(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề hình ứng dụng phương tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH ; TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC GIÁO VIÊN TỐN: TRẦN THỊ PHƯỢNG TỔ TOÁN – TIN LÀO CAI THÁNG / 2020 PHẦN I MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn trung học phổ thơng chun, tốn chứng minh thẳng hàng đồng quy, chứng minh song song, vuông góc hay chứng minh đường di động qua điểm cố định ln tốn khơng đơn giản em học sinh Các em muốn giải tốn em phải nắm phương pháp dạng tốn đó; phải biết khai thác tốt tính chất hình sau sử dụng kiến thức để giải chúng thường điều lại khơng đơn giản Để phần giúp em tìm đường lối để giải lớp toán trình giảng dạy tơi đưa số cách nhìn nhận tốn kiến thức phương tích Phương tích trục đẳng phương vấn đề quen thuộc hình học phẳng Kiến thức chúng đơn giản dễ hiểu, lại có nhiều ứng dụng tốn tính yếu tố độ dài, góc, diện tích, chứng minh hệ thức hình học,tập hợp điểm thuộc đường trịn , điểm cố định, đường cố định, toán thẳng hàng, đồng quy, vng góc … Sử dụng phương tích trục đẳng phương thường đem lại lời giải đẹp mắt thú vị Trong gần đề thi học sinh giỏi cấp dạng tốn chứng minh thẳng hàng đồng quy, chứng minh song song, vng góc hay chứng minh đường di động qua điểm cố định xuất nhiều, đa số học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Nên với việc nghiên cứu đề tài y vọng giúp em phần giảm bớt khó khăn giải tốn dạng CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN I/ Phương tích điểm đường tròn Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường trịn hai điểm A B Khi MA.MB = MO − R = d − R 2 Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB = d − R gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM/(O) 2 Ta có: P M / ( O ) = MA.MB = d − R Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB = PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Nhận xét: 1) Khi M nằm (O) P M / ( O ) = 2) Khi M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) P M / ( O ) = MT 3) Nếu A, B cố định AB AM = const ⇒ M cố định Kết giúp định hướng giải cho toán đường qua điểm cố định II/ Trục đẳng phương hai đường tròn – Tâm đẳng phương Trục đẳng phương a) Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O 1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) b) Các hệ 1) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2) Nếu hai đường trịn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường trịn Nhận xét: Nếu có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại b) Các hệ Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Cách dựng trục đẳng phương hai đường trịn khơng cắt nhau: Cho hai đường trịn (O1) (O2) khơng cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: - Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D - Đường thẳng AB CD cắt M - Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) Từ kiến thức phương tích, trục đẳng phương định hướng dấu hiệu sử dụng phương tích CHƯƠNG II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Kiến thức phương tích đơn giản, dễ hiểu, để vận dụng vào tốn chứng minh thẳng hàng đồng quy, chứng minh song song, vng góc hay chứng minh đường di động qua điểm cố định vấn đề mẻ với đa số học sinh Để gỡ rối vấn đề xây dựng hệ thống tập có vân dụng phương pháp sử dụng phương tích trục đẳng phương thay cho phương pháp trước từ cấp THCS cho học sinh làm quen từ hình thành kĩ giải toán CHƯƠNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Vấn đề 1: Bài toán chứng minh thẳng hàng Bài toán 1: (THPT Chuyên Hưng Yên 2018) Tam giác ABC có H trực tâm, M trung điểm BC, P điểm đoạn HM Gọi D, E, F hình chiếu P AH, AB, AC Đường thẳng HM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K, G (M nằm H K) Tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF cắt T Chứng minh ba điểm G, D, T thẳng hàng Gọi AK’ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi K’, H, M thẳng hàng Vậy K’ trùng K Ta có·AGM = 900 Suy G ∈ ( AEFP ) Gọi R, S chân đường cao theo thứ tự hạ từ B, C tam giác ABC Xét đường tròn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có trục đẳng phương AG, SK, BC TH1: AG, SK, BC song song trùng tam giác ABC vng cân A Khi tiếp tuyến E F (AEF) song song TH2: AG, SK, BC đồng quy T’ Ta có ( AT ',AH ,AS ,AR ) = −1 ⇒ ( AG,AE,AD,AF ) = −1 Suy GEDF tứ giác điều hịa Do G, P, T thẳng hàng Nhận xét: Để chứng minh ba điểm G, D, T thẳng hàng học sinh thường sử dụng việc chứng minh tổng hai doạn đoạn lớn chứng minh hai góc kề bù hai góc đối đỉnh Hướng làm thật khó khăn đề Nhận xét thấy đường tròn (AGBC), (AGSHR), (BSRC) có trục đẳng phương AG, SK, BC nên sử dụng kiến thức phương tích, trục đẳng phương dường tròn giúp học sinh có định hướng rõ ràng tập Bài toán tương tự BT: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC, M’ giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M cắt đường thẳng qua M vng góc với AO X Y, Z xác định tương tự Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Vấn đề 2: Bài toán chứng minh đồng quy Bài toán 2: (THPT Chuyên Quốc học Huế 2018) Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB Gọi M điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng CM cắt đường trịn đường kính BM điểm thứ hai N cắt đường trịn tâm A bán kính AC điểm thứ hai D Đường thẳng AN cắt đường trịn đường kính BM lại điểm thứ hai E Giả sử BP − 2k AM = = k Gọi P điểm cạnh BC cho , d đường BC 3− k AB thẳng qua A vng góc với MP Chứng minh ba đường thẳng d, BN ME đồng quy điểm Gọi O trung điểm BC Ta chứng minh MP song song với OT Gọi H trung điểm AM, K trung điểm AB I trung điểm HK, Khi tứ giác HTKO hình bình hành Sử dụng giả thiết AM = k suy AB BM = (1− k)AB, BI = AB − AI = AB − Suy Vì (1+ k)AB (3− k)AB = 4 BM − 4k = BI 3− k BP − 2k BP − 4k BM BP = = = nên Suy , MP // OT BC 3− k BO 3− k BI BO Suy d ⊥ OT Ta có ME trục đẳng phương đường trịn đường kính BM đường trịn (T) BN trục đẳng phương đường trịn đường kính BM đường trịn đường kính BC, d trục đẳng phương (T) đường trịn đường kính BC Suy ba đường thẳng d, ME, BN đồng quy điểm Bài toán 3: (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Giải toán Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q ≡ Q′ Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy PM PC = PQ.PZ Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ′.PZ = PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên PN PB = PX PY = PM PC Suy PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′ Vậy XY, AM DN đồng quy 10 Nhận xét: Để chứng minh ba đường thẳng XY, AM DN đồng quy học sinh thường sử dụng việc chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng lại quy toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Hướng làm thật khó khăn đề Nhận xét thấy P thuộc XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD điểm mạnh để sử dụng kiến thức phương tích, trục đẳng phương giải tập Bài toán tương tự BT1: (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy BT2: (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD DE đồng quy Vấn đề 3: Bài toán chứng minh đường di động qua điểm cố định Bài toán : (Chuyên Lê Khiết Quãng Ngãi ) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn ( O ) , đường phân giác góc A cắt BC D khác A Lấy điểm P di chuyển đoạn thẳng AD , không trùng với A D Tia BP cắt AC M cắt đường tròn ( O ) E ; tia CP cắt AB N cắt đường tròn ( O ) F Tiếp tuyến đường tròn ( O ) A đường thẳng qua P , song song BC cắt T a Chứng minh điểm T , E , F thẳng hàng b Các đường thẳng MF , NE cắt I Chứng minh đường thẳng PI qua điểm cố định P di chuyển AD 11 a Ta có ∠FPT = ∠FCB = ∠FEP nên TP tiếp tuyến đường