Vậy nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác EFGH sẽ là hình chữ nhật.. b Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau !..[r]
(1)TỨ GIÁC Định nghĩa : Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đó hai đoạn thẳng nào không cùng nằm trên đường thẳng Định lý : Tổng bốn góc tứ giác 3600 C D 3600 ABCD A B Góc ngoài tứ giác là góc kề bù với góc tứ giác Đa giác là đa giác có tất các cạnh và tất các góc Tam giác Hình thang : Hình vuông Ngũ giác Lục giác Định nghĩa : Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang vuông là hình thang có góc vuông Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với đáy Dấu hiệu nhận biết hình thang cân : 1) Hình thang có hai cạnh bên là hình thang cân 2) Hình thang có hai góc kề đáy là hình thang cân 3) Hình thang có hai đường chéo là hình thang cân Trục đối xứng hình thang cân : Hình thang cân có trục đối xứng là qua trung điểm hai cạnh đáy Hình bình hành : Định nghĩa : Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song Dấu hiệu nhận biết hình bình hành : 1) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành 2) Tứ giác có các cạnh đối là hình bình hành 3) Tứ giác có hai cạnh đối song song và là hình bình hành 4) Tứ giác có các góc đối là hình bình hành 5) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường Tâm đối xứng hình bình hành : Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo Hình chữ nhật : Định nghĩa : Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật : 1) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật 2) Hình thang cân có góc vuông là hình chữ nhật 3) Hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật 4) Hình bình hành có hai đường chéo là hình chữ nhật (2) Trục và tâm đối xứng hình chữ nhật : 1) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng qua trung điểm cạnh đối 2) Hình chữ nhật có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo Hình thoi : Định nghĩa : Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh Dấu hiệu nhận biết hình thoi : 1) Tứ giác có bốn cạnh là hình thoi 2) Hình bình hành có hai cạnh kề là hình thoi 3) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với là hình thoi 4) Hình bình hành có đường chéo là phân giác góc là hình thoi Trục và tâm đối xứng hình thoi : 1) Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo nó 2) Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo Hình vuông : Định nghĩa : Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh Dấu hiệu nhận biết hình vuông : 1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề là hình vuông 2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với là hình vuông 3) Hình chữ nhật có đường chéo là phân giác góc là hình vuông 4) Hình thoi có góc vuông là hình vuông 5) Hình thoi có hai đường chéo là hình vuông Trục và tâm đối xứng hình vuông : 1) Hình vuông có bốn trục đối xứng là hai đường chéo nó và hai đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối 2) Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo Ví dụ : Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là : a) Hình chữ nhật ? b) Hình thoi ? c) Hình vuông ? Bài giải Vì E, F là trung điểm AB, BC nên EF là đường trung bình EF AC ABC Suy EF // AC và , (1) HG AC HG // AC Tương tự ta có : và , (2) Từ (1) và (2) suy tứ giác EFGH là hình bình hành a) Muốn cho tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì nó cần phải có thêm góc vuông ! Chẳng hạn HEF 90 EH EF AC BD Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật b) Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề ! (3) Chẳng hạn EH EF AC BD Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo thì tứ giác EFGH là hình thoi c) Muốn cho tứ giác EFGH là hình vuông nó vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi ! Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với và thì tứ giác EFGH là hình vuông Ví dụ : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi D là trung điểm AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D a) Chứng minh điểm M’ đối xứng với M qua AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì ? Vì ? c) Cho BC 4,(cm) , tính chu vi tứ giác AM’BM d) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AEBM là hình vuông ? Bài giải a) Vì M’ đối xứng M qua D nên DM DM ' , (1) M, D là trung điểm BC, AB nên MD là đường trung bình ABC Suy MD // AC , (2) Mặt khác ABC vuông A nên AB AC , (2) Từ (2) và (2) suy DM AB MM ' AB , (4) Từ (1) và (4) suy M’ đối xứng với M qua AB b) Vì D là trung điểm AB, (gt) và D là trung điểm MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành Mặt khác M’ đối xứng M qua AB nên MM ' AB nên AMBM’ là hình thoi BC AM AM ' M ' B BM 2,(cm) BC cm 2 c) vì nên BM 4.2 8,( cm ) Chu vi tứ giác AM’BM d) Muốn hình thoi AM’BM trở thành hình vuông thì hai đường chéo nó Tức là AB MM ' , mà M ' M AC suy AB AC hay ABC là tam giác vuông cân đỉnhA Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Gọi D, E là các hình chiếu H trên AB, AC và M, N theo thứ tự là các trung điểm các đoạn thẳng BH, CH a) Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vuông b) Gọi P là giao điểm đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh PQ DE c) Chứng minh hệ thức 2PQ MD NE Bài giải Vì D là hình chiếu H xuống AB nên HD AB Do tam giác ABC vuông A nên AC AB Suy AC // HD Tương tự ta có : AB // HE Hay ADHE là hình chữ nhật DEH Suy BAH 0 Do ABC vuông nên ABC ACB 90 ; tương tự HAB vuông nên ABC BAH 90 Suy : DEH ACB Do là trung điểm HC mà EHC vuông E nên NE NH hay EHC cân đỉnh N (4) Suy : EHN HEN Tương tự : HCE NEC , (1) Do EHC vuông E nên NHE HCE 90 , (2) Từ (1) và (2) ta có : NE DE Tương tự ta có : MD DE hay tứ giác MDEN là hình thang vuông b) Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên P là trung điểm DE Vì Q là trung điểm MN nên PQ là đường trung bình hình thang MDEN hay PQ // NE Vì NE DE và PQ // NE nên PQ DE PQ MD NE 2PQ MD NE c) Theo tính chất đường trung bình ta có : Ví dụ : Cho tam giác ABC và điểm P thuộc miền tam giác Gọi M, N, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng P qua các điểm Q, N, M a) Xét xem A, A’đối xứng với qua điểm nào ? Gọi điểm là điểm I b) Chứng tỏ hai điểm C, C’ đối xứng với qua I Bài giải a) Vì Q là trung điểm BC và PA’ nên BPCA’ là hình bình hành suy BA '// PC và BA ' PC ,(1) Tương tự ta có : PC // AB ' và PC AB ' , (2) Từ (1) và (2) ta có ABA ' B ' là hình bình hành Gọi I là giao điểm AA’ với BB’ thì A, A’ đối xứng với qua I b) Tuơng tự ta có ACA’C’ là hình bình hành nên CC’ nhận I là trung điểm, điều này chứng tỏ C, C’ đối xứng với qua I Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH, dựng hình chữ nhật AHBD và AHCE Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm AB, AC Chứng minh : a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) PQ là trung trực đoạn thẳng AH c) Ba điểm D, P, H thẳng hàng d) DH EH Bài giải 0 a) Do AHBD là hình chữ nhật nên DAH 90 , tương tự HAE 90 0 Mà DAE DAH HAE 90 90 180 D, A, E thẳng hàng b) Do P, Q là tâm hai hình chữ nhật AHBD, AHCE nên PQ là đường trung bình ABC PQ // BC và PQ qua trung điểm AH, (1) Do AHBD là hình chữ nhật nên AH BC , (2) Từ (1) và (2) suy PQ là trung trực AH c) Do AHBD là hình chữ nhật nên D, P, H thẳng hàng PHB d) Do P là tâm hình chữ nhật AHBD nên PBH cân đỉnh P, suy PBH , (3) Tương tự ta có QHC QCH , (4) 0 Vì ABC vuông A nên PBH QCH 90 nên PHB QHC 90 DH EH (5) Ví dụ : Cho tam giác ABC phía ngòai tam giác, ta dựng các hình vuông ABDE và ACFG a) Chứng minh BG CE và BG CE b) Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm các đoạn thẳng BC, EG và Q, N theo thứ tự là tâm các hình vuông ABDE, ACFG Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông Bài giải a) Do ABDE là hình vuông nên AD là phân giác góc A và 450 , (1) AB AE ; DAB Tương tự ta có : AC AG ; CAF 45 , (2) Vì BAG BAC CAG BAC 90 BAC BAE EAC , (3) Từ (1), (2) và (3) ta : ABG = AEC, (c,g,c) Suy : BG CE Do ABG = AEC nên AGB ACE Mặt khác AG AC suy BG CE Ví dụ : Qua đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuông góc với Ax cắt cạnh BC điểm P và cắt tia đối tia CD điểm Q Ay cắt tia đối tia BC điểm R và cắt tia đối tia DC điểm S a) Chứng minh các tam giác APS, AQR là các tam giác cân b) Gọi H là giao điểm QR và PS; M, N theo thứ tự là trung điểm QR, PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật Bài giải a) Xét hai tam giác APB và ADS ta có : DAS AB AD , (do ABCD là hình vuông) BAP , ( góc có cạnh D 900 B tương ứng vuông góc ) và nên APB =ADS AP AS Suy : hay APS cân đỉnh A Tương tự ta có AQR cân đỉnh A b) Do Ax Ay nên QA SR hay QA là đường cao tam giác QRS Do ABCD là hình vuông nên RC SQ hay RC là đường cao tam giác QRS Suy P là trực tâm tam giác QRS SP RQ SHR 90 Do AQR cân đỉnh A và M là trung điểm QR nên AM RQ hay AMQ 90 Tương tự ta có : ANH 90 : Tứ giác AMHN có ba góc vuông AMHN là hình chữ nhật DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S a.b a là chiều dài; b là chiều rộng Diện tích hình vuông bình phương cạnh S a a là chiều dài cạnh Ví dụ : Diện tích hình chữ nhật thay đổi nào : a) Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng không đổi b) Chiều dài và chiều rộng tăng ba lần (6) c) Chiều dài tăng bốn lần, chiều rộng giảm lần Bài giải Diện tích hình chữ nhật tính theo hai kích thước : S a.b , a là chiều dài; b là chiều rộng Như diện tích S tỷ lệ thuận với chiều dài và tỷ lệ thuận với chiều rộng a) Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng không đổi thì diện tích tích tăng gấp đôi b) Chiều dài và chiều rộng tăng ba lần thì diện tích gấp lần S ' 2a b 2.ab 2 S S ' 3a 3b 9ab 9S : Diện : Diện tích tăng b S ' 4a ab S 4 c) Chiều dài tăng lần, chiều rộng giảm lần : Diện tích không đổi AB 5, cm BC 3, cm Ví dụ : Vẽ hình chữ nhật ABCD có , a) Hãy vẽ hình chữ nhật có diện tích bé có chu vi lớn hình chữ nhật ABCD Vẽ hình ? b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi chu vi hình chữ nhật ABCD Có hình vuông ? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ Bài giải a) Vẽ hình chữ nhật có a 5, cm b 3, cm ; S ab 5.3 15, cm Ta vẽ hình chữ nhật có ; chu vi C 2 3 16, cm a 7, cm b 2, cm ; S ab 7.2 14, cm thì : thì : ; chu vi C 2 18, cm Ta có thể dựng vô số hình chữ nhật ! b) Hình vuông có chu vi hình chữ nhật đã cho thì có cạnh : a C 16 4, cm 4 , S ' 4.4 16, cm thì diện tích nó là , rõ ràng lớn diện tích hình chữ nhật Ghi nhớ:Trong tất các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn Trong tất các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ AB 20, cm BC 12, cm Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD có , Gọi M là trung điểm cạnh DC và N là trung điểm cạnh AB a) Chứng minh S ADCN S ABCM b) Tính S ADCN Bài giải (7) a) Do M là trung điểm CD nên MC MD ,(1) Do