Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết quả sai để làm bài ở các phần tiếp theo thì không tính điểm ở các phần tiếp theo đó..[r]
(1)đề thi học sinh giỏi giỏi cấp huyện n¨m häc 2011 - 2012 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN Ngµy 29 th¸ng 12 n¨m 2011 Đề: 01 C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (4x3 - 6x2 - 1)2011 víi x = ( 1+ √3 3+2 √ 2+ √3 −2 √ ) 2 ViÕt c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai d¹ng: x2 + mx + n = BiÕt r»ng, ph¬ng tr×nh cã nghiệm nguyên, các hệ số m, n là số nguyên và m + n + = 2011 C©u 2: 25 x x+ =11 Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x +5 )2 ¿ x + y= x Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: y+ x = y ¿{ ¿ C©u 3: 1 1 Cho c¸c sè nguyªn a, b, c tháa m·n: a + b + c =abc Chøng minh r»ng: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) lµ sè chÝnh ph¬ng T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: n4 + 2n3 + 2n2 + n + lµ sè chÝnh ph¬ng C©u 4: Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) hai điểm A, B Từ điểm M trên đờng thẳng (d) và ngoài (O), (d) không qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đờng tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm) a Chøng minh NMO = NPO b Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn qua hai điểm cố định M di động trên đờng thẳng (d) Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động cho tam giác AMB có ba góc nhän Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMB vµ K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch KM.HK C©u 5: Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: xyz = Chøng minh r»ng: √1+ x + y + √ 1+ y 3+ z + √1+ z + x3 ≥3 √ xy yz zx Hết phßng gd&®t triÖu s¬n C©u §¸p ¸n & biÓu ®iÓm Thi HSG §Ò 09 Nội dung đáp án §iÓm (2) §Æt ¿ a=√ 3+2 √ b=√ − √ ¿{ ¿ ¿ ab=1 3 a +b =6 a+b=2 x − ¿{{ ¿3 3 Suy ra: (2x - 1)3 = (a + b) = a + b + 3ab(a + b) = + 3(2x - 1) ( x −1 ) [ ( x −1 )2 −3 ] = 4x3 - 6x2 - = VËy P = (4x3 - 6x2 - 1)2011 = Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 + mx + n = cã hai nghiÖm nguyªn x1, x2 Theo 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 (4,0®) định lí Vi - et, ta có: ¿ x 1+ x 2=− m x x2 =n ¿{ ¿ 0,25 0,75 Do đó: m + n + = x1x2- (x1 + x2) + = 2011 (x1 - 1)(x2 - 1) = 2011 Vì 2011 là số nguyên tố, giả sử x1 > x2, ta nhận đợc: + x1 - = 2011 => x1 = 2012; x2 - = => x2 = Suy m = -2014; n = 4024 + x1 - = -1 => x1 = 0; x2 - = -2011 => x2 = -2010 Suy m = 2010; n = Từ đó, ta có các phơng trình bậc hai dạng: x2 + mx + n = thỏa mãn điều kiện bµi to¸n: x2 - 2014x + 4024 = 0; x2 + 2010x = §K: x 5 x 10 x + =11 x +5 x +5 2 x 10 x + −11=0 x+5 x+ Đặt x =t thì phơng trình đã cho trở thành: t2 + 10t -11 = x +5 t=1 ¿ t=−11 ¿ ¿ ¿ ¿ + Víi t = => x2 - x - = Suy ra: x1,2 = ± √21 (1) (4,0®) ( x− ) ( ) + Víi t = -11 => x2 + 11x + 55 = (PTVN) §K: x, y HÖ ph¬ng tr×nh ¿ x + x y =3 y + xy 2=3 ¿{ ¿ Trõ vế với vế hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) = 2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 (3) (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = (*) V× 2x2 + 3xy +y2 = x + y + y > víi ∀ x, y ( (4,0®) ) Nªn (*) x – y = x = y Thay x = y vào phơng trình (1) ta đợc: 3x3 = x3 = x = (TM §K) VËy x = y = 1 Theo đề ra, ta có: + + = => ab + bc + ca = a b c abc Khi đó, ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1) + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2) + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn th× (a + b)(b + c)(c + a) lµ sè nguyªn VËy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt n4 + 2n3 + 2n2 + n + = y2 (y N) Suy ra: y2 = (n2 + n)2 + n2 + n + > (n2 + n)2 => y > n2+ n V× y N, n2 + n + N => y n2 + n + => y2 (n2 + n + 1)2 Thay y = n + 2n + 2n + n + => n4 + 2n3 + 2n2 + n + (n2 + n + 1)2 => n + n - => (n - 2)(n + 3) n N* => n + > => n - Suy n { 1; } Thö víi n = th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + = 13 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng Thö víi n = th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + = 49 lµ sè chÝnh ph¬ng VËy n = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (6,0®) a V× MN, MP lµ hai tiÕp tuyến đờng tròn (O) => ONM = OPM = 900 (1) 0,5 P 0,5 => ONM + OPM = 1800 Suy tø gi¸c MNOP néi tiÕp O M => NMO = NPO (Hai gãc néi b.tiÕp Gäicïng I lµch¾n trung cung ®iÓmON) dây AB ta có I cố định (d) kh«ng ®i qua O nªn OI AB 0,5 I B A N 0,5 (4) => OIM = ONM = OPM = 900 => I, N, P thuộc đờng tròn đờng kính OM O và I cố định Do đó, đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định O và I M di động trên đờng thẳng (d) M Δ BKM vµ Δ HKA cã: BKM = HKA (= 900) BMK = HAK (hai gãc nhän c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Do đó Δ BKM đồng dạng Δ HKA (g.g) H B K BK KM = => kh¸c: => BK.KA = KM.HK MÆt HK KA 2 BK.KA BK +KA = AB => KM.HK AB VËy max KM.HK = AB BK = KA (K lµ trung ®iÓm AB) ( (2,0®) √ √1+ x + y + √ 1+ y 3+ z + √1+ z + x3 ≥3 √ yz 0.5 0,25 ) áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho số dơng, ta có: + x3 + y3 √1 x y =3 xy 3 <=> √1+ x + y ≥ √ (1) xy √ xy 3 T¬ng tù: √1+ y + z ≥ √ (2) yz √ yz √1+ z + x ≥ √ (3) zx √ zx Tõ (1), (2) & (3), suy ra: √1+ x + y + √ 1+ y 3+ z + √1+ z + x3 ≥ √3 + √ + √ xy yz zx √ xy √ yz √ zx MÆt kh¸c: √ + √3 + √3 ≥3 √ √ √ =3 √3 √ xy √ yz √ zx √ xy √ yz √ zx Tõ (*) & (**) suy ra: xy A 0,5 0,5 0,25 0,25 (*) 0,25 (**) 0,5 zx DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: x = y = z = 0,25 0,25 Chó ý: Thí sinh có thể làm bài cách khác, đúng đợc điểm tối đa Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết sai để làm bài các phần thì không tính điểm các phần đó (5)