(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong chương trình toán 11

Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất chương trình tốn 11 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng chương trình tốn học phổ thơng nói chung, chương trình tốn 11 nói riêng Tác giả: Họ tên: Phạm Phương Anh Năm sinh: 1976 Nơi thường trú: 10/28 Đường Thái Bình, TPNĐ, Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định Điện thoại: 0915 029 248 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định Địa chỉ: 75/203 - Trần Thái Tông – TP Nam Định Điện thoại: 03503 847 042 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất MỤC LỤC Phần I: Lời nói đầu Phần II: Nội dung A: B: Cơ sở lý thuyết Thực trạng nhận thức học sinh học Tổ hợp – xác suất C: Phân loại hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất chương trình tốn 11 D: Một số tập đề nghị Phần III: Kết luận Phần IV: Tài liệu tham khảo Hướng dẫn học sinh giải số tốn xác suất LỜI NĨI ĐẦU Phần kiến thức Tổ hợp Xác suất học sinh học chương trình tốn lớp 11 Đây mảng kiến thức Toán học hoi mà học, học sinh liên hệ với thực tiễn, ứng dụng sống để tìm tòi lời giải giải vấn đề gặp phải Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Do đặc thù chuyên ngành nên toán xác suất có nhiều điểm khác biệt so với tốn đại số, giải tích, hình học Chính vậy, đứng trước toán xác suất học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng dám kết tìm có khơng Theo lộ trình đổi phương thức thi THPTQG, Bộ GD-ĐT định mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm, từ năm học 2016-2017 Đến năm học 2017-2018 trở đi, phần kiến thức lớp 11 có câu hỏi đề thi Xác suất – tổ hợp phần kiến thức quan trọng chương trình Tốn 11, có nhiều khả đề thi THPTQG hỏi đến.Với mong muốn giúp em học sinh tự tin giải toán xác suất, tránh để bị điểm làm thi, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất chương trình tốn 11 ” Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Biến cố phép thử - Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Tập hợp kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử kí hiệu Ω - Biến cố tập khơng gian mẫu Biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập Trong phép thử ln có hai biến cố đặc biệt: - + Tập ∅ gọi biến cố (gọi tắt biến cố không) + Tập Ω gọi biến cố chắn Phép toán biến cố Cần ý biến cố xét liên quan đến phép thử kết phép thử đồng khả • Tập Ω \ A gọi biến cố đối biế n cố A, kí hiệ u A Và A xảy A không xảy  Tập A ∪ B gọi hợp biến cố A B  Tập A ∩ B gọi giao biến cố A B, viết A.B  Nếu A ∩ B  Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay =∅ ta nói A B xung khắc không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Định nghĩa cổ điển xác suất Việc biến cố ngẫu nhiên có xảy hay khơng phép thử điều ta biết trước Tuy nhên cách khác ta xác định khả xuất biến cố; xác suất biến cố Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số Tính chất xác suất: a Tính chất bản:  P(∅)=0  P(Ω)=1  0≤P(A)≤1, với biến cố A  P(A)=1− P(A) b Quy tắc cộng xác suất • Nếu A B xung khắc ( A ∩ B  =∅ ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) Với biến cố A B ta có: P(A∪ B)= P(A)+ P(B)− P(A∩ B) c Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất B THỰC TRẠNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHI HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Khi bắt đầu dạy học sinh lớp 11A7, 11B3 học chương II, toán Đại số - Giải tích 11, phần Tổ hợp - Xác suất, năm học 2016-2017, nhận