(Sáng kiến kinh nghiệm) sử dụng hiệu quả máy tính casio khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia năm trước đề thi học sinh giỏi, phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thường xuất hiện, nhiên lại câu khó để lấy điểm cao Một phương pháp phổ biến giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số phương pháp phân tích thành nhân tử Mặc dù học thầy, cô dành nhiều thời lượng để giảng dạy luyện tập cho học sinh kỹ thuật tách, nhóm để phân tích thành phương trình, bất phương trình tích cịn học sinh nghe hiểu cách làm thắc mắc: "Tại lại làm vậy?" Sách, tài liệu tham khảo thầy cô nêu cho học sinh phương pháp số kinh nghiệm lựa chọn phương pháp vào số cụ thể nên học xong, đọc xong học sinh cảm thấy mơ hồ Chính đứng trước toán học sinh cảm thấy lúng túng không phải lựa chọn phương pháp cho phù hợp, áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử nhóm, tách để biến đổi phương trình, bất phương trình thành phương trình bất phương trình tích Đối với học sinh - giỏi phải thử hết cách sang cách khác thời gian, học sinh trung bình yếu chí cịn khơng tìm lời giải Sau số năm bồi dưỡng học sinh giỏi: "Giải tốn máy tính cầm tay", tham khảo tài liệu qua mạng internet đặc biệt viết đồng nghiệp, học sinh chia sẻ facebook tơi thấy máy tính cầm tay "vũ khí" đắc lực việc giải phương trình, bất phương trình đặc biệt hệ phương trình đại số SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Tuy rằng, máy tính khơng phải phương pháp để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số giúp cho học sinh định hướng tìm cách giải nhanh rõ ràng, đặc biệt có ưu mạnh việc phân tích phương trình thành phương trình tích Tính SOLVE máy tính cầm tay hay, học sinh biết khai thác để phục vụ cho học tập thú vị Chính tính ưu việt máy tính cầm tay với mong muốn cung cấp cho học sinh số bí việc sử dụng để nhanh chóng định hướng phương pháp giải chưa có sách tham khảo hay tài liệu công khai chia sẻ cho học sinh biết bí nên đúc rút, tổng hợp kinh nghiệm thân, tài liệu đồng nghiệp học sinh mà đọc để viết sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số" Thực ra, sáng kiến kinh nghiệm báo cáo sử dụng từ năm 2015 qua năm giảng dạy rút nhiều kinh nghiệm áp dụng sáng kiến nên định bổ sung phát triển để sáng kiến thể logic đầy đủ Do thời gian khả có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết cịn nhiều tồn Kính mong đồng nghiệp học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện tài liệu tham khảo hữu ích thú vị cho giáo viên học sinh II Tên sáng kiến: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số III Tác giả sáng kiến: - Họ tên:Vũ Thị Thanh Nga - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường Vĩnh Phúc SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Số điện thoại: 0982843827 E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n IV Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10 VI Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Năm 2015 VII Mô tả chất sáng kiến:  Một số lưu ý trước đọc viết - Trong toàn viết hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570ES, máy tính có chức thao tác tương tự - Việc giới thiệu quy trình nhìn dài thực nhanh, không nhiều thời gian Sử Sử dụng dụng máy máy tính tính Casio Casio khi giải giải phương phương trình trình và bất bất phương phương trình đại đại số số trình 1.1 Giải phương trình bậc - Như ta biết máy tính giải phương trình bậc bậc ta khơng Nếu phương trình bậc có nghiệm ngun hữu tỷ ta dễ dàng giải cách dùng lược đồ Hoone để phân tích thành phương trình tích bậc bậc Trong trường hợp phương