15: Hai đường tròn bán kính 3dm và 4dm tiếp xúc ngoài với điểm A Gọi B và C là các tiếp điểm hai đường tròn đó với tiếp tuyến chung ngoài Tính gần đúng diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC và hai cung nhỏ AB, AC Đề 19: (Tạp chí Toán học tuổi thơ tháng năm 2005) M  12   1    2 14  Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöc Baøi 2: 2.1 Tìm gần đúng (đến 10 chữ số) tất các nghiệm thực phương trình bậc ba:     a)8x3  6x  0 b)x3  x2  2x  0 c)16x3  12x  10  0 2.2 Trong các phương trình trên, phương trình nào có nghiệm hữu tỉ Chứng minh? 2.3 Tính chính xác nghiệm các phương trình trên dạng biểu thức chứa Baøi 3: 3.1 Dãy số a1 ,a2 , ,ak , xây dựng sau: Chữ số an 1 là tổng các chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số là 6, 7, 8, 9, 10) và thực quy trình trên Điều gì xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy? 3.2 Dãy số a1 ,a2 , ,ak , có tính chất: Chữ số an 1 là tổng bình phương các chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số là 6, 7, 8, 9, 10) và thực quy trình trên Điều gì xảy ra? Hãy chứng minh nhận định ấy? Baøi 4: 4.1 Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương chúng là số chính phương 4.2 Có hay không n số tự nhiên liên tiếp (2< n < 11) có tổng bình phương chúng là soá chính phöông? Bài 5: Tìm số tự nhiên có tính chất: Nếu viết liên tiếp bình phương và lập phương nó, sau đó đảo ngược số nhận thì ta nhận số là lũy thừa bậc sáu số ban đầu Bài 6: Một hàm f: N > N cho số tự nhiên n giá trị f(n) là số tự nhiên, theo công thức f(f(n)) = f(n) + n 6.1 Hãy tìm hai hàm số f: R -> R cho f(f(x)) = f(x) + x với x 6.2 Chứng minh không có các hàm số khác thỏa mãn Đề 20: (Tạp chí Toán học tuổi thơ tháng 02 năm 2005) A 3  847  6 27 847 27 Baøi 1: Cho 1.1 Tính treân maùy giaù trò cuûa A 1.2 Tính chính xaùc giaù trò cuûa A Bài 2: Một người mua nhà trị giá hai trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Mỗi tháng trả ba triệu đồng 2.1 Sau bao laâu traû heát soá tieàn treân 2.2 Nếu phải chịu lãi suất số tiền chưa trả là 0,04% tháng và tháng kể từ tháng thứ hai trả ba triệu thi sau bao lâu trả hết số tiền trên Bài 3: Điểm kiểm tra môn toán lớp 9A và 9B thống kê sau (n là điểm số, bảng là số học sinh đạt điểm n): n 10 9A 7 4 9B 1 15 10 1 3.1 Tính điểm trung bình môn học hai lớp Tính phương sai và độ lệch tiêu chuẩn? 3.2 Goïi 3, laø ñieåm yeáu; 5, laø ñieåm trung bình; 7, laø ñieåm khaù vaø 9, 10 laø ñieåm gioûi Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm yếu, trung bình, khá, giỏi hai lớp Kết luận? Baøi 4: 1    1 n9 4.1 Tìm chín soá leû döông khaùc n1 ,n , ,n thoûa maõn n1 n Baøi 5: 4.2 Toàn taïi hay khoâng saùu, baûy, taùm soá leû döông coù tính chaát treân? 5.1 Chứng minh phương trình Pell x – 2y2 = có nghiệm nguyên dạng: x n = 3xn-1 + 4yn-1; yn = 2xn-1 + 3yn-1 với n = 1, 2, … và x0 = 3; y0 = 5.2 Lập qui trình tính (xn; yn) và tính với n = 1, 2, … tràn màn hình Bài 6: Cho ngũ giác có cạnh độ dài là a Kéo dài các cạnh ngũ giác để ngôi năm cánh có mười cạnh có độ dài là b Các đỉnh ngôi lại tạo thành đa giác Tiếp tục quá trình này dãt ngũ giác và ngôi lồng Xét dãy: S  a1 , b1 ,a2 , b2 ,   c1 , c2 ,c3 ,  6.1 Chứng minh phần tử dãy S là tổng hai phần tử đứng trước nó 6.2 Chứng minh cn u n  a1  un  1b1 với u là số hạng dãy Phibonacci, tức là dãy n F  1,1,2,3,5, , u n 1 un  un   6.3 Biết a1 = Lập quy trình trên máy Casio tính an và bn Tính an và bn traøn maøn hình Đề 21: (Tạp chí Toán học tuổi thơ tháng 03 năm 2005) Baøi 1: Cho hai soá a = 3022005 vaø b = 7503021930 1.1 Tìm UCLN vaø BCNN cuûa hai soá a, b 1.2 Laäp moät qui trình baám phím lieân tuïc tính UCLN(a,b) 1.3 Tìm soá dö chia BCNN(a,b) cho 75 Baøi 2: Cho x1000 + y1000 = 6,912 vaø x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000 Bài 3: Tính và viết kết qủa dạng phân số: 3.2 B 5  1 3.1 A 1  1 2 4 3 3 4 8 5 2 3 Baøi 4: Tìm x, y nguyeân döông thoûa maõn phöông trình: y  18  x   18  x  b  Bài 5: Cho dãy số n xác định sau: bn+2 = 4bn+1 – bn; b1 = 4, b2 = 14 5.1 Chứng minh diện tích tam giác với các cạnh là bk-1, bk, bk+1 là số nguyên 5.2 Chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tính theo công thức k k  rk  2  2    Baøi 6: 6.1 Bao nhiêu