Đang tải... (xem toàn văn)
d Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác giao các phân giác trong của các góc của tam giác: Tâm K của đường tròn nội tiếp ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo[r]
(1)Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG HỆ TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM: Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó: i = (1; 0) và j = (0;1) là các vectơ đơn vị trên các trục.Ta có: i = j =1 và i j =0 Tọa độ vectơ : u = (x ; y) u = x i + y j Tọa độ điểm : OM = (x ; y) M(x ; y) x: hoành độ và y: tung độ điểm M Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và G là trọng tâm ABC: x x A x B x C ; y y A yB yC G G 3 b) Trực tâm tam giác (giao các đường cao): AH BC AH BC H là trực tâm BH CA BH CA c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao các trung trực): I(a;b) là tâm (ABC) AI = BI = CI = R (bán kính (ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2 Tọa độ I d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác các góc tam giác): Tâm K đường tròn nội tiếp ABC tìm thực hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: AB Vì DB k nên D chia các vectơ a =(a1; a2) và b = (b1 ; b2) Ta có: BC theo tỉ số k1 Tọa độ D BA k2 nên K chia AD BD KD theo tỉ số k2 Tọa độ K b) k a = (ka1 ; ka2) (k là số thực) Vì c) Tích vô hướng: a b = a1 b1 + a2 b2 Hệ quả: | a | = a1 b1 a2 b2 2 2 2 a a b b a b a1 b1 + a2 b2 = d) a = b a1 b1 a b e) b1 b2 k R : b k a a a a , b cùng phương a1 a2 a1b a2 b1 b1 b g) Khoảng cách: AB | AB | (x B - x A )2 (y B - y A ) h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1) MA = k MB Khi đó tọa y ky B x A kx B và yM A 1 k 1 k M là trung điểm AB ta có: xM xA xB y yB và yM A 2 Kiến thức tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC) a) Trọïng tâm tam giác (giao các đường trung tuyến): 2) Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Định lý: Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: Ax+By+C = với A2 +B2 Chú ý: có vectơ pháp tuyến n = (A;B) và có vectơ phương 1) Định nghĩa: Cho các vectơ u và n khác vectơ u là vectơ phương đường thẳng u nằm trên đường thẳng song song trùng với Mọi vectơ phương có dạng k u ( k 0) n là vectơ pháp tuyến đường thẳng n nằm trên đường thẳng vuông góc với Mọi vectơ pháp tuyến có u = (B; A) u = ( B; A) b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng qua M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến n = (A;B) là: A(xx0) + B(yy0) = với A2+B2 3) Phương trình tham số chính tắc đường thẳng: a) Phương trình tham số đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng qua M0(x0 ; y0) và có vectơ phương u =(a; b) là: x x at với a2+b2 0, tỴR y y bt b) Phương trình chính tắc đường thẳng: Phương trình chính tắc đường thẳng qua M0(x0 ; y0) và có vectơ phương 1 S= ah a = bh b = ch c 2 1 S= ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 abc S= = pr = p( p a)(p b)(p c) 4R S= AB AC (AB AC) = det( AB, AC) , 2 a1 a đó: det( AB , AC ) = =a1b2a2b1 b1 b với AB =(a1; a2) và AC = (b1 ; b2 ) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: f) Tọa độ vectơ: AB =(xBxA;yByA) độ M tính bởi: x M KA e) Diện tích tam giác: a 12 a 22 cos(a , b) AC DC a) a b = ( a1 b1; a2 b2) phương u vectơ pháp tuyến n u =(a; b) là: x x0 y y0 2 (a +b 0) a b VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHÙM ĐƯỜNG THẲNG: 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho đường thẳng 1:A1x+B1y+C1 = (1) và 2 :A2 x+B 2y+C2=0 (2) ( A 12 B12 0 và A 22 B22 0) Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết sau: Hệ có nghiệm A1B2A2 B101 và 2 cắt Hệ vô nghiệm A1B2A2B1=0 và B1C2B2C10 1 //ø 2 Hệ có vô số nghiệm A1B2A2B 1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0 1 2 2) Chùm đường thẳng : Hai nhiều đường thẳng cùng qua điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu 1:A1x+B1y+C1=0 và 2:A2x+B2 y+C 2=0 cắt I (A1B A2B1 ) thì phương trình chùm đường thẳng tâm I là: m(A1x+B1 y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = (với m2+n2 0) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG: 1.Góc hai đường thẳng: Cho đường thẳng 1:A1x+B1y+C1=0 và 2 :A2 x+B2y+C2 =0 Nếu gọi (00 900) là góc 1 và 2 thì: A1A2 B1B2 cos A12 B12 A22 B22 dạng k n ( k 0) Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết M0Ỵ và vectơ Hệ quả: 1 2 A1A2 + B1B = (2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến :Ax+By+C=0 là: Ax0 By0 C (A2+B20) d(M, ) A B2 b) Hệ quả: Nếu 1 : A1x+B1y+C1 =0 và 2 : A2x+B2y+C2 = cắt I (A1B2 A2B1) thì phương trình các phân giác tạo (1) và (2) là: A1x B1y C1 A2x B2y C2 A12 B12 A22 B22 ĐƯỜNG TRÒN: 1.Phương trình đường tròn: a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng: (xa)2 +(yb)2 =R b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R : x2+y2 = R với C=(Ax0+By0) Bình phương vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến (C) qua M ElÍP: 1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M mặt phẳng cho MF1+MF2 =2a (2a không đổi và a> c> 0) là đường elíp F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1 F2 =2c là tiêu cự elíp MF1, MF2 : là các bán kính qua tiêu x2 y2 2) Phương trình chính tắc elíp: với b2 = a2 c2 a b 3) Tính chất và hình dạng elíp:: Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O Đỉnh: A1(a;0), A2(a;0), B1(0;b) và B 2(0; b) Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b Tiêu điểm: F1 (c; 0), F2( c; 0) Nội tiếp hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a và 2b với b2 = a2 c2 c) Phương trình x2+y2 +2Ax+2By+C = với A2+B2 C>0 là phương trình đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính R= A B C 2.Phương tích điểm đường tròn: Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = Phương tích điểm M(x0 ; y0) (C) là: P M/(C)= F(x0,y0) = x 20 y 20 2Ax 2By C 3.Trục đẳng phương hai đường tròn khác tâm: a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đường tròn khác tâm (C 1) và (C 2) là đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối tâm I1 và I2 (C 1) và (C2) và gọi là trục đẳng phương (C1) và (C 2) b) Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1 y+C1=0 và (C 2):F2 (x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2 =0 khác tâm, phương trình trục đẳng phương (C1) và(C2 ) là: F1(x,y)= F2(x,y) 2(A1 A2)x+2(B1 B 2)y+C1 C2 = Tiếp tuyến đường tròn : Cho (C):F(x;y)=(xa)2 +(yb)2 R2=0 và điểm M(x0 ;y0), để viết phương trình tiếp tuyến (C) qua M ta tìm phương tích M (C): Nếu P M/(C) < thì M nằm (C), qua M không kẻ tiếp tuyến nào với (C) Nếu P M/(C) = thì M thuộc (C), qua M kẻ tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này qua M có vectơ pháp tuyến IM = (x0a; y0b) Nếu P M/(C) > thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực sau: Gọi là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến n =(A;B): A(xx0 )+B(yy0) = (1) với A2+B2 0 tiếp xúc (C) d(I,)= Aa Bb C x2 y2 1 a b2 (a> b > 0) 3) Tính chất và hình dạng hypebol (H): Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O Đỉnh:A1(a;0),A2 (a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b Tiêu điểm F1(c; 0), F2 ( c; 0) Hai tiệm cận: y= x y2 1 a b2 bx a Hình chữ nhật sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2= c2 a2 a2 b >1 a a a2 Hai đường chuẩn: x= e c Tâm sai: e c a Độ dài các bán kính qua tiêu M(x;y)(H): * MF1 = ex + a và MF2= exa x > * MF1 = exa và MF2=ex+ a x < x2 y2 1 a2 b2 x x y y Tại M0(x0; y0) (H) có phương trình: 02 02 a b 4) Tiếp tuyến hypebol (H): a2 b <1 a a a2 Hai đường chuẩn: x= e c Tâm sai: e c a M(x;y)(E): MF1 = a+ ex và MF2 = aex 2 4) Tiếp tuyến elíp (E): x y : a b Tại M0(x0;y0)(E) có phương trình: x 0x y0y 1 a2 b Đi qua M(x1 ; y1) là :A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện: tiếp xúc (E)A2 a2+B2b2 =C2 A2+B2 0,C=(Ax1+By1 )0 HYPEBOL: 1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M mặt phẳng cho MF1MF2 =2a (2a không đổi và c > a> 0) là Hypebol F1, F2 : cố định là tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự MF1, MF2 : là các bán kính qua tiêu x y2 2.Phương trình chính tắc hypebol: b2 = c2 a2 a b Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1 =R A B2 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1 ) = với điều kiện: tiếp xúc (H) A2a2 B 2b2 = C2 A2 +B 20,C=(Ax1+By1)0 PARABOL: 1) Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M mặt phẳng cách đường thẳng cố định và điểm F cố định không thuộc : đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > là tham số tiêu 2) Phương trình chính tắc Parabol: y 2px 3) Hình dạng Parabol (P) : Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F( p ; 0) p p M(x;y)(P): MF = x+ với x Đường chuẩn : x = y 2px 4) Tiếp tuyến parabol (P): y2=2px: Tại M0(x0 ; y0) (P):y2=2px có phương trình: y0 y = p(x0+x) Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = với điều kiện: tiếp xúc (P) pB2 = 2AC A2+B2 0 và C=(Ax1+By1)0 (3)