Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30.. thu được đa thức..[r]
(1)Sở GDĐT THANH HÓA Trường THPT BỈM SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG ĐỢT I MÔN TOÁN KHỐI B NĂM HỌC 2011-2012 (Thời gian làm bài 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y=x +(1 −2 m) x 2+(2 −m)x +m+2 (1) (m là tham số) 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2.Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+ y+ 7=0 cos α = √ 26 Câu II (2 điểm)Giải các phương trình : góc α , biết x x 2 x x 8x x x π x 1+sin sin x − cos sin x =2cos − 2 ¿ x 2+1+ y (x+ y)=4 y Câu III (1.0 điểm) Giải hệ phương trình: ( x 2+1)( x + y − 2)= y (x, y R ) ¿{ ¿ Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo x Câu V(1 điểm) Cho các số thực không âm x , y , z thoả mãn x 2+ y + z 2=3 A=xy +yz +zx + Tìm giá trị lớn biểu thức x+ y+z PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): A Theo chương trình nâng cao: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+ y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết nó qua điểm M(3;1) Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển: ( 1+2 x )10 ( x2 + x +1 ) =a0 +a1 x+ a2 x + +a 14 x 14 Tìm hệ số a6 B.Theo chương trình chuẩn: Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 5,5 ; A(1;-1), B(2;1) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x+ y − 4=0 Tìm tọa độ đỉnh C ( ) C : x2 y x 0 Viết phương trình tiếp tuyến C , Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn biết góc tiếp tuyến này và trục tung 30 1− x ¿ n Câu VII.b (1 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức 1− x ¿2 + + n¿ 1− x+ 2¿ Tính hệ số a8 biết n là số nguyên dương thoả mãn + 3= Cn Cn n Hết thu đa thức P( x)=a0 + a1 x + +a n x n (2) Sở GDĐT THANH HÓA Trường THPT BỈM SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG ĐỢT I MÔN TOÁN KHỐI B NĂM HỌC 2011-2012 Câu ý Nội dung Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x ❑2 + a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: Điểm 0,25 0,25 lim y ; lim y x x •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2 x y’ 0,25 + y •Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: y,, =6x6 băng và đổi dấu x qua x=1 nên đồ thị có điểm uốn là: I (1 ;2) => Tâm đối xứng đồ thị là: I(1 ; 2) Đồ thị qua các điểm … Gọi k là hệ số góc tiếp ⇒ pttt tuyến là; y = kx +b => tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗ n1=(k ; −1) y 0,25 0,5 I (3) d: có véctơ pháp ⃗ n2=(1 ;1) -1 Ta có x n1 ⃗ n2| |⃗ |k −1| cos α = ⇔ = ⇔ 12 k −26 k+ 12=0 ⇔ n ⃗ n ⃗ 26 | 1|| 2| √ √ √ k +1 k 1= ¿ k 2= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Yêu cầu bài toán thỏa mãn ít hai phương trình: 0,25 ❑ y =k (1) ❑ y =k (2) có nghiệm x 3có nghiệm x +2(1 −2 m) x +2− m= ¿ x2 +2(1 −2 m) x +2− m= ¿ ¿ ¿ ¿ ❑1 Δ ≥0 ¿ Δ❑ ≥ ¿ ¿ ¿ ¿ m2 − 2m −1 ≥0 ¿ m − m−3 ≥ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 m≤ − ; m ≥ ¿ m≤ − ; m≥ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 (4) m≤ − m≥ II + Điều kiện xác 0,25 định: x 7 Ta có : (*) x x x x 1 x 0 0,25 x 1 x x 0 x 2 x 4 x 5 x x 0,25 (T/M đk) Kết luận: Tập 0,25 nghiệm phương trình: S = { 4; 5} 0,25 x x 1 sin sin x cos sin x 1 sin x 2 x x x x x ⇔ sin x sin −cos sin x −1 =0 ⇔ sin x sin − cos sin c 0,25 2 2 ( ) ( x x x ⇔ sin x (sin −1)(2 sin +2 sin + 1)=0 0,25 2 2 sin x 0 x sin 1 x x 0,25 sin sin 0 2 III Ta thấy y = không