tròn ( PEF ) PT /( PEF ) = TP Ta lại có PT /( ABC ) = TA Mà ∠APT = ∠ADB = ∠TAP nên tam giác TAP cân T Do PT / ( PEF ) = PT / ( ABC ) Suy T thuộc trục đẳng phương đường tròn ( PEF ) ( ABC ) Hay điểm T , E , F thẳng hàng b A E C Áp dụng định lý Pascal cho điểm  ÷, ta điểm T , M , N thẳng hàng F A B  Áp dụng mơ hình tứ giác tồn phần, ta có P ( TIFE ) = −1 Do P ( TICB ) = −1 Mà BC / / PT nên PI qua trung điểm J BC ( J cố định) Bài toán 5: (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn tam giác cân nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vng góc với OA cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CN cắt K, AK cắt BC 12 a) Gọi P giao AK BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định b) Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH qua trực tâm tam giác ABC, từ suy ra: l ≤ R − a Hướng dẫn A L Z H X Q N Y J I O M K Q B P D C a) Gọi Q giao điểm MN BC, E trung điểm BC Xét tứ giác BMPC ta biết Q, P, B, C hang điểm điều hòa Suy (QPBC) = - Khi ta có: 2 EP.EQ = EB , suy QE.QP = QE − QE.PE = QE − EB = OQ − OB = QB.QC · · Mà tứ giác BMNC nội tiếp có NCB = xAB = ·AMN (Ax tia tiếp tuyến (O)) Suy QM QN = QB.QC Từ suy QM QN = QP.QE , suy tứ giác MNIP nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm E cố định b) Giả sử đường cao AD, BF CJ tam giác ABC cắt I; ba đường cao MX, AY, NZ tam giác AMN cắt H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng Xét đường trịn tâm (O1) đường kính BN tâm (O2) đường kính CM 13 Ta thấy: KC.KM = KB.KN IC.IJ = IB.IF HM HX = HN HZ Suy K, I, H thuộc trục đẳng phương (O1) (O2) nên thẳng hang Từ suy AL ≤ AI Mà AI = 2.OE = R − BC = 4R − a Nên AL = l ≤ R − a Bài toán 6:( THPT Chuyên Lào Cai 2018) Cho tam giác ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I ) Gọi tiếp điểm (I ) với BC, CA, AB D, E, F Gọi S, T lần » chứa A cung BC » không chứa A lượt điểm cung BC (O) SI cắt (O) điểm thứ hai K Gọi M điểm đối xứng A qua O MI cắt (O) điểm thứ hai N IN giao EF G a) Chứng minh đường thẳng AN, TK , CB đồng quy DG song song với AI b) Chứng minh đường nối trực tâm tam giác AEF trực tâm tam giác ABC qua G Gọi P giao AN, BC Ta thấy điểm A,N, F , I , E thuộc đường trịn đường kính AI Xét tam giác TBI có ∠TBI = ∠TBC + ∠CBI = ∠BAI + ∠ABI = ∠TIB TB = TI Tương tự ta có TI = TC Do T tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC Do T, I trung điểm AI thẳng hàng nên đường trịn đường kính AI đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC tiếp xúc I Các trục đẳng phương ba đường trịn: (O) , đường trịn đường kính AI đường tròn ngoại tiếp tam giác TBC đồng quy tâm đẳng phương Do tiếp tuyến chung đường trịn đường kính AI đường trịn ngoại tiếp tam giác TBC I qua P Do AI ⊥ IP 14 S A F1 E1 N F V R C1 J G B1 L E O I H C D B P Z M K T Giả sử TK I BC = { P '} Ta xét hai tam giác VTKB vàVTBP ' có chung ∠BTP ' = ∠KTB;∠BKT = 1800 − VTKB : VTBP '(g − g) ⇒ ∠BAC = 1800 − ∠TBC = ∠P ' BT ⇒ TK TB = ⇒ TK TP ' = TB2 ⇒ TK TP ' = TI TB TP ' Mà IK ⊥ TP ' nên tam giác VTIP ' vng I Từ suy P ≡ P ' hay AN, TK , CB đồng quy AI I FE = { L} Ta có tứ giác ANGL nội tiếp nên IG.IN = IL.IA = IF = ID2 từ VIDG : VIND ∠IGD = ∠IDN Tứ giác PNID nội tiếp nên ∠IDN = ∠IPN Lại tam giác vuông AIP có NI ⊥ PA nên ∠IPN = ∠NIA Tất điều suy ∠NIA = ∠IGD Suy DG song song với AI 15 Gọi H, J trực tâm tam giác VABC,VAEF Gọi E1,C1 hình chiếu E,C lên AB B1, F1 hình chiếu B, F lên AC Ta có HC.HC1 = HB.HB1; (do BCC1B1 nội tiếp); J E.J E1 = J F J F1 (do tứ giác EFE1F1 nội tiếp) Do HJ trục đẳng phương đường trịn đường kính BE đường trịn đường kính CF Hạ BV ⊥ EF ;CZ ⊥ EF ; EF I BC = { R} ;( RDBC ) = −1, GR ⊥ GD ⇒ GD phân giác góc ∠BGC ⇒ ∠FGB = ∠EGC (1) Mà AE = AF ⇒ ∠AFG = ∠AEG ⇒ ∠GFB = ∠GEC (2) Từ (1) (2) suy VGFB : GEC ⇒ Mà BD GV = (do BV || GD || CZ) CD GZ Từ (3) (4) suy GF FB BD = = (3) GE EC CD (4) GF GV = ⇒ GF GZ = GV.GE Suy G thuộc trục đẳng GE GZ phương đường trịn đường kính BE đường trịn đường kính CF hay đường nối trực tâm tam giác AEF trực tâm tam giác ABC qua G Nhận xét: Để chứng minh đường di động qua điểm cố định thường phải xét số vị trí đặc biệt để xác định điểm cố định sau chứng minh đường di động qua điểm Trong tốn ta cần ý HJ trục đẳng phương đường trịn đường kính BE đường trịn đường kính CF ; GF GV = ⇒ GF GZ = GV.GE Suy G thuộc trục đẳng phương đường trịn GE GZ đường kính BE đường trịn đường kính ta đường nối trực tâm tam giác AEF trực tâm tam giác ABC qua G Một số tốn tương tự BT1: Cho hai đường trịn (O;R);(O’;r) tiếp xúc A (R> r) Gọi D điểm di động (O’) Tiếp tuyến với (O’) D cắt (O) B;C Gọi M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 16 Chứng minh : Khi D di động (O’) tâm M chạy đường tròn cố định Xác định tâm bán kính đường trịn BT2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB khác AC Gọi D;E;F tương ứng chân đường cao từ A;B;C Gọi P giao BC EF.Đường thẳng d qua D song song với EF cắt AC AB Q R Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm M BC BT3: Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua A khơng qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln qua điểm cố định khác O BT4: Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định BT5: Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: a) M M’ ln thuộc đường trịn cố định b) Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định BT6: (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1) (O2) cố định tiếp xúc M bán kính (O2) lớn bán kính (O2) Một điểm A di chuyển (O2) cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O2) E F Gọi giao điểm EF với tiếp tuyến A (O 2) D Chứng minh D di chuyển đường cố định A thay đổi (O 2) mà O1, O2 A khơng thẳng hàng BT7: Cho đường trịn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vng góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định Vấn đề 3: Một số toán chứng minh song song; vng góc Bài tốn 7: (MOP 95) Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt tai H M trung điểm BC, N giao điểm DE BC Chứng minh NH vng góc với AM Hướng dẫn 17 A D O E H j N B Ta có I F M C · · · · DEH = DAH = DBC = FEH · · · · ⇒ FED = 2.FEH = 2.DBC = DMC Suy tứ giác EDMF nội tiếp Từ ta có NE.ND = NF NM , suy N nằm trục đẳng phương đường trịn đường kính MH đường trịn đường kính AH Mặt khác H giao điểm (O) (I), suy NH trục đẳng phương (O) (I) Suy NH ⊥ OI , rõ rang OI // AM, NH ⊥ AM Bài toán 8: (India, 1995) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ ⊥ OI Hướng dẫn A P N M E D F G B C 18 Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao thứ hai AC (PFG) · · · · Ta có ·AMP = PGD PGD (đồng vị), suy ·AMP = PCB , suy BMPC nội = PCB tiếp Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp Suy BMNC nội tiếp, suy AM AB = AN AC Mà AD AE = (Định lý Thalet) AB AC Suy AM AD = AN AE Do A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF) suy AQ ⊥ OI Bài tốn 9: (THPT Chun Hồng Văn Thụ Hịa Bình 2018): Cho hai đường trịn ( O1 ) ( O2 ) cắt A,B CD tiếp tuyến chung hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) với C thuộc ( O1 ) ; D thuộc ( O2 ) ,B gần CD A a) Gọi E giao điểm BC AD, F giao điểm BD AC Chứng minh EF song song với CD b) Gọi N giao điểm AB EF Lấy K đoạn thẳng CD cho ∠BAC = ∠DAK Chứng minh KE = KF Khơng tính tổng qt tốn trường hợp hình vẽ ∠BCD = ∠CAB ∠BDC = ∠BAD Mà ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180O nên ∠EAF + ∠EBF = 180o suy AEBF tứ giác nội tiếp dẫn đến ∠EFB = ∠BAE = ∠BDC ⇒ EF PCD 19 Gọi B’ điểm đối xứng với B qua CD, AN cắt CD M suy Phương tích M (O1) Phương tích M (O 2) 2 MC = MB.MA = MD dẫn đến M trung điểm CD N trung điểm EF Bài toán 10: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2018 ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (K) tiếp xúc với CA, AB E, F tiếp xúc (O) S SE, SF cắt (O) M, N khác S Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM, AFN cắt P khác A Gọi EN, FM cắt (K) G, H khác E, F Gọi GH cắt MN T Chứng minh tam giác AST cân Ta thấy ∠APF = 1800 − ∠ANS = ∠AMS = 1800 − ∠APE suy P, E, F thẳng hàng Từ theo tính chất góc ngồi góc tạo tiếp tuyến dây cung, ta có ∠APM = ∠AEM = ∠SEC = ∠SFE = ∠PAN , dẫn tới AN / / PM Tương tự AM // PN, kéo theo AMPN hình bình hành Vì tam giác SKF, SON cân có chung đỉnh S nên đồng dạng, dẫn đến KF // ON Tương tự, KE // OM, ta thu được: 20 SF SK SE = = , suy SN SO SM MN // EF Từ ∠HGE = ∠HFE = ∠HMN , dẫn đến tứ giác MNGH nội tiếp Như theo tính chất trục đẳng phương MN, GH tiếp tuyến chung S (O) (K) đồng quy, dẫn đến TS tiếp tuyến (O) Do tứ giác AMPN hình bình hành nên AP MN cắt trung điểm I đường Ta có, theo tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung, ∠IAM = ∠PES = ∠FST = ∠NAS Mặt khác, ta có ∠AMI = ∠AMN = ∠ASN , suy tam giác AIM đồng dạng với tam giác ANS, kéo theo AM.SN = MI.AS Chứng minh tương tự, ta thu AN.SM = NI.AS = MI.AS = AM.SN Từ theo tính chất tiếp tuyến, TS tiếp xúc với (O) nên TS SM AM = = dẫn đến TN SN AN TA tiếp xúc với (O) ta rút TA = TS Nhận xét: Trong toán chứng minh hai đoạn thẳng nhau; chứng minh quan hệ song hay vng góc hai đường thẳng toán rát quen thuộc với học sinh phương pháp giải từ bậc trung học sở làm cho việc học sinh theo cách nhìn nhận khác khơng phải thói quen đa số học sinh Tuy nhiên khai thác đặc điểm tốn ví dụ tốn 7: NE.ND = NF NM , suy N nằm trục đẳng phương đường trịn đường kính MH đường trịn đường kính AH H giao điểm (O) (I), suy NH trục đẳng phương (O) (I); toán 8: AM AD = AN AE dẫn đến A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF); toán 9: Gọi B’ điểm đối xứng với B qua CD, AN cắt CD M suy phương tích M (O1) Phương tích M (O 2) 2 MC = MB.MA = MD dẫn đến M trung điểm CD N trung điểm EF; toán 10:sử dụng tính chất trục đẳng phương MN, GH tiếp tuyến chung S (O) (K) đồng quy, dẫn đến TS tiếp tuyến (O) có sở dùng kiến thức phương tích; trục đẳng phương giải toán Một số toán tương tự BT1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Đường thẳng AO cắt cạnh BC D Trên cạnh AB;AC lấy M N cho DB=DM DC=DN 21 CM BN cắt E Gọi H K kần lượt trực tâm tam giác EBM ECN Chứng minh HK vng góc với AE BT2: Cho tam giác ABC đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H trưc tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM BT3: Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB CD Chứng minh MN ⊥ HK BT4: F điểm cạnh đáy AB hình thang ABCD cho DF = CF E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh EF ⊥ O1O2 BT5: (IMO 1994 Shortlist) Một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song d1 d2 Đường tròn thứ hai (C1) tiếp xúc với d1 A tiếp xúc với (C) C Đường tròn thứ (C2) tiếp xúc với d2 B tiếp xúc với (C) D tiếp xúc với (C) E Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh QC = QD = QE BT6: Cho tam giác ABC Dựng hình vng DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn (ABD) (ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy 22 ... đẳng phương (O1) (O2) Từ kiến thức phương tích, trục đẳng phương định hướng dấu hiệu sử dụng phương tích CHƯƠNG II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Kiến thức phương tích đơn giản, dễ hiểu, để vận dụng vào... tích Phương tích trục đẳng phương vấn đề quen thuộc hình học phẳng Kiến thức chúng đơn giản dễ hiểu, lại có nhiều ứng dụng tốn tính yếu tố độ dài, góc, diện tích, chứng minh hệ thức hình học,tập... phương pháp sử dụng phương tích trục đẳng phương thay cho phương pháp trước từ cấp THCS cho học sinh làm quen từ hình thành kĩ giải tốn CHƯƠNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Vấn đề 1: Bài toán chứng minh thẳng