HSG Toan 9 20122013V1

Bài 1 1,25 điểm: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu bớt mỗi chữ số của nó đi một đơn vị thì được một số mới có tổng bình phương các chữ số bằng số phải tìm.. Gọi E, F lần lượt là hì[r]

PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN – LỚP (Vòng 1) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (1,25 điểm): Tìm số có hai chữ số, biết bớt chữ số nó đơn vị thì số có tổng bình phương các chữ số số phải tìm Bài (0,75 điểm): Tìm tất các số nguyên dương m cho tồn số nguyên n thỏa mãn (n + 1) và [(n + 1)2 + 1] cùng chia hết cho m Bài (1,5 điểm): Cho ba số a, b, c là số hữu tỉ khác không, đôi khác b c   b - c c - a a - b  a P=        b c  b - c c - a a - b   a và a + b + c = 0, hãy tính: Bài (1,5 điểm): Giải phương trình: x - 2012 + 2011 - 2012 - 2011 = Bài (1,0 điểm): 4 Chứng minh a  b   4ab  a, b Bài (1,0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (với AC > BD) Gọi E, F là hình chiếu B, D trên AC Gọi H, K là hình chiếu C trên AB và AD a) Tứ giác BFDE là hình gì? Vì sao? AB BE  AC CH b) Chứng minh Bài (1,5 điểm): Cho hình thoi ABCD Kẻ BM vuông góc với AD (M  AD) và BN vuông góc với CD (N  CD) Giả sử AC = 2MN Tĩnh các góc hình thoi Bài (1,5 điểm):  Cho tam giác ABC cân A, có A = 40 Trên nửa mặt phẳng bờ BC  không chứa điểm A, vẽ tia Bx cho CBx 10 Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA Tính số đo góc BDC PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN – LỚP (Vòng 1) Tóm tắt lời giải Câu ab =  a - 1 +  b - 1 Gọi số phải tìm là ab ta có (1,25 điểm):  10a + b = a - 2a + b - 2b +  a - 12a + b - 3b + =  4a - 48a + 4b - 12b + =  4a - 48a + 144 + 4b2 - 12b + - 145 =  (2a - 12) + (2b - 3) = 145 Ta thấy 145 = 122 + 12 = 82 + 92 Vì 2a – 12 là số chẵn và a, b là các chữ số (a > 0) nên ta được:  a - =   2b - =  a - =   2b - = Suy : a = 2, b = và ab 26   n + 1    n  1   m n  1  m và   n + 1  1  m     Vì Nên  hay  2n + 1  m (0,75 điểm):   n  2n + 1   n  1   m hay  n -   m   2n + -2  n -    m hay  m Suy m   1; 5 Chọn n = thì hai giá trị trên m đề thỏa mãn.Vậy m = m =  bc  b-c  +ca  c-a  +ab  a-b    a  c-a   a-b  +b  a-b   b-c  +c  b-c   c-a       abc  a-b   b-c   c-a     P  bc  b-c  +ca  c-a  -ab   b-c    c-a      a-b   ac-a +b -bc  +c  b-c   c-a       abc a-b b-c c-a            Điểm TP 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 0,25 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ  bc  b-c  +ca  c-a  -ab  b-c   ab  c-a     a-b   c  a-b  -  a-b   a+b   c(b-c)(c-a)   0,125 đ     abc  a-b   b-c   c-a      (1,5 điểm)  b  b-c   c-a  +a  c-a  (c-b)    a-b   c  a-b  -  a-b   a+b    c(b-c)(c-a)      abc  a-b   b-c   c-a      0,125 đ    b-c   c-a  (a-b)    a-b   c  a-b    a-b  c   c(b-c)(c-a)      abc  a-b   b-c   c-a   Vì c = -(a + b)       b-c   c-a  (a-b)   2c  a-b   c(b-c)(c-a)      abc     a-b   b-c   c-a   0,125 đ      b-c   c-a  (a-b)   c   a-b  - (b-c)(a-c)      abc  a-b   b-c   c-a       0,125 đ 0,125 d 0,125 đ     b-c   c-a  (a-b)   c   a-b  - (2b+a)(2a+b)     abc  a-b   b-c   c-a     2     Vì – c = a + b 0,125 đ    b-c   c-a  (a-b)   c  2a - 4ab +2b -5ab - 2a -2b       abc a-b b-c c-a               b-c   c-a  (a-b)   c  -9ab     9  abc     a-b   b-c   c-a   0,125 đ x - 2012 + 2011 - 2012 - 2011 = (1,5 điểm)   x  x   2011     2011 1    2011  0  2011  0  x  2011 0  x  2011  x = 2011 (1,0 điểm) (1,0 điểm) (1,5 điểm) a Ta thấy  b 2    ab - 1 0 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ  a  2a b  b4   a b - 2ab + 1 0 0,25 đ  a - 2a b + b  2a b  4ab + 0  a  b +  4ab (ĐPCM) a) BE  AC, DF  AC nên BE//DF H mà BE = DF (vì  AEB = CFD ) Suy tứ giác BFDE là hình bình hành B C SABC  AB.CH (1) F b) E SABC  AC.BE (2) K A D Từ (1) và (2) ta có AB.CH = AC.BE AB BE  => AC CH Vì ABCD là hình thoi nên DM =DN => MN // AC B Mặt khác AC = 2MN nên M, N tương ứng là trung điểm AD, CD C A Ta các tam giác: ABD, BDC cân B M N Mà AB = AD, CB = CD nên các tam giác D ABD, BCD là các tam giác Suy các góc hình thoi là 1200 và 600 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vẽ tam giác ABE, với E nằm cùng phía C so với AB Vì tam giác ABC cân A nên: A  180  40 180  A  ABC   700 2 ABE = 600  700 Mà nên tia BE E B (1,5 điểm) C D hai tia BA 0,25 đ và BC nằm Do đó    EBC ABC  ABE 700  600 100    EBC DBC Mà BE = BA (do  ABE đều) và BD = BA nên BE = BD  CBE = CBD (c.g.c)   (1) Do đó BDC BEC Mặt khác, vì AE = AB = AC nên ACE cân A  Từ (1) và (2) ta suy BDC 20 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0  Mà CAE 60  40 20 nên 1800  200  AEC  800 0  Suy BEC 80  60 20 0,25 đ 0,125 đ (2) Lưu ý: Học sinh có thể có cách biến đổi lập luận chứng minh khác hợp lý dẫn đến kết đúng thì cho điểm đúng theo yêu cầu 0,125 đ 0,125 đ