trình bậc có nghiệm lẻ ta phải làm nào? Máy tính cầm tay hỗ trợ tích cực việc  Phương pháp: Xét phương trình ax + bx + cx + d = ( a ≠ 0) (1.1) • Máy tính giúp ta tìm nghiệm gần (1.1) là: A, B, C, D (về nguyên tắc thường ta cần tìm nghiệm đủ) 2 • Do (1.1) viết thành: ( a'x + b ' x + c ' ) ( d'x + e ' x + f ' ) = Nên ta thử nghiệm A, B, C, D xem nghiệm có tổng tích SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số nguyên, chẳng hạn A + B = S , A.B = P với S, P nguyên A, B nghiệm phương trình: x − Sx + P = Nên ta có: (1.1) ⇔ ( x − Sx + P ) ( d'x + e ' x + f ' ) = (Dạng quen thuộc biết cách giải) • Tìm biểu thức d'x + e ' x + f ' cách chia đa thức ax + bx + cx + d cho đa thức x − Sx + P Ví dụ: Giải phương trình x − x − x + 3x + = Hướng dẫn quy trình - Nhập phương trình vào máy tính: Alpha X x − Alpha X x − Alpha X x + Alpha X + = ( Dấu "=" để lưu phương trình) - Bấm shift solve Máy hỏi: Solve for X ( Nhập giá trị ban đầu) - Bấm −9 = Máy sử lí vài giây cho kết X= −R= − 1.618 - Lưu nghiệm vào biến A RCL X Shift STO A Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình lưu Sau bấm: shift solve Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp = máy báo X= −R= − 0.236 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Lưu nghiệm vào biến B RCL X Shift STO B Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình lưu Sau bấm: shift solve Máy hỏi Solve for X , ta bấm tiếp = máy báo X= −R= 4.236 3.5 × 10−12 Lưu nghiệm vào biến C RCL X Shift STO C - Bấm: Alpha A + Alpha B = , máy kết −1.854 (lẻ nên bỏ qua) - Bấm: Alpha A + AlphaC = , máy kết 2.618 (lẻ nên bỏ qua) - Bấm: Alpha B + Alpha C = , máy kết ( Tốt rồi, tiếp tục!) Alpha B × Alpha C = máy kết −1 Vậy xong Ta có lời giải sau: Bài giải x − 3x − x + x + = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) x = ±  x2 − 4x − = ⇔ ⇔  −1 ± x + x −1  x =  −1 ±  x ∈ ± 5;   Vậy, phương trình có nghiệm là:    Bài tập vận dụng Gải phương trình sau x − x3 + 3x + 18 x − = x − x3 − x + 10 x + = x − 22 x − x + = SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 1.2 Giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + + x − 18 x − 12 = (1.2) Phân tích: Quan sát phương trình (1.2) khó để sử lí, khơng thể đặt ẩn phụ phân tích thành nhân tử Vậy phân tích nào? Ta dùng máy tính để dự đốn cách phân tích Hướng dẫn quy trình - Điều kiện: x ≥ − - Nhập phương trình vào máy tính bấm dấu "=" để lưu phương trình Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12 = - Bấm shift solve Máy cho ta nghiệm X = - Ta cần tìm nghiệm khác cách: sửa phương trình thành (3 Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12) ÷ Alpha X - Bấm shift solve = máy báo X = 3.797 - Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào A) SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Sửa phương trình thành (3 Alpha X + + Alpha X + + Alpha X x − 18 Alpha X − 12) ÷ [ Alpha X × ( Alpha X − Alpha A)] - Bấm shift solve = = máy báo X = × 10−50 nghiệm xấp xỉ 0, tức vô nghiệm - Vậy ta có nghiệm thơi, làm tìm nghiệm lẻ để kết hợp với A để áp dụng định lí Talet đảo tìm phương trình nhận chúng nghiệm * Cách 1: Mị phương trình bậc hai tạo nghiệm lẻ cịn lại - Nghiệm nghiệm phương trình bậc hai: ax + bx + c = - Thông thường a = 1, c nguyên nên chủ yếu ta tìm b - Ta lưu nghiệm lẻ tìm vào A, ta lưu lại vào X cách RCL A Shift STO X - Nhập: X + BX : B = B + cách alpha X x + alpha B alpha X alpha ÷ alpha B alpha = alpha B + - Bấm CALL, máy B ? ta bấm tiếp −9 = - Bấm tiếp dấu " =" X + BX số nguyên dừng - Ở ta dừng B = -3 X + BX = Vậy: x − 3x − nhân tử cần tìm  Ta dùng tính table cho