Bước 3: Giải phương trình tìm x đối chiếu với điều kiện và thử lại để kết luận nghiệm.. Định lý: Đẳng thức..[r]
(1)HỌC KỲ I PHẦN ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT: 1/ Vài phép toán trên tập hợp: : Lấy hết A ∪B A ∩B : Lấy phần chung ¿ ¿A} ¿ : Lấy phần thuộc A thuộc B 2/ Hàm số bậc hai: y=ax + bx+ c , ( a ≠ ) Tập xác định D = R b b Tọa độ đỉnh I − a ; f − a ( ( )) b Trục đối xứng : x=− a Bảng biến thiên: + Với a > x −∞ y +∞ +∞ +∞ f + − b 2b − b 2b ( −2 ab ) Với a < x −∞ +∞ f ( −2 ab ) y Điểm đặc biệt: cần ít điểm ¿ ¿B} ¿ : Lấy phần (2) 3/ Định lý viet; Phần thuận: Phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1 và x2 Khi đó: x1 x2 b c và x1.x2 2a a Phần đảo: Nếu hai số u, v có: u + v = S và u.v = P thì u và v là hai nghiệm phương trình x Sx P 0 4/ Giải phương trình dạng : √ A=B (Với A, B là các đa thức) Bước 1: Điều kiện A ≥0 ( B ≥ ) Bước 2: Với điều kiện trên, A B A B Bước 3: Giải phương trình tìm x đối chiếu với điều kiện và thử lại để kết luận nghiệm 5/ Giải phương trình dạng : √ A=√ B (Với A, B là các đa thức) Bước 1: Điều kiện A ≥0 ( B ≥ ) Bước 2: Với điều kiện trên, A B A B Bước 3: Giải phương trình tìm x đối chiếu với điều kiện và thử lại để kết luận nghiệm 6/ Bất đẳng thức Cô-Si: Định lý: Đẳng thức a+b a+ b √ ab= √ ab ≤ , ∀ a , b ≥0 ⇔ a=b II BÀI TẬP Bµi 1: Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A , bieát raèng : a/ A = (2 ; + ) ; B = [1, 3] c/ A = (-7 ; 9) ; B = [3, 9] b/ A = ( ; 4] ; B = (1 ; +) d/ A = ( ; -4] ; B = (-4 ; +) (3) e/ A = {x R / 1 x 5} B = {x R / < x 8} f/ A = {x Z / |x | 3} B = {x Z / x2 = 0} Bài 2: Tìm tập xác định các hàm số sau: a/ y= d/ y= −3 x x +2 x ( x −1) √ − x b/ e/ y= c/ y=√ x − √ −2 x x 2+2 x − f/ y= 3−x √ x−4 y=√ −4 x+ √3 x+ − x Bài 3: Các bài toán hàm số: 1/ Cho hàm số: y=2 x −3 x +4 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên (P) b/ Xác định toạ độ giao điểm đường thẳng y = - 2x + với (P) 2/ Cho hàm số: y=− x2 + bx+ c a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên với b = và c = -4 b/ Xác định b, c để đồ thị hàm số qua hai điểm M(-1 ; 2) và N(0 ; -2) 3/ Cho hàm số: y=x − x −3 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên (P) b/ Với giá trị nào m thì đường thẳng y = m - cắt (P) hai điểm phân biệt 4/ Cho hàm số: y=mx2 − mx+ m−1 (P) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên với m = -2 b/ Tìm m để (P) cắt trục Ox hai điểm phân biệt 5/ Cho hàm số: y=ax + bx −1 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = và b = b/ Xác định a, b để đồ thị hàm số qua điểm M(-1 ; 2) và có trục đối xứng x = -2 6/ Cho hàm số: y=2 x − x +2 (P) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b/ Tìm m để đường thẳng y = m + cắt (P) điểm 7/ Cho hàm số: y=mx2 − ( m+1 ) x+m −2 (P) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên với m = b/ Tìm m để (P) tiếp xúc với trục Ox điểm (4) Bµi 4: Giải các hệ phương trình sau: 1/ ¿ 0,3 x − 0,2 y =0,5 x+ y=−1 ¿{ ¿ 3/ ¿ −2 x+ y − z =5 x +2 y=4 x=−6 ¿{{ ¿ ¿ −2 x+ y =5 x + y=4 ¿{ ¿ 2/ 4/ ¿ − z=− y − z=4 x+ y − z=6 ¿{{ ¿ Bµi 5: Giải các phương trình sau: 1/ x x 1 x 4/ 3x 5x 3x 14 7/ x 2 10/ x √ x −5 = 2/ x x 1 3x 5/ x-1 x-1 8/ 11/ √ x −1 (x2 x 6) = √ x +1=2 x − 3/ x x 2 x 6/ 9/ x 3x x+4 x+4 √ x −9 x+ = x 12/ √ x2 −2 x −1=√ x −4 Bµi : Xác định điều kiện liên quan phương trình bậc hai: 1/ Cho ph¬ng tr×nh x2 2(m 1)x + m2 3m = Định m để phương trình: a/ Cã hai nghiÖm ph©n biÖt b/ Cã hai nghiÖm c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó d/ Cã mét nghiÖm b»ng -1 tÝnh nghiÖm cßn l¹i e/ Cã hai nghiÖm tho¶ 3(x1+x2)=- x1 x2 f/ Cã hai nghiÖm tho¶ x12+x22=2 2/ Cho pt x2 + (m 1)x + m + = a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -8 b/ Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 3/ Cho phương trình: x −2 ( m+1 ) x +2 m− 3=0 (5) a/ Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với m b/ Định m để pt nhận x = là nghiệm Tìm nghiệm còn lại c/ Định m để pt có hai nghiệm thỏa: ( x − x )2 =20 4/ Cho phương trình: −2 x 2+ ( m−1 ) x+ m+1=0 a/ Giải pt với m = -1 b/ Chứng minh pt luôn có nghiệm với m c/ Định m để pt có hai nghiệm thỏa: x1 +2 x 2=0 5/ Cho phương trình: x −2 mx+2 m −2=0 a/ Giải pt với m = -1 b/ Định m để pt có nghiệm c/ Định m để pt có hai nghiệm thỏa: 6/ x 21 x2 + x x 22=24 Cho phương trình: x − mx+m− 1=0 a/ Chứng minh pt luôn có hai nghiệm với m Giải pt với m =3 b/ Gọi x , x là hai nghiệm, định m để giá trị nhỏ A=x + x −6 x x 2 đạt Bài tập 7: bất đẳng thức: 1/ 3/ a b a b 2/ 1 4 , a 0, b a b a b 4/ 5/ Với a , b , c >0 , chứng minh rằng: a2 +b ≥ a b a b 2, a 0; b b a a b c ab bc ac, a; b; c R 2 a b c + + ≥ a+ b+c b c a .HD: 6/ Với a , b , c >0 , thỏa : ab + bc + ca = Chứng minh: HD: 3 a +b + 1≥ ab 3 7/ Chứng minh: a+ ≥ , ∀ a ,b >0 HD : b ( a − b) VT =b+ ( a − b ) + a +b + c ≥ ≥3 b ( a −b ) (6) PHẦN HÌNH HỌC I LÝ THUYẾT 1/ Phép trừ cùng gốc: Phép trừ cùng ngọn: vectơ đối: 2/ 3/ Quy tắc ba điểm: → → → Phép cộng: AB + BC =AC → → −BA =AB AB AC CB → → → B AC − BC=AB ; → C → MN =−NM Quy tắc hình bình hành: → → → A AC =AB +AD D Tính chất trung điểm, trọng tâm: I là trung điểm đoạn BC ⇔⃗ IB+ ⃗ IC=⃗0 I là trung điểm đoạn BC, điểm M tùy ý: G là trọng tâm G là trọng tâm ⃗ MB+⃗ MC=2 ⃗ MI ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Δ ABC GA GB GC 0 Δ ABC , điểm M tùy ý: ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG 