Tài liệu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức đưa về một biến docx

A t D t D g (t ) g (t ) A g (t ) A g (t ) ỳ A http://kinhhoa.violet.vn x1 , x2 , , xn (n x1 ( x1 x2 xn x2 2) n n x1 x2 xn xn )( y1 y2 x1 yn ) ( x1 y1 x2 y2 x1 x2 xn y1 y2 yn y1 , y2 , , yn (n x1 y1 x y z x3 y3 xn 2 ( x1 x2 xn ) y1 y2 yn xn xn yn xy y x yx y x 2 y x y x xn ỳ xn yn ) x1 x2 y1 y2 x2 xn y2 yn 2) x2 yn xy n y (n 2, n N) x4 y4 x2 y2 x y y4 x4 y2 x2 y x x y (t y x (t 2) y x x y t 2) t P x y z y3 p z 3 xyz y z )( x t p (x x (x t2 2 y 2 y2 z2 z )( x 2 z y2 t3 xy yz (t 3t 2 2 t ỳ x x y y z zx ) yz (x ) (t zx ) y z )(2 (x z)2 y 2) 2 x z 2 2 x z xy x, y , z y z2 z)2 y t x 2 P 2 z 2( xy yz zx ) ( x t ) 2 y y y z t (2 xyz x x3 y x x y x2 ( 2) 3 z y z x y z 33 t xyz x y y z x x y y z z 15 2 ) x y x z y z t t 4t t 27 4t t 4t 27 15 2 x1 , x2 , , xn ( n x1 x2 xn xn ) b( x1 Cmr : a( x1 a( x1 xn ) b( x1 at x2 bn t x2 bn ( t bn R * ) b 0; ak k (k x2 x2 a( x1 bn ) k2 bn 2 y t ) t (a k2 4( bn ) xn ) xn ; 2) k x2 k ak xn ) k (a bn ) k2 bn x2 xn x1 bn ak k x, y , z x y z x, y , z x (x2 y )(1 y2 x z 42 ) y2 x2 x y x, y x y ỳ x2 x y y z2 z2 (x 17 ) y y2 x2 x, y , z x y z 1 x y2 z (x x2 y2 y) ) z y2 51 x2 z2 z2 17 82 x, y x y x x y y y x x1 , x2 , , xn (n 2) x1 x1 Cmr:: x2 m x1 m x2 m xn x2 xn m mn n xn x1 , x2 , , xn ( n x1 x2 Cmr : xn a( x1 xn ) b( x1 x2 yz x a2 b2 z ak k xy z b2 bc xz bn ) xn z y y a2 x2 y x x bn R * ) b 0; ak k (k ; 2) c2 c2 ac ab 2 (a b c) a2 3(a b2 bc c2 ac (a b c) b c ab bc ca ) ab (a b c) a2 ỳ b2 (a b c) 3[(a b c) 3(ab bc 33 (abc ) 2 bc 33 abc ac ca )] c2 ab (a b c) 3[(a b c) 3] t2 3(t 3) 3t 15 12 2 t 12 3.9 15 12 t 3 t x1 , x2 , , xn (n x1 Cmr: x1 x2 P ( x4 x x3 t x3 x2 P y4 y y3 x2 y3 y2 x3 x4 n x1 x (x y z4 ) z z3 2t 3t z )( x 2 2t t y2 y z xy yz y3 y2 t t x2 z3 zx ) xyz y2 z2 )3 ( t 3t 10t 9 3t 10t 10 10 xyz ỳ x, y, z (0;1) (1 x)(1 y )(1 10 z3 ) z2 3t t 2 x z )] ( 2t z z2 y2 x2 n x1 x2 n x y y2 y2 z2 z x3 y t [1 ( x 2 z2 xn x x2 P xn z2 x3 z (1 ) ( z2 x2 z2 z3 y2 y2 y (1 ) y2 x1 x2 xn x, y , z x y z x2 x(1 ) x2 2) x2 x2 x3 xn 3 12 t z )(1) 2 t t )(57t 9) 3t 10t 9 10 10 2 2 x 2 y 2 t t t 2t 27 2 x y z x y z (a x)(1 xyz y 3 z 15 (2t 3) ( t) 27 y )3 y )(1 xy z) y )(1 8x2 y z) (1 x)(1 x1 , x2 , , xn (n 2) a x1 (1 x (x2 C z x2 n