nhanh sau: SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Bấm Mode - Máy f(x) =, ta nhập: A2 + XA = ( X chạy A nghiệm), bấm "=" - Máy Start?, ta bấm -9= ( bắt đầu) - Máy End?, ta bấm 9= ( kết thúc) - Máy Step?, ta bấm 1= ( bước nhảy 1) Nhìn vào bảng ta thấy ln X = -3 f(x) = vậy: f ( x) = A2 − A = , suy x − 3x − nhân tử cần tìm - Nếu khơng có giá trị đẹp sửa thành A2 + XA, A2 + XA nhiên khơng khó thế, dừng hệ số x mà thơi * Cách 2: Mị biểu thức để ghép liên hợp - Những toán thường ghép liên hợp vấn đề đặt ghép với số nào?   x + = ax + b - Dạng là:  ta phải tìm a, b, a', b' x + = a ' x + b '   - Lưu nghiệm A = 3,79 sang nghiệm X = 3,79 - Thử xem x + 4-ax nguyên dừng Ở ta tìm giá trị nguyên biểu thức a = 1, tức a = b = - Tương tự, thử xem x + 4-a'x nguyên dừng Ở ta tìm giá trị nguyên biểu thức -1 a = 1, tức a = b = -1 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  − ( x − x − 3)  x + − ( x+1) = x + + ( x+1)  - Vậy ta có:  , định hướng xong − ( x − x − 3)   x + − ( x-1) = x + + ( x-1)  Bài giải - Điều kiện: x ≥ − (1.2) ⇔  x + − ( x + 1)  +  x + − ( x − 1)  + ( x − x − ) =  ⇒ ( x − x − 3)  − − x + + x + ( )   x − 3x − =  ⇔ g ( x) = − −  x + + ( x + 1)  =0 x + + ( x − 1)  =0 x + + ( x − 1) - Ta có: g '( x) = ∀x ≥ − (   1 + ÷+ x +  5x + + x +  ) (   1 + ÷> x − + x +  x + + x −1  )   Suy g(x) đồng biến  − ; +∞ ÷ Mà g(0) = nên g(x) = có nghiệm   x = - Xét x − x − = ⇔ x = ± 21 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Thử lại ta có kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0, x = Ví dụ 2: Giải phương trình x2 + 2x − = ( x + 1) x2 − 2x + ( x+2−2 + 21 ) (1.3) Hướng dẫn quy trình - Điều kiện: x ≥ −2 - Nhập phương trình vào máy tính bấm dấu "=" để lưu phương trình Alpha X x + Alpha X − − ( Alpha X + 1) Alpha X x − Alpha X + ( ) Alpha X + − = - Bấm shift solve − Máy cho ta nghiệm X = - Ta cần tìm nghiệm khác cách: Đẩy phím lên tìm phương trình lưu tiếp túc bấm shift solve máy báo X = 3.302 - Tiếp tục tìm thêm nghiệm: shift solve máy báo kết X = 3.302 Điều cho thấy phương trình có hai nghiệm có lẽ nghiệm X = 3.302 hai nghiệm phương trình bậc hai, cịn nghiệm bị loại Ta tìm phương trình bậc hai nhận X = 3.302 nghiệm - Ta biến đổi phương trình thành phương trình hệ để tìm thêm nghiệm ngoại lai 10 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số • Sau bấm: shift solve 0,5 = ( Lưu ý: x ∈ 0;1 nên chọn giá trị khởi đầu [ ] phải thỏa mãn điều kiện) Thật không may mắn máy tính cho nghiệm lẻ Khơng sao, ta hi vọng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai • Ta tư nhé: phương trình (5) bình phương hai vế phương trình bậc bốn nên phân tích thành: (x + Sx + P ) ( x + S ' x + P ') = Do ta tìm nhân tử xong Ta làm xuất nhân tử cách sau: - Nhập phương trình: ( alpha X x + alpha X − ) − ( − alpha X ) = - Sau bấm: shift solve = Máy báo: X = 0,3288 - Bấm RCL X Shift STO A ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào A) - Tìm tiếp nghiệm thứ 2: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x + 3alpha X − 2) 2 ) − ( − alpha X ) ÷ ( alpha X − alpha A ) Sau bấm: shift solve Máy hỏi A ? 