thấy em thường lúng túng việc phân tích đề bài, xác định biến cố khơng rõ ràng; vận dụng tính chất biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao, quy tắc cộng quy tắc nhân…không linh hoạt cịn nhầm lẫn Nếu để em tự tìm hướng giải, với học sinh khá, giỏi tìm đáp số không yên tâm, không chắn với kết mình; với học sinh yếu, trung bình thường tìm kết khơng xác, thừa thiếu, đặc biệt với toán dùng quy tắc đếm Thực trạng khiến hướng tới suy nghĩ cần phải phân loại dạng câu hỏi, đưa số “dấu hiệu thuật ngữ” đặc biệt để học sinh nhận diện yêu cầu toán rõ ràng hơn, sử dụng phương pháp làm thích hợp, cho kết xác, nhanh gọn C PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN LỚP 11 Dạng I: Dùng định nghĩa cổ điển xác suất, quy toán đếm Dạng toán lấy, chọn ngẫu nhiên: - Chú ý sử dụng công thức tổ hợp kết hợp với hai quy tắc đếm - Những dùng phương pháp liệt kê, cần phân tích yêu cầu đề để tránh thừa, thiếu trường hợp - Chú ý “dấu hiệu” đặc biệt để hướng đến dùng biến cố đối Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Bài toán Một hộp đựng 20 viên bi gồm: 12 viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi có khơng q viên bi đỏ Hướng dẫn giải: - KGM: Dễ dàng tìm có C 270 =77520 cách chọn viên bi từ 20 viên bi  n(Ω)=77520 - Gọi A biến cố “lấy viên bi có khơng viên bi đỏ” + Số bi đỏ lấy phải bao nhiêu? Số bi đỏ 0, 1, viên; liệt kê trường hợp ⇒ n ( A ) = C 87 + C 112 Bài toán Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C, D, E, F vào thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất cho đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi thẻ là: a) Cạnh lục giác b) Đường chéo lục giác c) Đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác (Bài – trang 77 sách Đại số giải tích 11) Hướng dẫn giải: - KGM: Đây coi tốn đếm: đếm tổng số cạnh đường chéo lục giác Chúng ta biết từ điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng, tạo C 62 = 15 đoạn thẳng  n(Ω)=15 - Gọi A biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ cạnh lục giác” B biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ đường chéo lục giác” Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Clà biến cố “Đoạn thẳng mà đầu mút điểm ghi hai thẻ đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác” n(A)=6⇒ P(A)= B = A n(C)=3⇒ P(C)= Bài toán Một lớp học có 30 học sinh gồm 12 nam 18 nữ, có nam sinh tên Minh Thầy chủ nhiệm cần chọn học sinh giao lưu Tính xác suất để học sinh chọn có đủ nam nữ Minh khơng chọn Hướng dẫn giải: - KGM: Dễ dàng tìm có C 340 =27405 cách chọn học sinh từ 30 học sinh  n(Ω)=27405 - Gọi A biến cố “4 học sinh chọn có đủ nam, nữ Minh không chọn” + Số học sinh nam nữ chọn cụ thể bao nhiêu? Liệt kê khả dùng quy tắc đếm + Minh khơng chọn, chọn học sinh nam số 11 nam lại ⇒ n ( A ) = C 111 C 138 + C 121 C 128 + C 131 C 118 Bài tốn Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính sác suất để chọn thẻ lẻ, thẻ chẵn có thẻ ghi số chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: - KGM: Dễ dàng tìm có thẻ cho ⇒n(Ω)=30045015 C 3100 =30045015 cách chọn 10 thẻ từ 30 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất - Gọi A biến cố “chọn thẻ lẻ, thẻ chẵn có thẻ ghi số chia hết cho 10” + Trong 30 thẻ cho có thẻ lẻ, thẻ chẵn, thẻ chia hết cho 10? + Cần ý thẻ chia hết cho 10 thẻ chẵn Từ tìm số cách lấy thỏa mãn: thẻ lẻ, thẻ chia hết cho 10, thẻ chẵn không chia hết cho 10 ⇒ n ( A ) = C 155 C 31 C 142 Bài tốn Một hộp có 10 bóng bàn, có cũ Ngày hơm qua nhóm tập lấy để