GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1 Cách tìm GTLN-GTNN trên a,b + Lập bảng biến thiên của hàm số trên a,b + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại cực tiểu thì giá [r]
(1)Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: *Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba Các bước khảo sát: +Tập xác định : D = R +Tìm y' và xét dấu y' +Tìm giới hạn hàm số a0 y lim (ax bx cx d ) lim a0 x x a0 y lim (ax bx cx d ) lim a0 x x +Lập bảng biến thiên : dấu y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( có ) hàmsố +Tìm y" và giải pt y" = điểm uốn đồ thị +Đồ thị: Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( có ) Tìm thêm điểm để vẽ chính xác đồ thị Lưu ý: Nên tìm giao đồ thị với trục tung ( cho x = tìm y) và giao đồ thị với trục hoành ( số giao điểm là số nghiệm phương trình ax3 + bx2 + cx + d = ) * Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương Các bước khảo sát: +Tập xác định : D = R +Tìm y' và giải phương trình y'= +Tìm giới hạn hàm số a0 y lim (ax bx c) lim a0 x x a0 y lim (ax bx c) lim a0 x x +Lập bảng biến thiên : dấu y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( có ) hàmsố +Đồ thị: Nhận trục Oy làm trục đối xứng Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( có ) Tìm thêm điểm để vẽ chính xác đồ thị ax b * Hàm số y (C) cx d Các bước khảo sát: d - TXĐ: D = R\ c ad bc - Đạo hàm : y ' cx d 2 + y ' 0, x D hàm số nghịch biến trên TXĐ và không có cực trị + y ' 0, x D hàm số đồng biến trên TXĐ và không có cực trị - Tiệm cận : d + Tìm lim f ( x); lim f ( x) x là tiệm cận đứng d d c x x c + lim f ( x) x c a a y là tiệm cận ngang c c Lop12.net (2) - Lập bảng biến thiên : Chú ý: y’, y không xác định x d và giá trị y x c - Đồ thị: +nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng +giao điểm với hai trục toạ độ: b b x 0 y ;y 0 x d a ax bx c * Hàm số y (C) a ' x b' Các bước khảo sát: k Thực phép chia tử cho mẫu y mx n a'x b' b' - TXĐ: D = R\ a' - Đạo hàm : y ' m a ' x b ' m a ' x b ' ka ' (a ' x b ') 2 ka ' - Giải phương trình y’= - Tiệm cận : + Tìm lim b' x a' f ( x); lim b' x a' f ( x) x b' là tiệm cận đứng a' k y mx n là tiệm cận xiên a'x b' b' - Lập bảng biến thiên :Chú ý: y’, y không xác định x a' - Đồ thị: + lim f ( x) (mx n) lim x x Các dạng đồ thị hàm số: Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) a>0 a<0 Phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt Phương trình y' = có nghiệm kép Phương trình y' = vô nghiệm Lop12.net (3) Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0) y y O O x a>0 y y x O a>0 a<0 Dạng 1: hàm số có cực trị ? Hàm số biến : y O x x a<0 Dạng 2: hàm số có cực trị ? ax b (ad bc 0) cx d y y I I O O x Dạng 1: hsố đồng biến x Dạng 2: hsố nghịch biến ax bx c Hàm số hữu tỷ (2/1) : y (tử, mẫu không có nghiệm chung, ) a1x b1 y y O I x O Dạng 1: hàm số có cực trị y y I x I O x I x O Dạng 2: hàm số không có cực trị CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I Tìm giao điểm hai đường Giả sử hàm số y f (x) có đồ thị là (C) và hàm số y g(x) có đồ thị là (C1 ) Để tìm hoành độ các giao điểm (C) và (C1 ) ta giải phương trình: f (x) g(x) (1) Số nghiệm phương trình chính là số giao điểm hai đồ thị (C) và (C1 ) Nếu x o , x1 , là các nghiệm (1) thì các điểm M o (x o ; f (x o )), M1 (x1 ; f (x1 )) là các giao điểm (C) và (C1 ) Lop12.net (4) II Viết phương trình tiếp tuyến Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) M0(x0;y0) (C) Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) x x0 hay y – y0 = k(x – x0) (*) Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*) Rút gọn ta có kết Bài toán 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua hay xuất phát từ A(xA;yA) Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1) Bước 2: (d) là tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: f ( x) k ( x x A ) y A f '( x) k Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1) Ta có kết Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng (D) ) C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết) f ( x) kx m Bước 2: Lập và giải hệ pt: k = ? thay vào (**) f '( x) k Ta có kết Chú ý: Hai đồ thị hàm số y f (x) và y g(x) tiếp xúc với và hệ C2: f ( x) g ( x) phương trình sau đây có nghiệm: f '( x) g '( x) III Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) a) Hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) f (x) với x (a; b) b) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) f (x) với x (a; b) IV.Cực đại và cực tiểu Cho hàm số y = f(x) , xo thuộc tập xác định hàm số Nếu x qua xo đạo hàm đổi dấu thì xo là điểm cực trị hàm số o Nếu đổi dấu từ + sang – thì xo là điểm cực đại hàm số o Nếu đổi dấu từ - sang + thì xo là điểm cực tiểu hàm số Để tìm các điểm cực trị hàm số ta có hai quy tắc: o Tìm các điểm tới hạn sau đó xét dấu đạo hàm f (x) o Giải phương trình f (x) = Gọi x i là các nghiệm Xét dấu f (x) f”(xi) > xi là điểm cực tiểu f”(xi) < xi là điểm cực đại Bài toán : Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị và các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện nào đó - Tìm điều kiện m đạo hàm hàm số có đổi dấu (số lần đổi dấu số cực trị) - Tìm tọa độ các điểm cực trị đặt tiếp điều kiện m để thỏa mãn điều kiện mà bài toán yêu cầu Lop12.net (5) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) hàm số trên (a,b) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b] + Tìm các điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) trên [a,b] + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) + Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] BÀI TẬP LUYỆN TẬP y x3 x Tìm GTNN hàm số : y x với x > x Tìm GTLN và GTNN hàm số : y x x Tìm GTLN hàm số : Tìm GTLN và GTNN hàm số : y sin 2x - x Tìm GTLN và GTNN hàm số : y Tìm GTLN và GTNN hàm số : Tìm GTLN và GTNN hàm số : Tìm GTLN và GTNN hàm số : Tìm GTLN và GTNN hàm số: sinx cosx trên ; 2 trên 0; y x x2 y sin x cos2 x y 2(1 sin x.cos x) (cos x cos 8x) y x 3x3 x x với x [2;2] 10 Tìm GTLN và GTNN hàm số : y sin x x 11 Tìm GTLN và GTNN hàm số : y x 2.e x trên ; 2 trên [3;2] 12 Tìm GTLN và GTNN hàm số : y 5cosx cos5x 13 Tìm GTLN và GTNN hàm số: y x 3 x2 x 15 Tìm GTLN và GTNN hàm số: y x 12 3x y ( x 2) x 16 Tìm GTLN và GTNN hàm số: y (3 x) x 14 Tìm GTLN và GTNN hàm số: 17 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số : Lop12.net trên [ ; ] 4 với x [0;2] 2cos2 x cos x y cos x (6) y 2sin x sin3 x trên đoạn 0; 19 Tìm GTNN hàm số : y x x trên đoạn ;3 20 Tìm GTLN và GTNN hàm số : f ( x) cos 2 x 2(sin x cos x) 3sin x 18 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y 4cos2 x 3sinx 7sin2 x sin x 22 Tìm GTLN và GTNN hàm số : y sin x sin x 1 23 Tìm GTLN và GTNN hàm số: y 2(1 sin2 x cos4 x ) (cos4 x cos8x ) 24 Tìm GTLN và GTNN hàm số: y 2(sin3 x cos3 x ) 8sin x.cos x (1 sin x) sin x 17 25 Chứng minh các bất đẳng thức sau : 21 Tìm giá trị lớn và bé hàm số sau : Bài 1: Cho hàm số y x3 3mx 3(2m 1) x a) Khảo sát hàm số m=1 b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định Bài 2: Cho hàm số y mx 2x m a) Khảo sát và vẽ đồ thị m=2 b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1 c) Chứng minh với giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định nó Bài 3: Chứng minh a) x > sinx x (-π/2,π/2) b) e x 1 x x R c) x e ln x x>1 Bài 4) Cho hàm số y x (m 2)x m , m là tham số, có đồ thị là (Cm) x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Với giá trị nào k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có giao điểm phân biệt A và B Bài 5) Cho hàm số y x 4mx 5m , có đồ thị là (Cm) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để trên đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua O Bài :Cho hàm số y x3 gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là số nguyên c) Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ Lop12.net (7) d) Tìm điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé f) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận hai điểm I;J chứng minh S là trung điểm IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến đường cong (C) Bài 7: Cho hàm số y ( x 1) (4 x) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng tỏ đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3 x x m Bài 8: Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx 2m a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) m=1 chứng tỏ trục hoành là tiếp tuyến (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó Bài : Cho hàm số y -x x x a) b) c) d) e) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2-5x+m=0 Tiếp tuyến với (C) gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) điểm M tìm tọa độ M Biện luận theo k vị trí tương đối (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Chương I: HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Lop12.net (8) Lop12.net (9) Lop12.net (10) * ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT (ax)’ = ax lna ; (au)’ = u’ au lna , u = u(x) log a x ' (ex)’ = ex ;(eu)’ = u’ eu , u = u(x) x ln a x ln x ' log a u ' ; ln u ' ; u' ,u u ( x) u ln a u' ,u u ( x) u BÀI TẬP I Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức … lũy thừa Bài Viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau : a/ 11 23 2 b/ a a a a : a ; a > c/ x x ; (x > 0) d/ a3a ; (ab > 0) b b Bài Đơn giản các biểu thức sau : a/ (a 5) 81a 4b ; (b 0) b/ a 2 1 ( b ) a d/ P ( a b ) ab h/ c/ x8 ( x 1) ; ( x 1) a a 1 a 3a 1 e/ Q ;(a 0; a 1; a ) 1 a2 a 2a 3a 13 48 Bài Đưa nhân tử ngoài vào dấu căn: a/ (4 x) x ;( x 4) b/ (5 a ) ; (0 a 5) x4 25 a Bài Trục mẫu số các biểu thức sau : ; a 0; b a/ b/ c/ 20 3 ab Bài Tính giá trị biểu thức : d/ 1 a/ A 3 : : 16 : (5 3.2 (a ab) e/ 11 a2 b2 b/ B= : a 2 3 ab a a b b ; với a 53 và b 5 3 c/ C a b(ab ) (a 1 ) ; với a và b 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau : a a2 a2 0 a/ a b/ a a 4b b a 2b ( a b )3 1 a2 a a2 a a2 c/ 2 2 Bài Rút gọn biểu thức : a/ a ( ) 1 b/ b : b ( a d/ 1)2 7 7 c/ x x : x 4 Bài Viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: d/ (a 25 ) 5 A a a a a : a12 Bài Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng? a) 9x y 3x y b) (5 2a)2 5 2a Bài 10 Cã thÓ viÕt: ( 27)1 / 27 3 ®îc kh«ng? Lop12.net c) 27a6b9 3a2b3 (11) II Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức … mũ và lôgarit Bài Tính giá trị các biểu thức sau : 1/ A 3log3 , 2/ B = 16 log4 , 3/ C = 27 log9 / D = log 59 , / E = log 162 Bài Tính giá trị các biểu thức sau : 1/ A=4 2+log 2/ B=3 / E 42 log2 5/F=5 , / F = log 27 92 log log , 3/ D=3 1-log125 27 , 1+log / G = log log 2 Bài TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: A = log 2 log8 C= 36 log 1 log 5 27 log 59 B= log 2 3 log log Bài Tính: a 3 9 c 81 e 3 3 g 16 3 log8 8 d 16 5 log8 Bài 2 log3 32 log8 log6 C= log 25 log8 49 log6 13 log6 3 125 h 2 log 27 log 5 27 log log6 16 log6 25 121 log8 11 log 16 5 log j Bài Biết: log5 = a Tính: log125000; log0,00625; Bài 27 f log log log8 log16 log5 B= b 27 log3 log 3 i 27 A= log log5 log5 31 log9 42 log 5log125 27 42 log D = log 16 log 27 3 log log 3 log 36 Bài Rót gän