4/ Tọa độ điểm và véctơ: 1/ Cho A(xA ; yA) và B(xB ; yB) đó: 2/ ⃗ MN=( a ; b ) ⃗ AB ( x B − x A ; y B − y A ) đó độ dài đoạn MN=⃗ |MN|=√ a2 +b 3/ M là trung điểm đoạn AB thì M 4/ G là trọng tâm ABC thì G ( xA+ xB y A + y B ; 2 ( x + x3 + x ; y + y3 + y ) A B C A B 5/ Các phép toán véctơ: Trong hệ tọa độ Oxy cho ⃗a =( a1 ; a2 ) , ⃗b=( b1 ; b2 ) ⃗a ± ⃗b=( a1 ±b ; a ± b2 ) k ⃗a=( ka ; ka2 ) a⃗ =⃗b ⇔ a1=b1 a2=b2 ¿{ Tích vô hướng theo tọa độ ) ⃗a ⃗b=a1 b1 + a2 b2 C (7) Tích vô hướng theo độ dài và góc ⃗a ⃗b=|⃗ a|.|⃗ b| cos ( a⃗ , b⃗ ) ⃗ ⃗ a và b cùng phương ⇔ ∃ k ∈ R :⃗a =k ⃗b 6/ Góc hai véctơ: ⃗ ⃗ a và b vuông góc ❑ 0 ≤ ( ⃗a ⃗b ) ≤ 180 ⃗⃗ ⇔ a.b 0 ⃗ b⃗ a cos ( ⃗a ; ⃗b )= |⃗ a|.|⃗ b| (⃗ AB; ⃗ AC ) =BAC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a (với 0 , b 0 ) ❑ ❑ (cùng gốc) , (⃗ AC; ⃗ BC )=ACB (cùng ngọn) ❑ (⃗ AB; ⃗ BC )=1800 − ABC (không cùng gốc, không cùng ngọn) II BÀI TẬP: Bài 1: Cho điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh: a/ AB DC AC DB b/ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AD CE DC AB EB d/ e/ AB CD AC BD AC+ DE - DC - CE + CB = AB ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AD BE CF AE BF CD AF BD CE f/ Bài 2: Cho hình bình hành MNPS tâm I, tam giác MNP có MQ là trung tuyến Gọi R là trung điểm MQ Chứng minh rằng: a ) RM RN RP 0 c) MS MN PM 2 MP b ) ON 2OM OP 4OR , O bÊt k× ON OS OM OP d) e) ON OM OP OS 4OI Bài 3: Cho A,B,C,D và M, N là trung điểm thẳng AB, CD Chứng minh: của đoạn 4MN a) AC BD BC AD 2MN b) AD BD AC BC c) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh rằng: 2( AB AI NA DA) 3DB Bài 4: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC có A(2 ; 1), B(-1 ; 2), C(3 ; 4) (8) a/ Chứng minh Δ ABC vuông cân A b/ Tìm tọa độ điểm D cho ABDC là hình vuông Bài 5: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(1 ; -1), B(3 ; 3), C(0 ; 1) a/ Tính độ dài đoạn trung tuyến CM b/ c/ AB ( ⃗ BC+ ⃗ AC) Tính tích vô hướng ⃗ AD=2 ⃗ AC Tìm tọa độ điểm M cho ⃗ Bài 6: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho có A(-1 ; 8), B(1 ; 6), C(3 ; 4) a/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng AM=⃗ BC b/ Tìm tọa độ điểm M cho ⃗ AB , ⃗ BC ) , từ đó suy góc hai véctơ ⃗ AB và ⃗ BC c/ Tính cos ( ⃗ Bài 7: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(0 ; -1), B(2 ; 0), C(2 ; -2) a/ Chứng minh Δ ABC cân A b/ c/ BC+ ⃗ AB Tính tọa độ ⃗u=− ⃗ AM − ⃗ BC= ⃗0 Tìm tọa độ điểm M cho ⃗ Bài 8: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC có A(-1 ; -2), B(1 ; 3), C(4 ; -4) AB và ⃗ BC a/ Phân tích ⃗u= (1 ; −2 ) theo⃗ b/ c/ AB và ⃗ BC Tính góc hai véctơ ⃗ Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành Bài 9: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho A(-1 ; -2), B(1 ; 3), C(4 ; -4), D(5 ; -12) a/ Chứng minh ba điểm A, B, D thẳng hàng b/ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm B qua điểm A c/ AB ( ⃗ BC − ⃗ AD) Tính tích vô hướng ⃗ Bài 10: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC có A(1 ; 2), B(-3 ; 1), C(2 ; -2) a/ Chứng minh Δ ABC vuông A b/ Tìm tọa độ điểm D cho ABDC là hình chử nhật Bài 11: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC có A(2 ; -1), B(5 ; -5), C(-2 ; -4) a/ Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành tam giác b/ AB −2 ⃗ BC Tính tọa độ ⃗u=⃗ c/ Tìm tọa độ điểm D cho A là trọng tâm Δ BCD (9) ĐỀ ÔN TẬP HỌC KỲ I ĐỀ ¿ ¿ A=¿ , B=¿ Tìm A ∩ B , B } Cho ¿ Bài 1: Bài 2: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x +2 x +3 √ 2− x b/ Tìm tập xác định hàm số: y= x −9 Bài 3: Giải các phương trình, hệ pt sau: a/ b/ √ x −3=x −2 ¿ − x +2 y − z =3 y + z =−4 − y=6 ¿{{ ¿ Cho ph¬ng tr×nh x2 2(m 1)x + m2 3m = Định m để phương trình: có hai nghiÖm tho¶ 3(x1+x2) = - x1x2 Bài 4: Bài 5: Bài 6: C(1 ; -2) Với a , b , c , d ≥ Chứng minh: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho a8 +b +2 c +4 d ≥ abcd Δ ABC có A(2 ; 1), B(3 ; 0), a/ Tính độ dài đoạn trung tuyến AM b/ Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành c/ AC và ⃗ BC Phân tích ⃗u= ( 0; − ) theo hai vectơ: ⃗ (10) ĐỀ Bài 1: Cho A=¿ , B=¿ Tìm A ∩ B , A ∪ B Bài 2: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=− x2 +4 x − x+1 x2 − − b/ Tìm tập xác định hàm số: y= √ x −6 x − x −7 Bài 3: Giải các phương trình hệ pt sau: a/ b/ √ x2 −1= √2 −2 x Bài 4: Cho phương trình: ¿ − x +2 y=5 x +3 y=4 ¿{ ¿ x −2 mx+2 m −2=0 1 + =2 x1 x2 x2 y2 + ≥ x+ y Với x , y >0 , chứng minh rằng: y x Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC có A(2 ; -1), B(5 ; -5), Định m để pt có hai nghiệm thỏa: Bài 5: Bài 6: C(-2 ; -4) a/ Chứng minh Δ ABC vuông A AB −2 ⃗ BC b/ Tính tọa độ ⃗u=⃗ c/ Tìm tọa độ điểm D cho A là trọng tâm ĐỀ Δ BCD (11) ¿ ( Cho ¿ A=¿ , B= − ; ) Tìm A ∪ B , A } ¿ Bài 1: Bài 2: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=3 x − x −1 x +1 − √ −3 x b/ Tìm tập xác định hàm số: y= √ x −8 Bài 4: a/ Bài 5: Giải các phương trình sau: b/ √ x2 +2 x −3=√ x +8 ¿ − x + y −2 z =3 x+ z =−1 x=4 ¿{{ ¿ Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x − x +m− Bài 6: Bài 7: C(3 ; -2) Với a> b>c >0 , a+b=8 Chứng minh: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Δ ABC √ c ( a− c ) +√ c ( b − c ) ≤ có A(2 ; 1), B(-1 ; 2), a/ Chứng minh Δ ABC cân A b/ Tìm tọa độ điểm M cho B là trung điểm đoạn AM AC ⃗ BC c/ Tính tích vô hướng ⃗ (12)