chơi, sau lại bỏ vào hộp Hơm nhóm tập lại lấy để chơi Tính xác suất để lấy hôm ( Một chưa chơi lần nào) Hướng dẫn giải: - KGM: Cần xác định KGM theo hai hành động lấy bóng liên tiếp ngày hôm qua hôm nay, ngày lấy 10 ⇒ n ( Ω ) = C 130 C 130 = 4 0 - Gọi A biến cố “3 lấy hơm mới” Ta thấy, việc chọn bóng ngày hơm phụ thuộc vào việc chọn bóng ngày hơm qua + Ngày hơm qua, lấy để chơi có bóng mới? ( Giả sử có x bóng mới, x 0,1,2,3 quả) + Khi đó, để lấy bóng cho ngày hơm nay, hộp cịn mới? Ngày hơm qua lấy x 3-x cũ, có C 6x C 43 − x cách lấy Ngày hôm cịn 6-x mới, có C 63− x cách lấy ⇒ n ( A ) = ∑ C 6x C 43 − x C 63− x = 0 ⇒ P ( A ) = x=0 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Lời giải gợi ý: - Gọi A biến cố “ sút bóng lần từ xa ghi bàn thắng” () ⇒ P(A)=0,7;P A =1− P(A)=0,3 - Gọi X biến cố “đội tuyển Việt Nam ghi bàn thắng tình sút xa” Ta cần chọn thứ tự ba lần sút xa ghi bàn lần sút, có C 53 cách, hai lần lại đương nhiên sút hỏng ⇒P X ( Bài tốn Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu a) Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ b) Tính xác suất để cầu lấy màu Phân tích: Bài tốn giải theo dạng 1, nhiên sử dụng phối hợp quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất việc giải tốn trở nên đơn giản Lời giải gợi ý: - Gọi: A1 biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu đỏ” A biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ màu xanh” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” B2 biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu xanh” Dễ có A , A xung khắc; B , B xung khắc; A , B độc lập với và: P(A1 - Gọi E biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” ⇒ E = A1.B1 )= 27 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất - Gọi: F biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” X biến cố “Hai cầu lấy màu” Dễ thấy A , B độc lập với nhau; E F xung khắc ⇒ F = A2.B2 31 X =E∪F⇒ P(X)=P(E)+P(F)= Bài tốn Một phịng lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, hệ thống báo thấy khói hệ thống báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chuông báo khói chng báo , chng báo lửa Tính xác suất để có hỏa hoạn chng báo Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hoả hoạn chng báo lửa báo hoả hoạn Do tốn chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố sở lại không xung khắc Trong trường hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng Lời giải gợi ý: Gọi A biến cố “Chuông báo thấy khói” B biến cố “Chng báo thấy lửa” C biến cố “Ít hai chông báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có: P ( A ) = , ; P ( B ) = , 1; P ( A B ) = , 8 Do ta có: P(C)= P(A∪ B)= P(A)+ P(B)− P(AB)=0,95+0,91−0,88=0,98 Bài tốn An Bình thi đấu trận bóng bàn với Họ thỏa thuận người thắng trước séc giành chiến thắng chung Xác suất để An thắng séc 0,4 ( khơng có hịa) Tính xác suất để An thắng chung 28 Hướng dẫn học sinh giải số tốn xác suất Phân tích: Ta cần tìm khả mà An thắng Bình chung Tối thiểu hai người chơi séc tối đa hai người chơi séc Trong khả năng, cần ý đến thứ tự séc đấu mà An thắng Lời giải gợi ý: - Gọi A biến cố “An Bình thi đấu séc An thắng chung cuộc” - Gọi B biến cố “An Bình thi đấu séc An thắng chung cuộc” Khi An thua séc đầu thắng séc ⇒ P (B ) = C31.0,6.(0,4)3 = 0,1152 - Gọi C biến cố “An Bình thi đấu séc An thắng chung cuộc” Khi An thua séc đầu thắng séc ⇒ P (C ) = C42.(0,6)2 (0,4)3 = 0,13824 - Gọi X biến cố “An thắng chung cuộc” Dễ thấy biến cố A, B, C xung khắc X = A∪ B∪C ⇒ P(X )= P(A)+ P(B)+ P(C)=0,31744 29 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất D MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ BT1/ Từ cỗ 52 con, rút ngẫu nhiên Tính xác suất để a/ Có át b/ Có K c/ Cả có số khác thuộc tập hợp {2,3,…10} BT2/ Trong hộp có bóng trắng, bóng xanh, bóng đỏ lấy ngẫu nhiên bóng Tìm xác suất để có bóng có đủ mầu BT3/Gieo ngầu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần: Tính xác suất biến cố: a/ A: “ Có mặt lẻ” b/ B: “ Có mặt chẵn mặt lẻ” c/ C: “ Tổng số chấm hai mặt số chẵn” BT4/ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất lần, tính xác suất: a/ Có lần xuất mặt chấm b/ Tổng số chấm mặt số lẻ BT5/ Trong hộp có 10 thẻ đánh số 0,1,2,….9 Lấy ngầu nhiên liên tiếp thẻ xếp cạnh theo thứ tự từ trái sang phải tìm xác suất để thẻ xếp thành số tự nhiên cho chữ số BT6/ Một máy bay có động cơ, có động cánh phải động cánh trái Mỗi động cánh phải có xác suất bị hỏng 0,1, cịn động cánh trái có xác suất hỏng 0,05 Các động hoạt động độc lập với Tính xác suất để máy bay thực chuyến bau an toàn trường hợp sau: a/ Máy bay bay có hai động làm việc b/ Máy bay bay có động cánh làm việc BT7/ Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có câu trả lời, có câu Mỗi câu trả lời điểm, câu trả 30 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn hú hoạ câu trả lời Tính xác suất để: a/ Học sinh 13 điểm b/ Học sinh điểm âm BT8/ Trong lớp học có bóng đèn, bong xác suất bị cháy 0,25 Lớp học có đủ ánh sáng có bóng đèn Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng BT9/ Một đồn tầu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tầu, người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người và2 toa cịn lại khơng có BT10/ Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 chọn ngầu nhiên 10 thẻ tính xác suất để: a/ Tất 10 thẻ mang số chẵn b/ Có số chia hết cho c/ Có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn thẻ mang số chia hết cho 10 BT11/ Từ hộp có cầu xanh, cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố: a) A: “Trong lấy có hai mầu” b) B: “Trong lấy có màu đỏ” BT12/ Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là ; trúng điểm điểm ; trúng điểm Xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ điểm BT13/ Lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Tính xác suất để lập số chia hết cho 5, ln có mặt chữ số 1,2,3 đứng cạnh BT14/ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: 31 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Biến cố A: “Trong hai lần gieo lần xuất mặt a) chấm” Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm hai lần gieo b) số nhỏ 11” BT15/ Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho: a) Hai súc sắc xuất mặt chẵn b) Tích số chấm súc sắc số chẵn * MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Một hộp đựng 20 viên bi: viên trắng, viên vàng viên đỏ Có cách lấy từ hộp viên bi cho có khơng q viên đỏ A, 38760 B, 38220 C, 9828 D, 4550 Câu 2: Một hộp đựng 21 viên bi: viên trắng, viên vàng 11 viên đỏ Tính xác suất để lấy từ hộp viên bi cho có màu khác A, 1,1 B, 0,1 C, 0,6 D, Câu 3: Một nhóm có 14 người gồm nam nữ, có An Bình Người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người Tính số cách chọn cho An Bình khơng có mặt tổ A, 3003 B, 2574 C, 2508 D, 1584 Câu 4: Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ lấy 10 điểm, đường thẳng thứ hai lấy 20 điểm Chọn điểm điểm Xác suất để chọn điểm tạo thành tam giác + 20C 10C A, 20 C 30 Câu 5: Cho đa giác lồi 16 cạnh Tính số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác, có cạnh cạnh đa giác cho A, C + C B, C C C, C + C D, C C 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 6: Cho đa giác lồi 16 cạnh Tính số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác, khơng có cạnh cạnh đa giác cho A, 516 B, 514 C, 352 D, 320 Câu 7: Gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để tổng số chấm xuất mặt hai xúc sắc 9? 