số có tám chữ số tạo thành từ các chữ số và mà hai chữ số không đứng caïnh 6.2 Bao nhiêu số có chín chữ số tạo thành từ các chữ số và mà hai chữ số không đứng caïnh 6.3 Bao nhiêu số có mười chữ số tạo thành từ các chữ số và mà hai chữ số không đứng cạnh     Đề 22: (Sở GD –ĐT Hà Nội - 1996) 3 2,3144 3, 785 Bài 1: Tìm x với x = Baøi : Giaûi phöông trình : 1,23785x2 +4,35816x – 6,98753 = 22g25ph18gix2,  7g47ph35gi 9g28ph16gi Baøi : Tính A bieát : A = Baøi : Bài 4.1 Tìm góc C ( độ và phút ) tam giác ABC biết a = 9,357m; b = 6,712m; c = 4,671m Bài 4.2 Tìm độ dài trung tuyến AM tam giác ABC Bài 4.2 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 3 Bài Đơn giản biểu thức sau :    Bài : Số tiền 58000đ gửi tiết kiệm theo lãi kép ( Sau tháng tiền lãi nhập thành vốn) Sau 25 tháng thì vốn lẫn lãi là 84155đ Tính lãi suất / tháng (tiền lãi 100đ thaùng) Baøi : Cho soá lieäu : 576 637 14 11 2 Tính toång soá lieäu, soá trung bình vaø phöông sai n ( n laáy soá leû)   ' ' Baøi : Cho tam giaùc ABC coù B 49 72 ; C 73 52 Caïnh BC = 18,53 cm Tính dieän tích Bài : Tìm nghiệm gần đúng ( lấy hai số lẻ thập phân) phương trính : x2 + sinx – = Bài 10 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x2 + 5x – = Bài 11 : Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp ngôi cánh nội tiếp đường tròn bán kính R = 5,712 Baøi 12 : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhoïn) Tính sin (A + B – C) Bài 13 : Tìm n để n!  5,5 1023  (n + 1!) Biến lượng Taàn soá 135 642 12 498 23 Đề 23: (Vòng chung kết Sở GD – ĐT Hà Nội - 1996) 3x5  2x 3x  x 1 Baøi 1: Tính A = Baøi : 4x  x 3x 5 x = 1,8165 Bài 2.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính đường cao AH bà bán kính r đường tròn nội tiếp Bài 2.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC 8cos3 x  2sin x cos x Baøi : Cho tgx = 2,324 ( 00 < x < 900) Tính A = cos x sin x sin x  ' '  ' ' Bài : Cho tam giác ABC có chu vi là 58cm, B5718 ; C 82 35 Tính độ dài các cạnh AB, BC, AC Baøi : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x vaø cos7x Bài : Tính ( độ và phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp đường tròn và có các cạnh là : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68 Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ông đắp 5m/người, nhóm đàn bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ) Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x2 - x - = Bài 10 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x6 - 15x – 25 =     v1  v       v  v  v v v1 v2 v v 2 Baøi 11 : Hai vectô vaø coù = 12,5 ; = vaø Tính goùc( , ) độ và phút Bài 12 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x9 + x –10 = Bài 13 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x3 – cosx =  Bài 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x – cotgx = ( < x < ) Đề 24: (Sở GD – ĐT Thanh Hóa - 2000) Baøi : Bài 1.1 : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 3,74, AC = 4,51 Tính đường cao AH Bài 1.2 : Tính góc B tam giác ABC độ và phút Bài 1.3 : Kẻ đường phân giác góc A tam giác ABC cắt BC I Tính AI Baøi : Cho haøm soá y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – Tính y x = 1,35627 Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tình tọa độ (xo ; yo) đỉnh S cuûa Parabol 3h47ph55gi  5h11ph45gi 6h52ph17gi Baøi : Tính B = 3x  2x  3x  x  4x  x  3x  Baøi : Tính A = Khi x = 1,8156 o Baøi : Cho sinx = 0,32167 (0 < x < 90 ) Tính A = cos2x – 2sinx- sin3x 8cos3 x  2sin x  cos x Baøi 7: Cho tgx = 2,324 Tính A = cos x  sin x  sin x cos x  5s in 2x  3tg x 5tg 2x  c otgx Baøi 8: Cho sinx = Tính A = Bài 9: Tính a để x4 + 7x3 + 13x + a chia hết cho x6 Baøi 10 : Giaûi phöông trình : 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = Bài 13 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x - x = Baøi 14 : Giaûi heä phöông trình : x2 + y2 = 19,32x, y > Bài 15 : Dân số nước là 65 triệu Mức tăng dân số năm là 1,2% Tính dân số nước sau 15 naêm Đề 25: (Sở GD – ĐT Thanh Hóa - 2000) Baøi : Baøi 1.1 : Cho tam giaùc ABC ( 900 < x < 1800) vaø sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Tính BC Bài 1.2 : Tính độ dài trung tuyến AM tam giác ABC Bài 1.3 : Tính góc B tam giác ABC độ và