(Sáng kiến kinh nghiệm) mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Phạm vi áp dụng giải pháp PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu 2.2 Nội dung PHẦN KẾT LUẬN 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học khơng gian phần kiến thức tương đối khó với hầu hết em học sinh, kể học sinh giỏi Bởi để giải tốt toán hình học khơng gian, học sinh khơng nắm vững kiến thức hình học khơng gian, hình học phẳng mà cịn phải có trí tưởng tượng phong phú, biết cách liên hệ hình học phẳng với hình học khơng gian Có nhiều cách để tiếp cận toán mới, phương thức hiệu phương pháp tương tự hóa, tức tìm hiểu xem tốn cần giải có vấn đề tương tự với tốn mà ta giải trước chưa, nguồn gốc sáng tạo Học sinh thường lúng túng trước tốn hình học khơng gian mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ khái niệm, định lý liên quan đặc biệt không nhớ hay phát tốn tương tự Trong hình học khơng gian có tốn toán toán khác Xu dạy học đại dạy học theo phương pháp kiến tạo, trải nghiệm thông qua hoạt động Trong hoạt động dựa vào tri thức biết để xây dựng tri thức kiểu giải tập tương tự hoạt động phù hợp cần thiết học sinh Khi dạy học sinh lớp 11 12 giải tốn hình học khơng gian tơi thường gặp tốn tương tự hình học phẳng thực tế có nhiều tốn hình học khơng gian để dễ hiểu phải quy mặt phẳng để tìm lời giải minh họa cho học sinh dễ hiểu Trong q trình giảng dạy tơi thường xun đưa gợi ý tìm tốn liên quan hình học khơng gian hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu tốn hình học khơng gian hơn, từ dần hình thành cho học sinh phương pháp “tương tự hóa” Muốn giải toán ta thường thực bước: Huy động kiến thức tổ chức kiến thức Huy động kiến thức thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với tốn, từ lý thuyết, phương pháp giải, toán gặp Do đó, học sinh phải biết cần phân tích ý tưởng: ta gặp toán gần gũi với kiểu toán hay chưa? Polia viết sách với nội dung “Giải toán nào”, ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu Nhằm giúp em học sinh lớp 11 12 có cách nhìn tồn diện hơn, chất tốn hình học khơng gian, từ nâng cao hiệu học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học để có kết tích cực kỳ thi THPT quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi, chọn đề tài “Mối liên hệ số tốn hình học khơng gian tốn hình học phẳng” 1.2 Phạm vi áp dụng giải pháp Phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người học (tương tự tốn học cần hiểu rộng có tính chất giống nhau, mơ hình giống nhau, mối quan hệ giống … đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng không gian, tam giác tứ diện, đường trịn mặt cầu …) Trong khn khổ tài liệu đưa mối liên hệ tốn tứ diện khơng gian tam giác mặt phẳng PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Học sinh thường suy nghĩ hay giải từ tốn liên quan theo dạng (các loại tứ diện, hình chóp, hình hộp, cách chứng minh vng góc hay song song …) mà không để ý xa có tốn hình phẳng tương tự giải tốn Học sinh suy nghĩ từ đâu ta có đề tốn (thực thầy giáo việc đề hồn toàn dựa tảng lý thuyết tập em học Đề cho học sinh giỏi đề biến hóa từ tốn mà giả thiết bị giấu khai thác tính chất tổng qt hóa hay mở rộng cho đối tượng khác) Để làm rõ mối liên hệ tốn tứ diện khơng gian toán tam giác mặt phẳng, tơi đưa ví dụ sau câu hỏi gợi ý kỹ thuật tương tự 2.2 Nội dung Bài tốn 1: a) Cho ABC vng A có đường cao AH Khi đó: a1) BC = AB2 + AC (Pytago) a2) 1 = + 2 AH AB AC b) Cho tứ diện vuông OABC (OA, OB, OC