32 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất Câu 8: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất ba lần liên tiếp Tính xác suất để :“ Có hai lần gieo xuất mặt có số chấm nhau” Câu 9: Gieo đồng tiền cân đối, đồng chất lần liên tiếp Tính xác suất để lần đầu xuất mặt sấp? Câu 10: Gieo đồng tiền cân đối, đồng chất lần liên tiếp Tính xác suất để có lần xuất mặt sấp? Câu 11: Xếp 10 người thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để hai người có tên A B đứng canh nhau? A, 10! B, 9! C, 9!+2! D, 9!.2! Câu 12: Có 15 học sinh gồm nam nữ xếp vào hàng dọc Tính xác suất để khơng có hai học sinh nữ đứng cạnh Câu 13: Từ chữ số 0,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác Hỏi lập số? A, 490 B, 360 C, 240 D, 300 Câu 14: Lập số tự nhiên có chữ số khác từ 0,1,2,3,4 Tính xác suất để lập số chia hết cho Câu 15: Lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Tính xác suất để lập số chia hết cho 5, ln có mặt chữ số 1,2,3 đứng cạnh 33 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất KẾT LUẬN Cách phân loại sử dụng phương pháp giải cho dạng tập áp dụng vào thực tế giảng dạy năm học 2016-2017 đạt số kết định Trước dạy phương pháp cho học sinh làm kiểm tra, kết sau: Điểm Lớp 11A7 11B3 Sau giảng dạy phương pháp tiếp tục khảo sát sau: Điểm Lớp 11A7 11B3 Đây kết đáng mừng, thể học sinh tự tin giải toán xác suất tốt Do kinh nghiệm chưa nhiều nên viết tơi cịn nhiều hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp xa gần để đề tài trở thành chuyên đề tham khảo tốt cho giáo viên học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! Nam Định, ngày10 tháng năm 2017 34 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11, NXB Giáo dục Giải tốn Đại số - Giải tích 11, Lê Hồng Đức chủ biên, NXB Hà Nội Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số - Giải tích 11, Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục Chinh phục Tổ hợp – Xác suất, Nhà sách Lovebook, NXB ĐHQG Hà Nội Tuyển chọn 342 tốn Giải Tích Tổ Hợp, Hà Văn Chương, NXB Hải Phòng 35 Hướng dẫn học sinh giải số tốn xác suất CAM KẾT Tơi xin cam kết nội dung báo cáo sáng kiến không chép vi phạm quyền tài liệu có Nếu sai tơi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn trước pháp luật Cơ quan đơn vị Tác giả áp dụng sáng kiến …………………………………… …………………………………… …………………… …………… Phạm Phương Anh 36 ... ( B ) Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất B THỰC TRẠNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHI HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Khi bắt đầu dạy học sinh lớp 11A7, 11B3 học chương II, tốn Đại số - Giải tích 11, phần... giải số tốn xác suất chương trình toán 11 D: Một số tập đề nghị Phần III: Kết luận Phần IV: Tài liệu tham khảo Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất LỜI NÓI ĐẦU Phần kiến thức Tổ hợp Xác suất. .. cố: ? ?Trong hai số viết, có số có chữ số 5” 22 Hướng dẫn học sinh giải số toán xác suất + Chọn thứ tự viết số: Số có chữ số có C cách chọn thứ tự + Có số có chữ số 5: Có C 31 A 42 số + Có số khơng