(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong mơn hình học nói chung mơn hình học cấp trung học sở nói riêng, mảng nghiên cứu điểm đường thẳng đề tài xuyên suốt q trình học em học sinh, tảng hình, góc, cạnh, … Trong đó, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đóng vai trị khơng nhỏ việc tìm lời giải toán liên quan đến điểm đường thẳng Bộ mơn tốn hình học địi hỏi tư trừu tượng, người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học giải dạng tập mà cần phải thông qua chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp học sinh tư logic với cụ thể dạng khác MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI: Giúp HS hiểu nắm cách giải, dạng toán “Chứng minh ba điểm thẳng hàng” Đồng thời rèn cho HS khả phân tích, khái quát hóa, tổng hợp phát huy tính tích cực, tư sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo say mê, hứng thú khơng cịn lúng túng, ngần ngại gặp toán Giúp HS thấy ý nghĩa việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải toán khác NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: - Xây dựng kế hoạch thực từ đầu năm học - Tổ chức cho học sinh ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh (đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần) - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà - Thổi vào học sinh tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường tâm thi đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh khiếu Động viên, khích lệ học sinh thường xuyên liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học - Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng tốn ơn tâp - Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, phương pháp làm tốn dạng phương pháp thông thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó PHẠM VI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Đề tài áp dụng cho HS lớp 7, 8, Đề tài thực luyện tập, ôn tập, phụ đạo, ôn thi PHẦN NỘI DUNG A CƠ SỞ KHOA HỌC: Chương trình Giáo dục nước ta giai đoạn với mục tiêu nhằm tạo người phát triển cách toàn diện Muốn vậy, ta phải đổi phương pháp dạy học, khắc phục cách truyền thụ kiến thức chiều, thụ động mà cần phải hình thành rèn luyện cho HS tư độc lập sáng tạo, áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại, sử dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy học tập.Tích cực tự học, tự nghiên cứu để tìm hiểu vấn đề cách sâu sắc Vận dụng kiến thức vào thực tiễn cách linh động, từ tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh B THỰC TRẠNG: - Học sinh chưa hiểu sâu rộng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo chưa thấu hiểu định lý tiên đề hình học - Khi gặp tốn chứng minh ba điểm thẳng hang học sinh khơng biết làm gì? Không biết theo hướng nào? Không biết liên hệ cho đề với kiến thức học - Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác - Trình bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, lơgic - Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp tốn khó - Khảo sát thực tiễn: Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau: XÕp loại Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu HS SL % SL % SL % SL % 84 6% 21 25% 39 46% 19 23% Thông qua kết khảo sát tơi suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu trình giải tốn chứng minhba điểm thẳng hàng Tơi mạnh dạn nêu số biện pháp đây: C NỘI DUNG: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI: - Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng tốn thường có đề thi học kỳ tuyển sinh, không lạ khó chứng minh học sinh, học sinh thường lúng túng giải chưa nắm sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết lý thuyết hình học liên quan đến dạng tốn - Ta hiểu ba điểm thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải xây dựng sở hình học, ví dụ như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường tam giác, - Các tập chứng minh ba điểm thảng hàng có nhiều loại sách tham khảo, sách nâng cao, hay thông tin khác tính chất cịn chung chung, chưa phân loại, chưa phân thành dạng cụ thể em học sinh khó nắm vững phương pháp giải cho nhiều loại tốn, em cịn mơ hồ khơng biết sử dụng nào? Ở đây, đề tài đưa không xa lạ mặt kiến thức so với loại sách tham khảo khác phân loại phương pháp cụ thể hơn, rõ ràng hơn, từ dễ đến khó Vì điều kiện cho phép định đưa số phương pháp số dạng tập 2 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Thực việc cải tiến, đổi phương pháp dạy học gây say mê hứng thú cho HS, GV phối hợp nhiều phương pháp giảng nhằm giúp HS nắm bước phân tích đa thức thành nhân tử, vận dung tốt kiến thức học vào tập Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp, quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC: Ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy nhu cầu cần thiết tất mơn học, có mơn tốn đặc biệt tốn hình học Việc dạy cần có hình ảnh hiệu ứng minh họa , tạo hình ảnh trực quan sinh động , số trò chơi giúp em khắc sâu kiến thức Giáo viên cho học sinh nắm vững định nghĩa, định lý tiên đề việc chứng minh ba điểm thẳng hàng Định nghĩa: Ba điểm thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: 4.1.Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc: A Kiến thức bản: LA,KB ⊥ Ox; OA = OB    C, O D thẳng hàng; LC, KD ⊥ Oy  thẳng hàng CA = CB  ⇒  ⇒ O, L, K LA = LC  DA = DB   KB = KD B Bài tập Bài 1: Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên cạnh AB AD lấy hai điểm K H cho AK =AH Gọi I giao điểm BH DK Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng Chứng minh: Xét ∆ ADK ∆ABH, ta có: AK = AH (gt ) · góc chung; KAD AD = AB (gt ) ⇒ ∆ADK = ∆ABH (c.g.c) · · ⇒ ADK = ABH · · · DB;  A · BH +  I· BD = ABD · Mà ADK + IDB =  A · · (vì tứ giác ABCD hình thoi) ADB = ABD  · · ⇒ IDB ⇒ Tam giác IBD cân, IB = ID = IBD  Vậy: AB = AD; IB = ID; OB = OD Do ba điểm A, I, O nằm đường trung trực BD Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng Bài 2: Cho ∆ ABC cân A, AH phân giác góc BAC (H ∈ BC) Qua điểm B vẽ đường vng góc với AB qua điểm C vẽ đường vng góc với AC, chúng cắt O Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng Giải : (Nhiều cách ) Chứng minh: Cách 1: ∆ ABO = ∆ ACO · · (AB =AC, AO cạnh chung, ABO = ACO = 900 ) · · ⇒ BAO = CAO · ⇒AO phân giác BAC · Mà AH phân giác BAC Do ba điểm A, H, O thẳng hàng Cách 2: ∆ ABO = ∆ ACO ( tương tự cách 1) ⇒ OB = OC ⇒ điểm O nằm đường trung trực BC Mà AH đường phân giác ∆ ABC cân A Do AH đường trung trực BC ⇒ Ba điểm A, H, O thẳng hàng Bài 3: Tam giác ABC vng A có AB = 15cm, BC = 25cm Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC D Gọi M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N a) Chứng minh: Ba điểm B, C, D thằng hàng b) Chứng minh: Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng Chứng minh: a) Ta có D giao điểm hai đường trịn đường kính AB AC · ⇒ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) · ⇒ADC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’)) · · Do ADB =180o + ADC ⇒ Ba điểm B, D, C thẳng hàng b) Ta có OO’ đường nối tâm hai đường tròn AD dây chung ⇒ OO’ đường trung trực AD ¼ = M ¼ C (gt) Ta có: DM · · Do DAM (cùng chắn hai cung nhau) = MAC Mà góc MAC hay góc NAC góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AN · góc nội tiếp chắn cung AN ADN · · · · ⇒ NAC  mà NAC = DAM = ADN  · · ⇒ DAM ⇒ ∆AND cân N ⇒ NA = ND =ADN  ⇒ N nằm đường trung trực AD ⇒ Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng 4.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit hệ quả: A Kiến thức - Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng song song với a - Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường thẳng vng góc với a BA// a, BC// a ⇒A, B, C thẳng hàng AC ⊥ a , BC ⊥ a ⇒A, B, C thẳng hàng (hay AB ⊥ a, BC ⊥ a ⇒A, B, C thẳng hàng) B Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD CE, tia đối tia EC DB lấy thứ tự điểm M N cho EM = EC, DN = DB Chứng minh ba điểm M, A N thẳng hàng Chứng minh: Tứ giác MACB có EA = EB, EM = EC (gt) ⇒ Tứ giác MACB hình bình hành ⇒AM//BC (1) Chứng minh tương tự, ta có AN//BC (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơclit suy AM ≡ AN Hay ba điểm M, A N thẳng hàng Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, I, K, N trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng Chứng minh: * Xét hình thang ABCD có: M trung điểm AD, N trung điểm BC ⇒ MN đường trung bình hình thang ABCD ⇒ MN //AB, MN // CD (1) * Xét ∆ ADC, ta có: M trung điểm AD, K trung điểm AC ⇒ MK đường trung bình ∆ ADC ⇒ MK // DC (2) Từ (1) (2) ⇒ M, K, N thẳng hàng (*) * Xét ∆ BDC, ta có I trung điểm BD, N trung điểm BC ⇒ IN đường trung bình ∆ BDC ⇒ IN // DC (3) Từ (1) (3) ⇒ M, I, N thẳng hàng (**) Từ (*) (**) suy bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng 4.3 Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng: A Kiến thức * Tính chất: Nếu AM + MB = AB M nằm A B B Bài tập: Cho tứ giác ABCD Gọi M, I N thứ tự trung điểm AD, BD BC Chứng minh MN = AB + CD M, I N thẳng hàng tứ giác ABCD trở thành hình thang Chứng minh: Giả sử MN = AB + CD (1) Vì MA = MD, IB = ID nên MI đường trung bình tam giác ADB Suy MI // AB MI = AB Chứng minh tương tự, ta có NI //DC NI = CD Mà MN = AB + CD 1 = AB + CD hay MN = MI + NI 2 Từ suy I nằm M N, hay M, I N thẳng hàng Lúc ta có AB//CD (vì song song với MN) Do tứ giác ABCD hình thang Vậy MN = AB + CD M, I, N thẳng hàng tứ giác ABCD hình thang 4.4 Sử dụng tính chất góc bẹt: A Kiến thức bản: · · · * Tính chất: Nếu AOC + BOC = AOB = 1800 ba điểm A, O B thẳng hàng B Bài tập: Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Chứng minh: Ta có: Góc ABC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ABC = 90o Góc ABD góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ⇒ABD = 90o · · BD =  C · BD = 180 o  ⇒ Ba điểm C, B, D thẳng hàng ⇒ ABC +  A Bài 2: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi D, E, F hình chiếu M BC, AC, AB Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Chứng minh: Xét tứ giác MDBF, ta có: · MDB = 90o (vì MD ⊥ BC) · MFB = 90o (vì MF ⊥ AB) · · ⇒ MDB + MFB = 180o ⇒ Tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn · · ⇒ BDF = BMF (hai góc nội tiếp chắn cung BF) · Xét tứ giác MDEC, ta có: MDC = 90o (vì MD ⊥ BC) · MEC = 90o (vì ME ⊥ AC) Hai đỉnh D E nhìn xuống cạnh MC góc 90o Nên tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn · · (hai góc nội tiếp chắn cung EC) EDC = EMC Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường trịn bốn đỉnh nằm đường trịn · · ABM + ACM = 180o · · Mà ABM + MBF =180o (hai góc kề bù) · · ⇒ ACB = MBF · · Xét ∆ vuông BMF ∆ vng CME có ECM + EMC = 90o · · · · · · ⇒ EMC MBF + BMF = 90o , mà ECM = MBF  = BMF · · · · ⇒ BDF , mà BDF + FDC = 180o = EDC   · · ⇒ EDC + FDC = 180 o ⇒ Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 3: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, dây CD vng góc với AB (CA