Đường tròn Bài 1: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng chin điểm: - Trung điểm của ba cạnh - Chân các đường cao - Ba trung điểm của ba đoạn nối trực tâm với ba đỉnh cùng nằm trên một đường[r]
(1)Phần II Đường tròn Bài 1: Cho tam giác ABC , chứng minh chin điểm: - Trung điểm ba cạnh - Chân các đường cao - Ba trung điểm ba đoạn nối trực tâm với ba đỉnh cùng nằm trên đường tròn (đường tròn Ơle) Bài 2: Ba đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) có bán kính và R cùng cắt O gọi giao điểm thứ hai cặp hai số ba đường tròn là A, B, C Chứng minh rằng: a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C có bán kính R b) Ba dường thẳng xác định tâm đường tròn này và giao điểm hai đường tròn cắt điểm Bài 3: Trong đường tròn (O) cho điểm A khác O Tìm trên đường tròn này điểm M cho AMO có số đo lớn Bài 4: Cho (O;R), điểm M nằm trên đường tròn này; dựng điểm N cho MN OM đồng thời MN có độ dài a cho trước a) Tìm tập hợp điểm N b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON c) Tìm hệ thức a và R đường tròn (O;R) là tập hợp trọng tâm MON Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R); H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC Chứng minh: AH = 2OM Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) Gọi M, N, P là các trung điểm các cạnh BC, AC, AB Vẽ các đường thẳng MM’, NN’, PP’ song song với OA, OB, OC Chứng minh MM’, NN’, PP’ đồng quy Bài 7: Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R); H là trực tâm, G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hang Bài 8: tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là trung điểm cạnh BC; H là trực tâm tam giác ABC; K là hình chiếu vuông góc A trên BC Tính độ dài AK và OM HK KM diện tích tam giác ABC biết và AM = 30 cm Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O’;R) AN và CK là các đường cao tam giác ABC Đường tròn qua ba điểm B, K, N cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai là M Gọi O là trung điểm AC Chứng minh rằng: OM MB Bài 10: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC D IM DM và E Cho M là điểm thuộc đoạn AD; Cm cắt DE I Chứng minh rằng: IC CE Bài 11: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Đoạn MN có độ dài thay đổi; M chạy trên AB; N chạy trên AD cho chu vi tam giác AMN không đổi 2a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN Chứng minh H nằm trên đường tròn cố định Bài 12: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ A đến đường kính BC đường tròn Chứng minh rằng: PC cắt AH trung điểm I AH (2) Bài 13: Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D; vẽ đường kính DE đường tròn (O); AE cắt BC M Chứng minh: BD = CM Bài 14: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D; đường tròn (I) là đường tròn bang tiếp góc A tam giác ABC vá tiếp xúc với cạnh BC F Vẽ đường kính DE đường tròn (O) Chứng minh rằng: ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài 15: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D; đường tròn (I) là đường tròn bang tiếp góc A tam giác ABC vá tiếp xúc với cạnh BC F Gọi K và R là trung điểm các đoạn AD và DF Chứng minh rằng: ba điểm K, O, R thẳng hàng Bài 16: tam giác ABC nhọn, O là trung điểm BC Dựng đường tròn tâm O đường kính BC, vẽ đường cao AD tam giác ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O), M, N là các tiếp điểm Gọi E là giao điểm MN với AD Chứng minh: AE AD = AM2 Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vuông góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) E Chứng minh rằng: tam giác BDE cân Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm thuộc nửa đường tròn Qua C kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn Kẻ các tia Ax và By song song với cắt d theo thứ tự D và E CMR: AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài 19: Cho tam giác ABC cân A có số đo góc A , đường cao AH = h, vẽ đường tròn (A;h), tiếp tuyến bất kì khác BC đường tròn (A) cắt các tia AB, AC các điểm là B’ và C’ a) CMR: diện tích tam giác ABC nhỏ diện tích tam