Đang tải... (xem toàn văn)
§æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ nh»m khuyÕn khÝch sù suy nghÜ ph¸t huy tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh, thúc đẩy khả năng giải quyết vấn đề cùng với phơng pháp học - cách học[r]
(1)Lêi nãi ®Çu ViÖc ph¸t triÓn n¨ng lùc, phÈm chÊt trÝ tuÖ, ý thøc tù häc, ý chÝ kiªn cêng và tình cảm cao đẹp cho học sinh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, giúp các em định hớng nhanh chóng tiếp thu dễ dàng kiến thức, điều mẻ luôn nảy sinh cuéc sèng Bất môn học nào nhà trờng phổ thông góp phần thực hiÖn môc tiªu gi¸o dôc toµn diÖn cho c¸c em häc sinh §Æc biÖt, bé m«n to¸n học - là môn có vị trí quan trọng khoa học - kỹ thuật và đời sèng, nã gióp cho häc sinh tiÕp thu c¸c m«n khoa häc kh¸c mét c¸ch dÔ dµng, nhanh chãng vµ hiÖu qu¶ §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ nh»m khuyÕn khÝch sù suy nghÜ ph¸t huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh, thúc đẩy khả giải vấn đề cùng với phơng pháp học - cách học, xét đến cùng, cho học sinh thấy là: ngời học phải "tự học, tự mình chiếm lĩnh kiến thức, kỹ năng, thái độ nỗ lực chính thân mình, nếp t độc lập, sáng tạo" - Với sè suy nghÜ nh trªn t«i lu«n cè g¾ng khai th¸c kiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa, tham khảo tài liệu, trao đổi đồng nghiệp, vận dụng vào bài giảng và đã rút sè kinh nghiÖm mµ theo t«i rÊt thiÕt thùc V× vËy t«i ghi l¹i kinh nghiÖm "Ph¬ng pháp giải các phơng trình không mẫu mực" để cùng trao đổi, rút kinh nghiệm gi¶ng d¹y Do quü thêi gian cßn h¹n hÑp nªn ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiếu sót Vậy kính mong các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng gãp kiÕn T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! PhÇn i: Më §ÇU i Lý chọn đề tài: C¬ së khoa häc: Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh lµ mét c¸c néi dung quan träng ch¬ng tr×nh m«n to¸n ë Trung häc c¬ së vµ Trung häc phæ th«ng (2) ViÖc n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p, ¸p dông gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh kh«ng nh÷ng gióp cho häc sinh häc t«t m«n to¸n, mµ cßn hç trî nhiÒu m«n kh¸c Th«ng thêng viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh hay mét hÖ ph¬ng tr×nh b»ng c¸ch đặt ẩn phụ, phân tích thành tích Nhng thực hành giải toán, đặc biệt là giải phơng trình chúng ta gặp nhiều phơng trình mà không thể biến đổi theo cách th«ng htêng, hoÆc cã lêi gi¶i phøc t¹p §ã lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh cã lêi gi¶i "kh«ng mÉu mùc" Nã cã t¸c dông kh«ng nhá viÖc rÌn luyÖn t cho häc sinh tríc gi¶i mét bµi to¸n nãi chung, mét ph¬ng tr×nh nãi riªng Qua kinh nghiệm giảng dạy vvà tìm tòi các tài liẹu, tôi đã hệ thống đợc mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph¬ng tr×nh nµy, mµ b¶n th©n thÊy nhiÒu ph¬ng trình đợc giải cách nhanh gọn Chính vì tôi chon đề tài này để phôc vô tèt h¬n cho viÖc d¹y to¸n ë trêng THCS C¬ së thùc tiÔn: Phơng trình không mẫu mực có nhiều các đề thi vào lớp 10 THPH, thi học sinh giỏi và thi vào số trờng đại học Đối với giáo viên trờng, còn thiếu nhiều việc nghiên cứu đề tµi nµy, gãp phÇn tù tin h¬n qu¸ tr×nh d¹y häc ii mục đích nghiên cứu: Gãp phÇn quan träng viÖc båi dìng häc sinh giái vµ båi dìng häc sinh thi vµo líp 10 THPT, nhÊt lµ thi vµo c¸c trêng THPT chuyªn Gióp häc sinh biÕt ph©n lo¹i vµ v©n dông c¸c ph¬ng ph¸p mét c¸ch nhanh trãng, hiÖu qu¶, ph¸t huy tèt t×nh tÝch cùc cña häc sinh häc tËp iii NHIÖM Vô NGHI£N CøU: - T×m hiÓu néi dung d¹y häc vÒ Gi¶i ph¬ng tr×nh SGK to¸n vµ - Tìm hiểu mạch kiến thức phơng trình mà các em đã học từ lớp đến líp -§iÒu tra thùc tr¹ng: + Thờng xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến phơng trình SGK, SBT vµ c¸c s¸ch n©ng cao + Thờng xuyên kiểm tra, đánh giá để nhận phản hồi học sinh, qua đó nhận sai lầm mà các em hay mắc phải các bài tập liên quan tới phơng trình để tìm hớng khắc phục, tìm phơng pháp hay,đơn giản góp phần nâng cao chất lợng giảng dạy, bồi dỡng học sinh khiÕu (3) Iv ph¹m vi Vµ §èI T¦îNG nghiªn cøu: - Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu trờng THCS Cát Trù - Cẩm Khê- Phú Thọ số học sinh giỏi khối và - Phạm vi: 10 em học sinh khá giỏi với các bài tập mức độ nâng cao và båi dìng häc sinh giái V ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Phơng pháp mà tôi sử dụng đẻ nghiên cứu chủ yếu là phơng pháp thực nghiÖm s ph¹m - Nghiên cứu các phơng trình có lời giải độc đáo mà lời giải thông thờng không giải đợc khó giải - Th«ng qua c¬ së bµi tËp mÉu nh»m cñng cè lý thuyÕt vµ ph¸t triÓn trÝ tuÖ häc sinh - Từ đó học sinh đợc rèn kỹ qua các bài tập đề nghị PhÇn ii: Néi dung CHƯƠNG I: CƠ Sở Lý luận và mục đích đề tài: - KÕ thõa kiÕn thøc líp 6, 7, cña bËc THCS - KiÕn thøc c¬ b¶n cña ch¬ng “ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn ”- líp Vµ “ Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn ”- líp - KiÕn thøc n©ng cao ë mét sè s¸ch tham kh¶o - Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao - Ph©n tÝch d¹ng to¸n, t×m tßi ph¬ng ph¸p gi¶i míi vµ lùa chän nh÷ng c¸ch giải ngắn gọn, độc đáo - Båi dìng häc sinh