Tài liệu Đề thi đáp án toán lớp 10 tham khảo 4 doc

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 1 .Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Năm học 2004 – 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên toán) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 15 – 07 – 2004 Bài 1 (1,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 4 6 0x x x x   + − + + =     Bài 2 (2 điểm) Xác đònh các hệ số a và b để đa thức: x 4 – 6x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác. Bài 3 (2,5 điểm) Cho 1 1 1 1 2 3 100 S = + + + +⋯ Chứng minh S không phải là số tự nhiên. Bài 4 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn vuông góc với ON. Đònh vò trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất. Bài 5 (1,5 điểm) Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền: loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 em. Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc? Ghi chú: Bài 4 thiếu điều kiện AD ≥ AB/2.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 2 .Bùi Văn Chi  GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH Năm học : 2004 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 2004 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (1,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 4 6 0x x x x   + − + + =     (1) (Điều kiện x > 0) Đặt 1 t x x = + ( t ≥ 2) ⇒ 2 2 1 1 2 2t x x t x x = + + ⇔ + = − . Phương trình (1) viết lại: (1) ⇔ t 2 – 2 – 4t + 6 = 0 ⇔ (t – 2) 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ 1 2x x + = ⇔ x = 1 Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Bài 2 (2 điểm) Theo điều kiện bài toán, ta có: x 4 – 6x 3 + ax 2 + bx + 1 = (x 2 + cx + 1) 2 ⇔ x 4 – 6x 3 + ax 2 + bx + 1 = x 4 + 2cx 3 + (2 + c 2 )x 2 + 2cx + 1 ⇔ 2 2 6 3 2 11 2 6 c c c a a b c b = −  = −    + = ⇔ =     = = −   Vậy a = 11, b = -6, khi đó x 4 – 6x 3 + 11x 2 -6x + 1 = (x 2 -3x + 1) 2 Bài 3 (2,5 điểm) Chứng minh 1 1 1 1 2 3 100 S = + + + +⋯ không là số tự nhiên Trước hết ta chứng minh k = 1 1 1n n + + là số vô tỉ, ∀ n ∈ ∈∈ ∈ N * Ta có: n 2 < n(n + 1) < (n + 1) 2 , ∀n ∈ ∈∈ ∈ N * ⇒ n(n + 1) không chính phương ⇒ ( 1)n n+ là số vô tỉ dương. Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử 1 1 1n n + + = k là số hữu tỉ. Suy ra 1 ( 1)n n k n n+ + = + ⇒ 2n + 1 + 2 ( 1)n n+ = k 2 n(n + 1) (1) (n ∈ ∈∈ ∈ N * ) Vì 2 ( 1)n n+ là số vô tỉ ⇒ vế trái (1) là số vô tỉ, còn vế phải(1) là số hữu tỉ: vô lý. Do đó k = 1 1 1n n + + là số vô tỉ dương, ∀ n ∈ ∈∈ ∈ N * Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 S       = + + + + + +             ⋯ là số vô tỉ dương. Vậy S không là số tự nhiên.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 3 .Bùi Văn Chi  Bài 4 (2,5 điểm) Đònh vò trí của M, N để tam giác OMN có điện tích nhỏ nhất Đặt OA = OB = a, AM = x, BN = y (a, x, y > 0) Gọi I là trung điểm của MN. Ta có: OI = (x + y)/2 (đường trung bình của hình thang ABNM) Mặt khác ∆ OMN vuông tại O, có OI = MN/2 ⇒ MN = x + y (1) p dụng đònh lý Pythagore trong các tam giác vuông: OM 2 = OA 2 + AM 2 = a 2 + x 2 (2) ON 2 = OB 2 + BN 2 = a 2 + y 2 (3) MN 2 = OM 2 + ON 2 (4) Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ (x + y) 2 = 2a 2 + x 2 + y 2 ⇒ xy = a 2 (1) Ta có: S OMN = S ABNM – (S AOM +S BON ) = ( )2 ( ) 2 2 2 2 x y a ax ay a x y+ +   − + =     Vì x + y ≥ 2 2 2 2xy a a= = (x, y > 0) Nên: S OMN ≥ 2 .2 2 a a a= . Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = a. Vậy giá trò nhỏ nhất của S OMN là a 2 khi AM = BN = a = OA = OB = AB/2. (Điều kiện để tồn tại giá trò nhỏ nhất của S OMN là AD ≥ ≥≥ ≥ AO ⇒ ⇒⇒ ⇒ AD ≥ ≥≥ ≥ AB/2). Bài 5 (1,5 điểm) Gọi x là số thuyền chở 5 người, y là số thuyền chở 7 người. (x, y ∈ ∈∈ ∈ N, 0 < x ≤ 10, 0 < y ≤ 7) Ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1) Từ (1) ⇒ 7y ⋮ 5 ⇒ y ⋮ 5 , kết hợp với điều kiện của y ⇒ y = 5 Thay y = 5 vào (1) ⇒ x = 3 . Vậy có 3 thuyền loại chở 5 người, có 5 thuyền loại chở 7 người . Ghi chú: Có thể chứng minh (1) bằng cách dùng ∆ ∆∆ ∆ AOM ∆ ∆∆ ∆ BNO S A O B N I M x y a a . – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Năm học 20 04 – 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên toán) Thời gian:. Chi  GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH Năm học : 20 04 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 20 04 Thời gian