Về tính chất i cofinite của một số môđun đối đồng điều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LƯƠNG THANH HUẾ VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LƯƠNG THANH HUẾ VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019 Tác giả Lương Thanh Huế Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn cán hướng dẫn khoa học ii i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành vào tháng 05/2018 hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN VĂN HOÀNG- Giảng viên Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy Viện Tốn học tất thầy cô Đại học Thái Nguyên với giảng đầy nhiệt thành tâm huyết Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học thầy cô Tổ đại số trường ĐH Sư phạm Thái Nguyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo, anh, chị, bạn bè đồng nghiệp Trung tâm GDNN-GDTX Lạng Giang nơi làm việc tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tơi q trình học làm luận văn Tôi xin gửi cảm ơn tới tất thành viên gia đình tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019 Tác giả Lương Thanh Huế iii ii Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết giá môđun 1.2 Môđun Ext 1.3 Đối đồng điều địa phương 1.4 Đối đồng điều địa phương suy rộng 10 1.5 Sơ lược dãy quy phức Koszul 12 Tính I -cofinite số mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng 16 2.1 Sơ lược môđun I -cofinite minimax 16 2.2 Một số bổ đề hỗ trợ 17 2.3 Chứng minh Định lý 0.0.1 19 2.4 Chứng minh Định lý 0.0.2 22 2.5 Chứng minh Định lý 0.0.3 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 iii iv MỞ ĐẦU Cho R vành giao hoán Noether, I iđêan R M , N hai R-môđun hữu hạn sinh Một R-môđun K gọi môđun I cofinite Supp (K) ⊆ V (I) ExtjR (R/I, K) hữu hạn sinh với j ≥ Bài tốn nghiên cứu tính I -cofinite cho mơđun xuất nhiều cơng trình nghiên cứu nhà khoa học giới A Grothendieck, R Hartshorne (những năm 1967), L Melkersson, K Kawasaki, K Bahmanpour, Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Văn Hoàng, Lê Thanh Nhàn, (những năm sau này) Việc nghiên cứu tính I -cofinite số môđun đặc biệt môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương HIj (N ), môđun ExtjI (M, K) mang lại thông tin quan trọng cấu trúc vành môđun Năm 1970, luận án tiến sĩ khoa học mình, J Herzog định nghĩa nghiên cứu lớp môđun đối đồng điều địa phương suy j n rộng HIj (M, N ) ∼ = lim −→n ExtR (M/I M, N ) Lớp môđun bao hàm lớp môđun đối đồng điều địa phương lớp mơđun mở rộng có tính chất khác biệt Do vây, điều tự nhiên thúc đẩy ta tìm hiểu tính I -cofinite cho lớp mơđun Trong luận văn này, ta tập trung tìm hiểu câu hỏi: Với điều kiện mơđun HIj (M, N ) I -cofinite? Từ đó, ta thu tiêu chuẩn tính I -cofinite lớp mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng lớp môđun đối đồng điều địa phương (như hệ quả) Định lý 0.0.1 ([5, Định lý 1.1]) Nếu I iđêan HIj (M, N ) I -cofinite với R-môđun hữu hạn sinh M , N j ≥ Kết mở rộng [14, Định lý 2.8] ta khơng cần giả thiết M có chiều hữu hạn Hơn nữa, lý luận đối đồng điều địa phương sử dụng chứng minh K I Kawasaki [19, Định lý 1] áp dụng để chứng minh định lý HIj (M, N ) khơng triệt tiêu với j > Do vậy, ta cần dùng tiêu chuẩn tính cofinite đưa L Melkersson [13] Định lý sau kết thứ hai luận văn: Định lý 0.0.2 ([5, Định lý 1.2]) Cho t số nguyên không âm cho dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j < t Khi HIj (M, N ) I -cofinite với j < t Hom (R/I, HIt (M, N )) hữu hạn sinh Trong [2, Định lý 2.6], K Bahmanpour R Naghipour sử dụng j tính chất đối đồng điều địa phương H j (N ) ∼ = H (N/ΓI (N )) I I với j > Từ ΓI (N ) = Tuy nhiên điều không j HIj (M, N ) ∼ = HI (M, N/ΓIM (N )) với j > 0, IM = annR (M/IM ) Do ta cần tới Bổ đề 2.2.3 cho t, k số nguyên không âm, dim Supp (HIj (M, N )) ≤ k , với j < t dim Supp HIj (M, N/ΓIM (N )) ≤ k Hơn nữa, ta cần tới Bổ đề 2.2.2 2.2.4 môđun minimax Đặc biệt, Bổ đề 2.4.4 giúp ta thay nghiên cứu tính cofinite iđêan I HIj (M, N ) ta cần xét tính cofinite iđêan IM Xét trường hợp số chiều nhỏ, [17, Bổ đề 3.1] chứng minh dim(N ) ≤ thương HIj (M, N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với j ≥ Ta có kết mạnh sau Định lý 0.0.3 ([5, Định lý 1.3]) Giả sử dim(M ) ≤ dim(N ) ≤ Khi HIj (M, N ) I -cofinite với j Từ Định lý này, ta có hệ trực tiếp tính cofinite số môđun đối đồng điều địa phương (xem Bổ đề 2.5) Kết hợp Định lý 0.0.2 0.0.3, ta có kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết ExtiR (R/I, HIj (M, N )) với i, j ≥ (R, m) vành địa phương Noether dim(N ) ≤ dim(M ) ≤ Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại chứng minh Định lý 0.0.1, 0.0.2 0.0.3 nêu Các chứng minh dựa báo [5] N T Cuong, S Goto and N V Hoang năm 2015, On the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Kyoto Journal of Mathematics 55(1), 169–185 Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị tập Ass, tập Supp, môđun Ext, đối đồng điều địa phương, đối đồng điều địa phương suy rộng, dãy quy, độ sâu, phức Koszul, đồng điều đối đồng điều Koszul Chương trình bày kết luận văn chứng minh chi tiết cho Định lý 0.0.1, 0.0.2 0.0.3 Sau định lý ta trình bày hệ quan trọng thu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta giả thiết R vành giao hoán Noether, I iđêan R M, N R-môđun 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết giá môđun Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử = x ∈ M cho (0 : x)R = AnnR (x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass (M ) Định nghĩa 1.1.2 (Giá mơđun) Kí hiệu Supp (M ) = {p ∈ Spec (R)|Mp = 0}, ta gọi tập giá môđun M Đặt V (I) = {p ∈ Spec (R)|I ⊆ p} Khi Supp (R/I) = V (I) Hơn M R-mơđun hữu hạn sinh Supp (M ) = V (Ann (M )) Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết giá môđun Mệnh đề 1.1.3 (i) Nếu p phần tử tối đại tập {Ann (x)|0 = x ∈ M } p ∈ Ass (M ) Do Ass (M ) = ∅ M = (ii) Cho p ∈ Spec (R) Khi p ∈ Ass (M ) M có mơđun đẳng cấu với R/ p (iii) Tập ước khơng M , kí hiệu ZdvR (M ) = {a ∈ R | ∃x ∈ M, x = 0, ax = 0} hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Hay ZdvR (M ) = p p∈Ass (M ) Mệnh đề 1.1.4 (i) Nếu M R-mơđun hữu hạn sinh Ass (M ) tập hữu hạn Hơn nữa, Ass (M ) ⊆ V (Ann (M )) phần tử tối tiểu V (Ann (M )) thuộc Ass (M ) Do Ann (M ) = p p∈Ass (M ) (ii) Ass (M ) ⊆ Supp (M ) Hơn nữa, phần tử tối tiểu tập Supp (M ) thuộc tập Ass (M ) (iii) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ Ass (M ), q ⊆ p} Mệnh đề 1.1.5 Cho → M → M → M R-mơđun Khi (i) Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ∪ Ass (M ) (ii) Supp (M ) = Supp (M ) ∪ Supp (M ) → dãy khớp Sau đây, ta chứng minh kết thứ hai luận văn Để tiện theo dõi ta nhắc lại phát biểu Định lý 0.0.2 Định lý 2.4.5 Cho số nguyên t ≥ cho dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j < t Khi HIj (M, N ) I -cofinite với j < t Hom (R/I, HIt (M, N )) hữu hạn sinh Chứng minh Áp dụng kết Bổ đề 2.4.4, để chứng minh Định lý 2.4.5 ta cần chứng minh với số nguyên t HIj (M, N ) IM -cofinite với j < t Hom (R/IM , HIt (M, N ) hữu hạn sinh Thật vậy, ta chứng điều quy nạp theo t Ta có dim Supp (HIj (M, N ) ≤ với j < t Trường hợp t = tầm thường Nếu t = hiển nhiên ta có HI0 (M, N ) IM -cofinite Hơn theo Bổ đề 2.1.4 Hom (R/IM , HI1 (M, N ) hữu hạn sinh Giả sử t > điều cần chứng minh với t − Xét dãy khớp ngắn → ΓIM (N ) → N → N → Khi ta thu dãy khớp dài tương ứng fj gj hj → HIj (M, N ) − ExtjR M, ΓIM (N ) − → HIj (M, N ) − → Extj+1 M, ΓIM (N ) R N = N/ΓIM (N ) Với j ≥ 0, ta tách dãy khớp dài thành hai dãy khớp sau → Im fj → HIj (M, N ) → Im gj → → Im gj → HIj (M, N ) → Im hj → Ta có Im fj Im hj mơđun hữu hạn sinh với j ≥ Khi đó, với j < t, HIj (M, N ) IM -cofinite HIj (M, N ) 28 IM -cofinite Mặt khác, từ Bổ đề 2.2.3 ta có dim Supp (HIj (M, N ) ≤ với j < t Do để chứng minh định lý trường hợp t > 1, ta giả sử ΓIM (N ) = Suy IM p∈AssR (N ) p Đặt t−1 Supp (HIj (M, N )) S = {p ∈ X| dim(R/ p) = 1} X= j=0 Khi S ⊆ j t−1 j=0 Ass (HI (M, N )) Từ giả thiết quy nạp HIj (M, N ) IM -cofinite với j < t − Hom (R/IM , HIt−1 (M, N )) hữu hạn j t−1 j=0 Ass (HI (M, N )) sinh nên suy tập hữu hạn Do S tập hữu hạn Ta giả sử S = {p1 , p2 , , pn } Khi SuppRp k j HIR (Mpk , Npk ) ⊆ Max (Rpk ), p k với j < t, k = 1, , n Từ áp dụng Bổ đề 2.2.4, ta j (Mpk , Npk ) Artin với j < t k = 1, , n Mặt khác, HIR p k I ⊆ IM nên V (IM ) ⊆ V (I) Áp dụng Bổ đề 2.1.4 [18, Bổ đề 1] ta j có Hom (Rpk /(IM )Rpk , HIR (Mpk , Npk )) hữu hạn sinh với j < t p k k = 1, , n Do đó, từ Bổ đề 2.4.3 (ii) j (Mpk , Npk ) ⊆ Max (Rpk ), V (IM )Rpk ∩ AttRpk HIR p k Với j < t k = 1, , n Đặt t−1 n T = j {q ∈ Spec R | qRpk ∈ AttRpk (HIR (Mpk , Npk ))} p k j=0 k=0 29 Ta có T ∩ V (IM ) ⊆ S Tiếp theo ta chọn phần tử x ∈ IM cho     p ∪  x∈ / p p∈AssR (N ) p∈T \V (IM ) Khi đó, từ dãy khớp ngắn x 0→N → − N → N/xN → 0, ta có dãy khớp tương ứng x HIj (M, N ) → − HIj (M, N ) → HIj (M, N/xN ) → HIj+1 (M, N ), với j ≥ Do dãy sau khớp βj αj → (0 : x)H j+1 (M,N ) → → HIj (M, N/xN ) − → HIj (M, N )/xHIj (M, N ) − I (2.1) với j ≥ Kết hợp giả thiết định lý với dãy khớp (2.1) ta dim Supp (HIj (M, N/xN )) ≤ với j < t − Khi đó, theo giả thiết quy nạp HI0 (M, N/xN ), HI1 (M, N/xN ), HIt−2 (M, N/xN ) IM -cofinite Hom (R/IM , HIt−1 (M, N/xN )) hữu hạn sinh Hơn từ giả thiết quy nạp ta có HI0 (M, N, HI1 (M, N )), , HIt−2 (M, N ) IM -cofinite Hom (R/IM , HIt−1 (M, N )) hữu hạn sinh Với j < t, đặt Lj = HIj (M, N )/xHIj (M, N ) Từ cách chọn x áp dụng Bổ đề 2.4.3 ta (Lj )pk có độ dài hữu hạn với j < t với k = 1, , n Kết hợp điều với tính Noether (Lj )pk ta thấy tồn môđun hữu hạn sinh Ljk Lj cho (Lj )pk = (Ljk )pk với j < t k = 1, , n Đặt Lj = Lj1 + Lj2 + Ljn 30 Khi đó, Lj mơđun hữu hạn sinh Lj thỏa mãn tính chất Supp (Lj /Lj ) ⊆ X \ {p1 , p2 , , pn } ⊆ Max (R) Với j < t, ta đặt Nj = HIj (M, N/xN ) Nj = αj (Lj ) Khi Nj môđun hữu hạn sinh Nj dãy αj∗ βj∗ → Lj /Lj −→ Nj /Nj −→ (0 : x)H j+1 (M,N ) → I (2.2) khớp Tiếp theo ta chứng minh Lj minimax với mọij < t Trước hết, xét dãy khớp Hom(R/IM , Nj ) → Hom(R/IM , Nj /Nj ) → Ext1R (R/IM , Nj ), với j < t Vì Nj hữu hạn sinh Hom (R/IM , Nj ) hữu hạn sinh với j < t nên Hom (R/IM , Nj /Nj ) hữu hạn sinh Do đó, từ dãy khớp (2.2), ta có Hom(R/IM , Lj /Lj ) hữu hạn sinh với j < t Mặt khác, Supp (Lj /Lj ) ⊆ Max (R) Lj /Lj IM -xoắn nên Lj /Lj môđun Artin với j < t (xem [12, Định lý 1.3]) Suy Lj minimax với j < t Ta viết lại dãy khớp (2.1) dạng αj βj → Lj − → Nj − → (0 : x)H j+1 (M,N ) → I (2.1’) Vì Hom (R/IM , Nj ) hữu hạn sinh nên Hom (R/IM , Lj ) hữu hạn sinh với j < t Từ đây, kết hợp với tính chất 4.3 [13] ta Lj IM -cofinite với j < t Hơn Nj IM -cofinite với j < t − 1, từ dãy (2.1’) ta có (0 : x)H j (M,N ) IM -cofinite với I j < t Đặc biệt, (0 : x)HIt−1 (M,N ) HIt−1 (M, N )/xHIt−1 (M, N ) = Lt−1 IM -cofinite Điều kéo theo HIt−1 (M, N ) IM -cofinite (theo Bổ đề 2.3.1) Suy HIj (M, N ) IM -cofinite với j < t Mặt khác, xét 31 dãy (2.1’) j = t − 1, ta có dãy khớp sau Hom (R/IM , Nt−1 ) → Hom (R/IM , (0 : x)HIt (M,N ) ) → Ext1R (R/IM , Lt−1 ) Khi đó, Hom (R/IM , Nt−1 ) hữu hạn sinh Lt−1 IM -cofinite nên Hom (R/IM , HIt (M, N )) = Hom (R/IM , (0 : x)HIt (M,N ) ) hữu hạn sinh Do ta có điều cần chứng minh Trong tài liệu [14], K Divaani-Aazar R Sazeedeh Định lý 2.9 p iđêan nguyên tố vành địa phương đầy đủ (R, m) với dim(R/ p) = M ln có chiều xạ ảnh hữu hạn Hpj (M, N ) p-cofinite với j ≥ Sau đó, K I Kawasaki chứng minh (R, m) vành địa phương I iđêan R với dim(R/I) = HIj (M, N ) I -cofinite với j ≥ 0, M ln có chiều hữu hạn Khi đó, ta có hệ trực tiếp Định lý 1.2, kết tốt kết vừa nêu ta không cần giả thiết tính đầy đủ vành tính hữu hạn chiều xạ ảnh M Hệ 2.4.6 Nếu dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j (hoặc dim(N/IM N ) ≤ 1) HIj (M, N ) I -cofinite với j ≥ Sau đây, ta nhắc lại khái niệm số Bass Định nghĩa 2.4.7 Cho K R-môđun, i số nguyên p iđêan nguyên tố Khi số Bass thứ i K p µi (p, K) xác định µi (p, K) = dimk(p) (ExtiR (R/ p, K)p ) Trong [20], S Kawakami K I Kawasaki chứng minh M có chiều hữu hạn dim(R/I) = µi (p, HIj (M, N )) hữu hạn 32 với i, j ≥ p ∈ Spec (R) Từ kết này, ta có hệ sau Hệ 2.4.8 Giả sử dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j (hoặc giả sử dim(N/IM N ) ≤ 1) Khi µi (p, HIj (M, N )) hữu hạn với i, j ≥ p ∈ Spec (R) Chứng minh Lấy p ∈ Spec (R) Nếu I p µi (p, HIj (M, N )) = Nếu I ⊆ p Supp (R/ p) ⊆ Supp (R/I) Khi ExtiR (R/ p, HIj (M, N )) hữu hạn sinh với i, j (theo kết Hệ 2.4.6 [8, Tính chất 1]) Do đó, µi (p, HIj (M, N )) hữu hạn với i, j ≥ 2.5 Chứng minh Định lý 0.0.3 Trong phần này, ta trình bày chứng minh Định lý 0.0.3 hệ suy từ Ta nhắc lại phát biểu Định lý 0.0.3 sau Định lý 2.5.1 Giả sử dim(M ) ≤ dim(N ) ≤ Khi HIj (M, N ) I -cofinite với j Chứng minh Trước hết, ta xét trường hợp dim(M ) ≤ Từ dãy khớp ngắn → ΓI (M ) → M → M → 0, M = M/ΓI (M ), ta có dãy khớp sau fj gj hj HIj−1 (ΓI (M ), N ) − → HIj (M , N ) − → HIj (M, N ) − → HIj (ΓI (M ), N ) Từ dãy khớp trên, ta tách thành hai dãy khớp sau → Im fj → HIj (M , N ) → Im gj → → Im gj → HIj (M, N ) → Im hj → 33 Vì ΓI (M ) = (0 : I k )M với k số nguyên nên áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta có HIj (ΓI (M ), N ) = HIjk ((0 : I k )M , N ) = ExtjR (ΓI (M ), N ), với j Suy Im fj Im hj hữu hạn sinh với j Kết hợp với dãy khớp ta HIj (M , N ) I -cofinite HIj (M, N ) I -cofinite Do ta giả sử ΓI (M ) = Khi tồn x ∈ I cho x phần tử M -chính quy Xét dãy khớp ngắn x 0→M → − M → M/xM → 0, ta có dãy khớp tương ứng sau HIj (M/xM, N ) → (0 : x)H j (M,N ) → I Vì dim(M/xM ) ≤ nên dim Supp ((0 : x)H j (M,N ) ) ≤ Ta cần ý I HIj (M, N ) I -xoắn x ∈ I Do dim Supp (HIj (M, N )) = dim Supp ((0 : x)H j (M,N ) ) ≤ 1, I với j Từ đây, áp dụng Hệ 2.4.6 