N là trung điểm AB nên NA NB , (2) Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB CD và AD BC Suy : AMD = CNB S AMD SCNB , (3) Mặt khác ta có : S ADCN S AMD S AMCN , S ABCM SCNBD S AMCN (4) Diện tích tam Từ (3) và (4) ta có : S ADCN S ABCM 3 S ADCN S ABCD 20.12 180, cm2 4 b) Diện tích ADCN : Diện tích tam giác nửa tích cạnh đáy với chiều cao tương ứng với cạnh đó S a.h a là cạnh đáy; h là chiều cao tương ứng Ví dụ : Tính diện tích tam giác cạnh a Bài giải Giả sử ABC cạnh a, đường cao ta có : EB EC Trong tam giác vuông AEB có h AE AE AB EB a a 3a a 1 a a2 S ah a 2 Suy : Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD Từ các đỉnh A, C kẻ AH, CK vuông góc với đường chéo BD Chứng minh AHCK là hình bình hành Bài giải Do AH và CK cùng vuông góc với BD nên AH// CK, (1) 1 AH DB CK DB S S CBD 2 Vì ABD = CBD, (c.c.c) nên ABD AH CK , (2) Từ (1) và (2) ta có AHCK là hình bình hành Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao S a b h a là đáy lớn; b là đáy nhỏ; h là chiều cao Ví dụ : Tính diện tích hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là 2cm, 4cm, góc tạo cạnh bên và đáy lớn 450 Bài giải 0 AD 2, cm BC 4, cm Hình thang ABCD có A B 90 và C 45 , , BH AD 2, cm Dựng DH BC ta có ABHD là hình chữ nhật nên Suy : HC BC BH 4 2, cm 0 HD HC 2, cm Xét DHC có C 45 , H 90 nên (8) S ABCD 1 BC AD DH 6, cm2 2 Diện tích hình thang Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S a.h a là cạnh đáy; h là chiều cao tương ứng Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S d1.d (9) LUYỆN TẬP Bài 01: Cho tam giác ABC, đường cao BH, CK cắt E, qua B kẻ Bx AB , qua C kẻ Cy AC Hai đường thẳng Bx, Cy cắt D a) Tứ giác BDCE là hình gì , ? b) Gọi M là trung điểm BC, chứng minh M là trung điểm ED ABC thỏa mãn điều kiện gì đường thẳng DE qua A ? C 900 BAC tứ giác ABCD ( B BDC 1800 : B, D bù nhau) c) So sánh A và D Hướng dẫn Bài 02: Cho hình bình hành ABCD, có A 90 ; AB BC Trên đường vuông góc với BC C, lấy hai điểm E, F cho CE CF CB Trên đường vuông góc với CD C, lấy hai điểm P, Q cho CP CQ CD Chứng minh : a) Tứ giác EPFQ là hình bình hành b) ADC = ECP c) AC EP Hướng dẫn P a) ( CE = CF )… A I B H b) ( AD = EC, CD = CP, D C ) … K E c) Gọi I là giao điểm AB và EP; D F C Gọi H là giao điểm AB và CP; Gọi K là giao điểm AC và EP; Chứng minh ATK = PIH AKI 90 … Q Bài 03: Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc A cắt phân giác góc B, D P, Q a) Chứng minh PB // DQ và AP BP; AQ PQ b) Phân giác góc C cắt BP, DQ M, N Tứ giác MNPQ là hình gì ? c) Chứng minh MP // AD; NQ // AB d) Giả sử AB AD Chứng minh MP NQ AB AD e) Chứng minh AC, BD, MP, NQ đồng quy Hướng dẫn a) Gọi A C 2 , B D 2 Gọi E là giao điểm DQ với AB, F là giao điểm BP với CD ADE EDC FBC FBA … (10) 0 Vì ABCD là hình bình hành nên A B 180 90 Suy APB 90 … b) MNPQ là hình chữ nhật c) Chứng minh MP // AD; NQ // AB Vì EDFB là hình bình hành ED BF , BE DF ADE, CBF cân nên QD QE NF NB Q, N là trung điểm DE, BF … Tứ giác EBNQ là hình bình hành NQ // EB // AB … d) Giả sử AB AD Vì EBNQ là hbh NQ EB AB AE , (1) ADE cân nên AE AD ,(2), vì MNPQ là hình chữ nhật NQ MP ,(3) kq e) Chứng minh AC, BD, MP, NQ đồng quy Bài 04: Cho hình thang ABCD, (AB // CD) Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, AC, CD, BD a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ? c) Với điều kiện gì cho ABCD để MNPQ là hình vuông ? vẽ hình minh họa d) Giả sử AB AD Chứng minh MP NQ AB AD Hướng dẫn Bài 05 : Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB, đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh K nằm H và C