giái líp vµ - Gióp häc sinh kh¸m ph¸ nh÷ng tri thøc míi, ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o, ham hiÓu biÕt Thùc tr¹ng: * ThuËn lîi: + Đợc quan tâm BGH và đóng góp ý kiến đồng nghiÖp qua c¸c tiÕt d¹y + Mét sè häc sinh cã tinh thÇn häc tËp tèt, tÝch cùc tham gia phát biểu xây dựng bài, có ý chí cầu tiến ham học hỏi để nâng cao kiến thức + Gi¸o viªn nhiÖt t×nh, t©m huyÕt víi nghÒ, kh«ng ngõng tù häc hỏi trau dồi kiến thức để nâng cao tay nghề (4) * Khã kh¨n: + Trêng THCS C¸t Trï lµ mét trêng h¹ huyÖn, phong trµo häc tập cha cao, số học sinh cha thực có ý thức học tập, số gia đình cha quan tâm đến việc học tập các em + Mét sè häc sinh mÊt kiÕn thøc c¬ b¶n cña líp díi vÒ ph©n tích đa thức thành nhân tử,các đẳng thức đáng nhớ Ch¬ng ii: C¸c biÖn ph¸p s ph¹m n©ng cao chÊt lîng 1/ BiÖn ph¸p 1: §iÒu tra thùc nghiÖm: -T×m hiÓu sù ham mª häc to¸n cña häc sinh khèi 8, - KiÓm tra kiÕn thøc, kü n¨ng lµm bµi tËp vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc số em đội tuyển đã chọn 2/ BiÖn ph¸p 2: §a mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc: - T¸i hiÖn l¹i kiÕn thøc c¬ b¶n SGK §a c¸c d¹ng bµi tËp n©ng cao vµ ph¬ng ph¸p gi¶i mçi d¹ng cho häc sinh nh»m n©ng cao kh¶ n¨ng nhanh nh¹y cho c¸c em gi¶i bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc I Ph¬ng ph¸p 1: Dùng bất đẳng thức: Ph¬ng ph¸p gi¶i: §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh A ( x )=B(x) (*) Ta cã thÓ lµm theo c¸ch sau: Cách 1: Ta biến đổi PT (*) dạng P( x)=Q(x) cho: (a lµ h»ng sè) Nghiệm PT (*) là các giá trị x thoả mãn đồng thời: P( x)=a ; Q( x)=a ¿ P( x )≥ a Q (x) ≤ a ¿{ ¿ (5) Cách 2: Ta biến đổi PT (*) dạng: H ( x)=m (m lµ h»ng sè) mµ H (x)≥ m (Hoặc m≥ H ( x ) với x) đó nghiệm PT(*) là các giá trị x làm dÊu "=" x¶y C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: 2.1 Bất đẳng thức Cauchy: - Víi hai sè kh«ng ©m a,b th× trung b×nh céng lín h¬n trung b×nh nh©n a+b ≥ √ ab cña chóng: DÊu "=" x¶y a=b - Víi ba sè kh«ng ©m a1; a2; a3 ta cã: a1 +a2 +a 3 ≥ √ a a2 a 3 DÊu "=" x¶y a1=a2=a3 Tæng qu¸t: Víi n sè kh«ng ©m a1;a2;a3 ; ;an Ta cã: a1 +a2 +a 3+ + an n ≥ √ a1 a a3 an n DÊu "=" x¶y a1=a2=a3= =an 2.2 Bất đẳng thức Bunhia Côpski - Cho hai số: a; b; c và x; y; z Khi đó ax+ by ¿ a2 +b 2+ ¿(x 2+ y 2)≥¿ (DÊu: "=" x¶y ¿ a b = ) x y ax+ by+ cz ¿2 (DÊu: "=" x¶y (a2 +b 2+ c 2) ( x2 + y + z 2)≥ ¿ a b c = = ) x y z T«ng qu¸t: Cho hai bé sè n sè:(a1;a2; ;an) vµ (b1;b2; an) TÝch cña tæng cac b×nh ph¬ng n sè cña bé sè nµy vµ tæng c¸c b×nh ph¬ng n sè cña bé sè lín h¬n hoÆc b»ng b×nh ph¬ng cña tæng n tÝch hai sè t¬ng øng cña hai số đó a b1 + a2 b 2+ an bn ¿2 (a1 +a + +an ).( b1 + b2 + +b n )≥¿ 2 2 2 DÊu "=" x¶y vµ chØ khi: (a1;a2; ;an) vµ (b1;b2; an) lµ hai bé sè tû lÖ víi tøc lµ: (6) a1 a2 a = = = n b1 b bn (Víi quy íc: NÕu mÉu b»ng th× tö còng b»ng 0) 2.3 Bất đẳng thức Trê-bu-sép - Cho d·y sè s¾p thø tù: a ≥ b ≥ c vµ x ≤ y ≤ x Ta cã (a+ b+c ).(x + y + z)≥ 3(ax + by+cz ) DÊu "=" x¶y khi: a=b=c vµ x=y=z Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và số bất đẳng thức khác: |x|+| y|≥|x+ y| ; DÊu "=" x¶y khi: x y ≥ |x|−| y|≤|x − y| ; DÊu "=" x¶y khi: x y ≥ x y + ≥ Víi x,y lµ hai sè cïng dÊu y x 2.5 Các kỹ biến đổi tơng đơng; Biến đổi đồng phơng trình; Điều kiện xác định thức bậc hai; Các đẳng thức đáng nhớ Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x +6 x +7+√ x2 +10 x+ 4=4 −2 x − x (1) * NhËn xÐt: Th«ng thêng gi¶i bµi tËp cã c¨n thøc bËc hai ta thêng lµm mÊt c¨n thøc bËc hai b»ng c¸ch sö dông c«ng thøc: √n a ¿n=a ¿ hoÆc: √ a2 k =|ak| Với bài toán này, HS có thể nghĩ đến việc tìm ĐKXĐ x sau đó bình phơng hai vế DÔ thÊy c¸ch lµm nµy, cã thÓ ph¶i b×nh ph¬ng hai lÇn vµ ph¬ng trình thu đợc là PT bậc cao tơng đối phức tạp Vì ta nên tìm cách giải đơn giản Ta cã: x +1 ¿2 +4 ¿ x+1 ¿2 +9 ¿ x +1 ¿2 ¿ Do( x +1¿ ≥ 0) x+1 ¿2 ≤5 ¿ 5¿ 3¿ ¿ PT (1) ⇔ √ ¿ (7) DÊu "=" x¶y x=-1 x+ 1¿2 + ¿ x +1¿ 2+ ¿ 5¿ 3¿ VT =√¿ DÊu "=" x¶y x=-1 VËy nghiÖm cña PT(1) lµ x=-1 3.2 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ¿ √ x −2+ √ − x=x − x+11 (2) ¿ Gi¶i: TX§: ¿ x − 2≥ 4−x ≥0 ⇔ ¿ x≥2 x≤4 ⇔2≤x ≤4 ¿{ ¿ Ta cã: x − 3¿ + 2≥ VP (2)=¿ DÊu "=" x¶y x=3 ¸p dông B§T Bunhia Copski cho vÕ tr¸i (2) ta cã: VT (2)=(1 √ x − 2+ √ − x )≤ √(1+1)( x − 2+ − x)=2 DÊu "=" x¶y x=3 Vậy: Nghiệm PT đã cho là: x=3 3.3 Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x −3 x +3,5= √( x −2 x +2).(x − x +5) Gi¶i: Ta cã: x − 1¿2 +1 ≥1 ¿ x − 2¿ 2+1 ≥ ¿ x −2 x +2=¿ ¸p dông B§T Cachy cho hai biÓu thøc d¬ng: ( x − x +5) ta cã: ( x − x +2) vµ (8) (x − x +2)+( x − x +5) ≥ √( x −2 x +2) ( x − x +5)0 2 ⇔ x −3 x+ 3,5≥ √( x −2 x+2) ( x2 − x+ 5) DÊu "=" x¶y khi: x −2 x +2=x − x +5 ⇔ x= Vậy: Nghiệm PT đã cho là: x= 3.4 Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+3 − √ x − 1+ √ x +8 −6 √ x − 1=1 (3) Gi¶i: √ x −1 −2 ¿2 Ta cã ph¬ng tr×nh (3) ¿ − √ x −1 ¿2 ¿ ¿1 ¿ ¿ ¿ ⇔√¿ ¸p dông B§T |x|+| y|≥|x+ y| (DÊu "=" x¶y khi: x , y ≥0 ) Ta cã: VT (3)=|√ x −1 −2|+|3− √ x −1|≥|√ x −1 −2+3 − √ x −1|=1 DÊu "=" x¶y khi: ¿ ( √ x −1 −2) (3− √ x −1)≥ ⇔2 ≤ √ x − 1≤ ⇔ ≤ x ≤10 ¿{{ ¿ VËy nghiÖm cña PT (3) lµ c¸c gi¸ trÞ cña x cho: ≤ x ≤10 3.5 Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh (8 x − x − 1).