Tính chu diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc.. Rồi tính ch[r]
(1)§¹i sè CHủ đề 1: I c¨n thøc: C¨n thøc – rót gän biÓu thøc KiÕn thøc c¬ b¶n: §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A Cã nghÜa ⇔ A ≥0 Hằng đẳng thức: √ A 2=|A| Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B ≥ 0) √ A B= √ A √ B A √A Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B §a thõa sè ngoµi c¨n: (B≥ 0) √ A B=| A|√ B §a thõa sè vµo c¨n: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A B ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A B A √A.B Khö c¨n thøc ë mÉu: = (B>0) B √B C( √ A ∓ √ B) C Trôc c¨n thøc ë mÉu: = A−B √ A ± √B √ Bµi tËp: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) √ −2 x+3 2) x −5 3) 4) x +3 x +6 5) √ x + 6) √ 1+ x −3 7) 8) −2 x x +5 √ √ √ √ Rút gọn biểu thức 1) √ 12+5 √ − √ 48 3) √ 32+ √ −5 √ 18 5) √ 12+ √ 75 − √ 27 7) √ 20 − √ 45+ √ 1 − 9) √5 −1 √ 5+1 2 11) − −3 √ 4+3 √ 13) √ 28− √ 14+ √¿ ¿ ¿ 15) √ − √ ¿ − √ 120 ¿ 1− √ 2¿ ¿ 17) √ 2+3 ¿ ¿ ¿ √¿ √ 5− ¿2 ¿ 19) √ 5− ¿ ¿ ¿ √¿ x −12 ¿2 ¿ 21) ¿ x+ √¿ √ 2) √ 5+ √20 −3 √ 45 4) √ 12 − √ 27+5 √ 48 6) √ 18 −7 √ 2+ √ 162 8) ( √ 2+ 2) √ 2− √ 1 + 10) √5 −2 √5+2 12) 2+ √ 1+ √ 14) √ 14 −3 √ 2¿ 2+ √28 √ 3− 2¿ ¿ 16) √ −3 √ ¿ +2 √ 6+ √24 ¿ ¿ 18) √ 3− 1¿ ¿ ¿ √¿ 20) ( √ 19− 3)( √19+ 3) 22) √ 7+ √ + √ − √ √ − √ √ 7+ √ (2) 23) 2 x − xy+ y ¿ ¿ ¿ x +2 y − √ ¿ Giải phương trình: 1) √ x −1= √5 3) √ 9(x − 1)=21 2) √ x −5=3 4) √ x − √ 50=0 5) √ x − √ 12=0 6) 7) √ x +4 x +1=6 8) 9) √ x 2=6 10) 11) √3 x+1=2 12) II c¸c bµi to¸n rót gän: x − 3¿ ¿ ¿ √¿ 2 x −1 ¿ ¿ ¿ √¿ 1− x ¿2 ¿ 4¿ √¿ √ 3− x=−2 A.c¸c bíc thùc hiªn: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn) Rót gän B.Bµi tËp luyÖn tËp: x 2x x x x x với ( x >0 và x ≠ 1) Bài Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 a 2 Bài Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + 4 a 2 a ( Với a ; a ) Bài 3: Cho bi x 1 x x x x1 x 1 ểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào x thì A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 ( Với x 0; x 1 ) (3) 1 x − + √ − x √ x − 2 √ x +2 a; T×m TX§ råi rót gän biÓu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x =3 c; Tìm giá trị x để | A|= Bµi 6: Cho biÓu thøc : P = √ x+1 + √ x + 2+5 √ x √ x − √ x+ − x a; T×m TX§ b; Rót gän P c; Tìm x để P = 1 a+1 √ a+2 Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q=( − ¿ :( √ − ) a − a a √ √ √ − √ a −1 a; T×m TX§ råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- √ a − √ a a+ √ a Bµi 8: Cho biÓu thøc: M = √ a − − 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ T×m §KX§ cña M b/ Rót gän M Tìm giá trị a để M = - Bµi 5: Cho biÓu thøc : B = ( )( ) -CHủ đề 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt I hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số x và x đợc gọi là biến số * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng II hµm sè bËc nhÊt: KiÕn thøc c¬ b¶n: §Þnh nghÜa: Hàm số bậc có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc là: a ≠ VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ −m≠ ⇔ ⇔m≠ TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn a> NghÞch biÕn a< VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ −m>0 ⇔0 ⇔ m< + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ −m<0 ⇔ ⇔ m> §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b b cắt trục hoành điểm có hoành độ − a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ: x -b/a y b Vẽ đờng thẳng qua hai điểm: -b/a ( trục hoành) và b ( trục tung) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Gi¶i (4) x y -0,5 Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , */ Để hai đờng thẳng cắt trên trục tung thì cân thêm điều kiện b=b' */ Để hai đờng thẳng vuông góc với thì : a a' =−1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Gi¶i: ¿ −m=2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ −m≠ ⇔m ≠1 c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung ⇔ −m=2 ⇔ m=−2 Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b là a + Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tg α =a Trờng hợp: a > thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn Trờng hợp: a < thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc tù ( 1800 −α ) Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox Gi¶i: Ta cã: Tg α =2=Tg 63 ⇒ α=630 Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox lµ: α =630 Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox (5) Ta cã: Tg (1800 − α )=2=Tg 630 ⇒(1800 − α )=630 ⇒α =117 Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox là: α =117 C¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Ph¬ng ph¸p: Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giả trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Tính chu diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng các cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định hay chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đờng thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua 1điểm cố định b) C/m r»ng d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Gi¶i: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi mäi m ; §iÒu nµy chØ x¶y : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iÓm B cña (d2) vµ (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = +1 =2 VËy B (1;2) Để đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = vµ m = -2 Vậy với m = m = - thì đờng thẳng trên đồng qui Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt (6) 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ¿ và y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = −1 x và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B TÝnh BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 - (7)