b) Gọi P là giao điểm AC và KE Chứng minh ABP vuông cân c) Gọi Q là đỉnh thứ hình bình hành APQB, T là giao điểm BP và AQ Chứng minh H, T, E thẳng hàng d) Chứng minh HEKQ là hình thang Hướng dẫn a) AC > AB B C B 45 ABC HAC 450 và HAK 450 KAC AK nằm miền góc HAC nên K nằm H và C b) BHA = PEA, (c,g,c) AB AP mà BAP 90 PAB vuông cân c) HA HK nên H nằm trên trung trực AK EA EK nên E nằm trên trung trực AK Vì TB TP, BKP 90 TK TP TB APQB là hình vuông , TP TA TK TA nên T nằm trên trung trực AK (11) H, T, E thẳng hàng d) Kẻ QM BC , QN PK … N 900 , QP QB, QBM BMQ PNQ,( M QBN ) MQ NQ … AK KQ Mà AK HE HE // QK HEKQ là hình thang (12) TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Định nghĩa : Tỷ số hai đọan thẳng là tỷ số hai độ dài chúng với cùng đơn vị đo Hai đoạn thẳng AB, CD gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ có tỷ lệ thức : AB A ' B ' AB CD CD C ' D ' hay A ' B ' C ' D ' Định lý Talét : Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định trên hai cạnh đó đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ ABC AB ' AC ' B ' C ' AB AC BC B ' C '// BC Hệ : Trong tam giác đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đọan thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ABC MB AB MC AC BAM MAC Tam giác đồng dạng Định nghĩa : Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có ba cạnh tương ứng tỷ lệ và ba góc tương ứng AB BC CA ABCA ' B ' C ' A ' B ' B ' C ' C ' A ' C ' B ', C và A A ' , B Các trường hợp đồng dạng tam giác Trường hợp : Nếu tam giác này có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh tam giác thì hai tam giác đó đồng dạng ABC ; A ' B ' C ' AB BC CA A ' B ' B ' C ' C ' A ' ABCA ' B ' C ' Hệ : Nếu hai tam giác vuông này có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ với thì hai tam giác vuông đó đồng dạng Trường hợp : Nếu tam giác này có hai cạnh tỷ lệ với hai cạnh tam giác và hai góc tạo hai cặp cạnh đó thì hai tam giác đó đồng dạng ABC ; A ' B ' C ' AB AC A ' B ' A ' C ' ; A A ' ABCA ' B ' C ' Hệ : Nếu hai cạnh góc vuông tam giác này hai cạnh góc vuông tam giác thì hai tam giác vuông đó Trường hợp : Nếu hai góc tam giác này hai góc tam giác thì hai tam giác đó đồng dạng (13) ABC ; A ' B ' C ' ' B B '; C C ABC A ' B ' C ' Hệ : Nếu hai tam giác vuông có góc thì hai tam giác vuông đó đồng dạng Hệ : Trong hai tam giác đồng dạng tỷ số hai đường tương ứng tỷ số đồng dạng MỘT SỐ VẬT THỂ TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 1) 2) 3) 4) Hình hộp chữ nhật có mặt là hình chữ nhật, đỉnh và 12 cạnh chia thành nhóm, nhóm có cạnh Hai mặt hình hộp chữ nhật không có cạnh chung gọi là hai mặt đối diện Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có mặt là hình vuông Trong không gian hai đường thẳng phân biệt chúng cùng nằm mặt phẳng và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song Trong không gian hai đường thẳng a, b chúng có thể : Cắt nhau; Song song; Trùng nhau; Không cùng nằm chung mặt phẳng nào, gọi đó là hai đường thẳng chéo Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì chúng không có điểm chung Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng và nó song song đường thẳng b nằm mặt phẳng thì đường thẳng a song song với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song thì chúng không có điểm chung Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Thể tích hình lập phương tích ba kích thước : V a.b.c Thể tích hình hộp chữ nhật lập phương cạnh : V a Ví dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ hình vẽ a) Hãy kể tên các đỉnh, các cạnh, các cặp mặt đối diện nó b) Hãy đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo với đường thẳng AA’ c) Mặt phẳng nào song song với đường thẳng AB d) Đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABCD) e) Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (AA’D’D) f) Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng CD g) Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C) 2 2 h) Chứng minh AC ' AB AD AA ' , ( hình hộp chữ nhật bình phương đường chéo tổng các bình phương ba kích thước ) Bài giải a) Các đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là A, B, C, D; A’, B’, C’, D’ (14) Các cạnh là AB, CD, A’B’, C’D’ và AD, BC, B’C’, A’D’ và AA’, BB’, CC’, DD’ Các cặp mặt đối diện là : (ABCD) và (A’B’C’D’); (ADD’A’) và (BCC’B’); (ABB’A’) và (DCC’D’) b) Những đường thẳng cắt đường thẳng AB là đường thẳng AA’, đường thẳng AD Những đường thẳng song song với đường thẳng CD là đường thẳng AB, A’B’, C’D’ Những đường thẳng chéo với đường thẳng AA’ là đường thẳng BC, CD, B’C’, C’D’ c) Song song với đường thẳng AB là mặt phẳng (CDD’C’); (A’B’C’D’) d) Song song với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng A’B’, C’D’, A’D’, B’C’ e) Song song với mặt phẳng (AA’D’D) là mặt phẳng (BB’C’C) f) Vuông góc với đường thẳng CD là mặt phẳng (ADD’A’); (BCC’B’) g) Vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C) là đường thẳng AB, CD, A’B’, C’D’ h) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên ABCD là hình chữ nhật, theo định lý Pitago ta 2 2 có : AC AD DC AD AB , (1) Do CC ' ABCD nên ACC’ vuông C Áp dụng định lý Pitago lần ta có : AC ' AC CC ' , vì CC ' AA ' nên AC '2 AB AD AA '2 2 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG Các mặt bên là hình chữ nhật C' Các cạnh bên song song và B' Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song với nhau, hai đáy là hai đa giác D A Diện tích xung quanh lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều S 2 p.h B C cao : xq , p là nửa chu vi, h là chiều cao lăng trụ Thể tích lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao : V S h , S diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ đứng A' D' HÌNH CHÓP ĐỀU Những mặt bên là tam giác cân và có chung đỉnh Mặt đáy là đa giác Đường thẳng qua đỉnh vuông góc với đáy gọi là đường cao Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Đường cao các mặt bên gọi là các trung đoạn, các trung đoạn Diện tích xung quanh chóp tích nửa chu vi đáy S xq p.d nhân với trung đoạn : , p là nửa chu vi, d là trung đoạn chóp 1 V S h Thể tích chóp diện tích đáy nhân với chiều cao : , S diện tích đáy, h chiều cao chóp Ví dụ : Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp tứ giác a 20, cm b 24, cm có cạnh bên b, cạnh đáy a Áp dụng cho và Bài giải (15) Giả sử S.ABCD là hình chóp tứ giác thì SA SB SC SD b và ABCD là hình vuông cạnh a Diện tích nó : S a Gọi M là trung điểm AB ta có : MA a 2 a2 a 2 2 a d SA MA b b MA 2 nên Xét SAM có M 90 , SA b , a2 S xq 4.SSAB 4 AB.SM 2.a b Diện tích xung quanh hình chóp : Stp S xq S d 2.a b Diện tích toàn phần hình chóp : a2 a2 Gọi H là chân đường cao chóp H là tâm hình vuông ABCD cạnh a HM a2 a H 900 SM d b HM Xét SHM có , , nên : 2 a2 a a2 h SH SM HM b b2 2 1 a2 V S ABCD h a b 3 Thể tích chóp : a 20, cm b 24, cm Áp dụng cho và Diện tích đáy : Trung đoạn : S a 20 400, cm2 d b2 2 a 20 24 24 52 19.29 4 a2 202 2.20 24 40 19.29 4 Diện tích xung quanh hình chóp : Stp S xq S d 40 19.29 400 S xq 2.a b Diện tích toàn phần hình chóp : h b2 a 20 242 242 200 376 2 2 a2 202 400 V a b 20 24 376 3 Thể tích chóp : a (16)