(x − x +1)=4 (x − x+1) Nhận xét: Thông thờng ta tiến hành phép nhân rút gọn đợc PT bậc đầy đủ Việc giải PT bậc này nhiều công và ít hiệu Từ đó ta nghĩ đến việc hạ bậc PT cách nhân hay chia hai vế PT cho nhân tử nào đó hợp lý - Thö x=1 kh«ng lµ nghiÖm cña PT trªn nªn ta chia c¶ hai vÕ cña PT cho x −1 ¿2 4¿ ta đợc: (9) x − x −1 x − x +1 = ( x −1 )2 x − x −1 3− ( x −1 ) VT = = ≤ 4 (4) (DÊu "=" x¶y x=1.) x − x +1 ( x −1 ) x−1 = + + 2 2 ( x −1 ) ( x −1 ) ( x −1 ) ( x − ) 1 1 3 1+ + = + + ≥ x −1 ( x −1 )2 x −1 4 VP= ( ) (5) 1 + =0 ⇔ x=1 ) x −1 (DÊu "=" x¶y khi: Từ (4),(5) suy ra: Phơng trình đã cho vô nghiệm Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √ − x+ √ − x =x2 −10 x+ 27 b √ x2 − x+5+ √2 x − x+12=−5 x 2+20 − 17 c √ 3000− x+ √ x − 1000=x −4000 x +20 ( √ 10+200000 ) d √ x+3+ √ x − 1+ √ xx+15+ √ x −1=6 e √ x +3 x 2+ x +2= x2 +3 x − g √ x −18 x+28+ √ x − 24 x+ 45=−5 − x 2+ x h 36 + =28 −4 √ x −2 − √ y − √x− √ y− i √ x −7+ √ 9− x=x −16 x +66 k |x − x +1|+| x2 − x −2|=3 ii ph¬ng ph¸p 2: ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: vÕ tr¸i lµ c¸c biÓu thøc kh«ng ©m; VÒ ph¶i b»ng 0: Ph¬ng ph¸p gi¶i: Khi gi¶i ph¬ng tr×nh A(x) = B(y) biến đổi phơng trình trên dạng: M (x)+ N (x )+ P ( x)+ .=0 Trong đó: M (x) ≥ 0; N ( x)≥0 ; P(x )≥ ; Suy ra: Nghiệm phơng trình đã cho là các giá trị x thoả mãn đồng thời: (10) ¿ N ( x )=0 M ( x)=0 P(x )=0 ¿{{{ ¿ * Phơng pháp này đợc áp dụng để giải các phơng trình có nhiều ẩn số vµ c¸c ph¬ng tr×nh cã sè Èn nhiÒu h¬n sè ph¬ng tr×nh rÊt hiÖu qu¶ C¸c biÓu thøc cÇn nhí: - Luỹ thừa bậc chẵn số đểu không âm: a2 k ≥ - Giá trị tuyệt đối số không âm: |a|≥ - C¨n bËc ch½n cña mét sè a kh«ng ©m lµ sè kh«ng ©m: 2√k a≥ - Các đẳng thức đáng nhớ - Các kỹ biến đổi tơng đơng các phơng trình và số tính chất c¬ b¶n kh¸c Mét sè bµi tËp mÉu 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2+ y + z +t 2=x ( y+ t+ z ) Gi¶i: x 2+ y + z +t 2=x ( y+ t+ z ) ¿ x=0 x −2 y=0 x −2 z=0 x − 2t=0 ⇔ x = y=z=t=0 ⇔ x2 + y + z +t − xy − xt − xz=0 ¿ 2 2 ⇔ x + y + z + t − xy − xt− xz=0 ⇔ x +(x − xy +4 y 2)+(x −4 xz +4 z )+( x − xt + t )=0 x − 2t ¿2=0 ¿ ¿ ⇔ ¿ x − z ¿ 2+¿ x − y ¿ +¿ ⇔ x 2+ ¿ ¿ x =0 Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: y=0 z=0 ¿{{ ¿ (11) 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2 y + xy −11 y +8 x + xy −8 y − 40 x +50=0 Giải: Phơng trình trên tơng đơng với phơng trình sau: ¿ y −2 x − 6=0 y −2 x − 4=0 ⇔ ¿ y − y − 2=0 y −2 x − 4=0 ⇔ ¿( y +1)( y −2)=0 y −2 x − 4=0 ¿ ⇔ ¿ y +1=0 y −2 x − 4=0 ¿ ¿ ¿ y − 2=0 ¿ y −2 x − 4=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x= ¿ y=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy: Phơng trình đã cho có nghiệm là: ( ; −1); (1; 2) 3.3 Bµi tËp 3:Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x+ √ y −1+ √ z − 2= (x + y + z) *TX§: x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Ta cã: (12) ¿ √ x − 1=0 √ y −1 −1=0 √ z − 2− 1=0 ⇔ ¿ x=1 y =2 ¿ z=3 ¿ √ x+ √ y −1+ √ z − 2= (x+ y + z ) ⇔ x + y + z=2 √ x+2 √ y − 1+2 √ z −2 ⇔ (x − √ x+ 1)+( y − 1− √ y −1+1)+(z − 2− √ z − 2+1)=0 √ z −2 −1 ¿2=0 ¿ ¿ ⇔ √ y − 1− 1¿ 2+ ¿ √ x −1 ¿2 +¿ ⇔¿ Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: ¿ x =1 y=2 z=3 ¿{{ ¿ 3.4 Bµi tËp 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ y + x=√ y − x − √ x 2+ Giải: Phơng trình trên tơng đơng với phơng trình sau: (13) ¿ x +1=0 y −1=0 ( x +2)( x+ y )=0 ⇔ ¿ x=−1 ¿ y= ¿ ⇔ √ y + x + √ x +2= √ y − x 2 ⇔ ( √ y + x + √ x2 +2 ) =( √ y − x ) ⇔ y + x+ x2 +2+2 √( x 2+ 2)( x + y 2)=4 y − x ⇔ (x 2+2 x+ 1)+(4 y − y +1)+2 √ (x +2)(x+ y )=0 ¿ 2 y − 1¿ +2 √ (x +2)( x+ y 2)=0 ¿ ⇔ x+1 ¿2 +¿ ⇔¿ ¿ x=−1 VËy: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh d· cho lµ: y= ¿{ ¿ Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x 2+5 y −4 xy +10 x −22 y +26=0 b x 2+ y + xy − x −3 y +3=0 1 c x 2+ y + x + + + =6 x y z d x √ y −1+2 y √ x − 1= xy e y 2+ z2 + yz+ xz+ xy= x g x+ y+ z+8=2 √ x −1+ √ y − 2+ √ z −3 (14) iii ph¬ng ph¸p 3: sử dụng tính đơn điệu hàm số Ph¬ng ph¸p gi¶i: - số phơng trình ta có thể dễ dàng nhận biết đợc số nghiệm nó sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh ngoài nghiệm trªn, ph¬ng tr×nh kh«ng cã thªm nghiÖm nµo kh¸c n÷a C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: - Tính đồng biến và nghịch biến hàm số Nếu f(x) đồng biến; g(x) nghịch biến thì phơng trình: f(x) =g(x) có kh«ng qu¸ mét nghiÖm - Nếu f(x) đồng biến nghịch biến thì phơng trình f(x) = m (m là h»ng sè) cã nhÊt mét nghiÖm - Xét các khoảng hợp lý trên tập xác định biến để loại trừ Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √3 x+25+5 √ x + √ x +7=6+5 √ Gi¶i: TX§: x ≥ DÔ thÊy x=2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh; ta chøng minh x=2 lµ nghiÖm nhÊt ThËt vËy: * Víi: ≤ x <2 ta cã: √3 x+25< 3; √ x<5 √ ; √ x+7<3 Do đó: VT <6+ √2 VP=6 +5 √2 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Víi x> th×: √3 x+25> 3; √ x> √ ; √ x+7> Do đó: VT >6+ √2 VP=6 +5 √ => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=2 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √3 x −2+ √ x +1=3 Gi¶i: TX§: x ≥ −1 DÔ thÊy x=3 nghiÖm nhÊt lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh; ta chøng minh x=3 lµ (15) ThËt vËy: * Víi: x> ta cã: √3 x −2>1 ; √ x+1>2 Do đó: VT >3 VP=3 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Víi: −1 ≤ x <3 ta cã: Do đó: VT <3 VP=3 −1< √3 x − 2< 0< √ x +1<2 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=3 3.3 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −7 x+ 3− √ x −2= √3 x − x −1 − √ x −3 x +4 Gi¶i: TX§: §iÒu kiÖn: x< − √ hoÆc x> 5+ √37 Ta cã: √3 x − x+3 − √ x −2= √3 x −5 x −1 − √ x2 −3 x +4 ⇔ √3 x −7 x +3 − √3 x −5 x −1= √ x − 2− √ x −3 x+ (*) (Nh©n liªn hîp) ⇔ −2 x x −6 = 2 √ x −7 x+ 3+√ x −5 x −1 √ x −2+√ x − x + DÔ thÊy x=2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) Ta chøng minh x=2 lµ nghiÖm nhÊt ThËt vËy: Víi: x<2 th×: VP (∗)> VT (∗)<0 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi: x>2 th×: VP (∗)< VT (∗)>0 => Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=2 Bµi tËp ¸p dông a x+ ( x +2)( x +1)−3 x +6=4 − √ ¿ (2 x −1)¿+ √ x +2 √ √ b √ x+3+ √ x − 1+ √ x +8 −6 √ x − 1=5 c √ x2 + x+5 − √5 x − x −2= √ x +7 x − − √ x − 10 x+16 (16) d √ x − 1+ √ x −3 x − 2=√ x +2 x+3+ √ x − x+ e √3 x +1+ √3 x=1 g √3 x+3 − √3 − x=1 h √3 x+1+ √3 x +2+ √3 x +2=0 vi Ph¬ng ph¸p 4: §Æt Èn PHô Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tìm điều kiện để phơng trình tồn - Đặt ẩn phụ cách thích hợp để đa phơng trình đã cho phơng trình đơn giản để giải C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: - Điều kiện xác định biểu thức - Các đẳng thức đáng nhớ - Các kỹ biến đổi tơng đơng phơng trình, hệ phơng trình * Lu ý: CÇn t duy, nhËn d¹ng kü ph¬ng tr×nh tríc gi¶i Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x2 +21 x+ 18+ √ x 2+ x+7=2 (1) Gi¶i: * §iÒu kiÖn: x 2+7 x +7 ≥ *§Æt: √ x2 +7 x +7= y ; ( y ≥ 0) th×: y 2=x 2+ x+7 Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ y − 3+2 y=2 y=1 ¿ y= ( loai) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ y + y −5=0 ¿ ⇔( y − 1)(3 y +5)=0 ¿ ⇔ Víi y=1: ⇔ √ x 2+ x+7=1 (17) x =−1 ¿ x=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x +7 x+6=0 ¿ ⇔ C¸c gi¸ trÞ x=−1 ; x=−6 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x 2+7 x +7 ≥ VËy: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x=−1 ; x=−6 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x+ 1¿ 4=2(x + 1) ¿ Gi¶i: Khai triÓn råi rót gän: x −4 x3 −6 x − x +1=0 (2) Chia hai vÕ cho x2 (hiÓn nhiªn x ≠ ) ta cã: Ph¬ng tr×nh (2): ⇔ x − x −6 − + =0 x x ⇔x + 1 − (x+ )− 6=0 x x §Æt: y=x + th×: x 2+ = y −2 x x Ph¬ng tr×nh (2): ⇔ y −2 −4 y − 6=0 ⇔ y −4 y − 8=0 ⇔ y=2 ±2 √ Víi: y=2+2 √ ta cã: x −2( 1+ √3) x+1=0 ⇔ x=1+ √ ± √ 3+ √ Víi: y=2 −2 √ ta cã: x −2( 1− √3) x+1=0 Kết luận: Phơng trình đã cho có nghiệm là: x 1=1+ √ 3+ √ 3+2 √ x 2=1+ √ − √ 3+ √ 3.3 Bµi tËp 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: ( x +5)(x+6)(x +10)( x +12)=3 x (3) Gi¶i: PT (3): ⇔ 4( x +17 x+ 60)( x2 +16 x +60)=3 x ⇔ 4(x +17+ 60 60 )( x+16+ )=3 x x (V× x ≠ ) V« nghiÖm (18) §Æt: y=x +16+ 60 x PT (3): ⇔ 4( y +1)=3 y= ¿ −3 y= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ y + y −3=0 ¿ ⇔ Víi: y= x+ 16+ ta cã: 60 = x 2 ⇔ x +31 x +120=0 15 ⇔ x 1=− ; x2 =− Víi: y= −3 ta cã: x+ 16+ 60 − = x ⇔ x 2+35 x +120=0 −35 ± √265 ⇔ x 3,4= Vậy: Phơng trình đã cho có nghiệm là: x 1=−8 ; x 2=− 15 ; x 3,4 = − 35 ± √ 265 4 Bµi t©p ¸p dông: G¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √3 x +1+ √3 x=1 b √3 x+1+ √3 − x=2 c √3 25+ x+ √3 − x =4 d 1+ √3 x −16=√3 x+3 e √3 x+3 − √3 − x=1 g √3 24+ x + ❑√ 12 − x=6 h √3 2− x+ ❑√ x −1=1 l 3( x +5)(x+ 6)(x+7)=8 x ¿ m x +2 x −3 x 2+2 x +3=0 v ph¬ng ph¸p 5: sö dông ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai (19) Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Khi giải phơng trình nhiều ẩn đó có ẩn có bậc hai ta coi phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai với ẩn đó; để phơng trình có nghiÖm th× Δ hoÆc Δ , (tÝnh theo nghiÖm cßn l¹i) ph¶i kh«ng ©m - Tõ ®iÒu kiÖn trªn t×m c¸c nghiÖm cßn l¹i C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: * XÐt ph¬ng tr×nh: ax 2+ bx +c=0 ; (a ≠ 0); Δ=b − ac b - NÕu: Δ=¿ : ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x 1=x 2=− a -NÕu: Δ> :ph¬ng x 1= tr×nh cã nghiÖm − b+ √ Δ − b −√ Δ ; x 2= 2a 2a - NÕu: Δ< : ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Kỹ biến đổi tơng đơng và biến đổi đồng * Chó ý: ¿ a≥0 a≤0 ⇔ a=0 ¿{ ¿ Mét sè bµi tËp mÉu 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2 x +5 y −4 xy +10 x −22 y +26=0 (1) Gi¶i: PT (1): ⇔ x +2(5 −2 y) x+ y − xy+10 x − 22 y =0 ;(1, ) Ta coi ph¬ng tr×nh (1,) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai víi Èn x Khi đó: y −1 ¿2 ≤0 −2 y ¿ −(5 y − 22 y +26)=¿ , Δ =¿ §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×: Δ ,=0⇒ y=1 Thay y=1 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã: x+ 23¿ =0 ⇔ x=− x +6 x +9=0 ⇔ ¿ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x=−3 ; y=1 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x +(3− m) x +2 mx+m2 − 1=0 (2) (Èn x) Gi¶i: PT (1): ⇔ m2 − 2( x − x)m+(3 x −2 x − 1)=0 ; (2,) ph©n biÖt: (20) Ta coi ph¬ng tr×nh (2,) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai víi Èn m Khi đó: 2 x − x ¿ −(3 x − x −1) , Δ =¿ m 2 ¿ x − x +x − x +2 x +1 x − x +1=0 x − 1¿ ≥ ;(∀ x) ¿ x −1 ¿ − x +1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x − x +x −1 =x − x −1 2 x −x −x −1 m 2= =1 − x m 1= Do đó: Víi: m=2 x − x −1 (3) ⇔2 x − x −(m+1)=0; Δ x =9+8 m - NÕu: m< − Ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm - NÕu: m= −9 Ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm kÐp lµ: x 1=x 2= - NÕu: m> − Ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm ph©n biÖt: 8 9− √ 9+8 m 9+ √ 9+ m x 2= x 1= Víi m=1 − x ; (4 )⇒ x=1 − m Ph¬ng tr×nh (3) vµ (4) cã nghiÖm chung: ⇔ − x=2 x − x −1 ⇔ x=± Khi đó: m = m = KÕt luËn: Víi: Víi: m< −9 m= Ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm lµ: x=1− m −9 Phơng trình (2) có hai nghiệm đó có nghiÖm kÐp lµ: x 1=x 2= Vµ mét nghiÖm lµ: x 3=1− m=2 , 125 (21) Víi : − <m< Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm ph©n lµ: 9− √ 9+8 m 9+ √ 9+ m x 2= x 3=1 −m x 1= Víi: m=0 Ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm lµ: x1=1 −1 x 2= Víi: 0<m<2 Ph¬ng tr×nh (2) cã ba nghiÖm lµ: 9− √ 9+8 m 9+ √ 9+ m x 2= x 3=1 −m x 1= Víi: m=2 ¿ x 1=−1 Ph¬ng tr×nh (2) cã ba nghiÖm lµ: x 2= ¿{ ¿ Víi: m>2 Ph¬ng tr×nh (2) cã ba nghiÖm lµ: 9− √ 9+8 m 9+ √ 9+ m x 2= x 3=1 −m x 1= Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x2 +5 y +8 xy +2 x −2 y +2=0 b x 2+ y −3 x −3 y +3=0 c x +3 x 3+2(m− x )x −m2 +2 m=0 vi ph¬ng ph¸p 6: ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tìm điều kiện để tồn phơng trình - Đặt ẩn phụ cách thích hợp đa phơng trình đã cho thành dạng hệ phơng trình có thể giải đợc C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: (22) - Định lý Viet và Viet đảo - Các phép biến đổi tơng đơng hệ phơng trình - Các đẳng thức đáng nhớ Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √3 12− x + √3 14+ x =2 Gi¶i: (1) ¿ u= √ 12 − x v =√ 14+ x ⇔ - §Æt: ¿ u =12 − x v 3=14+ x ¿{ ¿ PT (1): ⇔ u+v =2 u3 +v 3=26 ⇔ ¿ u+ v=2 ¿ u+ v ¿3 −3 uv (u+v )=26 ¿ ⇔ ¿ ¿ u+ v=2 ¿ u,v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: HoÆc: ¿ u=−1 v=3 ⇔ ¿ 12− x=−1 14+ x=27 ⇔ x=13 ¿{ ¿ t −2 t − 3=0 ⇒ t=−1 ¿ t=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (23) HoÆc: ¿ u=3 v=− ⇔ ¿ 12− x=27 14+ x=− ⇔ x=− 15 ¿{ ¿ Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=13 ; x=−15 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √4 57− x+ √4 40+ x=5 (2) Gi¶i: u= √4 57 − x v=√ 40+ x ⇔ ¿ u+ v=5 2 u +v ¿ −2 u2 v 2=97 - §Æt: ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ u+ v=5 ¿ ¿ ⇔ ¿ u+ v=5 uv =44 ¿ ¿ ¿ u+ v=5 ¿ uv =6 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ u=2 ¿ ¿ v =3 ¿ ¿ ¿ (24) ¿ u=2 v=3 ⇔ - Víi : ¿ √ 57 − x=2 √4 40+ x=3 ⇔ x=41 ¿{ ¿ ¿ u=3 v=2 ⇔ - Víi : ¿ √57 − x=3 √4 40+ x=2 ⇔ x=−24 ¿{ ¿ Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=41 ; x=− 24 3.3 Bµi tËp 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x+ √17 − x2 + x √ 17 − x 2=9 Gi¶i: §Æt: (3) √ 17− x 2= y ;( y ≥0)⇒ y 2=17 − x2 ⇒ x 2+ y 2=17 ⇔ x + y 2=17 x+ y+xy=9 ¿ PT(3): ⇔ x+ y ¿ −2 xy=17(∗) ¿ xy=9 −( x + y )(**) ¿¿ 2 Thay (**) vµo (*) ta cã: x+ y ¿ +2(x + y )− 35=0 ¿ ⇔ [ ( x+ y )−5 ] [ (x + y )+7 ] =0 ⇔ x+ y=5 ¿ x+ y=−7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (25) - Víi : x+ y=5 th× theo (**) ta cã: xy=4 Khi đó x,y là nghiệm phơng trình: t −5 t+ 4=0 ⇔ t =1 ¿ t=4 ¿ ¿ ¿ ¿ x=1 ¿ y=4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=4 ¿ y=1 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Víi : x+ y=−7 th× theo (**) ta cã: xy=16 Khi đó x,y là nghiệm phơng trình: t −7 t +16=0 (Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √ x+79+ 4√258 − x=19 b √4 x+77+ √4 29 − x =8 c √3 x −2+ √ x +1=3 1 =2 d x + √2 − x x=1 ¿ x=4 ¿ ¿ ¿ ¿ (26) Vii ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa: Ph¬ng ph¸p gi¶i: Thêng ¸p dông víi c¸c ph¬ng tr×nh v« tû: - Trớc hết ta tìm điều kiện xác định biểu thức - Nâng lên luỹ thừa để làm dấu * Lu ý: Nghiệm phơng trình là các giá trị ẩn thuộc tập xác định C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: - Điều kiện xác định biểu thức: √n a ¿n=a ¿ Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (1) 3+ √ x −3=x Gi¶i: §KX§: x ≥ Khi đó: (1) ⇔ √ x+3=x − ⇔ x −3 ≥ x − ¿2 ¿ ⇔ ¿ ¿ x ≥3 ¿ x − x +12=0 ¿ ⇔ ¿ ¿ x ≥3 ¿ ¿ x=2 ¿ x −3=¿ VËy: Ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm nhÊt lµ: x=6 3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (2) √ x −1 − √ x −1=√ x −2 Gi¶i: §KX§: x ≥ ChuyÓn vÕ PT (2) ta cã: √ x −1=√ x − 1+ √ x −2 Bình phơng hai vế ta đợc: (27) x −2 (5 x −1)(¿) √ ¿ ⇔2 −7 x=2 √ 15 x − 13 x +2 ¿ x − 1=5 x − 1+3 x −2+2 ¿ C¸ch 1: Với điều kiện : 2− x ≥ tiếp tục bình phơng hai vế ta đợc: x 1= 11 ¿ x 2=2 ¿ ¿ ¿ ¿ − 28 x+ 49 x2=4 (15 x −13 x+ 2) ¿ ¿ ⇔11 x − 24 x+ 4=0 ⇔ Víi: x 1= 11 kh«ng tho¶ m·n: x ≥ Víi: x 2=2 kh«ng tho¶ m·n 2− x ≥ Vậy: Phơng trình đã cho vô nghiệm C¸ch 2: Ta ph¶i cã: 2− x ≥ tøc lµ: x≤ x≥1 Vậy: Phơng trình đã cho vô nghiệm 3.3 Bµi tËp 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (3) √3 x +1+ √3 x=1 Gi¶i: LËp ph¬ng hai vÕ ta cã: 3 x +1+3 √ x(2 x +1)( √ x +1+ √ x )=1 Thay (3) vµo (4) ta cã: (4) ®iÒu nµy tr¸i víi ®iÕu kiÖn: (28) x=0 ¿ x=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ 3 x+1+3 √ x (2 x +1)=1 ⇔ √ x (2 x +1)=− x ¿ ¿ ⇔ x 2+ x=− x ⇔(2 x +1+ x ) x=0 ⇔ Thö l¹i: x 1=0 tho¶ m·n (3) x 2=−1 kh«ng tho¶ m· (3)( lo¹i) VËy: PT (3) cã mét nghiÖm nhÊt lµ: x 1=0 Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √ x+3 − √ x −4=1 b √ 15− x+ √3 − x=6 c √ 10− x+ √ x +3=5 d √ x +1− √ x + 4=1 e √ x −1 − √ x+ 1=2 VIII Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn dÊu gi¸ trÞ tuyệt đối Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Thêng ¸p dông c¸c ph¬ng tr×nh cã chøa c¨n bËc hai - Biến đổi biểu thức thành luỹ thừa bậc chẵn - Đa biểu thức ngoài dấu để phơng trình trở thành phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: - √ a2 k ==|ak| - Giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối xét dấu Mét sè bµi tËp mÉu: 3.1 Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 Gi¶i: §KX§: x ≥ (1) (29) PT:(1) ⇔ √ x − 1+ √ x − 1+ 1+ √ x −1 −2 √ x −1+1=2 √ x − 1+1¿ ¿ √ x −1 −1 ¿2 ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ ⇔√¿ - NÕu: x ≥ th× (2) √ x −1+√ x − 1− 1⇔ √ x −1=1 ⇔ x=2 Kh«ng thuéc diÖn ®ang xÐt - NÕu: 1≤ x ≤ th× (2) ⇔ √ x − 1+ 1− √ x −1+1=2 (PT v« sè nghiÖm 1≤ x ≤ ) Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a √ x2 − x+ 4+ √ x − x+ 9=1 b √ x+ − √ x+ √ x +9 −6 √ x=1 c √ x+6 − √ x +2+ √ x+11 − √ x +2=1 d √ x+2 − √ x −2+ √ x +7 − √ x − 2=1 IX Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i kh¸c: Ph¬ng ph¸p ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph©n tÝch VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x +2 x + √ x+2 √ 2=0 Gi¶i: x 3+2 x 2+ √ x+2 √ 2=0 ⇔ x 3+2 x (x+ √2)+ √ 23=0 ¿ ⇔ (x+ √2)(x − x √ 2+ 2)+2 x (x+ √ 2)=0 x 2+(2 − √ 2) x+ ¿=0 ⇔ (x+ √2)¿ - HoÆc: x+ √2=0 ⇔ x=− √2 - HoÆc: 22− √ 2¿ − 8=− 2− √ 2<0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm x +(2 − √ 2) x+ 2=0 ⇒ Δ=¿ Vậy: Phơng trình đã cho có nghiệm: x=− √2 §a hai vÕ vÒ luü thõa cïng bËc 2.1 VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4=24 x+32 Ta cã: (30) ¿ x +2=2 x +6 ;(1) x +2=− x −6 ;(2) ¿ x =24 x +32 ⇔ x + x 2+ 4=4 x2 +24 x +36 x +6 ¿2 ¿ ¿ ⇔ x +2=|2 x +6| ¿ ¿ 2 x + 2¿ =¿ ⇔¿ PT (1) ⇔ x − x − 4=0⇒ x=1± √ PT (2) ⇔ x +2 x +8=0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Vậy: Nghiệm phơng trình đã cho là: x=1 ± √ 2.2 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3+3 x − x+1=0 Gi¶i: x +3 x − x +1=0 ⇔ x3 =−3 x 2+3 x −1 ⇔ x 3=x − x +3 x −1 x − 1¿3 ¿ ¿ ⇔ √ x=x −1 √3 x ¿3=¿ ⇔¿ Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x −(m+1) x + √ m=0 b x +(x −1)(3 x2 +2 x − 2)=0 c x 3+2 x − √3=0 d x − x − √ 2=0 e x 4=2 x 2+ x +3 2 g x − a ¿ =4 ax+1 (a lµ thõa sè) ¿ Ch¬ng iii : thùc nghiÖm s ph¹m (31) 1/ Mục đích thực nghiệm: - Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu - Tìm thiếu sót, khuyết điểm nh biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài ngày càng đạt chất lợng 2/ Néi dung thùc nghiÖm: Gi¸o ¸n: Gi¶I ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ( Ngµy d¹y: 14 / 12 / 2010) A Môc tiªu: - Kiến thức: HS biết cách giải số dạng phơng trình quy đợc phơng trình bËc hai: ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh cã chøa Èn ë mÉu, vµi ph¬ng trình bậc cao có thể đa phơng trình tích giải đợc nhờ ẩn phụ HS ghi nhí gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, tríc hÕt ph¶i t×m điều kiện ẩn và phải kiểm tra đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thoả mãn điều kiện đó - Kĩ năng: HS đợc rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử để giải phơng tr×nh tÝch -Thái độ: Giáo dục ý thức học tập, khả t nhanh nhạy, logic B ChuÈn bÞ cña GV vµ HS: - Gi¸o viªn : B¶ng phô - Häc sinh : ¤n tËp c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu vµ ph¬ng tr×nh tÝch C TiÕn tr×nh d¹y häc: ổn định tổ chức : KiÓm tra bµi cò: ? Nh¾c l¹i c«ng thøc nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän cña ph¬ng tr×nh bËc hai ? Bµi míi: * Giới thiệu: Ta đã biết cách giải các phơng trình bậc hai dựa vào công thøc nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän Tuy nhiªn, qu¸ tr×nh gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh ta cã thÓ gÆp nh÷ng ph¬ng tr×nh cã bËc lín h¬n hai vµ nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa Èn ë mÉu VËy gÆp nh÷ng d¹ng ph¬ng tr×nh nh thÕ th× ta gi¶i nh thÕ nµo?Bµi ngµy h«m sÏ gióp ta cã c©u tr¶ lêi Hoạt động GV Hoạt động 1: Hoạt động HS Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: (32) GV giíi thiÖu: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ pt cã d¹ng: ax4 + bx2 + c = (a 0) VD: 2x4 - 3x2 + = 5x4 - 16 = 4x4 + x2 = - Làm nào để giải đợc phơng tr×nh trïng ph¬ng ? - VÝ dô 1: Gi¶i pt: x4 - 13x2 + 36 = Gi¶i: §Æt x2 = t, ®/k: t , pt trë thµnh: t2 - 13t + 36 = - Yªu cÇu HS gi¶i pt Èn t §Æt x2 = t ®a vÒ d¹ng pt bËc hai råi gi¶i = (-13)2 - 4.1.36 = 25 √ Δ = t1 = 13 −5 =4 ; t2 = 13+5 =9 2 (TM§K: t 0) - GV híng dÉn tiÕp: t1 = x2 = x1,2 = t2 = x2 = x3,4 = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1 = -2 ; x2 = ; x3 = - ; x4 = - GV yêu cầu HS hoạt động nhóm ?1 Bæ sung: c) x4 - 5x2 + = d) x4 - 9x2 = Mçi d·y lµm c©u HS lµm bµi - GV nhËn