Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị không âm với mọi giá trị của x, y.. Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC: 2012 – 2013 ĐỀ Thời gian làm bài: 90 phút Họ và tên:……………………………… Ngày tháng 12 năm 2012 Câu 1: (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 – 9x b) x(x – 1) + 2(x – 1) c) y3 – 4y Câu 2: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức (x + 1)2 + (2 – x)(2 + x) x = 200 b) Cho biểu thức A = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + Chứng minh biểu thức A luôn nhận giá trị không âm với giá trị x, y : Câu 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức A = x x 3x 12 Với x ≠ và x ≠ -2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x biết A = Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao (HBC) Kẻ HE, HF vuông góc với AB và AC (EAB, FAC) a) Chứng minh AH = EF b) Gọi O là giao điểm AH và EF, K là trung điểm AC Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành c) EF cắt IK M Chứng minh tam giác OMI cân Câu 5: (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn ab + b – a = 20 Bài làm …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… (2) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ HỌC KÌ TOÁN CÂU 1a 1b 1c 2a 2b 3a NỘI DUNG 3x2 – 9x = 3x(x – 3) x(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x + 2) y3 – 4y = y(y2 – 4) = y(y – 2)(y + 2) Có (x + 1)2 + (2 – x)(2 + x) = x2 + 2x + + – x2 = 2x + Thay x = 200 ta có giá trị biểu thức đã cho là: 2.200 + = 405 A = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1= (x2 + 2xy + y2) + (x2 + 2x + 1)= (x+y)2 + (x+1)2 Vì (x + y)2 0 và (x + 1)2 0 với x, y => A 0 với x, y Vậy A luôn nhận giá trị không âm với x, y 3(x 4) 2x 3(x 4) 2x : 2 2 x x 3x 12 x x x A= 3b 6x 6x 1 Khi A = => = => 6x + = => 6x = -3 => x = (Thỏa mãn) 0.5 O A 0.25 H 1.0 B E 4c 0.5 0.5 0.5 Vẽ đúng hình theo điều kiện chung đề bài 4a 4b ĐIỂM 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 I F K C Tứ giác AEHF là hình chữ nhậtM(vì có góc vuông) => AH = EF Theo tính chất hai đường chéo hình chữ nhật ta có OA = OH Và OH=OF (1) => H1 =F1 => H2 =F2 => IH = IF (2) Từ (1) và (2) ta có OI là đường trung trực HF => OI HF => OI //AC Trong tam giác AHC có OI//AC, OI qua trung điểm AH => IH = IC => OI là đường trung bình tam giác AHC => OI = AK Mà OI // AK => Tứ giác AOIK là hình bình hành O1 =F3 (2 góc vị trí so le trong) F3 =A1 (Tam giác OAF cân O) A1 =OIK (2 góc đối hình bình hành) Từ đó suy O1 =OIM => tam giác MOI cân M ab + b – a = 20 => ab + b – a – = 19 => b(a + 1) – (a + 1) = 19 => (a + 1)(b – 1) = 19 Vì a, b là các số nguyên dương nên a + > và b – 0 => a + = 19 và b – = đó: a = 18 và b = (Thỏa mãn điều kiện) 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 (3) (4)