Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ năng giải đợc thành thạo loại toán này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho[r]
(1)A Đặt vấn đề Nhờ có quan tâm Đảng và Nhà nớc công tác giáo dục đào tạo (GD-ĐT), cùng với nỗ lực học sinh, thời gian qua chúng ta đã đạt đợc số thành tích đáng kể ngành GD-ĐT Tuy nhiên đánh giá cách tổng thể, khách quan, thì chất l ợng, hiệu GD-ĐT còn thấp, cha đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao xã hội Nhìn chung trình độ kiến thức học sinh, khả t khoa học, khả thực hành còn yếu kém, cha thích ứng đợc với thực tiễn xã hội, khả vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn hạn chế §Æc biÖt ch¬ng tr×nh To¸n ë c¸c bËc häc, c¸c cÊp häc ë phæ th«ng c¬ së, phæ th«ng Trung häc (PTTH), kÓ c¶ ë c¸c tr êng chuyªn nghiÖp th¬ng gÆp nhiÒu bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh vô tỷ Nh vấn đề cần đặt là làm nào để có thể giải đợc loại toán này? Để trả lời vấn đề này thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kü n¨ng gi¶i to¸n Song hiểu theo cách nói là lẽ, nhng để giải tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thờng thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết (điểm), có kết thì kết đạt đợc không cao ( kh«ng cã ®iÓm tèi ®a) Vậy vấn đề đặt là để học sinh có đợc kiến thức và kỹ giải đợc thành thạo loại toán này, đáp ứng đợc mục tiêu t tìm hiểu tốt học sinh đề tài này cung cấp cho các bạn đọc đặc biÖt lµ c¸c b¹n häc sinh mét c¸ch nh×n bao qu¸t vÒ d¹ng to¸n nµy, cung cÊp cho c¸c em b¹n mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n vÒ lo¹i to¸n nµy Tôi mong qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả t khoa häc, kh¶ n¨ng thùc hµnh, kü n¨ng gi¶i to¸n vÒ ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû B Tên đề tài nghiên cứu: “Giíi thiÖu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ” C Mục đích nghiên cứu - T×m hiÓu trªn c¬ së lý luËn vÒ viÖc chuÈn bÞ lùa chän ph ¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû - Trªn c¬ së t×m hiÓu lý luËn nh»m giíi thiÖu kh¸i qu¸t mét sè ph ¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh - Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế tõng bµi to¸n (2) - Giải triệt để yếu kém mà học sinh th ờng mắc phải gÆp c¸c lo¹i to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ D NhiÖm vô nghiªn cøu - T×m hiÓu vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû - Dự kiến đợc khó khăn học sinh giải các loại toán ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû E Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu c¬ së lý luËn vÒ kh¶ n¨ng t duy, kh¶ n¨ng thùc hµnh, kü n¨ng gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû - Tổng kết vận dụng sở lý luận để đa đợc số phơng pháp giải phù hợp đạt hiệu vào giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ Chơng I: Một số định lý phơng trình vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tû §Þnh lý 1: Phơng trình √ f ( x ) = g (x) tơng đơng với hệ ¿ g (x) ≥ f (x) ≥ [ g(x ) ] ¿{ ¿ §Þnh lý 2: BÊt ph¬ng tr×nh √ f (x ) > √ g (x) tơng đơng với hệ ¿ g ( x)≥ f ( x)≥ [ g( x ) ] ¿{ ¿ Ch¬ng II: Mét sè sai lÇm mµ häc sinh thêng gÆp gi¶i ph¬ng tr×nh vµ tØ Ta gäi ph¬ng tr×nh v« tØ lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh tÝnh chøa Èn dÊu c¨n cÇn t¸ch c¸c sai lÇm sau: VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x −1 − √ x −1=√ x −2 Lêi gi¶i chuyÓn vÕ: √ x −1=√ x − 1+ √ x −2 B×nh ph¬ng hai vÕ: x - = 5x - + 3x - + Rót gän: 2-7x = B×nh ph¬ng hai vÕ √ 15 x 13 x +2 √ 15 x − 13 x+2 (2) (3) (4) (3) - 28x + 49x = 4(15x2 - 13x + 2) Rót gän: (11x-2) (x-2) = x1 = (5) ; x2 = 11 II Ph©n tÝch sai lÇm a Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa √ x −1 , phải có x > 1, đó giá trị x = 11 không phải là nghiệm (1) Để khắc phục sai lầm này cần tập xác định nghiệm phơng trình (1) thử lại các giá trị tìm đợc x vào phơng trình ban đâu.f b Sai lầm thứ hai Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học tơng đơng (4), (5) không tơng đơng, phơng trình (4) tơng đơng với hệ thøc ThËt vËy ë c¨n thøc 2− x ≥ 15 x2 −13 x+ ¿ ¿ ¿{ (2 −7 x )=4 ¿ Do vËy ph¬ng tr×nh (50 lµ ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (4) nã tơng đơng với 94) với điều kiện 2-7x > Do đó x = không là nghiÖm cña (1) III Cách giải đúng Đặt điều kiện tồn (1) là x > Do đó x < 5x suy x - < 5x - Nh vËy vÕ tr¸i cña (10 lµ sè ©m, cßn vÕ ph¶i kh«ng ©m VËy ph ¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm §Þnh lý 3: Bất phơng trình √ f (x ) > g(x) tơng đơng với hệ: ¿ f ( x)≥0 g( x )<0 ¿ ¿ ¿ g ( x)≥ ¿ f (x) ≥ [ g(x ) ] ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ §Þnh lý 4: Bất phơng trình: √ f (x ) < g(x) tơng đơng với hệ (4) ¿ f (x )≥ g( x )≥ f (x)< [ g( x ) ] ¿{{ ¿ Ch¬ng III: Giíi thiÖu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ I Phơng án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu Một các nguyên tắc để giải phơng trình bất phơng trình chøa c¨n thøc lµ chóng ta ph¶i lµm mÊt dÊu c¨n, th«ng th êng chóng ta sö dụng các định lý trên để dấu phơng trình bất phơng trình, thờng nên áp dụng hai lần và đó đa phơng trình hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh v« tû vÒ d¹ng mµ ta cã thÓ gi¶i dÔ dµng h¬n VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh √ x −1 − √ x −2=√ x −1 Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là ¿ x −1 ≥ x −2 ≥ x −1 ≥ ¿{{ ¿ hay lµ x > (*) Với điều kiện (*) phơng trình cho tơng đơng với phơng trình √ x −1= √ x − 1+ √ x −2 Cả hai vế phơng trình không âm, nâng lên luỹ thừa hai hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng 5x - = 4x - + √( x − 1)(3 x −2) Hay lµ x + = √( x − 1)(3 x −2) Với x > thì hai vế phơng trình trên không âm, bình phơng vế ta đợc phơng trình tơng đơng: (x+2)2 = (x-1) (3x-2) Hay lµ: 11x2 - 24x + = Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm: x = vµ x2 = 11 Ta thÊy chØ cã x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1) √ 1+ x − √ 1− x< x Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: (5) ¿ 1+ x ≥0 1− x ≥ ⇔ ¿{ ¿ -1<x <1 Ta xÐt c¸c kh¶ n¨ng cã thÓ s¶y sau ®©y: Nếu - < x < 0: Khi đó (1) <=> - x < √ 1− x − √ 1+ x (2) Do - < - x + + x* - <=> - x2 > √ 1− x √ 1− x <=> - 4x2 = x4 > - 4x2 <=> x4 > luôn đúng Víi mäi x tho¶ m·n - < x < Vậy - < x < là nghiệm bất phơng trình đã cho Nếu < x < : Khi đó + x > - x => √ 1+ x − √ 1− x < (1) <=> + x + - x - <=> - x2 < √ 1− x < x2 √ 1− x <=> - 4x2 + x4 - 4x2 <=> x4 < => x = NghiÖm nµy bÞ lo¹i: VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: -1 < x < II Ph¬ng ph¸p 2: Ph¬ng ph¸p kho¶ng Néi dung cña ph¸p ph¸p nµy lµ ®a c¸c bÊt ch¬ng tr×nh c¨n thøc vÒ bất phơng trình tách, tìm nghiệm các thừa số xét dấu để tìm nghiệm VÝ dô 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3) √ x2 − < x2 - (1) Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là x2 - > => x > Hay lµ: x < - hoÆc x > Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) ( √ x2 − − x − = 0, khio đó ta có: =0 ⇔ √ x2 − = x +3 XÐt ph¬ng tr×nh: √ x2 − − x − ⇔ √ x2 − − x − ) < ¿ x+ 3≥ x − 4=x 2+6 x +9 ¿{ ¿ (2) (6) ¿ x ≥ −3 13 x=− ⇔ ¿{ ¿ x=− 13 XÐt dÊu cña vÕ tr¸i cña (20 ta cã: -2 - + 13 - VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: x < − 13 vµ x > VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x √ 10− x2 < x2 - (1) Gi¶i: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: 10 - x > => x2 < 10 => x = √ 10 Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x √ 10− x2 - x2 + < (2) XÐt ph¬ng tr×nh: x √ 10− x2 - - x2 + = < => x √ 10− x2 = x2 - ¿ x ( x2 −6) ≥ x 2(10− x2 )=x −12 x 2+36 ¿{ ¿ - √ < x < 0, x > √ { <=> x4 = 11x2 + 18 = - √ < x < 0, x > √ <=> x2 = - √ - √ < x < 0, x > √ <=> x = + 3; x = + √ x=3 <=> x = - √2 XÐt dÊu vÕ tr¸i cña (2) ta cã: (7) - + - VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: − √ 10 < x < - √ , < x < √ 10 III Phơng pháp 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ Mét sè bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa c¨n thức có thể giải đợc nhờ việc đa thêm vào các ẩn phụ để phá thức có thể đa các phơng trình bất phơng trình đại số Thông thờngcó thể đặt ẩn thức (hoặc tổng hay hiệu hai thức) nào đó Chúng ta thờng gặp dạng ẩn phụ sau: Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đa phơng trình hay bất phơng trình với mét Èn míi Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đa hệ hai phơng trình hai ẩn Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đa phơng trình với hai ẩn (phơng pháp sö dông ph¬ng tr×nh bËc hai) VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x = √ x + √ x −1+ √ x − x = (1) Gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x>0 <=> x > x-1> §Æt triÕt häc = x + √ x −1 x > nªn t > Khi đó ta có: t = x = x - + √ x(x −1) => x = t −1 √ x − x= 2 Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t + t +1 = => t2 + 2t - = => t = 1, t = -3 (lo¹i) VËy ta cã: t = => √ x + √ x −1 = => x + x - + => √ x2 − x=1 - x 1-x>0 <=> x2 - x = - 2x + x x<1 √ x2 − x=1 (8) <=> <= x = VËy ta cã x = x=1 VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −7 x+ 3− √ x −2= √3 x − x −1 − √ x −3 x +4 (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh cã nghÜa lµ: 3x2 - 7x + > x2 - > 3x2 - 5x - > x2 - 3x = > §Æt (*) √ x −7 x+ = b √ x2 −2 = b √ x −75 −1 = c √ x2 −3 x+ = d Điều kiện a, b, c, không âm, d dơng Khi đó ta có: 3x2 - 7x + = a2 x2 - = b2 => (a2 - c2) = (d2 - b2) 3x2 - 5x - = c2 x2 - 3x = = d2 Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=> a-b=c-d a-b=c-d 2 2 (a - c ) = ( d - b ) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = a,b,c > 0; d > a, b, c > 0; d > <=> b = d > <=> x = = x2 - 3x + <=> x = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy x = lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 7x + 7x = √ x+ 28 (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 4x + > => x > − §Æt: √ x+ 28 = t + (t > − ) => => 7t2 = 7t = x + đó 2 x +9 28 = t2 + t + (9) 7t2 = 7t = t + (2) (1) <=> LÊy (2) trõ ®i (3) ta cã 7t2 = 7t = t + (3 ) 7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = x − t=0 ¿ x+7 t +8=0 => ¿ ¿ ¿ ¿ xÐt hai kh¶ n¨ng x¶y a NÕu x - t = => t= x Thay vµo (2) ta cã: 7x2 + 7x = x + => 14x2 + 12x - = => x = − ±5 √ Do ®iÒu kiÖn x = t − nªn x = − 6+5 √ lµ 14 14 ghiÖm b NÕu 7x + 7t + = => t = − x − thay vµo (2) ta cã: 23 7x2 + 7x = − x − + => x = − ± 14 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn t √ −1 23 ta cã: x = − − √ 23 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = − − , x= − 6+5 √ √ 14 * NhËn xÐt: Muèn sö dông ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh ta thêng ®a vÒ hệ phơng trình đối xứng quy phơng trình tích Khi đặt ẩn phụ ta phải chó ý kiÓm tra ®iÒu kiÖn cña c¸c Èn míi vµ Èn cò VÝ dô 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 - x) √ x2 +2 x −1 = x2 - 2x - (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x2 + 2x - 1 (2) §Æt t = √ x2 +2 x −1 => t2 = x2 + 2x - Thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã: 2(1-x)t = t2 - 2x + - 2x - hay t2 - 2(1-x)t - 4x = Ta coi đây là phơng trình bậc hai ẩn t Khi đó ta có Δ' t = (1-x)2 + 4x = (1+x)2 => t1 = - x + + x = (10) t2 = - x -1 -x = -2x XÐt hai trêng hîp: a Với t = 2, từ đó suy x2 + 2x - = =>x2 + 2x - = => x = -1 ± √6 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n b Víi t =-2x, √ x2 +2 x −1 = - 2x <=> ¿ −2x ≥0 x 2+2 x − 1=4 x <=> ¿{ ¿ ¿ x≤0 x2 −2 x − 1=0 ¿{ ¿ Ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm Vậy phơng trình đã cho (1) có nghiệm x = -1 ± √6 VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+1 = 2(x2 + 2) (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x3 + => x -1 Khi đó (1) <=> √ x+1 √ x2 − x +1 = 2(x2 + 2) §Æt U = √ x+1 (víi ®iÒu kiÖn U 0; V 0) V = √ x2 − x +1 Khi đó ta có: U2 = x + => U2 + V2 = x2 + V2 = x2 - x + Thay vµo ph¬ng tr×nh trªn Ta cã: 5UV = 2(U2 +V2) => 2U2 - 5UV + 2V2 = => U1 = 2V, U2 = V (Xét đó là phơng trình bậc hai ẩn U) XÐt hai trêng hîp: a Với U = 2V từ đó suy √ x+1 = √ x2 − x +1 <=> x + = 4(x2 - x +1) <=> 4x2 - 5x + = => Δ = 52 - 4.4.3 <0 ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm b Víi U = V => √ x+1 = 2 √ x2 − x +1 <=> 4(x + 1) = (x2 - x +1) <=> x2 - 5x - = => x = ± √ 37 IV Phơng pháp 4: Nhân với biểu thức liên hợp để quy phơng trình hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh tÝch Môc tiªu cña ph¬ng ph¸p nµy lµ nh©n víi biÓu thøc liªn hîp cña c¨n thøc nào đó để xuất thừa số chung hai vế (nếu là bất phơng trình thì có thể b»ng ph¬ng ph¸p kho¶ng) VÝ dô 10: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: √ x −1 - √ x+2 > x - (1) (11) ¿ x −1 ≥ Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: x +2 ≥0 => ¿{ ¿ ¿ x≥1 x ≥ −2 ¿{ ¿ => x > (2) Nh©n hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh (1) víi √ x −1 + √ x+2 > ta cã: 4( x - 10 - (x + 2) > (x - 2) (2 √ x −1 + √ x+2 ) <=> 3(x-2)(2 √ x −1 + √ x+2 - 3) <0 (3) XÐt ph¬ng tr×nh: √ x −1 + √ x+2 = <=> √ x −1 + √ x+2 = <=> 4( x - 1) + x + + √( x − 1)(x +2) = <=> √ x2 + x − = 11 - 5x ¿ 11 x≤ <=> <=> x −14 x +17=0 ¿{ ¿ ¿ 11 x≤ x=7 ± √ ¿{ ¿ => x = - √ XÐt dÊu vÕ tr¸i cña (3) ta cã: VËy nghiÖm cña hÖ bÊt ph¬ng tr×nh lµ: - √ <x<2 7-4 + + VÝ dô 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x − +- √ x2 −32 x − = √ x +2 x +3 + √ x2 − x +2 (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: ¿ x −1 ≥ x −3 x − 2≥ 2 x +2 x+3 ≥ => x − x+2 ≥ ¿{ { { ¿ ¿ x2≥ x −3 x −2 ≥0 ¿{ ¿ (8) √ x +2 x +3 - √ x − = √ x2 −3 x − - Khi đó: (1) <=> √ x2 − x +2 <=> x +4 √2 x +2 x +3 − √ x <=> 2(x+2) (√ −1 = −2x −4 √x 2 − x −2+ √ x − x +2 1 + 2 x + x +3+ √ x −1 √ x −3 x −2+ √ x − x +2 <=> x + => x = -2 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x = -2 V Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p hµm sè ) =0 (12) Để sử dụng các tính chất hàm số để giải phơng trình là dạng to¸n kh¸ quen thuéc Ta cã ba híng ¸p dông sau: Híng 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x) =k Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là hàm số đồng biến) Bíc 3: NhËn xÐt - Với x = xo => f(x) = f(x) = k, đó x = x o là nghiệm - Với x > xo => f(x) > f(x) = k, đó phơng trình vô nghiệm - Với x < xo => f(x) < f(x) = k, đó phơng trình vô nghiệm VËy x = xo lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh Híng dÉn: Thùc hiÖnh theo c¸c bíc Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x) = g(x) Bíc 2: XÐt hµm sè; y = f(x) vµ y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm số y = g(x) lµ hµm h»ng hoÆc nghÞch biÕn Xác định xo cho f(xo) = g(xo) Bíc 3: VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = x o Híng 3: Thùc hiÖn theo c¸c bíc Bíc 1: ChuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = f(x) Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến) Bớc 3: Khi đó f(u) = f(V) <=> U = V U, V Df VÝ dô 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1+ √ x 2=1 Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 4x - > <=> x > 4x2 - > NhËn xÐt r»ng: Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ sè giao ®iÓm cña đồ thị hàm số y = √ x −1+ √ x − và đờng thẳng y = XÐt