xÐt: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã thÓ v« nghiÖm ; nghiÖm ; nghiÖm; nghiÖm vµ tèi ®a lµ nghiÖm Hoạt động : - GV: Cho ph¬ng tr×nh: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu thøc: x −3 x+ = x −3 x −9 - Tríc gi¶i ph¶i lµm g× ? - T×m ®iÒu kiÖn cña x - Yªu cÇu HS tiÕp tôc gi¶i pt - Yªu cÇu HS lµm bµi tËp 35 (b,c) vµo vë - Tìm điều kiện xác định pt - Sau tìm đợc các giá trị ẩn, ta cÇn lo¹i c¸c gi¸ trÞ kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn, c¸c gi¸ trÞ tho¶ m·n ®iÒu kiện xác định là nghịêm pt đã cho x x2 - 3x + = x + x2 - 4x + = cã : a + b + c = - + = x1 = (TM§K) ; x2 = c = a (lo¹i) (33) VËy nghiÖm cña pt lµ x = Hoạt động 3: VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1) (x2 + 2x - 3) = - tÝch b»ng nµo ? - Yªu cÇu HS lµm bµi 36 (a) SGK - Yªu cÇu HS lµm ?3 vµ bµi 36 (b) theo nhãm Nöa líp lµm ?3 Nöa líp lµm bµi 36 (b) SGK Ph¬ng tr×nh tÝch: TÝch b»ng tÝch cã mét nh©n tö b»ng x + = hoÆc x2 + 2x - = * x+1=0 * x2 + 2x - = x1 = -1 cã a+b+c=0 x2 = ; x3 = - pt cã nghiÖm ?3 x3 + 3x2 + 2x = x (x2 + 3x + 2) = x = hoÆc x2 + 3x + = Gi¶i x2 + 3x + = cã: a - b + c = x2 = -1 ; x3 = -2 PT cã nghiÖm lµ: x1 = 0; x2 = -1; x3 =-2 - Yêu cầu đại diện nhóm lên trình bµy, GV nhËn xÐt, söa bµi Bµi 36 (b): (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = (2x2 + x -4 +2x -1)(2x2+x-42x+1)=0 (2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 2x2 + 3x - = hoÆc 2x2 - x - = x1 = ; x2 = - ; x3 = -1 ; x4 = Hoạt động 4: - Cho biÕt c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ? - Khi gi¶i ph¬ng tr×nh cã chøa Èn ë mÉu cÇn lu ý c¸c bíc nµo ? - Cã thÓ gi¶i pt bËc cao b»ng ph¬ng ph¸p nµo ? VËy pt cã nghiÖm Cñng cè : - §Æt Èn phô - §Æt ®iÒu kiÖn cho Èn - Đa phơng trình tích, đặt Èn phô Hoạt động 5: Hớng dẫn nhà: (34) -Lµm c¸c bµi tËp sau: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - 1)(x2 - 2) b) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = c) (x2 - 1) (0,6x + 1) = 0,6x2 + x d) (x2+2x-5)2 = (x2 - x + 5)2 e) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - = Gi¸o ¸n: Gi¶I ph¬ng tr×nh v« tØ ( Ngµy d¹y: 21 /12 / 2010 ) A môc tiªu: - Giúp HS nắm đợc số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ - Rèn khả vận dụng các phơng pháp đã học vào giải bài tập - Gi¸o dôc ý thøc häc tËp, lßng say mª m«n To¸n B ChuÈn bÞ: - GV: Gi¸o ¸n, phÊn mµu, b¶ng phô, hÖ thèng c©u hái, bµi tËp HS: Ôn tập lại các kiến thức lũy thừa, các phép biến đổi thức, phép biến đổi biểu thức đại số, kiến thức giải PT và BPT… C TiÕn tr×nh d¹y häc: ổn định tổ chức: KiÓm tra: ?Nhắc lại đẳng thức đáng nhớ, điều kiện tồn bậc hai? Bµi míi: * Giíi thiÖu: Trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n c¸c em thêng gÆp nhiÒu bµi cã liªn quan tíi ph¬ng tr×nh v« tØ lµm chóng ta lóng tóng gi¶i Bµi ngµy h«m chóng ta sÏ lµm quen víi mét vµi ph¬ng ph¸p gióp gi¶i ph¬ng tr×nh vô tỉ cách đơn giản Hoạt động gv Hoạt động 1: GV giíi thiÖu: KiÕn thøc vËn dông: + (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 Hoạt động hs 1.Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa: (35) HS l¾ng nghe, theo dâi √ f (x )=g(x )⇔ + + f (x) ≥ g ( x) ≥0 f (x)=[ g (x) ] ¿{{ √3 A=m ⇔ A=m3 * VÝ dô: Gi¶i VÝ dô 1: §iÒu kiÖn c¨n cã nghÜa: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2+ √ x −1=x x −1 ≥ (1) ⇔x≥ (2) (1) ⇔ √ x −1=x −2 (3) Víi ®iÒu kiÖn x − 2≥ (4) (3) ⇔ 2x - = (x-2)2 (5) ⇔ x − 1=x − x +4 ⇔ x − x +5=0 Giải ta đợc x1=1 không thoả mãn (4) x2 = tho¶ m·n (2) vµ (4) nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh: x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1 − √ x −1=√ x −2 (1) Chó ý:- Khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cÇn chó ý ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng d¬ng -Trớc lên luỹ thừa cần biến đổi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng thuËn lîi nhÊt Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) cã nghÜa ⇔ x −1 ≥ x −1 ≥ x −2 ≥ ⇔ x≥1 ¿{{ (2) (1) ⇔ √ x − 1=√ x −2+ √5 x − Hai vế dơng, bình phơng hai vế (36) để hạn chế các trờng hợp có lêi gi¶i ng¾n gän ta đợc ¿ −7 x ≥0 2− x ¿2 (3) ¿ ¿ ¿ (15 x −13 x +2)=¿ Giải (3) ta đợc: x≤ kh«ng tho¶ m·n (1) VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm a Hoạt động 2: GV giíi thiÖu: Phơng pháp đặt ẩn phụ: §Æt Èn phô ®a vÒ ph¬ng tr×nh Èn míi: Cho HS thùc hiÖn c¸c vÝ dô: VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i : x −5 x +13=4 √ x −5 x +9 Ta cã : ( 52 )+114 x −5 x +9= x − >0 §Æt: √ x2 −5 x+ 9= y ≥ ⇒ x −5 x +9= y Khi đó (1) ⇔ y2 + = 4y ⇔ y =2 ⇔ x − x +5=4 ⇔ x −5 x+ 5=0 5+ √ ¿ 5− √5 x= ¿ ¿ ¿ ¿ x= * D¹ng: √ ax+ b=r (ux +v )+dx+ e (1) Víi a,u,r §Æt u y + v=√ ax +b b.