Tài liệu Phần 3: Phương pháp vecto trong không gian ppt

1 Lời nói đầu. Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thớc bên mình để có thể vẽ đợc những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc tôi phải có những tởng tợng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận đợc điều này trớc sự nhăn nhó của học sinh . Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành Minh) ; Hình học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp trải tứ diện , phơng pháp chiếu vuông góc,song song, phơng pháp sử dụng các phép biến hình Tôi cũng đã thử nghiệm một vài phơng pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12). Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi hơn ; Nhng tôi vẫn cảm thấy rằng nó cha thật vừa ý , nhân tiện tổ có đa ra yêu cầu viết một chuyên đề nên tôi có dịp đa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý báu cho công tác giảng dạy sau này. Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phơng pháp véc tơ mà thôi. Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần nh: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức hình họccha kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết đợc một tài liệu có chất hơn. Rất mong đợc sự đóng góp quý báu của các thầy cô! Thanh Long ngày 18/03/2007. Phạm Kim Chung a, lý thuyết Phơng pháp véc tơ: I). Quy trình giải toán Bớc 1: Lựa chọn Hệ véc tơ gốc.-> Phiên dịch các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ véc tơ. Bớc 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc . Bớc 3: Chuyển các kết luận véc tơ sang các tính chất hình học tơng ứng . VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD và G là trung điểm của đoạn thẳng MN. a). Chứng minh rằng đờng thẳng AG đi qua trọng tâm A của tam giác BCD. Phát biểu kết luận tơng tự đối với các đờng thẳng BG,CG và DG. b). Chứng minh GA=3GA. BG: Chọn hệ { } ,,,AABACAD JJJK JJJK JJJK làm cơ sở. A *Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc. +Giả thiết: M là trung điểm của AB 1 2 AMA= JJJJKJJK 2 B J N là trung điểm CD 1 () 2 ANADAC+ JJJK JJJK JJJK = . G là trung điểm đoạn MN ()() 11 24 AGAMAN ABACAD= + = ++ JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK .(1) A là trọng tâm tam giác BCD () 1 ' 3 AAABACAD++= JJJJKJJJK JJJK JJJK .(2) + Dễ thấy yêu cầu của bài toán tơng đơng với yêu cầu chứng minh (H.1) A G N M B D 2 ' 3 AGA= C A JJJK JJJJK Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên. II, Một số tính chất cần ghi nhớ Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau: 1). Quy tắc 3 điểm: ABBC AC+= JJJK JJJK JJJK , với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian. 2). Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc: AB JJJK là một véc tơ cho trớc thì với mọi điểm O bất kì , ta có: ABOBOA= JJJKJJJKJJJK . 3). Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có : OB OA OC=+ JJJKJJJK JJJK . 4). Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì: JJJ JJJ K + . 0MB MA+= K K ,OB OM JJJK JJJK JJJJK GB GC = JK KJJJK K OB OC OG= JJJK JJJK JJJK JJJK + OA+= với mọi điểm O. 2 5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: JJ JJJ + GA++ . 0 + OA++ với mọi điểm O. 3 6). Tích vô hớng của 2 véc tơ: ( ) . cos ,ABCD AB CD AB CD= JJJKJJJK JJJK JJJK JJJKJJJK . 7). Điều kiện để 2 véc tơ cùng phơng : Véc tơ a G cùng phơng với véc tơ (0)bb 3 GG :kRakb = G G . G 8). Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng. ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: 0:kABkA = C JJJK JJJK . 9). Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc: .0AB CD AB CD = G JJJK JJJK JJJK JJJK . 10). Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đờng thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng. 11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hớng 2 véc tơ: + () 2 22 1 . 2 ab a b a b =+ GG G G G G + () 2 22 1 . 2 ab a b a b = GG G G G G 12). Nếu là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : ,,abc GGG 1112 22 x aybzcxaybzc++=++ G GG G G G thì: 12 12 12 x x yy zz = = = . 13). Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì với điểm O bất kì ta có: 1 OA kOB OM k = JJJK JJJK JJJJK . 14). Trong không gian cho hệ { } ,,,OOAOBOD JJJK JJJKJJJK . Điểm D ()mp ABC thì OD ,( 1; , , )OA OB OC R =++ ++= JJJK JJJK JJJK JJJK b, Các dạng bi tập *Bi tập hình thnh phơng pháp . Dạng 1 . Bi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng (Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10) VD2: Cho tứ diện ABCD . Các trung tuyến AA 1 và BB 1 của tam giác ABC cắt nhau tại M . Có thể biểu diễn véc tơ theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây? DM JJJJK 1). ,,DA DC DB JJJK JJJK JJJK 2). 1 ,, 1 D J AAA BB JJK JJJK JJJK . 3). 11 ,,ABDAAB JJJKJJJK JJJJK . D 1). () 1 3 DM DA DB DC=++ JJJJK JJJK JJJK JJJK 2). 11 2 0. 3 DM DA AA BB=+ + JJJJK JJJK JJJK JJJK 3). Do A 1 B 1 //AB nên 3 véc tơ trên là đồng phẳng , mặt khác véc tơ DM JJJJK không đồng phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy DM JJJJK không biểu diễn đợc theo các véc tơ: 11 ,,ABDAAB JJJKJJJK JJJJK VD3: Cho tứ diện ABCD . Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC . Hãy biễu diễn DM JJJJK theo các véc tơ: ,,DA AC CB JJJKJJJKJJJK . (H.2) B 1 A 1 M A C B HD: (Xem hình 2.). M là trọng tâm của tam giác ABC nên: ( 1 3 DM DA DB DC=++ ) JJJJK JJJK JJJK JJJK . Vậy để giải quyết bài toán ta cần biểu diễn theo 3 véc tơ ,DB DC JJJK JJJK ,,DA AC CB JJJKJJJKJJJK .Ta có: + DBDAACCB=++ JJJK JJJK JJJK JJJK và DCDAAC=+ JJJK JJJK JJJK Từ đó suy ra: () 1 32 3 DM DA AC CB=++ JJJJK JJJKJJJKJJJK . Bi tập tự giải: 1).Cho tứ diện ABCD . M và N là trung điểm DB và DC . Hãy phân tích các véc tơ ,, theo ,,AMBNMN DADBDC JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK . 2). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O . a). Hãy phân tích . theo , ,SD SA SB SC JJJKJJKJJKJK JJ b). Hãy phân tích các véc tơ theo các véc tơ ,,,SA SB SC SD JJK JJK JJJKJJJK ,,ABACSO JJJKJJJKJJJK . 3).Cho hình lập phơng ABCD.ABCD . Gọi O là tâm của hình lập phơng và I là tâm của mặt CDDC . Hãy phân tích các véc tơ ', theo , ,AOAI ABADAA K JK JK JJK JK 1 1 1 11 ;; JJJ J JJ J JJJ . 4). Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C . 4 1 a). Đặt ACcBAaCBb== = GG G KJJJKJJJK JJJJ . Hãy phân tích véc tơ 1 theo , ,AAabc G GG JJJK . b). M là trung điểm đoạn B 1 C . Hãy phân tích véc tơ 1 theo , ,AMAAABAC JJJJK JJJK JJJK JJJK . 5). Cho tứ diện ABCD . M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số ; MD NA m MB NC = n= . Hãy phân tích véc tơ theo , ,MNABDABC JJJJK JJJK JJJK JJJK JJ . 6). Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm ). Hãy phân tích véc tơ biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 60 theo , ,SO SA SB SC JJJKJJKJJKJK 0 . ---------------------------------------------------------------------------- Dạng 2: Bi tập lựa chọn hệ véc tơ gốc . * Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phơng pháp véc tơ . Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng . + Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất. VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lợt là trung điểm của AB và CD . Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) . Chứng minh rằng AS=2SD. BG: A Chọn hệ { } ,,,AABACAD JJJK JJJK JJJK làm cơ sở. Ta có: P là trung điểm AB 1 2 APAB JJJKJJJK = Q là trung điểm CD () 1 2 AQACAD= + JJJK JJJK JJJK R nằm trên BC và BR=2RC 12 33 ARABA= + JJJK JJJK JJJK C Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng minh : 2 2 hay 3 ASSD AS AD== JJJKJJJKJJJKJJJ (H.3) B R S P C Q D K . Giả sử ASkAD= JJJKJJJ K . Điểm S thuộc mp(PQR) do đó tồn tại ,, R sao cho: (Xem mục A-II-14) ;( 1)AS AP AQ AR =++ ++= JJJK JJJK JJJK JJJK Hay () 11 12 22 33 kAD AB AC AD AB AC =+ ++ + JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 11 12 1 23 23 2 kAD AB AC AD =+ ++ + JJJK JJJK JJJK JJJK 1 11 0 23 12 0 23 1 2 k ++= += += = 2 3 k= (Xem mục A-II-12), suy ra đpcm. Bình luận : Với chứng minh trên ta nhận thấy pp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm nhũng hình phụ phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi học hình học không gian. Ta sẽ xét sang VD khác , để nhận thấy rõ hơn u điểm của phơng pháp véc tơ. VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh rằng nếu đờng thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đờng vuông góc chung của AB và CD thì AC=BD, AD=BC. BG: Giả sử M,N là trung điểm của AB, CD. Chọn hệ { } ,,,AABACAD JJJK JJJK JJJK làm cơ sở. A M là trung điểm của AB 1 2 AMA= 5 B JJJJKJJKJ . N là trung điểm CD 1 () 2 ANADA= +C JJJK JJJK JJJK . ( 1 2 ) MNANAM ACADAB== + JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK . CD AD AC= JJJK JJJK JJJK . + MN vuông góc với AB nên: () 1 .0 .0 4 MN AB AC AD AB AB (H.4) M N C B D = + = JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK . 2 0 . . (1)AB AC AB AD AB= + JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK + MN vuông góc với CD nên: ()( 1 .0 4 MN CD AC AD AB AD AC ) 0 = + = JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 2 2 . . (2)AD AC AB AC AB AD= + JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK Lấy (2)-(1) theo vế ta đợc: () 2 22 ADABACBCADB= == JJJK JJJK C . Cộng vế theo vế ta đợc AC=BD. Suy ra điều phải chứng minh. Bình luận: +Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải quyết bài toán bằng phơng pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản. + Bài toán còn có thể giải bằng phơng pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công thức trung tuyến cũng là một phơng pháp hay. Bi tập tự giải: 1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó. 2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11). Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau . Chứng minh rằng : '', AB' ', AD' 'ACBD CD CB . 3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) .Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin của góc n () ,ABDM . 4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó . b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD. 5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, SB=SD. Chứng minh rằng : a). . ()SO mp ABCD b). . AC SD 6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11). Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB CD và thì AC BD AD BC . 7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11). Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc . Kẻ H nằm trên mp(ABC) . Chứng minh : (OH mp ABCD ) a) H là trực tâm tam giác ABC b) 222 1111 OH OA OB OC =++ 2 . 8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD = 2a . Gọi I và J lần lợt là trung điểm của AD và BC . a). Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC). b).Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AD và SB. -------------------------------------------------------------------- *bi tập phân theo các dạng toán giải đợc bằng pp véc tơ. Một câu hỏi thờng gặp ở học sinh khi dạy phơng pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng nh thế nào thì giải đợc bằng phơng pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phơng pháp véc tơ là u điểm ? , đờng lối giải quyết nó nh thế nào ? Thực ra để trả lời đợc câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói riêng là khó tìm một phơng pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu nh không muốn nói là không thể. Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ đợc phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản nh trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học; đối với những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song song ,vuông góc ở mức độ khó hơn. Dạng 1: Bi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện . + M là trung điểm AB () 1 2 OM OA OB= + JJJJKJJJK JJJK +G là trọng tâm tam giác ABC ( ) 1 3 OG OA OB OC= ++ JJJG JJJK JJJKJJJK (Với mọi điểm O bất kì trong không gian ) VD6: Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác ABD. 6 HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } ,',,AAA ABAD JJJJK JJJK JJJK Phân tích bài toán: 7 *Giả thiết: Mặt phẳng (ABD) cắt đờng chéo AC tại M. Suy ra: + ': 'M AC k R AM k AC = JJJJK K k AA AB AB+ JJJJK JJJJK JJJK JJJK JJJJ hay AM =+ () ' (' ) ' MmpABD AM AA AB AD = + + JJJJK JJJJK JJJK JJJK ( ) ,, : 1R ++= *Yêu cầu bài toán tơng đơng với việc chứng C (H.5) M B D D B A C minh: () 1 ' 3 AMAAABAD=++ JJJJKJJJJK JJJK JJJK A Với việc lập hệ phơng trình và giải quyết tơng tự VD4 , ta suy ra đpcm. Bi tập tự giải: 1). Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD . Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D qua các điểm A, B, C . Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD. 2). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh 2 tam giác ANP và CMQ có chung trọng tâm. 3). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: ''' 'AA BB CC DD+++ =0 G JJJ JJJ JJJJK JK JKJJJJK . 4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A, B, C ,D lần lợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho: '' '' ''' ' AA BB CC DD k AB BC CD DA === = . Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm. 5). Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A 1 D 1 ; Gọi P 1 ,Q ,Q 1 ,R 1 theo thứ tự là giao điểm của các đờ ch ủa c m t (ABCD), (CDDng éo c cá ặ 1 C 1 ), (A 1 B B 1 C 1 D 1 ),(ADD 1 A 1 ). a). Chứng minh rằng : 111 0PP QQ RR++= G JJJK JJJJK JJJK . b). Chứng minh hai tam giác PRQ và P 1 R 1 Q 1 có cùng trọng tâm. ---------------------------------------------------------------------------------- Dạng 2: bi tập về các điểm thẳng hng. Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh: ( , R: 1)AP AM AN = ++= JJJK JJJJK JJJK trong đó A là điểm bất kì (thông thờng A là gốc của hệ cơ sở). VD7: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi : ' , ' 'APADCQC= = D ; M là trung điểm BB . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng . HD: Chọn hệ { } ', ' , ' ' , ' 'AAA aAB bAD c=== GG JJJJK JJJJJK JJJJJK G làm cơ sở. Phân tích bài toán: * Giải thiết : '''2APADAPADAPa= = = d G JG JJJK JJJJK JJJJK '''''2CQ CD CQ CD AQ b d a= = = + G JGG JJJJK JJJJJK JJJJK M là trung điểm BB () 11 '''' 22 A MABABab+ =+= G G JJJJJK JJJJK JJJJJK * Yêu cầu của bài toán tơng đơng với việc chứng minh: () ,:' ' ' 1AM AP AQ J =+ += JJJJK JJJJK JJJJK . Thay các đẳng thức trên và giải hệ phơng trình ta đợc 1 2 = = . Bi tập tự giải : 1). Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi P là trung điểm của cạnh B 1 C 1 . Đờng thẳng d qua P cắt đờng thẳng AB tại M và cắt đờng thẳng DD 1 tại N . Chứng minh P là trung điểm của đoạn MN. 2).Cho tứ diện OABC . Gọi M,N ,P lần lợt là các điểm đối xứng với O đối với trung điểm các cạnh tam giác ABC . Chứng minh rằng , điểm O và trọng tâm các tam giác ABC , MNP thẳng hàng. 3). Cho tứ diện OABC . Gọi P, Q,R lần lợt là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COA . Chứng minh rằng điểm O và trọng tâm các tam giác ABC, PQR thẳng hàng. 4). Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp cùng nằm trên một đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le trong tứ diện) 5). Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . P là điểm trên đờng thẳng CC 1 sao cho : 1 3 2 CP . M là điểm trên đờng thẳng AD, N là điểm trên đờng thẳng BD CC= 1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng . Tính : MD MA . ------------------------------------------------------------------------- Dạng 3: quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng v mặt phẳng. VD8. (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, SB=SD. Chứng minh rằng: a). . ()SO mp ABCD b). . AC SD Chọn hệ véc tơ cơ sở: { } ,,,OOAOBOS JJJK JJJKJJJK S 8 a). Ta có: SA = OA OS JJK JJJKJJJK ( ) SC OC OS OA OS== + JJJK JJJK JJJKJJJKJJJK Theo bài ra : SA=SC ()( ) 22 22 SA SC OA OS OA OS= =+ JJJKJJJKJJJKJJJK =.0OAOS OA OS JJJKJJJK . Tơng tự ta chứng minh đợc : OB , suy ra: OS ()SO mp ABCD . b). Ta có : 2ACO= JJJK JJJK A K JJJK ; . Do đó: SD OD OS= JJJK JJJ ( ) .2. 0AD SD OA OD OS AC SD= = JJJG JJJG JJJG JJJK JJJK . O A D C (H.6) B VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) .Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu , ACABCD BD thì: AD BC HD: Chọn hệ { } ,,,AABACAD JJJK JJJK JJJK làm cơ sở. Ta có: () () .0 0 0 0. .0 AB CD AB AD AC AB AD AB AC AC AD AB AD AC BD AC AD AB AC AD AC AB = = = = = JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK (1) . Nên: <Theo (1)>đpcm. () .0AD BC AD AC AB AD BC== JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK + Để chứng minh , ta chứng minh: AB CD .0AB CD = JJJK JJJK + Để chứng minh ()AB , ta chứng minh AB vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau thuộc mp () . + Để chứng minh () () , ta chứng minh 1 đờng thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với 2 đờng thẳng thuộc mặt phẳng kia. Bi tập tự giải : 1). Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC , vẽ ( ) DEABEAB , biết . Gọi M là trung điểm DE. (SE mp ABC ) Chứng minh : ()AMmpSEC . 2).Cho hình lập phơng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AD và BB 1 . Chứng minh: 1 MNAC . 3). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC là tam giác cân (AB=AC) . Vẽ , D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh : (SO mp ABC ) ()CD mp SOE . 4). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. M và N là các điểm lần lợt thuộc các đờng chéo AB và BC. Biết rằng : 32 '' ; ' 55 ' A MABBNB==C . Chứng minh rằng : 'MNAB và 'MNBC . 5). Tổng hai góc phẳng của góc tam diện bằng 180 0 . Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của chúng vuông góc với phân giác của góc phẳng thứ ba. ------------------------------------------------------------------------------- Dạng 4: Tính góc giữa hai đờng thẳng. () ( ) 2 22 .1 , 2 ab ab ab cos a b ab ab + == G GGG G G GG GG GG VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11). Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC . 9 Tính cosin của góc n ( ) ,ABDM . 10 Chọn hệ véc tơ cơ sở { } ,,,B BA BC BD JJJG JJJKJJJK . Ta có: A 1 2 DM BM BD BC BD== JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG . Do đó: () . , AB DM cos AB DM DM AB = JJJJG JJJK JJJJG JJJK JJJJG JJJK Dễ thấy : AB=a ; DM= 3 2 a (H.7) C B M D 22 111 2232 2 1 . 34 ABDM BA BC BD BDBA BABC a cos a cos a = = = = JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJKJJJK JJJK . Do đó () ,cos AB DM = JJJJG JJJK 3 0 6 > n () 3 , 6 cos AB DM = . Chú ý : () ( ) m ( ) ( ) ( ) m () ,0 , ,; ,0 , ,c os ab ab ab cos ab ab ab > = < = GG GG GG GG Bi tập tự giải : 1)( Bài tập3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c. a). Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b). Tính cosin của góc hợp bởi các đờng thẳng AC và BD. 2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết AB=CD=2a và MN= 3a . Tính góc n () ,ABCD . 3). Trong hình chóp tam giác ABCD tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau . Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm O là trọng tâm tam giác ABC , điểm N là trung điểm cạnh AB và điểm K là trung điểm cạnh CD. Tìm góc giữa các đờng thẳng MO và KN. 4). Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA 1 =h. Tính cosin của góc: a). Giữa các đờng chéo AB 1 và BC 1 . b). Giữa các cạnh AB và các đờng chéo B 1 C. 5)*. Biết các góc phẳng của góc tam diện SABC: n n n ; CSA ; ASBBSC = == . Tính cosin của các góc : a). Giữa cạnh SC và phân giác góc n ASB . b). Giữa các phân giác góc n ASB và . n ASC c). Giữa cạnh SC và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng chứa mặt đối diện. <HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở { } 1112 13 ,,,SSA e SB e SC e== = JG JJGJ JJJK JJJK JJJK G trong đó 123 ,,eee JGJJGJG là các véc tơ đơn vị> ----------------------------------------------------------------------------------- [...]