phút Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tìm tọa độ (xo; yo) đỉnh S cuûa Parabol 1,815.2, 7323 4, 621 Baøi : Tính A = cos3 x  sin x  2 Baøi 4: Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900) Tính A = cos x  sin x cos x  5s in 2x  3tg x Baøi 5: Cho sinx = Tính A = 5tg 2x  c otgx 5log x  2(log x)  3log 2x 12(log 2x)  log 2x Baøi 6: Cho x = Tính A = Bài : Tính A để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + Bài : Dân số nước là 65 triệu Mức tăng dân số năm là 1,2% Tính dân số nước sau 15 naêm x  y 0, 681   x  y 19,32 Baøi 9: Giaûi heä phöông trình :  Baøi 10 : Tìm nghieäm cuûa phöông trình :x - x  13 Bài 11 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : 8x3 + 32x – 17 =  Bài 12 : Cho < x < Tìm nghiệm gần đúng phương trình cosx – tgx = Đề 26: (Sở GD - ĐT Đồng Nai - 1998) Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x – 1,542x – 3,141 = Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 1,372x – 4,915y = 3,123 8,368x + 5,214y = 7,318 x  6, 723x  1,875x  6, 458x  4,319 x  2,318 Baøi : Tìm soá dö pheùp chia : Bài : Một ngôi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp là 9,651 Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp qua đỉnh ) Baøi : Cho  laø goùc nhoïn coù sin  = 0,813 Tìm cos  Bài 6: Tìm thời gian để động tử di chuyển hết đoạn đường ABC dài 127,3 Km biết AB = 75,5km và di chuyển với vận tốc 26,3km/giờ và đoạn BC di chuyển vận tốc 19,8km/giờ x2 - y2 = 1,654 Baøi : Cho x, y laøhai soá döông, giaûi heä phöông trình Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân giác BI ( I naèm treân AC) TÍnh IC 123 581 521 2 4 23 Bài : Tính (Kết ghi phân số vàsố thập phân) : A = 52 Baøi 10 : Cho soá lieäu : Soá lieäu Taàn soá 173 52 81 37  ( 2 ) Tìm soá trung bình X , phöông sai x n ( Keát quaû laáy soá leû) 3 816,137 17 Caâu 11 : Tính B = 712,35 Câu 12 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x3 + 5x – = 6g 47 ph 29gi  2g 58ph 38gi 1g 31ph 42gi.3 Caâu 13: Tính C = Câu 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x + x  0 Câu 15 : Cho hình thang cân có hai đường cheo vuông góc với Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn Đề 27 (Vòng chung kết Sở GD – ĐT Đồng Nai - 1998) Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 2,354x - 1,542x - 3,141 = 1,372x  4,915y 3,123  Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) : 8,368x  5, 214y 7,318 x3  6,723x3 1,875x  6,458x 4,319 x 2,318 Baøi : Tìm soá dö pheùp chia : Bài : Một ngôi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp là 9,651 Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp qua đỉnh ) Baøi : Cho  laø goùc nhoïn coù sin  = 0,813 Tìm cos  Bài : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 8,32 ; b = 7,61; c = 6,95 (cm) Tính góc A độ, phuùt, giaây: Baøi : Cho x, y laøhai soá döông, giaûi heä phöông trình Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15, BC = 26(cm) Kẻ đường phân giác BI ( I naèm treân AC) Tính IC Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x9 + x – = Baøi 10 Cho soá lieäu : Soá lieäu Taàn soá 173 52 81 2 Tìm soá trung bình X , phöông sai  x (n ) ( Keát quaû laáy soá leû) 37 3 816,137 17 Caâu 11 : Tính B = 712,35 Câu 12 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x3 + 5x – = Câu 13 : Cho tam giác ABC có ba cạnh a = 15,637 ; b = 13,154; c = 12,981 (cm) Ba đường phân giaùc caét ba caïnh taïi A1, A2, A3 Tính dieän tích cuûa tam giaùc A1A2A3 Câu 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x +  0 Câu 15 : Cho hình thang cân cóa hai đường cheo vuông góc với Đáy nhỏ dài 15,34, cạnh bên dài 20,35cm Tìm độ dài đáy lớn Đề 28 (Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh - 1998) x11  x  x  x  x  723 x  1, 624 Baøi : Tìm soá dö pheùp chia : (Keát quaû laáy soá leû ) : Baøi : Giaûi Phöông trình (ghi keát quaû soá leû): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0518 = Baøi : Bài 3.