ta HIj (M, N ) I -cofinite với j Tiếp theo, ta xét trường hợp dim(N ) ≤ Từ dãy khớp ngắn → ΓI (N ) → N → N → 0, N = N/ΓI (N ), ta có dãy khớp tương ứng sau uj vj wj ExtjR (M, ΓI (N )) − → HIj (M, N ) − → HIj (M, N ) −→ Extj+1 R (M, ΓI (N )) 34 Từ dãy khớp này, ta tách dãy khớp sau → Im uj → HIj (M, N ) → Im vj → → Im vj → HIj (M, N ) → Im wj → Dó Im uj Im wj hữu hạn sinh với j Hơn nữa, từ dãy khớp ta thấy HIj (M, N ) I -cofinite HIj (M, N ) I -cofinite Suy ta giả sử ΓI (N ) = Khi ta lấy y ∈ I cho y phần tử N -chính quy Xét dãy khớp ngắn y 0→N → − N → N/yN → 0, ta có dãy khớp tương ứng sau HIj (M, N/yN ) → (0 : y)H j+1 (M,N ) → 0, I với j Vì dim(N/yN ) ≤ nên dim Supp (HIj (M, N )) = dim Supp ((0 : y)H j (M,N ) ) ≤ 1, I với j ≥ Ta cần ý HI0 (M, N ) = Hom (M, ΓI (N )) = Hom (M, 0) = Do dim Supp (HIj (M, N )) ≤ 1, với j Từ đó, kết hợp với Hệ 2.4.6 ta HIj (M, N ) I -cofinite với j Như vậy, Định lý 2.5.1 chứng minh Từ Định lý 2.5.1, ta có hệ trực tiếp sau Hệ 2.5.2 Nếu dim(R) ≤ HIj (M, N ) I -cofinite với j 35 R-môđun hữu hạn sinh M, N Hệ 2.5.3 Nếu dim(N ) ≤ HIj (N ) I -cofinite với j Sau đây, ta xét hệ Định lý 2.4.5 Định lý 2.5.1 tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa môđun Lasker yếu giới thiệu [15] Định nghĩa 2.5.4 Một R-môđun K gọi Lasker yếu mơđun thương K có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Ta cần ý thêm đến mệnh đề sau Mệnh đề 2.5.5 (i) Tất môđun Artin môđun hữu hạn sinh Lasker yếu (ii) Nếu dãy → K1 → K2 → K3 → khớp K2 Lasker yếu K1 K3 Lasker yếu Ta ý R vành địa phương Noether dim(N ) ≤ N V Hồng chứng minh [17, Định lý 1.1] môđun HIj (M, N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với j Hệ sau cho ta kết mạnh Hệ 2.5.6 Giả sử (R, m) vành địa phương Noether Khi đó, dim(M ) ≤ dim(N ) ≤ ExtiR (R/I, HIj (M, N )) Lasker yếu với i, j ≥ Đặc biệt, suy AssR (HIj (M, N )) tập hữu hạn với j ≥ Chứng minh Giả sử dim(M ) ≤ Bằng lập luận tương tự trường hợp dim(M ) ≤ Định lý 2.5.1 ta thu dãy khớp → Im fj → HIj (M , N ) → Im gj → 36 → Im gj → HIj (M, N ) → Im hj → 0, M = M/ΓI (M ) Khi đó, ta có Im fj Im hj hữu hạn sinh với j Xét dãy khớp sau · · · → ExtiR (R/I, Im fj ) → ExtiR (R/I, HIj (M , N )) → ExtiR (R/I, Im gj ) → · · · dãy khớp · · · → ExtiR (R/I, Im gj ) → ExtiR (R/I, HIj (M, N )) → ExtiR (R/I, Im hj ) → · · · Từ dãy khớp trên, ta thấy ExtiR (R/I, HIj (M, N )) Lasker yếu môđun ExtiR (R/I, HIj (M , N )) Lasker yếu Do đó, ta giả sử ΓI (M ) = Khi tồn x ∈ I cho x phần tử M -chính quy Từ dãy khớp ngắn x 0→M → − M → M/xM → 0, ta có dãy khớp tương ứng sau HIj (M/xM, N ) → (0 : x)H j (M,N ) → 0, I với j Vì dim(M/xM ) ≤ nên dim Supp (HIj (M, N )) = dim Supp ((0 : x)H j (M,N ) ) ≤ 2, I với j ≥ Xét trường hợp dim(N ) ≤ 