hµm sè: y = √ x −1+ √ x − Miền xác định: D = [ ;+∞ ¿ §¹o hµm: (13) y’ = 4x + >∀ x≥ 2 √ x −1 √ x − <=> hàm số luôn đồng biến Do đó phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là ThÊy x = VÝ dô 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ 3− x+ x − √ 2+ x − x 2=1 (1) Gi¶i: §Æt t = x2 - x √ 3+t' =1+ √2 −t (2) ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng: §iÒu kiÖn: - 3x < t < XÐt hµm sè: f = √ 3+t Miền xác định: D = [-3; 2] §¹o hµm: f’ = >0 ∀ x ∈ D<=> √ 3+t hµm sè t¨ng tiÕn D XÐt hµm sè g = + √ 2− t Miền xác định D = [-3;2] §¹o hµm: g’ = >0 ∀ x ∈ D <=> √ 2− t hµm sè gi¶m trªn D Do đó phơng trình (2) f(x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó phải lµ nghiÖm nhÊt ThÊy t = tho¶ m·n ph¬ng tr×nh Khi đó: x2 - x = <=> x = 1+ √ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1+ √ VI Phơng pháp 6: Phơng pháp đánh giá Nhiều bài toán cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng đợc nghiệm nó VÝ dô 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x2 +2 x+5+ √ x −1=2 Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa x2 + 2x + > <=> x > x-1>0 NhËn xÐt r»ng: (*) Chơng IV: Một số bài tập đề nghị tự làm Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh Bµi 1: x2 - 4x = √ x −1 (14) B×nh ph¬ng vÕ ®a vÒ: (x2 + 8)(x2 - 8x + 8) = §¸p: x = + √ √ x − 9+ 4+3 √ x −1= √2 x 2+21 x − 11 Bµi 2: HD: §Æt 2x2 - x + = a > 0, 2x + = b > ®a vÒ √ a+3 √ a= √ a+15 b Rót gän => b = hoÆc b = a §¸p: ; Bµi 3: √ x+1+ √ x +10=√ x +2+ √ x +5 HD: §iÒu kiÖn x > B×nh ph¬ng hai vÕ xuÊt hiÖn ®iÒu kiÖn x < - nghiÖm x = -1 Bµi 4: √ x3 +1=2(x 2+2) HD: §Æt √ x+1=a>0 √ x2 − x +1=b ≥ §a vÒ d¹ng: 5ab = 2(a2 + b2) §¸p sè: ± √ 37 Bµi 5: √ x+2 − √ x −2+ √ x +7 −6 √ x − 2=1 Tìm đợc < y < §¸p: < x < 11 Bµi 6: √ x2 +6=x − √ x − HD: Ta thÊy vÕ tr¸i lín h¬n x, vÕ ph¶i kh«ng lín h¬n x suy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VT= √ x2 −2 x+5+ √2 −1 = x −1 ¿2 + ¿ 2 ¿ √¿ vËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ chØ VT= <=> x - = <=> x = * Chú ý: Việc sử dụng các tính chất trị tuyệt đối để giải phơng trình, bất phơng trình là hớng “phơng pháp đánh giá” VÝ dô 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) √ x −2 √ x −1+ √ x +3 −4 √ x −1=1 Gi¶i: (15) Ta cã: (1) <=> √ x −1 −1 ¿2 ¿ √¿ √ x −1 −2 ¿2 ¿ ¿ √¿ + <=> √ x −1 −1 + √ x −1 −2 =1 <=> √ x −1 −1 + √ x −1 −2 = √ x −1 −1+2 − √ x − 1 <=> ( √ x −1 −1 ) ( − √ x −1 ) > <=> 1< √ x −1 ≤ <=> x - => x VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 2 x * Chú ý: - Rất nhiều học sinh giải bài toán này thu đợc nghiệm là x = vµ x = - Bµi to¸n trªn cã thÓ gi¶i nh sau: √ x −1 −1+2− √ x −1 = ( √ x −1 −1 ) + ( − √ x −1 ) ¿ ¿ x −1 ≥ √ √ x −1 −1 ≥ √ x −1 ≤ 2− √ x −1 ≥ <=> => 2≤ x ≤ ¿{ ¿{ ¿ ¿ Ch¬ng V: C«ng viÖc chuÈn ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn Để có đợc phơng pháp giải toán giải phơng trình và bất phơng tr×nh v« tØ th× c«ng viÖc chuÈn bÞ cña gi¸o viªn lµ hÕt søc quan träng * ViÖc thø nhÊt: Nghiªn cøu tríc nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o nh»m n¾m ch¾c néi dung mục đích yêu cầu dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn phơng ph¸p gi¶i thÝch hîp nhÊt * ViÖc thø hai: Giáo viên phải xếp phơng pháp đã đợc chuẩn bị kiến thức nh: Định nghĩa, định lý, tính chất Nhằm lựa chọn phơng pháp giải thích hợp khai thác triệt để nội dung cña tõng d¹ng to¸n II C«ng viÖc chuÈn bÞ cña häc sinh §Ó häc sinh cã nh÷ng kü n¨ng thùc hµnh gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng trình vô tỉ thành thạo Không lệ thuộc bị động học sinh cần phải có chuẩn (16) bÞ kü vÒ kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ më ®Çu tõ sè v« tØ c¨n bËc hai vµ c¸c lo¹i ph¬ng trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ đợc mục đích việc lựa chọn và sử dụng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n phï hîp III Híng dÉn häc sinh vËn dông ph¬ng ph¸p Nh điều ta đã nói và đợc biết có thể khẳng định môn to¸n cã nhiÖm vô hµng ®Çu lµ h×nh thøc kü n¨ng vµ ph¸t triÓn t thÕ nhng học sinh có đợc kỹ giải loại toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài cần phát triển đợc khả phát triển t khoa học Do đó việc lựa chọn và sử dụng phơng pháp giải hợp lý là việc cần thiết Muốn có đợc điều này thì trớc hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và mục tiêu dạng toán có đợc lựa chọn phơng pháp giải tốt đạt kết cao Nh để có đợc lựa chọn phù hợp phơng pháp giải nh rèn luyện đợc kỹ giải toán học sinh trớc hết giáo viên phải hớng dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm đợc các loại toán phù hợp với phơng pháp giải Từ đó, việc thực quá trình giải đơn giản nhiều kh«ng cßn hiÖn tîng lóng tóng t×m c¸ch gi¶i IV KÕt luËn Trên đây tôi đã giới thiệu vài phơng pháp giải tón phơng trình và bÊt ph¬ng tr×nh v« tØ ch¬ng tr×nh to¸n THCS - THPT ®©y kh«ng chØ lµ vò trang ban ®Çu vÒ kiÕn thøc vµ kü n¨ng thùc hµnh cña häc sinh mµ cßn hµnh trang cho c¸c em nh÷ng ch¬ng tr×nh to¸n cao h¬n ®©y lµ mét c¬ sở để kích thích các em tăng tính ham mê, thích học Nh việc lựa chọn các phơng pháp giải toán nh đã giới thiệu trên đây thân đã nhận thấy đợc các em đã vận dụng tơng đối hiệu quả, dễ dàng tìm cách giải và đạt hiệu cao quá trình giảng dạy thân đã bớc đa các phơng pháp này vào vận dụng giải toán và đã đợc kết tơng đối tốt Ngay từ lúc này việc giải loại toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ các em học sinh không còn là loại toán khó khăn nh trớc Tuy nhiên để đạt đợc kết nh mong muốn thì giáo viên và häc sinh cÇn ph¶i nç lùc h¬n n÷a, cÇn ph¶i cã sù ph©n tÝch tõng lo¹i to¸n mét c¸ch chÝnh x¸c T«i tin r»ng mét thêi gian kh«ng l©u c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i nµy sÏ trë thµnh mét mãn ¨n tinh thÇn cho nh÷ng b¹n häc sinh Qua đề tài này tôi mong đợc các bạn độc giả tham gia đóng góp ý kiến đề xuất để bài viết sau tôi hoàn thiện T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! ý kiến góp ý xin các độc giả gửi nhóm “Toán - Lý’ trờng Trung học c¬ së Hoµng Quú - Nh Xu©n - Thanh Ho¸ (17) (18)