3 .5 Chú ý: Trong cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn... Ước chung lớn nhất ƯCLN -Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều [r]
(1)Chủ đề 3: SỐ NGUYÊN TỐ - ƯCLN– BCNN 1.Số nguyên tố: số nguyên tố là số tự nhiên lớn 1, có ước là và chính nó VD: các số nguyên tố là: 2,3,5,7,11,13,…vì chúng có ước là và chính nó *Kiểm tra số là số nguyên tố: Để kết luận số a là số nguyên tố (a>1) , cần chứng tỏ nó không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a Như vậy: 29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5 67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5, 127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5,7,11 173 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5,7,11,13 * Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố là viết số đó dạng tích các thừa số nguyên tố 2 VD: 300=2 5=2 Chú ý: Trong cách phân tích số thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 2.Cách xác định số lượng các ước số Để tính số lượng các ước số m (m>1) ta xét dạng phân tích số m thừa số nguyên tố: x Nếu m=a thì m có x+1 ước x y Nếu m=a b thì m có (x+1)(y+1) ước x y z Nếu m=a b c thì m có (x+1)(y+1)(z+1) ước VD: *Số 32=2 2 2=2 nên số 32 có +1 = (ước) là: 1,2,4,8,16,32 *Số 63=3 7=3 nên số 63 có (2+1)(1+1) = (ước) *Số 60=2 5=2 nên số 60 có (2+1)(1+1)(1+1) = 12 (ước) Ước chung lớn (ƯCLN ) -Ước chung lớn hai hay nhiều số là số lớn tập hợp các ước chung các số đó -Muốn tìm ƯCLN hai hay nhiều số lớn 1, ta thực ba bước sau: B1: Phân tích số thừa số nguyên tố .B2: Chọn các thừa số nguyên tố chung .B3: Lập tích các thừa số đã chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ nó Tích đó là ƯCLN phải tìm VD: 36=2.2.3 3=22 33 84=2.2.3 7=2 168=2.2.2.3.7=23 Chọn các thừa số chung, đó là và Số mũ nhỏ là 2, là Do đó nên: ƯCLN(36,84,168) = 3=12 **Để tìm ước chung các số đã cho, ta có thể tìm các ước ƯCLN các số đó VD: ƯCLN (12,30) =6 , Do có các ước là: 1; ;3; nên ƯC(12,30) = {1; 2; 3; 6} (2) 4.Bội chung nhỏ (BCNN) -Bội chung nhỏ hai hay nhiều số là số nhỏ khác tập hợp các bội chung các số đó - Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn 1, ta thực ba bước sau: B1: Phân tích số thừa số nguyên tố .B2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng .B3: Lập tích các thừa số đã chọn, thừa số lấy với số mũ lớn nó Tích đó là BCNN phải tìm 30=2 18=2 VD: 8=2 Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, và ; số mũ lớn là 3, là và là Vậy đó ta có: BCNN(8,18,30) = 5=360 *Để tìm bội chung các số đã cho, ta có thể tìm các bội BCNN các số đó VD: Cho A= { x∈Ν|x⋮8, x⋮18, x⋮30 , x<1000 } Viết tập hợp A cách liệt kê các phần tử Giải: Ta phải tìm x ¿ BC(8,18,30) và x< 1000 Ta có :BCNN(8,18,30) = 360 Bây nhân 360 với 0,1,2,3 ta được: 0, 360, 720, 1080 So sánh với điều kiện bài toán, suy ra: A = {0; 360; 720} MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình số học lớp 6, sau học các khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) và bội chung nhỏ (BCNN), các bạn gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố đó có các kiện ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số 2/ Trong số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tích hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chúng ta hãy xét số ví dụ minh họa Ví dụ : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b là nhau, không tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (3) Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15 Ví dụ : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18 Ví dụ : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, bài toán đưa dạng bài toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chú ý : Ta có thể tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài tập tự giải : 1) Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = ( a = 65 và b = 25) Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản (m, n) = 2) Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 (a = 28 ; b = 35) 3) Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 ( a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 ) 