biÓu thøc: 25log5 49log 3 log7 log 0,1 log 1000 a) Biết: log 14 a , tính log56 32 c) Biết: log a , Tính log1,2 30 a) Tính log30 biết log30 a; log30 b 27 c) Tính log biết log5 = a 25 b) Biết: log3 a , Tính log75 45 d) Tính log40 biết log = a b) Tính log54 168 biết log7 12 a, log12 24 b d) Tính log 49 14 biết log 28 98 = a e) Tính log 21 x biết log3 x a, log7 x b Lop12.net (12) a) Biết logab a , Tính logab Bài a b) Biết loga a b b Bài 10 Biến đổi các biểu thức sau dạng luỹ thừa có số a, biết: a, A = 33 3 vµ a = b, B = 45 Tính log a b a 2b2 ab3 vµ a = III So sánh 5 b/ ( ) và a/ 3600 và 5400 Bài So sánh: Bài So s¸nh a, b biÕt: a) a b b) 52 c/ 2.214 a 52 3 và b Bài Các bất đẳng thức sau đúng hay sai, sao? a) 3 0,75 3 0,5 b) 4 3/4 4 0,7 c) (1,1) (1,1) e d) 3 0,1 0,1 e 3 Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 50 70 b) a 2 2 Bài Cã nhËn xÐt g× vÒ sè a nÕu: a) 3 3 79 a1 0,007 0,01 a 8 8 b) 3 3 3 a c) a 13 a 15 (Cho a > 0) Bài Tìm tất các giá trị x thoả mãn các bất đẳng thức sau: 1 4 81 a) 3x x c) a x b x víi < a < b b) x x 1 d) 0, 25 2 IV Đồ thị hàm số mũ và lôgarit 1 e) 4 Bài Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = 2x b, y = f) 0,5 x x Bài Căn vào đồ thị: y 2x vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y 2x b) y 2|x| c) y 8.2x d) y 2x Bài Vẽ đồ thị hàm số: y = 3x Từ đó suy cách vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y 3x b) y 3.3x Bài Trên cùng hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số: y , y x x H·y cho biÕt, nµo th× ? Bài Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = log x b, y = log x x x Bài Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y log3 x x b) y log3 |x| Bài Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = e b, y = -e Bài Vẽ các đồ thị sau: a) y log1 / x Bài Vẽ các đồ thị sau: 2x a) y log3 (x 2) c) log3 x x 1 c, y = b) y log1 / x2 b) y |log3 (x 2)| x 1 Bài 10 Vẽ đồ thị hàm số: y Từ đó hãy suy cách vẽ đồ thị các hàm số sau: 4 Lop12.net d) y log3 x2 (13) x a) y x b) y 4 Bài 11 Cho hµm sè: y x 1 d) y 4 |x| c) y ) x 1 a) Vẽ đồ thị hàm số và so sánh với đồ thị hàm số y b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè y c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè y x 1 có giá trị 4, 8, 32? x 1 cã gi¸ trÞ lín h¬n 2? d) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè y x 1 cã gi¸ trÞ lín h¬n nhng bÐ h¬n 2? b) y log (2x 3x 5) a) y log3 (x 8x 12) Bài 12 T×m TX§: x a) y log8 (2x 9x 10) Bài 13 T×m TX§: b) y 5 log2 (x 2x 3) V Đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: y = e 2x x 2 y = x.e e2x e x y = 2x e ex 3x y x x 1 x cos x y = e y = e x x 4x x y = 3 x x x e 3x 11 y = x x x cos x 10 y = e y = cosx e cotx e3x e2x y = 3x e e2x 12 y = cos 2x.e x2 Bài 2.Tìm đạo hàm các hàm số sau: y = ln 2x x y = log x cos x y = 3x cos x 11 y = y = e x ln cos x 2x ln 2x 1 x 1 y = 2x 1 ln 3x x ln 2x 1 y = log3 cos x y = ln x 3x 10 y = log y = log cos x 12 y = e2x ln cos x Bài 3.Chøng minh r»ng: Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: xy’ = y(ylnx - 1) x ln x x2 x x ln x x tháa m·n hÖ thøc: Hµm sè y = 2 2y = xy’ + lny’ Hµm sè y = x e x 2008 tháa m·n hÖ thøc: y’ = 2xy x 1 ex x Lop12.net y = 2x ln 3x (14) Hµm sè y = Hµm sè y = e x cos x tháa m·n hÖ thøc: y 4y Hµm sè y = e2x sin 5x tháa m·n hÖ thøc: y” - 4y’ + 29y = Hµm sè y = x.e x tháa m·n hÖ thøc: x.y’ - (1 - x)y = Bài 4: 1/-Cho y = ln Cmr: xy '1 e y 1 x 2/-Cho y x x Cmr: y y ' '1 x3 3/-Cho y Cmr: y ' y 1 y" x4 4/-Cho y e x cos x Cmr: y 4 y 5/-Cho f ( x) cos x Cmr: f f ' sin x 4 4 6/-Cho y = e2xsin5x Cmr: y”- 4y’ + 29y = 8/-Cho y xe x ln x tháa m·n hÖ thøc: 2x2y’ = x y x 1 ln x Chứng minh rằng: x y" xy ' y Lop12.net (15)