... = b.c = 0 ) Do đó ta có: a + (1 ) b + c b + c a = 0 a 2 ( 2 3 ) = 0 = 3 2 a 6 Hay 3 BH = 2 a b c 9 BH = 6 a 2 BH = 3 Bình luận: Mặc dù bài tập là không khó , tuy nhiên chúng ta thấy đợc rõ lợi thế của phơng pháp véc tơ là ta không cần xác định rõ ràng vị trí của điểm H trên hình vẽ 2) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Để tính khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng (ABC) nào đó,... mp(OMN)//(SBC) b) Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON Chứng minh : PQ//mp(SBC) 12 Dạng 6: bốn điểm hay ba véc tơ đồng phẳng + Cho ba véc tơ a, b, c trong đó a và b không cùng phơng Khi đó ba véc tơ a, b, c đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số k và l sao cho: c = ka + lb + Bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực , sao... sao cho: OA = OB + OC + (1 ) OD , điểm O VD14 Chứng minh rằng ba véc tơ x, y, z xác định bởi các biểu thức sau đồng phẳng : x = a b; y = c a; z = 2a + b + c Với a, b, c là ba véc tơ cho trớc không đồng phẳng ( ) HD: Ta có : y x = c a a b = 2a + b + c = z Suy ra các véc tơ x, y, z đồng phẳng VD15 Cho tứ diện ABCD và các điểm I, K, E, F là các điểm thoả mãn : 2 IB + IA = 0 ; 2 KC + KD =... tập tự giải : 1) Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M,N lần lợt thuộc các cạnh AD, BB1 sao cho AM=BN Chứng minh rằng ba véc tơ MN , AB, B1D đồng phẳng 2) Cho hai hình bình hành ABCD và A1B1C1D1 không cùng thuộc một mặt phẳng Chứng minh rằng các véc tơ BB1 , CC1 , DD1 đồng phẳng 3) Cho tứ diện ABCD Gọi A,B,C,D lần lợt là các điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo cùng tỉ số k, tức là : A '... AB MN AB = 0 +B1: Giả sử N là hình chiếu vuông góc của M trên d N, A, B thẳng hàng ON = OA + (1 ) OB +B2: Thực hiện các phép biến đổi về hệ véc tơ cơ sở (gốc O là gốc của hệ cơ sở) MN = ? +B3: Tính MN = MN 2 VD20.(Bài tập 1-Tr85-SGK11) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A, B, D tới đờng chéo AC bằng nhau Tính khoảng cách đó A D B C Chọn hệ... 1 2b a + c (1) 2 Ta cần chứng minh : A D ( ) ( ) x, y R : MN = xDC1 + yDA1 = x b + c + y a + c (2) 11 1 Từ (1) và (2) suy ra : x=1;y= Do đó MN//mp(DA1C1) 2 x1 = x2 Chú ý: Nếu a, b, c là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn : x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c thì: y1 = y2 z = z 1 2 3).Hai mặt phẳng song song Để chứng minh 2 mặt phẳng (P)//(Q), ta lấy trên (P) 2 véc tơ a, b , và trên (Q)... đẳng thức véc tơ dựa vào sự đồng phẳng của: A,B,C,H.(Nếu chọn gốc trùng với A,B,C việc tính toán sẽ dễ dàng hơn) +B2: Dựa vào sự vuông góc của MH với mp(ABC) để tìm các yếu tố biểu diễn HM qua cơ sở 2 +B3: Tính HM HM VD21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB=a; BC=b; CC=c Tính khoảng cách từ B tới mp(DAC) A B D C (H.15) A B D C { } Chọn hệ véc tơ: B, BA = a, BB ' = b, BC = c Gọi H là hình chiếu của... đờng thẳng chéo nhau ta thực hiện các bớc sau: +B1: Gọi HK là đờng vuông góc chung , biến đổi HK theo cơ sở.(có chứa tham biến) +B2: Dựa vào tính chất vuông góc của HK với 2 đờng thẳng thiết lập hệ pt +B3: Giải hệ pt, tìm biểu thức véc tơ theo cơ sở của HK , áp dụng: HK = HK 2 VD22(Ví dụ 2-Tr84-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA=a Tính khoảng... lợt là trung điểm của các cạnh AC và SB a) Tính độ dài MN b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a,b,h để MN là đờng vuông góc chung của AC và SB 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AD=2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA= a 6 a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mp(SCD) b) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) ... -18 Dạng 7: Góc giữa đờng thẳng ,mặt phẳng v mặt phẳng 1).Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng M +B1: Gọi N là hình chiếu của M trên (P) +B2: Biểu diễn các véc tơ : AM , AN, a, b theo cơ sở +B3: MN a; MN b , suy ra các đẳng thức véc tơ ( ) +B4: Tìm góc AM , AN Kết luận P) b M A N a VD23.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a, AC=b, AB=c, AA1=h Tính cosin góc giữa A B C A1 C1 B1 19 . học không gian (Sa-r-gin) và một số tài liệu khác trong đó có rất nhiều phơng pháp tôi tâm đắc nh phơng pháp véc tơ, phơng pháp đại số hoá, phơng pháp. thể đọc đợc một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phơng pháp đỡ t duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc đợc một số tài liệu hay nh: Tạp