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,357; b= 11,698; c = 9,543 (cm) Tính độ dài đường trung tuyến AM Baøi 3.2 : Tính sinC Baøi : Cho cosx = 0,8157 Tính sin3x (00 < x < 900) Baøi : Cho 00 < x < 900 vaøsinx = 0,6132 Tính tgx Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : 3x - x  0 Bài : Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1,678, công bội q = Tính tổng Sn 17 số hạng đầu tiên (kết qủa lấy số lẻ) Baøi : Qua kyø thi, 2105 hoïc sinh xeáp theo ñieåm soá nhö sau Haõy tính tyû leä phaàn traêm (laáy moät số lẻ) học sinh theo loại điểm Phải ấn ít lần phím chia để điền xong bảng này với máy tính Casio có K Ñieåm 10 Soá h/s 27 48 71 293 308 482 326 284 179 52 35 Tæ leä Bài : Cho hình thang cân có hai đường cheo vuông góc với Đáy nhỏ dài 13,72 Cạnh beân daøi 21,867cm Tính dieân tích S (S laáy soá leû) x2 - y2 = 1,654 Baøi 10 : Cho x,y laø hai soá döông, giaûi heä phöông trình : Bài 11 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là 3,9017 và 1,8225 (cm) Tìm khoảng cách hai tâm hai đường tròn này Bài 12 : Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7,615; b = 5,837; c = 6,329 (cm) Tính đường cao AH Đề 29 (Vòng chung kết Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh - 1998) Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ số lẻ thập phân) 2,3541x  7,3249x  4, 2157 0 3, 6518x  5,8426y 4, 6821  Bài 2: Giải hệ phương trình (ghi kết qủa đủ số lẻ thập phân): 1, 4926x  6,3571y  2,9843 Bài 3: Giải phương trình (tìm nghiệmgần đúng) : x3 + 2x2 – 9x + = Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , biết trung đoạn d = 3,415(cm) Góc hai cạnh bên và đáy 42017’ Tính thể tích Baøi : Bài 5.1 : Cho tam giác ABC có cạnh a = 12,758; b = 11,932; c = 9,657(cm) Tính độ dài đường phaân giaùc AD Bài 5.2 : Vẽ các đường phân giác CE, CF Tính diện tích S1 tam giác DEF Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x3 – 2xsin(3x-1) + = Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R với cạnh a = 3,657; b= 4,155; c = 5,651; d = 2,765(cm) Tính R Bài : Tìm nghiệm âm gần đúng phương trình :x10 – 5x3 + 2x – = Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : Bài 10 : Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 7,268 (cm) các góc B = 48030’; C = 63042’ Tính dieän tích tam gaùc ABC   Bài 11 : Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh là 18, 34, 56, 27 (cm) và B  D = 2100 Tính diện tích tứ giác Đề 30 (Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996) (1,345) (3,143) 2.3 (189,3)5 Baøi : Tính x = Baøi : Giaûi phöông trình : 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 3x  2x  3x  x  4x  x  3x  Baøi : Tính A = Khi x = 1,8156 Baøi : Cho soá lieäu : Biến lượng Taàn soá 135 642 12 498 23 576 637 14 11  2 Tính toång soá lieäu, soá trung bình vaø phöông sai n ( n laáy soá leû) Bài : Hai lực F1 = 12,5N và F2 = 8N có hợp lực trung bình cộng chúng Tìm góc hợp hai lực (Tính độ phút) Bài 6: Một viên đạn bắn từ nòng súng theo góc 40 017’ phương nằm ngang với vận tốc 41,7m/s Cho g = 9,81m/s2, hãy tính khoảng cách từ nơi bắn đến chỗ đạn rơi Bài : Tính độ cao viên đạn đạt câu Bài : Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 ( ba góc nhọn) Tính sin(A+ B-C) Bài : Tìm n để n!  5,5.1028  (n+1)! Bài 10 : Một số tiền là 580000đ gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau tháng tiền lãi cộng thành vốn) sau 25 tháng thì vốn lẫn lãi là 84155đ Tính lãi suất /tháng (tiền lãi 100ñ moät thaùng) Baøi 11 : Bài 11.1 : Cho tam giác ABC có a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tính đường cao AH và bán kính r đường tròn nội tiếp Bài 11.2 : Tính đường phân giác AD tam giác ABC Bài 12 : Tìm nghiệmgần đúng phương trình : x2 + sinx – = Bài 13 : Tìm nghiệmgần đúng phương trình : 2x3 + 2cosx + = Bài 14 : Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp ngôi cánh nội tiếp đường tròn bán kính R = 5,712   ' B  49 72 C 73052' Caïnh BC = 18,53 cm Tính dieän tích Baøi 15 : Cho tam giaùc ABC coù ; Bài 16 : Một viên đạn buộc chặt vào sợi dây dài 0,87m Một người cầm đầu dây dây phải quay bao nhiêu vòng phút sợi dây vẽ nên hình nón có đường sinh tạo với phương thẳng đứng góc là 52017’ Biết g = 9,81m/s2 Đề 31 (Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996 Vòng chung kết) Bài : Giải phương trình tìm nghiệm gần đúng : x3 – 7x + =  '  ' Bài : Cho tam giác ABC có chu vi là 58cm, B 57 18 ; C 82 35 Tính độ dài các cạnh AB, BC, AC Bài : Một hình vuông chia thành 16 ô (mỗi cạnh ô) Ô thứ đặt hạt thóc, ô thứ hai đặt hạt , ô thứ ba đặt hạt, và đặt liên tiếp đến ô cuối cùng(Ô gấp đôi ô trước) Tính tổng hạt thóc đặt vào 16 ô hình vuông Bài : Một vật trượt có ma sát trên mặt phẳng nghiêng góc 43025’ so với mặt nằm ngang với gia toác 3,248m/s2 cho g= 9,81m/s2 Tính heä soá ma saùt Bài : Có 100 người đắp 60m đê chống lũ, nhóm đàn ông đắp 5m/người, nhóm đàn bà đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người Tính số người nhóm Baøi : Cho cosx = 0,81735(0 < x < 90) Tính : sin3x vaø cos7x   x 0 Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x2 – tgx – = ( lấy số lẻ)( ) Bài : Tính gia tốc rơi tự độ cao 25km biết bán kính trái đất R = 64000km và gia tốc g = 9,81m/s2 Bài : Cho –1 < x < Tìm nghiệm gần đúng phương trình : cosx + tg3x = Bài 10 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : 2cos3x – 4x – = 8cos3 x  2sin x  cos x Baøi 11 : Cho tgx = 2,324 Tính A = cos x  sin x  sin x 3 Baøi 12 : Tìm moät nghieäm cuûa phöông trình : x  34  x  1 Bài 13 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x6 - 15x – 25 = Bài 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x2 - x2 +7x + = Bài 12 : Tính ( độ và phút) góc hợp hai đường cheo tứ giác lồi nội tiếp đường tròn và có các cạnh là : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68 Bài 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x2 - x - = Đề 32 (Thành đoàn niên kết hợp với Sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh 24.11.1996 Vòng chung kết) Baøi : Tính theå tích V cuûa hình caàu baùn kính R = 3,173 Baøi : Bài 2.1 : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 3,74, AC = 4,51 Tính đường cao AH Bài 2.2 : Tính góc B tam giác ABC độ và phút Bài 2.3 : Kẻ đường phân giác góc A tam giác ABC cắt BC I Tính AI Baøi : Cho soá lieäu : Soá lieäu 15 17 63 Taàn soá 14 2 Tìm soá trung bình X , phöông sai  x (n ) Baøi : Cho haøm soá y = x4 + 5x3 – 3x2 + x – Tính y x = 1,35627 Bài : Cho Parabol (P) có phương trình : y = 4,7x2 – 3,4x – 4,6 Tình tọa độ (xo ; yo) đỉnh S cuûa Parabol Bài : Tìm giao điểm Parabol (P) với trục hoành Baøi : Tính baùn kính hình caàu coù theå tích V= 137,45dm3 Baøi : Cho sinx = 0,32167 (0o < x < 900 ) Tính A = cos2x – 2sinx- sin3x 3h47ph55gi  5h11ph45gi 6h52ph17gi Baøi : Tính B = Câu 10 : Tính diện tích hình tròn nội tiếp tam giác có cạnh dài a= 12,46 Bài 11 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình : x - x = Đề 33 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng tỉnh, THCS) Bài : Giải phương trình (ghi kết đủ chữ số thập phân) 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = Bài : Giải hệ phương trình (ghi kết đủ chữ số thập phân) ¿ ,372 x − , 915 y=3 ,123 , 368 x+ ,214 y=7 , 318 ¿{ ¿ x −6 , 723 x3 +1 , 857 x −6 , 458 x + , 319 Baøi : Tìm soá dö pheùp chia : x +2 , 318 Bài : Một ngôi cánh có khoảng cách hai điểm không liên tiếp là 9,651cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (qua đỉnh) Bài : Cho  là góc nhọn với sin  = 0,813 Tính cos 5 Bài : Tìm thời gian để vật di chuyển hết đoạn đường ABC dài 127,3km, biết đoạn AB = 75,5km vật đó di chuyển với vận tốc 26,3km/h và đoạn BC vật đó di chuyển với vận tốc 19,8km/h ¿ x =2 , 317 y Baøi : Cho x, y laø hai soá döông, giaûi heä phöông trình (I) x − y =1, 654 ¿{ ¿ Bài : Cho tam giác ABC vuông A với AB = 15cm, BC = 26cm Kẻ đường phân giác BD (D naèm treân AC) Tính DC Baøi : Tính (Keát quaû ghi baèng phaân soá vaø soá thaäp phaân) A = + - Baøi 10 : Cho soá lieäu : Soá lieäu 173 52 81 37 Taàn soá 2 Tìm số trung bình X , phương sai X , (n )(kết lấy chữ số thập phân) π √ 813 ,13 Baøi 11 : Tính B = √5 712 , 3517 Bài 12 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x3 + 5x – = Baøi 13 : Tính C = Bài 14 : Tìm nghiệm gần đúng phương trình x + - = Bài 15 : Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài 15,34cm, cạnh bên dài 20,35cm Tính độ dài đáy lớn Đề 34 (Sở GD&ĐT Khánh Hòa 2000 – 2001 , vòng 1, lớp Thời gian 60 phút) =2 − ( , 713 ) Bài : Cho biểu thức √ x +0 , 162 a)Viết quy trình bấm phím để tính giá trị dương x b)Tìm giaù trò döông cuûa x Baøi : Chia 143946 cho 23147 a)Viết quy trình bấm phím để tìm số dư phép chia đó b)Tìm số dư r phép chia đó Baøi : Cho 0,5x2 - x - = (1) a)Tìm nghieäm soá cuûa