Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Bài 8: Tìm số nguyên x, biết x chia hết cho 11 còn 2x + chia hết cho 25 Giải Do x chia hết cho 11 nên x có dạng x = 11u, 2x + chia hết cho 25 nên ta có 2x + = 25v, thay x = 11u vào 2x + ta có 2(11u) + = 25v ⇔ 22u − 25v = −3 Đặt v = −v ta có 22u + 25v = −3 (1) 25v ≡ −3(mod22) 3v ≡ −3(mod22) v ≡ −1(mod22) 0 (1) trở thành ⇒ ⇒ u = −3 − 25v u = −3 − 25v u = −3 − 25v 22 22 22 v = −1 + 22c ⇒ u = −3 − 25(−1 + 22c) = − 25c 22 v = − 22c Thay v = −v ta u = − 25c Bài 1: Tìm nghiệm không tầm thường các phương trình sau và viết công thức truy hồi xác định dãy nghiệm xuất phát từ nghiệm đó a/ x2 − 11y = b/ x2 − 5y = c/ x2 − 6y = Giải a/ x2 − 11y = Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (10, 3) là nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình x =x x n n−1 + dy1 yn−1 Theo công thức truy hồi (n ≥ 2) Ta có dãy nghiệm y =x y +y x n n−1 n−1 xuất phát từ nghiệm ban đầu là (199, 60), (3970, 1197), b/ x2 − 5y = Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (9, 4) là nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình x =x x n n−1 + dy1 yn−1 (n ≥ 2) Ta có dãy nghiệm Theo công thức truy hồi y =x y +y x n n−1 n−1 xuất phát từ nghiệm ban đầu là (161, 72), (2889, 1292), (2) c/ x2 − 6y = Ta nhận thấy (x0 , y0 ) = (5, 2) là nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình x =x x n n−1 + dy1 yn−1 (n ≥ 2) Ta có dãy nghiệm Theo công thức truy hồi y =x y +y x n n−1 n−1 xuất phát từ nghiệm ban đầu là (49, 20), (485, 198), Bài 9: Giải các phương trình sau: a/ x2 − 8y = b/ x2 − 8y = −8 c/ x2 − 11y = d/ x2 − 3y = 22 Giải a/ x2 − 8y = Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 8y = ta nhận thấy (a, b) = (3, 1) Ta xét −ca2 y ≤ max{cb ; } = 16 d 2 Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, để xem với giá trị nào y thì + 8y là chính phương Với y = ⇒ + 8.1 = 12 Với y = ⇒ + 8.4 = 36 ⇒ x = Với y = ⇒ + 8.9 = 76 Với y = ⇒ + 8.16 = 132 Vậy phương trình có nghiệm là (6,2) Tập ghiệm phương trình là x = 6; y1 = xn = 3xn−1 + 8yn−1 (n ≥ 2) y =x + 3y n n−1 n−1 b/ x2 − 8y = −8 Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 8y = ta nhận thấy (a, b) = (3, 1) Ta xét y ≤ max{cb2 ; −ca2 } = 16 d (3) Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, để xem với giá trị nào y thì −8 + 8y là chính phương Với y = ⇒ −8 + 8.1 = Với y = ⇒ −8 + 8.4 = 24 Với y = ⇒ −8 + 8.9 = 64 ⇒ x = Với y = ⇒ −8 + 8.16 = 120 Vậy phương trình có nghiệm là (8,3) Tập nghiệm phương trình là: x = 8; y1 = xn = 3xn−1 + 8yn−1 (n ≥ 2) y =x + 3y n n−1 n−1 c/ x2 − 11y = Xét phương trình Pell tương ứng x2 − 11y = ta nhận thấy (10,3) là nghiệm nguyên dương nhỏ Ta xét y ≤ max{cb2 ; − ca2 } = 45 d Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, 4, 5, để xem với giá trị nào y thì + 11y là chính phương Với y = ⇒ + 11.1 = 16 Với y = ⇒ + 11.4 = 49 ⇒ x = Với y = ⇒ + 11.9 = 104 Với y = ⇒ + 11.16 = 181 Với y = ⇒ + 11.25 = 280 Với y = ⇒ + 11.36 = 401 Vậy nghiệm củ phương trình là (7,2) Tập