3, lập luận tương tự 37 trường hợp dim(N ) ≤ chứng minh Định lý 2.5.1, ta giả sử ΓI (N ) = Khi từ dãy khớp HIj (M, N/yN ) → (0 : y)H j+1 (M,N ) → 0, ∀j I với y ∈ I phần tử N -chính quy, ta có dim Supp (HIj (M, N )) ≤ dim Supp (N/yN ) ≤ 2, với j ≥ Hay dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j ≥ Ta chứng minh hệ cách tính Lasker yếu mơđun ExtuR (R/I, HIv (M, N )) với u, v ≥ Ta có j ˆ ˆ ˆ∼ , N ) HIj (M, N ) ⊗R R = HIˆ(M Do đó, áp dụng [21, Bổ đề 2.1], ta giả sử R vành địa phương đầy đủ theo tơpơ m-adic Bây ta chứng minh tính Lasker yếu môđun ExtuR (R/I, HIv (M, N )) cách dùng phản chứng Với số nguyên u, v bất kì, đặt K = ExtuR (R/I, HIv (M, N )) Giả sử tồn môđun T K cho Ass (K/T ) tập vô hạn Khi có tập vơ hạn {pl }l∈N Ass (K/T ) cho pl = m với l ∈ N Đặt S =R\ pl l∈N Ta có S tập đóng nhân R Vì {pl }l∈N ⊆ Ass (K/T ) nên {S −1 pl }l∈N ⊆ AssS −1 R (S −1 K/S −1 T ) Do AssS −1 R (S −1 K/S −1 T ) tập hữu hạn Mặt khác, m pl với l ∈ N nên theo kết [22, Bổ đề3.2 ] ta có m cho m ∩ S = ∅ Suy l∈N pl dim Supp (HSj −1 I (S −1 M, S −1 N )) ≤ 1, 38 với j ≥ Từ đây, áp dụng Hệ 2.4.6 ta có S −1 K = ExtuS −1 R (S −1 R/S −1 I, HSv −1 I (S −1 M, S −1 N )) hữu hạn sinh Do đó, S −1 K/S −1 T hữu hạn sinh nên suy tập AssS −1 R (S −1 K/S −1 T ) hữu hạn Hơn nữa, từ giả thiết T , ta có tập AssS −1 R (S −1 K/S −1 T ) vô hạn Điều mẫu thuẫn với chứng minh Do hệ chứng minh 39 Kết luận Trong luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết kết sau đây: • Nhắc lại số kiến thức có liên quan, sử dụng nội dung luận văn tập Ass, tập Supp, môđun Ext, đối đồng điều địa phương, đối đồng điều địa phương suy rộng, dãy quy, độ sâu, phức Koszul, mơđun đồng điều đối đồng điều Koszul • Nếu I iđêan HIj (M, N ) I -cofinite với R-môđun hữu hạn sinh M , N j ≥ (xem Định lý 2.3.2) • Cho t số nguyên không âm cho dim Supp (HIj (M, N )) ≤ với j < t Khi HIj (M, N ) I -cofinite với j < t Hom (R/I, HIt (M, N )) hữu hạn sinh (xem Định lý 2.4.5) • Giả sử dim(M ) ≤ dim(N ) ≤ Khi HIj (M, N ) I cofinite với j (xem Định lý 2.5.1) 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] M H Bijan-Zadeh (1980), A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J 21, 173–181 [2] K Bahmanpour and R Naghipour (2008), On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 136, 2359–2363 [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), ”Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications”, Cambridge University Press [4] W Bruns and J Herzog (1998), “Cohen-Macaulay rings”, Cambridge University Press [5] N T Cuong, S Goto and N V Hoang (2015), On the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Kyoto Journal of Mathematics 55(1), 169–185 [6] N T Cuong and N V Hoang (2005), Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math 7, 107–115 [7] N T Cuong and L T Nhan (2002), On the Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30(2) 121-130 [8] D Delfino and T Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra 121, 45–52 [9] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [10] L Melkersson (1999), Properties of cofinite modules and applications to local cohomology, Math Proc Cambridge Phil Soc 125, 417–423 [11] L Melkersson (1995), Some applications of a criterion for Artinianness of a module, J Pure Appl Algebra 101, 291- 303 41 [12] L Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Cambridge Phil Soc 107, 267- 271 [13] L Melkersson (2005), Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra 285, 649- 668 [14] K Divaani- Aazar and R Sazeedeh (2004), Cofiniteness of generalized local cohomology mudules, Colloq Math 99, 283- 290 [15] K Divaani-Aazar and A Mafi (2005), Associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 133, 655–660 [16] J Herzog and N Zamani (2005), Duality and vanishing of generalized local cohomology, Arch Math 81, 512–519 [17] N V Hoang (2008), On the associated primes and the supports of generalized local cohomology modules, Acta Math Vietnam 33, 163–171 [18] K I Kawasaki (1996), On the finiteness of Bass numbers of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 124, 3275–3279 [19] K Kawasaki (1998), Cofiniteness of local cohomology modules for principal ideals, Bull London Math Soc 30, 241–246 [20] S Kawakami and K I Kawasaki (2006), On the finiteness of Bass numbers of generalized local cohomology modules, Toyama Math J 29, 59–64 [21] T Marley (2001), Associated primes of local cohomology module over rings of small dimension, Manuscripta Math 104, 519–525 [22] T Marley and J C Vassilev (2002), Cofiniteness and associated primes of local cohomology modules, J Algebra 256, 180–193 [23] H Matsumura (1986), “Commutative ring theory”, Cambridge University Press, 123-133 Ting c [24] H Zoăschinger (1986), Minimax moduln, J Algebra 102, 1–32 42 ... 13 V? ?i i, ta đặt Zi = Ker(di ) Z i = Ker(di ) Đặt Bi = Im(di+1 ) B i = Im(di−1 ) Khi đó, mơđun Hi (C) = Zi /Bi g? ?i mơđun đồng ? ?i? ??u thứ i phức C• mơđun H i (C) = Z i /B i g? ?i mơđun đ? ?i đồng ? ?i? ??u... xuất ph? ?i thứ i ? ?I (−) kí hiệu HIi (−) g? ?i hàm tử đ? ?i đồng ? ?i? ??u địa phương thứ i I Cho N R -môđun Môđun đ? ?i đồng ? ?i? ??u địa phương thứ i N I kí hiệu HIi (N ) xác định cách: Lấy gi? ?i n? ?i xạ α u... = HIi k (0 : I k )M , N ) ∼ = ExtiR ? ?I (M ), N , v? ?i i Do HIi ? ?I (M ), N hữu hạn sinh v? ?i i Kết hợp v? ?i dãy khớp ta thấy HIi (M, N ) I -cofinite HIi (M , N ) I -cofinite Do vậy, ta giả sử ? ?I (M