đôi vuông góc) có đường cao OH Chứng minh: b1) S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OCA b2) 1 1 = + + OH OA2 OB OC Hướng dẫn giải: a) Kết hệ thức lượng tam giác vuông, kết quen thuộc học sinh b) Gọi K chân đường cao kẻ từ O OBC b1) (Áp dụng kết a1))  BC ⊥ OA  BC ⊥ AK Ta có:  BC ⊥ OK  S2OAB + S2OBC + S2OCA = (OA2 OB + OA2 OC + OB OC ) 1 = OA2 (OB + OC ) + OB OC  = (OA2 BC + OK BC ), (OB.OC = OK BC ) 4 1 = (OA2 + OK ) BC = AK BC = S2ABC 4 b2) (Áp dụng kết a2)) Gọi H trực tâm ABC Ta có:  BC ⊥ OA  BC ⊥ OH (1) ;   BC ⊥ AH  AC ⊥ OB  AC ⊥ OH (2)  AC ⊥ BH  Từ (1) (2) suy OH ⊥ ( ABC ) hay OH đường cao tứ diện OABC Áp dụng kết câu a2), ta có: 1 1 1 + + = + = 2 2 OA OB OC OA OK OH Nhận xét: * Mối liên hệ Câu b) hệ thức lượng tam giác vuông: định lý Pitago, hệ thức đường cao cạnh góc vng, cơng thức tính diện tích tam giác * Ta áp dụng ý tưởng cho tốn sau Bài tốn 2: a) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b a1) Tính độ dài đường chéo AC a2) Tính khoảng cách từ đỉnh B, D đến AC a3) Gọi  ,  góc tạo đường chéo AC cạnh AB, AD Chứng minh: cos  + cos  = b) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c b1) Tính độ dài đường chéo AC' b2) Tính khoảng cách từ đỉnh B, D, A’ đến AC' b3) Gọi  ,  ,  góc tạo đường chéo AC' cạnh AB, AD, AA' Chứng minh: cos  + cos  + cos  = Hướng dẫn giải: a1) AC = a + b a2) Gọi x, y khoảng cách từ B, D đến AC ab Ta có: x AC = AB.BC  x = ba Tương tự, y = a + b2 a + b2 a3) Đặt d = AC  d cos = a, d cos  = b  cos  + cos  = a + b2 = d2 b1) AC '2 = a + b + c b2) Gọi x, y, z khoảng cách từ B, D, A' đến AC’ Ta có: x AC ' = AB.BC '  x = b a2 + c2 Tương tự, y = a + b2 + c2 a b2 + c2 a +b +c , z= 2 c a + b2 a + b2 + c2 b3) Đặt d = AC'  d cos = a, d cos  = b, d cos  = c a + b2 + c  cos  + cos  + cos  = = d2 2 Bài toán 3: a) Gọi M điểm tùy ý nằm ABC cạnh a; H, I, K hình chiếu vng góc M cạnh BC, CA, AB Chứng minh: d = MH + MI + MK khơng phụ thuộc vào vị trí M b) Gọi M điểm tùy ý nằm tứ diện ABCD cạnh a; H, I, K, L hình chiếu vng góc M mặt BCD, CDA, DAB, ABC tứ diện Chứng minh: d = MH + MI + MK + ML khơng phụ thuộc vào vị trí M Hướng dẫn giải: a) Ta có: d = MH + MI + MK = = 2SMBC 2SMCA 2SMAB + + BC CA AB a SABC = d ( A, BC ) = BC Tức là, d khơng phụ thuộc vị trí M (đpcm) b) Ta có: d = MH + MI + MK + ML = = SBCD 3VMBCD 3VMCDA 3VMDAB 3VMABC + + + SBCD SCDA SDAB SABC VABCD = d ( A,( BCD)) = a Nhận xét: * Kết 3a) mở rộng cho đa giác * Kết 3b) mở rộng cho khối đa diện * Mối liên hệ tính khoảng cách dựa vào diện tích, thể tích * Ta áp dụng ý tưởng cho toán sau Bài toán 4: a) Gọi M điểm tùy ý nằm ABC đều; MH, MI, MK khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB; , hb , hc chiều cao ABC kẻ MH MI MK + + = từ A, B, C Chứng minh: hb hc b) Gọi M điểm tùy ý nằm tứ diện ABCD; MH, MI, MK, ML khoảng cách từ M đến mặt BCD, CDA, DAB, ABC tứ diện; , hb , hc , hd chiều cao tứ diện kẻ từ A, B, C, D Chứng minh: MH MI MK ML + + + = hb hc hd Hướng dẫn giải: a) Vì ABC nên = hb = hc Do đó, theo kết 3a) ta có: MH MI MK MH + MI + MK + + = = = hb hc ha b) Tương tự, theo kết 3b) ta có: MH MI MK ML MH + MI + MK + ML + + + = = = hb hc hd ha Nhận xét: Các tốn nhìn khơng liên quan đến nhau, thực tế chúng xuất phát từ ý tưởng Sử dụng ý tưởng diện tích tam giác, thể tích khối tứ diện ta có tốn sau Bài tốn 5: a) Cho ABC có AB  AC  BC M điểm nằm ABC Gọi x, y, z khoảng cách từ M đến BC, CA, AB; , hb , hc chiều cao ABC kẻ từ A, B, C Chứng minh rằng:  x + y + z  hc Dấu “=” xảy nào? b) Cho tứ diện ABCD có SABC  SABD  SACD  SBCD M điểm nằm tứ diện ABCD Gọi x, y , z , t khoảng cách từ M đến mặt BCD, CDA, DAB, ABC; , hb , hc , hd chiều cao tứ diện kẻ từ A, B, C, D Chứng minh rằng:  x + y + z + t  hd Dấu “=” xảy nào? Hướng dẫn giải: a) Ta có: 1 1 1 x.BC + y.CA + z AB = SABC = BC = hb CA = hc AB (1) 2 2 2 Vì AB  AC  BC nên  hb  hc Do từ (1), ta có: 1 BC  ( x + y + z ) BC   x + y + z (2) 2 1 ( x + y + z ) AB  hc AB  x + y + z  hc (3) 2 Từ (2) (3) suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ABC b) Tương tự trên, ta có: 1 1 x.SBCD + y.SCDA + z.SDAB + t.SABC = VABCD 3 3 (4) 1 1 = SBCD = hb SCDA = hc SDAB = hd SABC 3 3 Vì SABC  SABD  SACD  SBCD nên  hb  hc  hd Do từ (4), ta có: 1 SBCD  ( x + y + z + t ) S BCD   x + y + z + t (5) 3 1 ( x + y + z + t ) S ABC  hd S ABC  x + y + z + t  hd (6) 3 Từ (5) (6) suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy tứ diện ABCD Bài toán 6: a) Cho ABC Đường thẳng  qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC B', C' AB AC + = Chứng minh: AB ' AC ' b) Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng () qua giao điểm trọng tuyến G cắt AB, AB AC AD + + = AC, AD B', C', D' Chứng minh: AB ' AC ' AD ' Hướng dẫn giải: a) Gọi M trung điểm BC Hạ BI, CK, ME, AF vng góc với  đặt BI = x, CK = y, AF = z Ta có BB ' x AB x + z =  = AB ' z AB ' z Tương tự: AC y + z = AC ' z AB AC x + z + y + z x+ y + = = 2+ AB' AC' z z Mà ME = (tính chất trọng tâm) AF  ME =  x+ y  AF = z = x + y AB AC + = +1 = AB' AC' b) Cách giải: tương tự trên, nhiên đề TRỌNG TUYẾN Khái niệm cần phải giải thích cho học sinh chứng minh tính chất nên ta đưa tốn sau hồn tồn tương tự Bài tốn 7: Cho hình chóp S.ABC G trọng tâm ABC Mặt phẳng () qua điểm G'  SG cắt SA, SB, SC A', B', C' Chứng minh: SA SB SC SG + + =3 SA' SB' SC' SG' Hướng dẫn Giải: Ta quen với toán tỉ số thể tích nên cách giải sau: Đặt x = SA SB SC SG , y= , z= , t= SA' SB ' SC ' SG ' Ta có: VSA' B 'C ' V V = x y.z ; SB 'C 'G ' = y.z.t ; SA'C 'G ' = x.z.t VSABG VSBCG VSACG Cộng đẳng thức, ta được: VSA' B 'C ' = ( xy + yz + zx).t V SABC (vì VSABG = VSBCG = VSABC ) Mặt khác ta có: VSA' B 'C ' (**) = xyz V SABC Từ (*) (**) → đpcm (x + y + z = 3t) * Trường hợp đặc biệt G' giao điểm trọng tuyến  SG = SG ' SA SB SC + + = 3 = , thỏa toán SA ' SB ' SC ' Bài toán 8: a) Cho ABC M điểm nằm tam giác Đặt S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB Chứng minh: S1 MA + S2 MB + S3 MC = Chứng minh: Với điểm I ta ln có: S1 IA + S2 IB + S3 IC = S ABC IM b) Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tứ diện đó, ký hiệu Vi(i = 1,4) thể tích khối MBCD, MACD, MABD, MABC Chứng minh: V1 MA + V2 MB + V3 MC + V4 MD = Chứng minh: Với điểm I ta ln có: V1 IA + V2 IB + V3 IC + V4 ID = VABCD IM Hướng dẫn giải: a) AM cắt BC A'; MA ' = Mà A'C A' B MB + MC BC BC S2 A ' C S MA 'C S MAC S A 'C = = =  = A ' B S MA ' B S MAB S3 BC S + S3  MA ' = S3 S2 MB + MC (1) S + S3 S3 + S 10 Ngoài S1 − S1 MA ' =  MA ' = MA (2) MA S2 + S3 S + S3 Thế (2) (1)  −S1 MA ' = S2 MB + S3 MC  (đpcm) (*)  S1 ( IA ' − IM ) + S2 ( IB − IM ) + S3 ( IC − IM ) =  S1 IA + S2 IB + S3 IC = (S1 + S2 + S3 ) IM (đpcm) b) AM cắt mp(BCD) H Đặt S2 = SCJD; S3 = SBDJ; S4 = SBCJ Theo trên:  SBCD MJ = S2 MB + S3 MC + S4 MD (1) Dễ dàng chứng minh được: S2 S3 S4   = = = (2) V2 V3 V4  h  (1), (2)  (V2 + V3 + V4 )MJ = V2 MB + V3 MC + V4 MD (3) Ta có : ( ) V2 +V3 +V4 MA (4) =− V1 MJ Từ (3)(4)  V1 MA + V2 MB + V3 MC + V4 MD = Từ a)  V1 ( IA − IM ) + V2 ( IB − IM ) + V3 ( IC − IM ) + V4 ( ID − IM ) = đpcm Bài toán 9: a) Cho ABC, M điểm nằm tam giác Chứng minh: aMA + bMB + cMC  4SABC b) Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện Gọi Sa, Sb, Sc, Sd diện tích mặt đối diện tương ứng đỉnh A, B, C, D Chứng minh: Sa.MA + Sb.MB + Sc.MC + Sd.MD  9VABCD Hướng dẫn giải: b) Gọi Vi(i = 1, 4) thể tích khối tứ diện MBCD, MACD, MABD, MABC ta có AA1  MA + MA2  VABCD  Sa MA + V1 Tương tự cho bất đẳng thức lại: VABCD  Sb MB + V2  đpcm 11 Bài tốn 10: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G (hay GA + GB + GC + GD = ) mặt phẳng (P) không cắt tứ diện Gọi A1, B1, C1, D1, G1 hình chiếu vng góc A, B, C, D, G (P) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 + DD1 = 4GG1 Em tìm tốn tương mặt phẳng Hướng dẫn giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD M1, N1 hình chiếu chúng (P) Ta có ( ) GM + GN = 2GM + 2GN = GA + GB + GC + GD = (Vì G trọng tâm)  GM + GN =  G trung điểm MN Do mặt phẳng (P) không cắt tứ diện nên hình thang ABB1A1, CDD1C1, MNN1M1 có đường trung bình tương ứng MM1, NN1, GG1 đó: GG1 =  1 MM1 + NN1 ) = ( AA1 + BB1 ) + ( CC1 + DD1 ) ( 2  = AA1 + BB1 + CC1 + DD1 (đpcm) * Bài tốn tương tự là: Cho ABC có trọng tâm G đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Gọi A1, B1, C1, G1 hình chiếu A, B, C, G d Chứng minh: AA' + BB' + CC' = 3GG' Nhận xét: Trong tập thể giải toán phương pháp tương tự, kể cách lật ngược vấn đề dự đoán đề phương pháp chứng minh đường tương tự hóa 12 PHẦN KẾT LUẬN Sau nhiều năm giảng dạy thực tế kiểm nghiệm nhận thấy nâng cao hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều đường) việc làm cần thiết từ góp phần phát triển lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh xu dạy học đại Các toán chuyên đề thể rõ mục đích đạt kết (phù hợp với đổi dạy học) Quy trình giải tốn tóm tắt gồm bước “huy động kiến thức tổ chức kiến thức”, kiến thức cũ (hình học phẳng) huy động để mở rộng cho tốn hình học không gian chuyên đề phương pháp tương tự hóa đem lại cho tri thức phương pháp từ đường vận dụng thao tác tư Và từ lại thấy giải tốn hình học khơng gian mà khơng cần hình vẽ (cũng mục tiêu phát triển tư tầm cao) Giống chuyện vui: trả lời vấn người vợ nhà bác học Albert Einstein nói: “chồng tơi vừa khám phá xuất nhờ ơng tính tốn giấy” Từ toán kiều rèn luyện cho học sinh khả liên tưởng, tư duy, sáng tạo việc học tập mơn tốn nói chung mơn hình học nói riêng Vì thời gian lực trình bày có hạn nên chun đề chắn cịn nhiều thiếu sót, kính mong q thầy đóng góp ý kiến để tài liệu hồn thiện 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các sách Bài tập hình học khơng gian tác giả Văn Như Cương, Đỗ Thanh Sơn, Phan Huy Khải Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Các tài liệu internet từ website: diendantoanhoc.vn, vnmath, mathvn, … 14 ... hình học khơng gian phần kiến thức tương đối khó với hầu hết em học sinh, kể học sinh giỏi Bởi để giải tốt tốn hình học không gian, học sinh nắm vững kiến thức hình học khơng gian, hình học phẳng. .. họa cho học sinh dễ hiểu Trong q trình giảng dạy tơi thường xun đưa gợi ý tìm tốn liên quan hình học khơng gian hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu tốn hình học khơng gian hơn, từ dần hình thành... đề tài ? ?Mối liên hệ số toán hình học khơng gian tốn hình học phẳng? ?? 1.2 Phạm vi áp dụng giải pháp Phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người học (tương tự tốn học cần