nghiệm phương trình là x = 7; y1 = xn = 7xn−1 + 22yn−1 (n ≥ 2) y = 2x + 7y n n−1 n−1 d/ x2 − 3y = 22 Ta xét phương trình Pell tương ứng x2 − 3y = nhận thấy nghiệm nhỏ (4) nguyên dương là (2,1) Ta xét y ≤ max{cb2 ; − ca2 } = 22 d Ta kiểm tra y = 1, 2, 3, để xem với giá nào y thì 22 + 3y là chính phương Với y = ⇒ 22 + = 25 ⇒ x = Với y = ⇒ 22 + 3.4 = 34 Với y = ⇒ 22 + 3.9 = 49 ⇒ x = Với y = ⇒ 22 + 3.16 = 70 Vậy phương trình có hai nghiệm là (5, 1), (7, 3) Tập nghiệm phương trình nghiệm (5,1) là x = 5; y1 = xn = 5xn−1 + 3yn−1 (n ≥ 2) y =x + 5y n n−1 n−1 Tập nghiệm phương trình nghiệm (7,3) là x = 7; y1 = xn = 7xn−1 + 9yn−1 (n ≥ 2) y = 3x + 7y n n−1 n−1 Bài 17: Giải phương trình x2 + x = 2y Giải x2 + x = 2y ⇔ 4x2 + 4x + − = 8y 2 ⇔ (2x + 1) − 8y = (1) u = 2x + Đặt v=y (1) trở thành u2 − 8v = 1, nhận thấy (3,1) là nghiệm nguyên dương nhỏ phương trình u = 3u n n−1 + 8vn−1 Ta có tập nghiệm phương trình (un , ) xác định (n ≥ 2) v =u + 3v n với u là lẻ Một dãy nghiệm phương trình ban đầu là (8, 6), (49, 35), Bài 5: Giải các phương trình sau: n−1 n−1 (5) a/ x2 + 4y = z b/ x2 + 3y = z Giải a/ x2 + 4y = z Đặt u = 2y ta phương trình X + u2 = z Phương trình này có nghiệm là: x = 2mn; (1) y = m2 − n2 ; z = m + n2 ; x = m2 − n2 ; hoặc(2) y = 2mn; z = m2 + n2 ; với m > n khác tính chẵn lẻ và (m, n) = Với trường hợp (1) ta lấy dãy nghiệm (2x, 2u, 2z) và ôột họ nghiệm phương trình đã cho là: x = 4mn; y = m2 − n2 ; z = 2(m2 + n2 ); Với trường hợp (2) ta có họ nghiệm phương trình x2 + 4y = z là: x = m2 − n2 ; y = mn; z = m2 + n2 ; b/ x2 + 3y = z Giả sừ (x, y, z) là nghiệm nguyên thủy phương trình x2 + 3y = z Từ (x, y, z) = suy (x, y) = (x, z) = (y, z) = Ta có 3y = z − x2 = (z − x)(z + x) Vì (x, z) = nên có hai trường hợp (z − x, z + x) = (z − x, z + x) = - Trường hợp (z − x, z + x) = suy z và x không cùng tính chẵn lẻ và z − x z + x chia hết cho không đồng thời z − x và z + x chia hết cho Từ 3y = (z − x)(z + x) suy z + x = 3a2 và z − x = b2 z + x = a2 , z − x = 3b2 với a, b ∈ N; a, b cùng lẻ; (a, b) = Khi đó ta nghiệm phương trình là: 3a2 − b2 x = ; y = ab; 3a2 + b2 z= ; a2 − 3b2 x = ; y = ab; a2 + 3b2 z= ; (6) - Trường hợp (z − x, z + x) = suy x, z cùng tính chẵn lẻ Vì (x, y, z) = nên khí đó x, z cùng lẻ, y chẵn Đặt y = 2y1 ta 12y12 = (z − x)(z + x) z−x z+x Giả sử z − x chia hết cho Ta viết: y12 z−x z+x z−x z+x , ) = ( vì d = ( , ) thì d là ước z − x Dễ thấy ( 6 và z + x đó d = Nhưng d = thì z − x chia hết cho (!)) Vậy phải có a, b ∈ N; (a, b) = 1; a, b khác tính chẵn lẻ: x = b2 − 3a2 z − x = 6a2 ⇔ y = 2ab z + x = 2a2 z = b2 + 3a2 x = b2 − 3a2 Tương tự vế z + x chia hết cho ta có nghiệm: y = 2ab z = b2 + 3a2 2 2 x(x − 1) x(x + 1) Bài 13: Dựa và đồng thức +x = và bài tập 17 chương II, 2 chứng minh phương trình x2 + y = z có vô số nghiệm nguyên dương Giải Theo bài tập 17 chương 2, có vô số cặp nghiệm nguyên dương (x, y) cho x2 + x = 2y 2 x(x + 1) x(x − 1) x(x − 1) + x3 = hay = y Đặt z = thì theo đồng thức 2 2 x(x + 1) ta x2 + y = z (7)