§Æt Èn phô ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh: (37) Khi đó phơng trình (1) đa đợc d¹ng : u( x − y )(ruy + rux+ ur+ 1)=0 VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) √ x +15=32 x 2+ 32 x −20 Gi¶i: x +15 ≥ ⇔ x ≥ §iÒu kiÖn: Khi đó: (1) −15 x+ 2¿ −28 ⇔ √ x+15=2 ¿ (2) GV lu ý cho häc sinh: Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ b»ng ph¬ng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài toán khó, nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có ẩn phô th× ph¶i biÕt nhËn xÐt vµ t×m mèi liªn quan gi÷a c¸c biÓu thøc ph¬ng tr×nh, liªn quan gi÷a c¸c Èn §Æt: (3) y+ 2=√ x +15 §iÒu kiÖn: y+ 2≥ ⇔ y ≥ −1 Khi đó (2) trở thành + 15 (4) (4x + 2)2 = 2y Tõ (3) ta cã : + 15 (5) (4y + 2)2 = 2x Tõ (4) vµ (5) cã hÖ: * CÇn ph¶i cã kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh x +2 ¿2=2 y +15(4) ¿ y +2 ¿2=2 x+15 (5) ¿ ¿{ ¿ ¿ Trừ vế với vế (4) cho (5) ta đợc (x- y)(8x + 8y + 9) = +) NÕu: x-y = ⇔ x= y thay vµo (5) ta đợc : 16x2 + 14x-11 =0 GV: Ngoµi d¹ng trªn ta cßn gÆp (38) d¹ng bµi sau: * D¹ng: √3 ax+ b=r (ux +v )+dx+ e (1) Đặt uy + v=√3 ax+ b (1) đa đợc d¹ng: u( y − v)(rP2 +rPQ +rQ 2+1)=0 ⇔ x= ¿ 11 x=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ víi x=− 11 , lo¹i +) nÕu 8x + 8y + = Trong đó: Q=ux+ v ⇔8 y =−8 x − P=uy+ v , Thay vµo (4) ta đợc: 64x2 + 72x-35 =0 ⇔ −9 − √ 221 x= 16 ¿ − 9+ √ 221 , lo¹i x= 16 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x 1= x 2= − 9+ ❑√ 221 16 Cñng cè: GV hÖ thèng l¹i kiÕn thøc: * Khi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ cÇn tr¸nh nh÷ng sai lÇm sau: + Không chú ý đến điều kiện có nghĩa thức + Không đặt điều kiện có nghĩa thức * §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ thµnh th¹o th× c¸c kiÕn thøc sau cÇn n¾m v÷ng (39) + Các phép biến đổi thức + Các phép biến đổi biêủ thức đại số + C¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh + Các kiến thức bất đẳng thức 5.Híng dÉn vÒ nhµ: Häc bµi, xem l¹i c¸c d¹ng bµi t¬ng tù ******************************************** 3/ KÕt qu¶ thùc nghiÖm: Bµi tËp kiÓm tra: ( Thêi gian: 60 phót ) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1/ √3 x −1 + √3 x −2 = √3 x −3 2/ √3 x+1 + √3 x −1 = √3 x 3/ √3 x+1 + √3 x +1 = √3 x −1 4/ √ x2 − + x2 √ x− ( x= 4; 2) ( x = 0; ± √5 ) ( x= - 1) =x ( x = ) x2 5/ x 2+2 x − 9= √6+ x +2 x2 / √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=4 (đặt √ x −1= y ≥ ; x=5 ) 7/ STT √ x+1 - √ x+2 = √ x+5 - √ x+10 KÕt qu¶ kiÓm tra Hä vµ tªn ®iÓm Tr¬ng ThÕ Duy Ph¹m Linh §an Vò Thanh Th¶o 9,5 9,0 6,0 ( x = -1) (40) 10 NguyÔn V¨n ChiÕn Bïi Hång Ngäc NguyÔn Hång V©n Ninh V¨n M¹nh Hoµng ThÞ Thu H»ng Hoµng ThÞ BÐ DÞu NguyÔn Hång H¹nh 5.25 3,5 7.75 4.5 7.0 8,0 Thèng kª: -§iÓm tõ trë lªn: em / 10 em ( tØ lÖ 80% ) -Điểm cha đạt yêu cầu : em/ 10 em ( tỉ lệ 20% ) -§iÓm xuÊt s¾c tõ trë lªn : em / 10 em ( tØ lÖ 30% ) * Trong quá trình dạy học tôi luôn cố gắng giành thời gian cho các đối tợng học sinh khá giỏi, luôn động viên các em tự học và tự tìm tòi cái nh việc tìm lời giải khác cho bài tập nào đó Vì kết học tập c¸c em rÊt kh¶ quan * Các kiến thức trên làm tảng cho các em học tiếp các chuyên đề khác nh việc ngày càng yêu thích môn học Trên sở đó nhiều em đã đạt danh hiệu học sinh giỏi cấp Trờng, cấp Huyện (41) DuyÖt cña Ban gi¸m hiÖu PhÇn iii: KÕT luËN: KÕt qu¶ nghiªn cøu: (42) Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p vµ mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mực Từ sở lý thuyết đến bài tập mẫu (Trong phơng pháp có số dạng cụ thể) có lời giải Từ đó học sinh áp dụng vào các bài tập cụ thể, để củng cố dạng phơng pháp đó Nhng khả có hạn kinh nghiệm giảng d¹y vµ nghiªn cøu cha nhiÒu, nªn phÇn tr×nh bµy cßn nhiÒu h¹n chÕ Tuy nhiên quá trình giảng dạy đề tài này giúp tôi tự tin say sa với nghÒ nghiÖp h¬n Các em học sinh học đề tài này thấy mở mang nhiều, biết áp dụng vào bài học cách sáng tạo, lô gíc Chất lơng giảng dạy đợc nâng lên rõ rệt, các em häc sinh thùc sù say sa vµ yªu thÝch m«n häc Bài học rút và đề nghị: Các phơng trình không mẫu mực không cần thiết học sinh Trung häc c¬ së mµ cßn cÇn thiÕt cho c¶ gi¸o viªn qu¸ tr×nh d¹y to¸n ë Trung häc c¬ së, nÕu nghiªn cøu kü tû mØ, s©u h¬n n÷a th× thÊy ®©y lµ mét lo¹i toán độc đáo và hay, giúp giáo viên tự hoàn thiện mình Từ đó chủ động kiến thức, tự tin dạy toán Trên đây là trao đổi tôi số vấn đề dạy và học mà theo tôi thực tế và cần thiÕt nh»m gãp phÇn vµo viÖc n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc Song víi thêi gian vµ kinh nghiÖm cßn h¹n chÕ nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt Kính mong góp ý đồng nghiệp Danh môc Tµi liÖu tham kh¶o N¨m xuÊt b¶n ThS §µo Duy 2007 Thô - ThS Ph¹m VÜnh Phóc Vò H÷u B×nh NguyÔn Ngäc 2004 §¹m - NguyÔn Quang Hanh Ng« Long H÷u Ph¹m Gia §øc 2005 STT Tªn t¸c gi¶ 2005 Tªn tµi liÖu Nhµ xuÊt b¶n N¬i xuÊt b¶n Tµi liÖu tËp huÊn §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n To¸n n©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 500 bµi to¸n chän läc NXB Gi¸o dôc Hµ Néi NXB Gi¸o dôc §µ N½ng NXB §¹i häc Xëng in c«ng s ph¹m ty XNK Ngµnh in Tµi liÖu BDTX NXB gi¸o dôc chu kú III Th¸i Nguyªn (43) Bïi V¨n Tuyªn TS Lª V¨n Hång 2004 NguyÔn Nho Phan do·n 2008 Tho¹i-TrÞnh Thóy H»ng-L¹i Thanh H¬ng NguyÔn H¹nh 2005 Uyªn Minh 2006 V¨n 2004 Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn đề to¸n Một số vấn đề đổi phơng ph¸p d¹y häc m«n to¸n Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n (tËp 1) ¤n thi vµo líp 10 m«n toan NXB Gi¸o dôc C«ng Ty cæ phÇn Phóc Yªn NXB Gi¸o dôc Hµ Néi Nhµ xuÊt b¶n TP Hå ChÝ Gi¸o dôc Minh NXB Gi¸o dôc Hµ Néi Chuyên đề bồi NXB Đại học TP Hồ Chí dỡng đại số s ph¹m Minh (44)