x1 )(a an n xn x2 ) ( a (a xn ) x1 )(a na an t x2 ) ( a ( x1 (n 1)t (na t )(na t ) ( na t ) x2 n an n xn ) na t n (n 1)na n xn ) n n na t n n 1a n t (na t ) n n tnn n (n 1) n a n t (na t ) n (*) Cho x1 , x2 , , xn (n 2) n n ỳ n an x1 x x n n n n an n ( a x1 )( a x ) ( a x n ) n n 1a n 0(*) x, y , z x y2 z2 x, y , z xyz x y z x x2 y2 z2 2( xy yz y z2 x2 (z xy x x x x2 (x y z) (9 2t )t 27 a[ 4( xy 2xyz 1 yz y2 t y zx ) (x y y x) y2z2 z ,t z z z 108 z2x2) y) (x z ) ] bxyz 9xyz 4(xy yz zx) yz x y z t (x y z) zx ) 4(xy yz zx) (x y z) hay ct 2( xy a , b, c 2a b c ỳ y z) 10 y y z x, y , z 4(xy yz zx) x y z2 z2 zx ( x zx x(x y)(x z) y( y z)(y x) z(z x)(z y) xyz yz 1 y2 z) yz z y2 x2 (y z) xy z2 zx 8( x y z )( x y xy yz zx x y z x, y, z [1;2] yz y (x x z 30 z y2 x xy y zx ) x2 x , y , z y z 27 xyz x x, y , z xyz xyz x, y , z x y 2xyz 9axyz t bxyz ct ; t x y z a( x y2 3( x y2 xyz 2( x x2 y2 z ) bxyz c( x z ) xyz ( x y2 y y z ) 6( xy z ) 5( x z2 xyz xy yz z ) 3a b 3c y y y )(1 z ) [0; ] xyz z x y z x x( y z ) 2) x( y y z x z( x t y) z )4 y( z x) yz zx x y x, y, z (0;1] x( y y2 x) (z x x1 , x , , x n (n (x 2, n y( z x) x1 z y)4 z( x 12 z) x y z z z) y N) x1 x1 t (1 3t ) 2 y z2 y) y z xyz x, y , z x2 ỳ 13 xy z z) 27 2 x2 (y y )( y 2 )( z ( x y z)2 x, y , z 4( x x y x4 y4 x, y, z (0;2) 27 (x zx ) y x zx ) z) (1 x)(1 27 2 x yz zx x, y , z t yz 2a ( xy x2 x2 xn x2 xn xn n k (n k ) k (n k 0) x1 , x2 , , xn (n x1 x2 xn 2) x1 Cmr: x1 x x n x2 xn n2 n x y z x, y , z 0 z xy z xyz 27 xyz 2( xy yz yz zx x y z (z ) (z z3 27 ) 27 x y x, y , z z z2 z z zx) z (9 ) 5 ( xy ( z z 2) 2z( x 2) z ) (z z (3 [0;1] ỳ y) z z) ( z3 x y 3z ) (z 2) 2z( x y) ( z 1) ( z 2) (9) x y z x, y, z a 0; b a b a ( xy yz az (3 zx ) bxyz z ) (3a b) a b z (3a b) x3 y3 x a bz xy ( a b( z 1) ( z yz 0; z 3a b bz ) 3a b az ( x bxyz ( 3a b) y2 z2 2( xy yz y ) (3a b) zx ) ( x y x2 xyz (x y y 2( x y z x, y , z z )[( x y3 z) y2 z2 3( xy yz z) (3 (a z)2 zx )] z ) xyz xyz y x z x y z 27 xyz 18( xy yz zx ) x, y , z xyz xy yz zx x y z 27 xyz 18( x x, y , z x3 x ỳ y z x, y , z x3 y3 y3 z3 0 4) y z x, y , z z3 zx ) x2 x a ( xy z3 15 y2 z2) yz zx ) xyz 6( xy bz ) x y z x, y , z a 0; b a b yz a ( xy 3 zx ) bxyz x y z x, y , z xy x, y , z x3 y3 z3 z y b) yz zx xyz x3 [0;2] x z ( 3a y3 z3 3 3 3 xy xy yz x, y , z yz zx xyz zx xyz z 3z ( z 1)( z 2) 0 xy ( xy ỳ )( xy z ( x y )(1 z ) 2) z xy xy z z xyz xy z xyz xy 4z xy(z z) xy z (1 z) z xy z z (x y)( z) z xy 2 4z z (z z) z2 z z x z(1 z)2 (z 1)2 y z x, y , z 2( x y2 z2) x2 y2z2 [( x 1)( y 1)][( y 1)( z 1)][( z 1)( x 1)] [( x 1)( y 1)( z 1)] ( x 1)( y 1); ( y 1)( z 1); ( z 1)( x 1) ( x 1)( y 1) xy x y 2( x z4 y2 4z z2) x2 y2z2 7z (x y) 2z ( z 1) ( z 6z y 1) z (x z 2) x y z ( x 1)( y 1) ( z 1) ( z xyz x, y , z 1 [ ;4] (3 z ) x y z z 2) xy yz zx 17 x y z x, y , z y z 16 xyz xy yz zx xyz xyz 4( xy yz zx ) x, y , z xy yz zx x, y [0; ] 2 ỳ x y 3( x x y2 y y x2 z) xyz 10 2 x y2 y x2 2x x2 2z (2 z ) z x y z x, y , z y2 x2 z2 1 z x xn yn zn yn zn xn y x2 y2 z2 y2 z2 x2 7 (y z) x2 x2 y2 z2 x2 xn x3 x3 y3 y3 y2 z2 x2 1 2x x, y, z [0;2] x y z f ( x, y , z ) x2 z3 yn zn 2n xyz z xyz x y z f ( x, y, z ) f ( x, y,1) z xyz (1 xy ) ( z 1)(1 z z xy ) z 0;1 z z xy z z z z z 4( z 1) z f ( x, y,1) f ( x,1,1) y xy (1 x) ( y 1)(1 y y x) y 0;1 y y x y y y y y ( y 1)( y 2) y f ( x, y, z ) f ( x,1,1) x x ( x 2)[( x 1) 2) x,1 x x xyz p(x, y, z) ỳ 2( xy ( xy yz zx ) f ( x, y , z ) x y z yz y z x, y , z zx ) xyz f x f ( x, y , z ) y f ( x, ( x 2)( y z) x f ( x, y , z ) z y , z ) 2( xy yz f ( x, y , z ) zx ) xyz 2( x f ( x, y z y , z ) 2 3x ( x 1) ( x 2) 5 5 4 ( x 2)( y z ) y y3 z3 x3 y3 z3 y x x x f ( x, , ) 2 x;0 x y3 f ( x, y , z ) x3 f ( x, y , xy ) 2( ( xy ) x3 f ( x, y , xy ) g ( x, y ) y x y xy y f ( x, y , z ) x( xy (y z )( y x ỳ z z) xy ) (z x) x x x y( x x z) (y 3x x z ( xy ) x x z x3 y y z y y y z z) z z x x) z x xy y x x y ( xy z) (y x( x xy xy xy ) (y x)( xy (y z )( y y )( x xy ) x) (x x xy x y x y x)( y y) y y x y y) x z x x)( xy y ) z y ( xy x y z x)( xy z f ( x, y, xy ) y (z y y z x3 xy)(z z xy 2xy) y3 g ( x, x ) x x y3 x6 ) z f ( x, y , z ) z xyz g ( x, y ) g ( x, x ) y y f (x, y, z) f (x, y, xy) z3 ( xy)3 3xy( xy z) (z g ( x, y ) x 3xyz z f ( x, y , z ) z) (y x x3 z y) x y y )2 ( x xy xy f (x, y, xy) x xy y t2 t t2 t t t xy y xy x x y t xyz (x x, y , z xy yz zx xyz x, y , z x, y , z x y2 z2 xy yz zx xyz xyz ( xy x, y x y2 xyz ỳ [0; yz y x 2t t 2t (t 1) y )( y y y x x y y y 1 x x x y t (t x z )( z x) x y 4( x z xyz y z 1) zx ) ] y x2 2 x, y, z [ ;3] 2( x y2 z2) x, y , z xy yz zx x, y , z