0,3228 , ta bấm tiếp = máy Slove for X ta bấm tiếp = máy báo X = 0,6180 ta ấn phím sang trái ấn = để lưu lại phương trình bấm RCL X Shift STO B ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào B) 23 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Tìm tiếp nghiệm thứ 3: Nhấn nút đẩy lên hai lần để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x + alpha X − ) − ( − alpha X ) ÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B ) ) Sau bấm: shift solve = = = Ta nghiệm X = −1,61803 ta ấn phím sang trái ấn = để lưu lại phương trình bấm RCL X Shift STO C ( Lưu nghiệm X vừa tìm vào C) - Tương tự ta tìm tiếp nghiệm thứ 4: Nhấn nút đẩy lên để tìm phương trình lưu, đưa mũi tên sang trái sửa phương trình thành: ( ( alpha X x + alpha X − 2alpha X ) − ( − alpha X ) ) ÷ ( alpha X − alpha A ) ( alpha X − alpha B ) ( alpha X − alphaC ) Sau bấm: shift solve = = = = Ta nghiệm X = −2,3288 Vậy ta có bốn nghiệm là: A, B, C, X - Ta tính tổng tích nghiệm để tìm phương trình bậc hai với hệ số nguyên Sau thử ta thấy: BC = −1 B + C = −1 , theo định lí Viet ta có B, C nghiệm phương trình x + x − = - Vậy ta đưa phương trình (5) dạng tích có chứa nhân tử x + x − , xong Bài giải: 24 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ( 2.3) ⇔ ( − y ) x − y + x − − ( x − y − 1) y = ⇔ ( − y ) x − y + x − y − + ( y − 1) − ( x − y − 1) ⇔ ( − y ) ( x − y − 1) + ( x − y − 1) ( − y ) = ( ⇔ 1− y )( )( y =0 ) x − y −  + y + x − y + 1 =   1 − y =  ⇔  x − y −1 =   + y + x − y + = (VN )  ( ) + Với − y = ⇔ y = : Thế vào (2.4) ta x = x − y − = ⇔ y = x + : Thế vào (2.4) ta được: + Với y − ( y + 1) + y + = − y − − y ⇔ y + y − = − y (2.5) ⇔ y + y − = − y ⇔ ( y + y − 1) + y − − y =   y2 + y − 1 ⇔ ( y + y − 1) + = ⇔ ( y + y − 1)  + =0 ÷  ÷ y + 1− y y + − y    −1 (t / m) y = +1 2 ⇔ y + y −1 = ⇔  ⇒x=  − −1 y = ( l )     + −   ; Vậy, hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) ∈ ( 3;1) ;  ÷ 2     Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 25 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  x 12 − y + y ( 12 − x ) = 12 (2.6)    x3 − x − = y − (2.7) Hướng dẫn quy trình * Nhận xét chung: - Ta thấy phương trình (2.6) dễ biến đổi Điều kiện: 2 ≤ y ≤ 12  •  x ≤ 12 Làm tương tự ta có bảng sau: • Y X 3,16 2,828 2,64 2,44 3,464= 12 Ta nhận thấy Y tăng X giảm Ta thử bình phương X xem sao: • Y X2 9,999 12 Ta thấy xuất quy luật: y + x = 12 Tuy nhiên ta thấy khơng dễ phân tích thành nhân tử trước được, ta nghĩ đến việc dùng phương pháp hàm số đánh giá 26 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  Phân tích: Ở phương trình (6) mà dùng phương pháp hàm số khó: có tích x y, mà chia vướng số 12 vế phải, dùng bất đẳng thức Cosi xuất y + x = 12 Ta dùng máy tính kiểm tra ln nhé! Ở ta dùng tính CALL Nhập vế trái (6): • 12 − alphaY + alpha X alphaY − ( 12 − alpha X x ) Sau bấm: CALL • Máy hỏi: • Máy hỏi: • (Tức: Cho X ?), ta nhập: X? Y? (Tức: Cho Y ?), ta nhập: 1= 11 = (hoặc tùy ý) Ta có bảng sau: Y 1 2 3 X 10 11 10 11 11 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 Giá trị hàm error • Từ bảng ta thấy vế trái nhỏ 12, dùng phương pháp đánh giá đắn 27 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số • Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: x 12 − y + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 2  x = 12 − y x ≥ ⇔ Dấu "=" xảy   2  y = 12 − x  y = 12 − x - Thế: y = 12 − x vào phương trình (2.7) ta được: x − x − = 10 − x - Nhập phương trình tìm nghiệm x = 3, ta biến đổi để làm xuất nhân tử: x - xong Bài giải 2 ≤ y ≤ 12 - Điều kiện:   x ≤ 12 - Xét (2.6): Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta x 12 − y + y ( 12 − x ) x + ( 12 − y ) y + ( 12 − x ) ≤ + = 12 2  x = 12 − y x ≥ ⇔ Dấu "=" xảy  2  y = 12 − x  y = 12 − x x ≥ Vậy (2.6) ⇔  y = 12 − x  - Thế: y = 12 − x vào phương trình (2.7) ta được: x − x − = 10 − x 28 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ) ( ⇔ x3 − x − + − 10 − x = ⇔ ( x − 3) ( x + 3x + 1) + x2 − + 10 − x =0   x+3 ⇔ ( x − 3)  x + x + + =0  + 10 − x   - Do x ≥ nên: x + 3x + + x+3 + 10 − x = vơ nghiệm - Vậy, hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 3;3)  y2 y +1 + = y2 + x −   x Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau   x + x − + y = y + y (2.9)  y x  ( ) (2.8) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.9) dễ biến đổi hơn, nên ta biến đổi (2.9) - Điều kiện: x ≥ 2; y > - Nhập phương trình: x + - Bấm: shift solve = x −1 y + = y2 + y y x máy hiện: Y ? , bạn nhập: = - Máy hiện: Slove for X (Tức khai báo giá trị đầu X) - Các bạn bấm = Máy trả giá trị nghiệm: X = 0,5 Vậy Y = X = 0,5 29 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Để tìm nghiệm tiếp với Y = bấm: shift solve máy Y ? bạn nhập: = - Cứ ta có bảng sau: Y X 0,5 0,333 = 0,25 = - Dựa vào bảng, ta thấy xuất quy luật: X = 4 0,2 = 5 0,1666 = ⇔ XY + X − = Y +1 - Ta ép để xuất nhân tử trên: xy + x − xong Bài giải - Điều kiện: x ≥ 2; y > ( 2.9 ) ⇔ xy + x − y + − y2 − y = y x ⇔ ( xy + x − 1) x + y − y x − xy = ⇔ ( xy + x − 1) x − y ( xy + x − 1) = ⇔ ( xy + x − 1) ( x − y ) = (2.10) - Với x ≥ 2; y > ⇒ xy + x − > nên từ (2.10) ⇔ x = y - Thế vào (2.8) ta được: ( y + + = y2 + y2 − ⇔ ⇔ ( ⇔ ) ) ( y +1 = ) y2 − + ⇔ ( ) y + = ( y2 − 2) + y2 − + y + = y2 − +  y = −1 < y = y2 − ⇔ y2 − y − = ⇔  y = 2⇒ x = 30 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Vậy, hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 4;2 ) 2.2 Dạng 2: Các mối quan hệ rút từ kết hợp hai phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  ( x + y ) + xy − = (2.11)  2 ( x + y ) − x − xy + y + x − y + = (2.12) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.11) (2.12) khơng khả thi sử dụng cách giải dạng Vậy, ta xét: ( x + y) − x − xy + y + x − y + + k  ( x + y ) + xy − 3 = ( 2.13 )   Thử với k = ±1; ± 2; ± 3; ± để Y nguyên X nguyên - Với k = 1, ta có bảng giá trị sau: Y X -1 Như vậy, ta thấy xuất quy luật: X + Y = - Biến đổi phương trình (2.13) với k = để xuất nhân tử X + Y − xong Bài giải - Cộng với vế (2.11) (2.13) ta ( x + y) − x − xy + y + x − y + +  ( x + y ) + xy − 3 =   31 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − x2 + y + x − y − = − 1 − x + ( y − y + 1) + ( x + y − 1) =  ⇔ ( x + y ) ( x + y − 1) + ( x + y ) − 1 −  x − ( y − y + 1)  + ( x + y − 1) =   ⇔ ( x + y) ( x + y − 1) + ( x + y ) ⇔ ( x + y − 1) { ( x + y) } + 3( x + y ) + + x + y = x + y −1 = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + + x + y = (13) Với x + y + x + y + + x + y = (13) ( ) ( ) • Lấy nhân (13) trừ vế, với vế cho (11) ta được: ( x + y ) + x + 10 y + − xy + = ⇔ ( x + xy + y ) − xy + x + 10 y + = 2 14 16    25    25  ⇔  x + xy + y ÷+ ( x + x + 1) +  x + 10 y +  ÷  + − −  ÷ =    14    14   2  14  25  551  ⇔x 5+ y ÷ + ( x + 1) +  y+ ÷ + =0 196     ⇒ Phương trình vơ nghiệm • Với x + y − = : Thế vào phương trình (11) ta + 4(1 − x) − = ⇔ x = 1 ⇒ y= 2 1 1 Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; ÷ 2 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 32 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số  x − 11x − y + = (2.14)   x − 22 x + 21 + y + y + y = ( x + 1) x − (2.15) Hướng dẫn quy trình - Ta nhận thấy phương trình (2.14) (2.15) khơng khả thi sử dụng cách giải dạng Vậy, ta xét: x − 22 x + 21 + y + y + y − ( x + 1) x − + k ( x − 11x − y + ) = (2.16) Thử với k = ±1; ± 2; ± 3; ± để Y nguyên X nguyên - Thử với k = 1, Y = suy X = 9, , nghiệm xấu nên dừng - Thử với k = 2, Y = suy X = 1, nghiệm đẹp nên tiếp tục thao tác ta bảng giá trị sau: Y X 2,5 8,5 13 Vậy xuất quy luật: y + = x − Ở phương trình (16): x y độc lập với nên ta nghĩ đến phương pháp hàm số Bài giải - Trừ vế, với vế phương trình (2.15) cho (2.16) ta được: y + y + y + = ( x + 1) x − ⇔ ( y + y + y + 1) + ( y + 1) = ( x − 1) x − + 2 x − ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) = ( ) x − + 2 x − (2.17) 33 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Xét hàm số: f (t ) = t + 2t , ta có: f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ Suy hàm số f(t) đồng biến, nên: (2.17) ⇔ y + = x − ⇔ y = x − − - Thế vào phương trình (2.14) ta được: x − 11x − Đặt t = x − (t ≥ 0) ⇒ x = ( ) x − − + = (2.18) t2 +1 , phương trình (2.18) trở thành: 2  t2 +1  t2 +1 2 − 11 ÷  ÷− 2t + 11 = ⇔ t − 9t − 4t + 12 =     t = ⇔ ( t − 3) ( t − 1) ( t + ) ⇔ t =  t = −2(l ) Với t = ⇒  x = • y = Với t = ⇒  x = • y = Vậy, hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) ∈ { ( 5;2 ) ; ( 1;0 ) }  Bài tập vận dụng Giải hệ phương trình sau 5 x y − xy + y − 2( x + y ) =  2  xy ( x + y ) + = ( x + y )   x +1 + x −1 − y + = y  2   x + x ( y − 1) + y − y + = 34 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 2 x + y − xy + x − y =  2 4 x − y − y + x = x + y + x + y  x3 − 3x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  5 x y − xy + y − ( x + y ) =  2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) ( x + 1) x + ( y − 3) − y =  4 x + y + − x =  x ( y + 1) + ( x + 1) x =   2 x y + y + = x + x +  ( )  x − x − y − x − y − = y + 8.  x + y + + x + y = x + y + 3x + y VIII Những thông tin cần bảo mật: Không IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 học Đại số chương III chương IV X Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh học theo nội dung trình bày sáng kiến tự tin đối mặt với việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đề thi THPT Quốc Gia kì thi học sinh giỏi đạt kết cao Cụ Thể: Học 35 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số sinh giỏi định hướng lời giải nhanh để tiết kiệm thời gian dành cho khác, cịn học sinh trung bình làm khơng q phức tạp làm phần đầu phức tạp mà dùng máy tính cầm tay giải Bản thân giáo viên viết đề tài phần rèn luyện cho khả nghiên cứu khoa học, tìm tịi phân tích tổng hợp tài liệu, tăng cường khả tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp truyền đạt cho học sinh Mặc dù cố gắng nhiều trình viết sáng kiến kinh nghiệm chắn khơng tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng hiệu máy tính cầm tay việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số" hồn thiện trở thành tài liệu hay, hữu ích việc dạy học phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số XI Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giáo viên THPT Nguyễn Viết Xuân Bồi dưỡng kiến thức giải phương trình, bất Vũ Thị Thanh Nga phương trình hệ phương trình cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia Lớp 12A2, 12A5 THPT Nguyễn Viết Xuân Nâng cao kiến thức 36 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Vĩnh Tường, ngày tháng 02 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày tháng năm 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường, ngày 20 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Vũ Thị Thanh Nga 37 ...SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Tuy rằng, máy tính khơng phải phương pháp để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. .. khi giải giải phương phương trình trình và bất bất phương phương trình đại đại số số trình 1.1 Giải phương trình bậc - Như ta biết máy tính giải phương trình bậc bậc ta khơng Nếu phương trình bậc... chung là: từ phương trình số (2.2) biến đổi đưa mối quan hệ x, y vào phương trình (2.1) 16 SKKKN: Sử dụng hiệu máy tính Casio giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số - Tuy nhiên,