phöông trình (1) b)Viết quy trình tính biệt số  phương trình (1) và tính hai nghiệm theo công thức −b±√Δ x1,2 = 2a π ( √2 , 2132 ( ,753 + √ ,14 ) ) Baøi : Tính T = ,23 − , 512 Baøi : Cho haøm soá y = 0,25x2 (2) a)Vieát quy trình baám phím tính y b)Điền đầy đủ bảng sau : x -3 -2 y c)Cho y = 1,33, haõy tính x -1,5 -0,5 d)Điểm nào sau đây nằm trên đồ thị phương trình (2) :A (−1,5 ; 169 ) 0,5 ,B (0,1 ; 401 ) ? Bài : Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng có phương trình sau : 3,14x + 2,5y = 5,6 vaø 0,1x + 1,23y = 2,78 53 1 x3 − x + −√ Baøi : Tính giaù trò cuûa H = Khi x = 9− √ √ x − 1− √ x √ x −1+ √ x √ x − Bài : Các tia nắng mặt trời làm với mặt đất góc  Nếu  = 38 42’’, thì bóng cột cờ đo 7,2m Tính chiều cao cột cờ Xác định góc bóng cột cờ đó còn tấc (40cm) Baøi : Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 a)Tính P(2 √ ) b)Tính a để P(x) + a2 chia hết cho (x + 3) Bài 10 : Xác định m và n để hai đường thẳng mx – (n + 1)y – = và nx + 2my + = cắt điểm cho trước P(-1; 3) a)Tìm giá trị đúng m và n b)Tìm giá trị gần đúng m và n Đề 35 (Sở GD&ĐT Khánh Hòa, 2000 – 2001 , vòng 2, lớp Thời gian 60 phút) x − xy − y + y 2 Baøi : Tính A = x = , y = 0,19 y −3 y +3 y −1 Bài : Để làm xong công việc, người thứ làm mình hết 4,5 giờ, người thứ hai làm mìønh 15 phút Hỏi hai người làm chung thì để làm xong công việc đó √ ¿ 1,3 2,4 + =1 x −2 y −1 3,1 4,5 Baøi : Giaûi heä phöông trình : + =1 x −2 y −1 ¿{ ¿ Bài : Một hình thoi có cạnh 24,13cm, khoảng cách hai cạnh là 12,25cm a)Tính các góc hình thoi (độ, phút, giây) b)Tính diện tích hình tròn (O) nội tiếp hình thoi chính xác đến chữ số thập phân thứ ba c)Tính diện tích tam giác ngoại tiếp đường tròn (O) Bài : 1)Viết quy trình bấm phím để tính giá trị biểu thức : B = cos 2(75021’18’’) + sin2(75021’18’’) 2)Tính chính xác đến chữ số thập phân giá trị biểu thức C = Bài : 1)Quy trình bấm phím sau đây dùng để tính giá trị biểu thức nào ? 1.32 Shift xy = - MR x 3.256 + 7.321 =  MR – 1,617 = 2)Quy trình cho keát quaû laø bao nhieâu ? Bài : Cho tam giác ABC có đường cao AH = 21,431cm;các đoạn thẳng HB = 7,384cm , HC = 9,318cm a)Tính caïnh AB, AC b)Tính dieän tích tam giaùc ABC c)Tính góc A (độ phút) Baøi : a)Xaùc dònh m phöông trình 3,62x – 1,74x2 – 16,5x + m = neáu bieát moät nghieäm cuûa phöông trình laø b)Tìm các nghiệm còn lại phương trình đó 3 √3 + √ −a : Baøi : Tính D = với a = √ 1+ a 2+ √ √ 1− a Bài 10 : Hai tam giác ABC và DEF đồng dạng Biết tỉ số diện tích tam giác ABC và DEF là 1,0023 ; AB = 4,79 Tính DE (chính xác đến chữ số thập phân thứ tư) ( )( ) Đề 36 (Thi khu vực, Bộ GD&ĐT, 2006 , THCS) Bài : Tính giá trị các biểu thức : √ 12 , 35 tan2 300 25' sin 230 30 ' a) A = , 06 cot 150 45 ' cos 35 20 ' x+ y x − y x − 25 y + 2 b) B = với x = 1,257 , y = 4,523 x2 −5 xy x +5 xy x +y x 2+ xy+ y + + × c) C = với x = 3,06 , y = 4,15 ( x − y )2 x − y ( x + y )2 16 x ( [ ) ] Baøi : Tìm soá dö moãi pheùp chia sau : a) 103103103 : 2006 b) 30419753041975 : 151975 c) 103200610320061032006 : 2010 Bài : Tìm các chữ số a, b, c, d, e, f phép tính sau, biết hai chữ số a, b kém ñôn vò : a) ab5 cdef = 2712960 b) a0b cdef = 600400 c) ab5c bac = 761436 Bài : Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm các hệ số a, b, c đa thức P(x), biết x nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trịtương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 2x + c) Tìm giaù trò cuûa x P(x) coù giaù trò laø 1989 Bài : Tìm tất các cặp số nguyên dương (m, n) có ba chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau : a) Hai chữ số m là hai chữ số n vị trí tương ứng, chữ số còn lại m nhỏ chữ số tương ứng n đúng đơn vị b) Cả hai số m, n là số chính phương n n ( 10+ √3 ) − ( 10 − √ ) Baøi : Cho daõy soá : Un = , n = 1, 2, 3, 2√3 a) Tính caùc giaù trò U1 , U2 , U3, U4 b) Xác lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un c) Laäp quy trình baám phím lieân tuïc tính Un+2 theo Un+1 vaø Un roài tính U5, U6, , U16 Bài : Cho tam giác ABC vuông A có BC = 2AB = 2a với a = 12,75cm Ở phía ngoài tam giác ABC, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác ABF và tam giác ACG a) Tính caùc goùc B, C caïnh AC vaø dieän tích tam giaùc ABC b) Tính diện tích