x y2 z2 x, y , z x y2 z2 x x 3 5( x y y y z z z x z) 3( x x y y y ( xy z) xyz 10 z x2 y2 y2z2 z2x2 yz zx ) 12 xyz 0) x y y z z z x x 2 y 2 sin A sin B 2t (1 (t C t cos cos C y x b 3 (17) a z sin C t 2t (1 ) (3t 6) A B A B cos 2 sin C cos cos C (1 sin (1 t ) ) 2t[1 C ) 2t (1 3(1 t ) ) (17' ) 3 ( t )] 3t 3 cos cos (18) ỳ C sin C 3(1 t ) ) sin C A B cos A (cos B cos C ) cos B cos sC cos A cos B cos C cos A B C 6t sin C cos B C B C cos 2 cos A 1 (18' ) cos A [cos( B C ) cos( B C ) A A A sin sin sin cos A 2 VT (18' ) cos A cos A (1 cos A) A A A A A sin sin sin sin (1 sin ) 2 2 2 cos A cos A cos A B C A sin cos A B C T A 60 cos A 3(cos A cos B cos C ) 2(sin A sin B sin B sin C sin C sin A) B C B C B C B C 3(cos A cos cos ) cos( B C ) cos( B C ) sin A.2 sin cos 2 2 B C A A cos A cos [6 sin sin A cos ] cos( B C ) 2 A A A A A A sin 0, cos sin sin A cos sin (3 cos ) 2 2 2 B C cos 1, cos( B C ) A A A A A A T cos A sin sin A cos 2(1 sin ) sin sin (1 sin ) 2 2 2 2 8t 4t 2t (2t 1) (2t 1) t ỳ t sin A B C cos( B C ) A sin cos A B C A 60 (20 ') T cos A cos B cos C T 1 cos A [cos( B 1 [cos 2 A sin A sin B sin C C) cos( B sin A cos A ] C )] cos( B sin A [cos( B C ) cos( B C )[ cos A sin A ] 2 cos A T [ cos A tan A tan B sin A cos( A 60 ) cos( B C ) sin A cos A] (cos A sin A) (cos A 1)[1 cos( A 60 )] cos( B C ) A B C cos( A 60 ) 1 tan C cot sin A sin B cosA cos B sin C A B C cot cot 2 1 A B sin sin 2 cos B cos C cos A cos B cos C ỳ C )] 3 3 sin 13 cos C cos A C 15 (c o s A cos B c o s C) cos A sin A A sin cos B sin cot A (1 sin sin cos A A tan A tan B B tan C tan sin B C sin 2 sin sin cos A B tan 2 B cot B )( tan B sin 16 C B )( sin sin C cos C C) 4 2 tan A tan B tan C (1) C A tan ( 2) 2 x, y , z xy x 2 tan 2 cot C B C tan 2 tan A tan B cos C ; tan A y zx 3( x 3 ; z tan B tan C tan A y z) xyz tan C 10 tan A tan B tan C 3 A B C A B C 9(tan tan tan ) tan tan tan 30 2 2 2 cos A cos B cos C cos A cos B cos C x, y , z xy yz zx xyz ỳ tan B tan C yz 10 x y z x2 y2 z2 x, y, z a 0; b a b x, y, z a ( xy yz zx ) x bxyz ( 3a b) y z x, y , z x2 cos A cos B a 0; b a b xyz y2 z2 x, y , z cos C yz 4( xy zx) yz zx ) 8(cos A cos B sin A sin B sin C cos B cos c sin A sin B sin C 16(sin A sin B sin B sin C C ỳ 2( xy xyz cos A cos sB cos sC cos C cos sA) sin C sin A) ỳ