phải là 0,25 nghiệm hệ x k x k2 2 x k x k4 x k (5) Hệ phương trình tương đương với 0,25 x2 1 x y 2 y x (x y 2) 1 y Đặt x2 1 , v x y y Ta có hệ u 0,25 u v 2 u v 1 uv 1 Suy x2 1 y x y 1 Giải hệ trên ta nghiệm hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) Ta có SBD DCB (c.c.c) SO CO 0,25 Tương tự ta có SO = OA tam giác SCA vuông S IV CA x Mặt khác ta có AC BD AB BC CD AD BD x (do x 3) S ABCD 1 x2 x2 Gọi H là hình chiếu S trên (CAB) Vì SB = SD nên HB = HD H CO Mà 0,25 1 x SH0,25 SH SC SA2 x2 Vậy V = V Đặt t x y z 0,25 x x (dvtt) 0,25 t2 t 3 2( xy yz zx) xy yz zx 2 B _ (6) Khi đó A t 3 t Ta có 0,25 xy yz zx x y z 3 nên t 9 t 3 (vì t ) Xét hàm số 0,25 t f (t ) , t 3 t Ta có t3 f ' (t ) t t t (vì t ) Suy f (t ) đồng biến trên [ , 3] Do đó 14 f (t ) f (3) Dấu đẳng thức 0,25 xảy t 3 x y z 1 Vậy GTLN 14 A là , đạt x y z 1 VIa KH: d : x + y +1=0; d :2 x − y −2=0 d có véctơ pháp tuyến ⃗ n1=(1 ;1) và d có véctơ pháp tuyến ⃗ n2=(1 ;1) n1=(1 ;1) ⇒ phương trình AC: • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương ⃗ x − y − 3=0 ¿ x − y −3=0 x − y −2=0 C=AC ∩ d2 ⇒ Tọa độ C là nghiệm hệ: ⇒ C (−1 ; −4 ) ¿{ ¿ xB+ yB • Gọi B ( x B ; y B ) ⇒ M( ; ) ( M là trung điểm AB) 2 0,25 0,25 (7) ¿ x B + y B +1=0 yB x +3 − −2=0 B Ta có B thuộc d và M thuộc d nên ta có: ⇒ B(−1 ; 0) ¿{ ¿ • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: 2 x + y +2 ax +2 by +c=0 Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có ¿ a+ c=− − 2a+c=−1 −2 a −8 b +c=−17 ⇔ ⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là: ¿ a=−1 b=2 c=− ¿{{ ¿ x 2+ y −2 x+4 y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = √ Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 0) Góc AC với BC góc AB với BC nên : 2a 5b 2.12 5.1 2 52 a b 22 52 122 12 2a 5b a b 29 2a 5b 29 a b 0,5 0,25 0,25 a 12b a b =0 VIIa 9a2 + 100ab – 96b2 Với a = -12b thì đường thẳng AC song với AB nên không t/m Với 9a = 8b hay a = và b = Thì Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = x+1 ¿ + • Ta có nên x + x +1= ¿ 10 1+2 x ¿ 1+2 x ¿12 + ¿ 16 14 1+2 x ¿ + ¿ x 2+ x +1 ¿2= ¿ 16 10 ( 1+2 x ) ¿ • Trong khai triển ( 1+2 x )14 hệ số x là: 26 C 614 Trong khai triển ( 1+2 x )12 hệ số 6 x là: C 12 Trong khai triển ( 1+2 x )10 hệ số x là: 26 C 610 0,25 0,25 0,25 0,5 (8) 6 6 6 C 14 + C12 + C10=41748 16 16 x y • Gọi tọa độ điểm C( xC ; y C ) ⇒G(1+ C ; C ) Vì G thuộc d 3 x y ⇒ 1+ C + C −4=0⇒ y C =−3 x C +3 ⇒ C ( xC ; −3 x C +3) 3 ⇒ ptAB:2 x − y −3=0 AB=(1 ;2) •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương ⃗ 11 11 |2 x C +3 xC −3 − 3| 11 • S Δ ABC= AB d (C ; AB)= ⇔ d (C ; AB)= ⇔ = 2 √5 √5 √5 ⇔|5 x C − 6|=11 ⇔ x C =−1 ¿ 17 x C= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 17 17 36 • TH1: x C =−1 ⇒C (−1 ; 6) + TH2: x C = ⇒ C ( ; − ) 5 cần tìm là Nên tt có Vì góc tt và ox là 600 nên Hệ số góc tiếp tuyến : 3x y b 0 : 3x y b 0 dạng : • Vậy hệ số a6 = VI b ( ) C : x 1 y 1 I 1; ; R 1 Mà: 1 : x y b 0 b tiếp xúc (C) ( I là tâm đường tròn ) VIIb 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 d I , 1 R 1 b 2 : 3x y 2 0 KL: : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d I , R b 1 b 2 : 3x y 2 0 KL: 2 0,25 + 3= ⇔ C n Cn n n≥ Ta cã ! + = n(n −1) n(n− 1)( n− 2) n ¿{ ⇔ n≥3 n −5 n −36=0 ⇔ n=9 ¿{ Suy a8 là hệ số x biểu thức 8(1 x) 9(1 x) a8 = 8.C88 9.C98 89 Hay Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (9) (10)