các tam giác ABF , ACG và diện tích hình vuông BCDE c) Tính dieän tích caùc tam giaùc AØG vaø BEF Bài : Tìm các số tự nhiên n (1000 < n < 2000) cho với số đó thì an = là số tự nhiên Bài : Hai đường thẳng y = x + (1) và y = – x + (2) cắt điểm A Một đường thẳng qua điểm H(5; 0) và song song với trục tung Oy cắt các đường thẳng (1) và (2) theo thứ tự taïi caùc ñieåm B vaø C a) Vẽ các đường thẳng (1) , (2) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C (viết dạng phân số) c) Tính diện tích tam giác ABC (viết dạng phân số) theo đoạn thẳng đơn vị trên trục tọa độ là 1cm d) Tính số đo góc tam gáic ABC theo đơn vị độ (chính xác đến phút) Bài 10 : Đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 11; 14; 19; 26; 35 biến x , theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng là 1, 2, 3, 4, a) Hãy tính giá trị đa thức P(x) x nhận các giá trị 11, 12, 13, 14, 15, 16 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 10x – Đề 37 (Sở GD & ĐT Cần Thơ, thi lớp &7 , 2001 – 2002 Thời gian 150 phút) 11 13 15 + + + + + + + 16 32 64 128 256 Baøi : So saùnh caùc phaân soá sau ; ; ; Baøi : Tính B = – + Bài : Tính và làm tròn đến chữ số thập phân : 3: 0,4 −0 , 09 : ( , 15 :2,5 ) ( 2,1 −1 , 965 ) : ( 1,2× , 045 ) + C= , 00325 :0 , 013 ,32 ×6+ , 03− ( 5,3− , 88 ) +0 , 67 Baøi : Tính A = Bài : Tính và làm tròn đến chữ số thập phân thứ năm : 13 7 1 ×1,4 −2,5 × :2 + ×0,1 : 70 ,5 −528 :7 D= 84 180 18 2 [( ) ]( ) Bài : Tìm x và làm tròn đến chữ số thập phân 1 1 + + + .+ + ×140+1 , 08 : [ 0,3 × ( x − ) ] =11 21 ×22 22 ×23 23× 24 28× 29 29 ×30 Bài : Một ao cá có 4800 cá gồm ba loại : trắm, mè, chép Số cá mè : số cá trắm, số cá chép : số cá mè Tính số lượng loại cá ao Bài : Tìm các ước chung số sau : 222222 ; 506506 ; 714714 ; 999999 Bài : Số 19549 là số nguyên tố hay hợpï số ? Baøi 10 : Chia 6032002 cho 1905 coù soá dö laø r1 Chia r1 cho 209 coù soá dö laø r2 Tính r2 ? Bài 11 : Có bao nhiêu số gồm chữ số viết các số 1, 2, và chia hết cho Bài 12 : Tính diện tích hình thangcó tổng và hiệu hai đáy là 10,096 và 5,162 ; chiều cao hình thang tích hai đáy 1 1+ 1+ Baøi 13 : Tính A= + 1+ 1+ 1+ 1+1 Bài 14 : Tính tổng diện tích các hình nằm hình thang và hình tròn (phần màu trắng, hình 1) Biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diên tích hình thang 20m Bài 15 : Tính diện tích hình (màu trắng, hình 2)giới hạn hình tròn có bán kính là 12cm ( ) Hình Hình Đề 38 (Sở GD & ĐT Thanh Hóa, THCS, 2005) Baøi : a) Tính giá trị biểu thức : A = b) Cho biểu thức B = [( ( x √ 6x +√ 23x + √6 x) : √ x , với x = 1,4567831 1 1 √ x + y √ x + x √ y +√ y + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x y +√ xy3 ) ] Tính giá trị B với x = 1,56 , y = 4,39 Bài : Tìm nghiệm gần đúng phương trình 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = Bài : Cho tam giác ABC vuông A và AB = 6,84cm ; Ac = 8,67 cm Kẻ đường cao AH a) Tính độ dài các đoạn BH ; CH b) Tính tæ leä dieän tích cuûa tam giaùc AHC vaø tam giaùc AHB Bài : Dân số phường Ba Đình là 15 000 người Người ta dự đoán sau năm dân số là 15 545 người a) Hỏi trung bình năm dân số phường Ba Đình tăng bao nhiêu phần trăm ? b) Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm vậy, sau 10 năm dân số phườngBa Đình là bao nhiêu ? 1 + + + Baøi : a) Tính S = √ 1+1 √2 √ 3+3 √ 2005 √ 2004+2004 √2005 7+ 5+ 6+ b) Tính giaù trò lieân phaân soá : M = 8+ 13 9+ 22 Bài : Tính gần đúng độ dài đường chéo ngũ giác cạnh cm Bài : Cho đường tròn (O; 7cm) Một dây cung AB cạnh hình vuông nội tiếp, dây cung BC cạnh tam giác nội tiếp đường tròn (O), điểm C và điểm A cùng phía BO Tính độ dài gần đúng đường cao AH Baøi : Tam giaùc ABC coù goùc A = 700, AB = 6cm , AC = 8,4 cm Moät caùt tuyeán quay quanh troïng tâm G tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC M và N ĐỀ 39 (Thi khu vực, Bộ GD&ĐT 2004, lớp Đề chính thức) Bài : tính kết đúng các tích sau : a) M = 2222255555 x 2222266666 ; b) N = 20032003 x 20042004 Bài : Tìm giá trị x, y viết dạng phân số từ các phương trình sau : x x = y y + =1 1 1+ 4+ 1 2+ 1 a) + , b) 1+ 2+ 3+ 1 3+ 4+ 1 3+ 2+ Bài : a) Giải phương trình sau, tính x theo a, b (với a > 0, b > 0) √ a+b √ 1− x=1+ √ a −b √ − x c) Cho bieát a = 250204 , b = 260204 , tính giaù trò cuûa x ? d) Bài : Dân số xã Hậu Lạc là 10 000 người Người ta dự đoán sau hai năm dân số xã Hậu Lạc là 10 404 người a)Hoûi trung bình moãi naêm daân soá xaõ Haäu Laïc taêng bao nhieâu phaàn traêm? b)Hoûi sau 10 naêm daân soá xaõ Haäu Laïc laø bao nhieâu ? Bài : Cho hình vẽ, biết AD và BC cùng vuông góc với AB, AD = 10cm AED = BCE, AE = 15cm , BE = 12cm a)Tính số đo độ góc DEC ? b)Tính diện tích tứ giác ABCD và diện tích tam giác DEC ? c)Tính tỉ số phần trăm SDEC và SABCD C D E A B Bài : Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với tia BC góc DAB Biết raèng AB = a = 12,5cm , DC = b = 28,5cm a)Tính đọ dài x đường chéo BD b)Tính tỉ số phần trăm diện tích hai tam giác ABD và BDC (chính xác đến chữ số thập phân thứ hai) a A B x b D C Bài : Cho tam giác ABC vuông A có AB = a = 14,25cm , AC = b = 23,5cm AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác tam giác ABC a)Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD b)Tính dieän tích tam giaùc ADM A D B C M Bài : Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d và cho biết P(1) = -15 , P(2) = - 15 , P(3) = - a)Tìm các hệ số b, c , d đa thức b)Tìm soá dö r1 pheùp chia P(x) cho (x – ) c)Tìm soá dö r2 pheùp chia P(x) cho 2x + n Baøi : Cho daõy soá Un = ( 5+ √ ) − ( − √ ) n , với n = 0, 1, 2, 3, √7 a)Tính số hạng đầu dãy số U0, U1, U2, U3, U4 b)Chứng minh Un+2 = 10Un+1 – 18Un c)Laäp quy trình baám phím lieân tuïc tính Un+2 treân maùy tính Casio n n 3+ √ − √5 + −2 Baøi 10 : Cho daõy soá Un = , với n = 0, 1, 2, 3, 2 a)Tính số hạng đầu dãy số U0, U1, U2, U3, U4 b)Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1 c)Laäp quy trình baám phím lieân tuïc tính Un+1 treân maùy tính Casio ĐỀ 40 (Thi khu vực, Bộ GD và ĐT, THCS – 2005 – Đề chính thức ) Baøi 1(5 ñieåm) 3 + : − + 7 1.1 Tính giá trị biểu thức : a) A = 3 + + : − ( )( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) [( ) ( ) ] sin 350 cos 20 −15 tg 400 tg 250 b) B = 3 sin 42 :0,5 cot g3 200 1.2.Tìm nghieäm cuûa phöông trình : 1 = + x 4+ 2+ 3+ 1+ 4+ 5+ 1+ 6+ 7+ Baøi 2(5 ñieåm) 2.1 Cho boán soá A = [(23)2}3 , B = [(32)3]2 , C = 23 , D = 32 Hãy so sánh số A với số B , so sánh số C với số D 2.2 Nếu E = 0,3050505 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là (05) viết dạng phân số tối giản thì tổng tử và mẫu phân số đó là : ( ) 3 A/ 464 , B/ 446 , C/ 644 , D/ 646 , E/ 664 , F/ 466 Baøi 3(5 ñieåm) : 3.1 Chỉ với các chữ số , , hỏi có thể viết nhiều bao nhiêu số tự nhiên khác mà số có ba chữ số ? Hãy viết tất các số đó 3.2 Trong tất n số tự nhiên khác mà số có chữ số, viết từ các chữ số , , , , , , thì coù k soá chia heát cho vaø m soá chi heát cho Haõy tính caùc soá n , k , m Bài (5 điểm) : Cho biết đa thức P(x) = x + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – và x – Hãy tìm giá trị m , n tính tất các nghiệm đa thức Baøi (5 ñieåm) : Cho phöông trình x4 – 2x3 + 2x2 + 2x – = (1) 5.1 Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình (1) 5.2.Phöông trình (1) coù soá nghieäm nguyeân laø : A ; B ; C ; D (Trả lời cách khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng) Baøi 6(5 ñieåm) : Bieát dieän tích hình thang vuoâng ABCD laø S = 9,92cm 2, AB = a = 2,25cm , ABD =  = 500 Tính độ dài các cạnh AD , DC , BC và số đo các góc ABC và BCD Bài (6 điểm) Tam giác ABC vuông đỉnh C có độ dài cạnh huyền AB = a = 7,5cm ; góc A =  = 58025’ Từ đỉnh C vẽ đường phân giác CD vàđường trung tuyến CM tam giác Tính độ dài caùc caïnh AC , BC, dieän tích cuûa tam giaùc ABC vaø CDM Bài 8(4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có độ dài cạnh AB = c = 32,25cm ; AC = b = 35,75cm , số đo góc A =  = 63025’ Tính diện tích tam giác ABC, độ dài cạnh BC, số đo góc B , C n n ( 3+ √ ) − ( 3− √ ) Baøi 9(5 ñieåm) Cho daõy soá Un = , n = 1, 2, 3, √2 9.1.Tính số hạng đầu dãy : U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5 9.2 Chứng minh Un+2 = 6Un+1 - 7Un 9.3 Laäp quy trình baám maùy lieän tuïc tính Un+2 treân maùy tính Casio Bài 10(5 điểm) : Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 1322005 Biết x nhận các giá trị , , , thì giá trị tương ứng đa thức là , 11 , 14 , 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13 , 14, 15 /