giác AB’C’ b) Trong các tam giác có góc , đường cao hạ từ đỉnh góc này xuống cạnh đối diện h tam giác nào có diện tích nhỏ Bài 20: Tìm tất ba số tự nhiên a, b, c là độ dài các cạnh tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25 Bài 21: Một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích và chu vi CMR: tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng Bài 22: Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AB D Tính số góc C biết: AC BC = 2AD DB Bài 23: Tam giác ABC có chu vi 80 cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M và N a) Biết MN = 9,6 cm Tính BC b) Biết AC – AB = cm Tính AB, AC, BC để MN có giá trị lớn Bài 24: Cho tam giác ABC có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp Đường thẳng vuông góc với CI I cắt AC, BC M và N CMR: a) AM BN = IM2 = IN2 IA2 IB IC 1 b) bc ca ab (a=BC, b=AC, c=AB) Bài 25: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn song song với các cạnh tam giác cắt các cạnh tam giác các điểm M, N, P, Q, R, S (MN//BC; RS//AC; PG//AB; M, S AB; N, P AC) a) CMR: MN = RQ; SM = PQ; RS = NP và MQ, NR, PS cùng qua điểm (3) b) Gọi r1 , r2 , r3 , r là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác AMN, BRS, CPQ, ABC Chứng minh rằng: r r1 r2 r3 c) Gọi S1, S2, S3, S là diện tích các tam giác AMN, BRS, CPQ, ABC S1 S2 S3 S Tìm giá trị nhỏ tỉ số: đường tròn (O) cố định, tam giác ABC có ba đỉnh thay đổi Bài 26: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I;r); các bán kính ba đường tròn bàng tiếp là , rb , rc Chứng minh: rb rc 9 r Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A, r là bán kính đường tròn nội tiếp; BC = a a 2( 1) r Chứng minh: Bài 28: Đường tròn (O) nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC M, N, P, gọi p là nửa chu vi tam giác ABC Xác định góc tam giác ABC biết: AP 2009 BM 2009 CN 2009 p PB 2008 MC 2008 NA2008 Bài 29: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi (O;r), (O 1;r1), (O2;r2) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tam giác BAH, tam giác ACH a) CMR: AH = r + r1 + r2 b) Chứng minh: r2 = r12 + r22 c) Tính O1O2 biết AB = cm, AC = cm d) Chứng minh: AH2 = r1p2 + r2p1 (p1 và p2 là nửa chu vi các tam giác AHB và AHC) Bài 30: Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC A là điểm di động trên nửa đường tròn, vẽ AH vuông góc với BC H Các đường tròn (I;r), (I 1;r1), (I2;r2) là các đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tam giác HAB, tam giác HAC Tìm vị trí A để: a) r + r1 + r2 lớn b) Độ dài I1I2 lớn Bài 31: Cho tam giác ABC cân A Một đường tròn tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC các điểm P và Q CMR: Trung điểm PQ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 32: Gọi R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác cân ABC Chứng minh rằng: Khoảng cách hai tâm đường tròn R( R 2r ) Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm đường tròn nội tiếp tam giác CMR: Max{a2; b2; c2} < 4.min{bc, ca, ab} Trong ddos a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Bài 34: Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA và CB tam giác ABC M và N Đường thẳng MN vị trí nao thì diện tich tam giác CMN nhỏ Bài 35: Cho góc xOy có số đo 90 Đường tròn (I; r) tiếp xúc với hai cạnh góc M và N Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (I) và cắt hai cạnh Ox, Oy góc A và B Xác định vị trí d để diện tích tam giác AOB nhỏ (d tiếp xúc với (I) cho tiếp điểm thuộc cung lớn MN) (4) Bài 36: Hai đường tròn có bán kính R và r (R > r) tiếp xúc với Xác định bán kính đường tròn thứ ba tiếp xúc với hai đường tròn đã cho đồng thời tiếp xúc với đường nối tâm hai đường tròn Bài 37: Cho hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r (R > r) Tìm hai cạnh hình vuông có hai đỉnh nằm trên đường tròn bán kính r và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn bán kính R Tìm tỷ số R và r để bài toán giải Bài 38: Chu vi hình bình hành ABCD (AD > AB) 26, góc ABC 120 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD Tìm cạnh hình bình hành (5)