4)Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 (a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24) 5)Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 ( a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 ) 6) Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45 7) Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống 8) Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất các số tự nhiên c cho ba số, tích hai số luôn chia hết cho số còn lại I/ Ghi số tự nhiên n n 1 - Hệ thập phân: an an a1a0 an 10 an 1.10 a1.10 a0 10 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có số tận cùng là 3, xoá số tận cùng thì ta số nhỏ số ban đầu 2010 Giải: Gọi: Số cần tìm là: x3 10 x ( x N ); Số sau xoá số tận cùng là x: Theo bài ta có phương trình: 10x + – x = 2010 (4) x 2007 x 223 Vậy số cần tìm là: 2233 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có ab , biết ab ba ⋮3; ab ba ⋮5 Giải: Ta có ab 10a b(a, b Z ;1 a, b 9) Từ đã: ab ba 11(a b) , vì ƯCLN(3,5) = ab ba 11(a b)⋮15 a b⋮15 (ƯCLN(11,15) =1) (a, b) 7,8 , 8, , 9, , 6,9 Do a, b 9 Vậy số cần tìm là 78; 87; 69; 96 II/ Các phép tính N; phép chia có dư 1/ Phép tính(+; -; x; :) - Phép tính luỹ thừa: a n a.a a + nthuaso n m m n + a a a a m : a n a m n m n, m, n N , a 0 + (a m ) n a m.n + Quy ước: a a; a 0( a 0) n n n n + Lưu ý: ( x0) y 0;( x 6) y 6;( x1) y1;( x5) y5 + Những số có số tận cùng là 4, luỹ thừa chẵn thì số tận cùng là 6; luỹ thừa lẻ thì số tận cùng là ; + Những số có số tận cùng là 9, luỹ thừa chẵn thì số tận cùng là 1; luỹ thừa lẻ thì số tận cùng là ; 200 300 Ví dụ 1: So sánh 300 và 200 200 200 200 100 200 100 400 Giải: Ta có: 300 3 100 9 100 9 10 200300 200300.100300 8100.100300 8100.(102 )300 8100.10600 Do < 10, nên 9100< 10100 9100.10 400 10500 10600 8100.10600 Vậy 300 200 300 < 200 2004 1000 Ví dụ 2: 12 ⋮10 Ta có 24 = 16 (5) 100 25 2010 2 1005 41005 45.41000 45.(48 )125 có số tận cùng là 12 =(10 + 2)2004 = (102004 + 2004.2.102003+ + 2004.10.22003+ 22004) Mà 102004 + 2.102003+ + 10.22003⋮ Vây xét 22004 = (24)501 có số tận cùng là 6, nên 122004có số tận cùng là 2004 122004 21000 ⋮10 B/ Phép chia hết tập hợp các số nguyên I/ Một số phương pháp chứng minh chia hết Tính chất: + Sử dụng tính chất “ Trong n số tự nhiên có và số chia hết cho n” + Tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho + Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho + Tích hai số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho + Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 Các dấu hiệu chia hết a )an an a1a0 ⋮2 a0 ⋮2 b) an an a1a0 ⋮5 a0 ⋮5 c)an an a1a0 ⋮3 n a ⋮3 i i 0 n d )an an a1a0 ⋮3 a ⋮9 i i 0 f ) an an a1a0 ⋮25;4 a1a0 ⋮25;4 g )an an a1a0 ⋮125;8 a2 a1a0 ⋮125;8 Dấu hiệu chia hết cho 11 Cho A = a5 a4 a3 a2 a1 a0 ⋮ ⋮ A 11 ⇔ [(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + )] 11 Chứng minh: A = (a0 + 102a2 + 104a4 + ) + (10a1 + 103a3 + 105a5 + ) Chú ý : 102 = 99 + 1, 104 = 9999 + 1, , tổng quát : 102k = bội 11 + , còn 10 = 11 – 1, 103 = 1001 – 1, 105 = 100001 – 1, Tổng quát 102k + = bội 11 – Do đã : A = ( bội 11 + a0 + a2 + a4 + ) + + (bội 11 – a1 – a3 – a5 - ) = béi 11 + ( a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) (6) Như điều kiện cần và đủ đó số chia hết cho 11 là : Tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn số đã có hiệu chia hết cho 11 Ví dụ 1: Chứng minh: n3 + 11n ⋮6 Ví dụ 2: Cho 717 + 17.3 - ⋮9 Chứng minh: 718 + 18.3 - ⋮9 (Đề thi chọn HSG lớp huyện Văn Bàn năm học 2009 - 2010) Giải: Ta có: 717 + 17.3 - ⋮9, Đặt: 717 + 17.3 - = 9k Mặt khác: 718 + 18.3 – = 7.(717 + 17.3 – 1) + [18.3 – - 7.(17.3 - 1)] = 7.9k – 33.9 = 9.(7k - 33) ⋮ Vậy: 718 + 18.3 - ⋮9 Ví dụ3: Cho 717 + 17.3 - ⋮3 Chứng minh: 718 + 18.3 - ⋮3 (Đề thi chọn HSG líp 9, cấp trường năm học 2010 - 2011) Sử dụng định lý mở rộng n a)n N : a n b n a b a n a n 2b ab b n ; a, b Z a n b n ⋮(a b) n 2k , k N , a n b n ⋮(a b) n b)k N , n 2k 1: a n b n a b a n a n 2b ab b n n 2k 1: a n bn ⋮ a b ; a b Các ví dụ: Ví dụ1: Chứng minhrằng 20n + 16n - 3n + ⋮323 Một số phương pháp chứng minh khác - Chứng minh quy nặp: Nguyên tắc chứng minh + Xét vì n = n0 đúng + Gỉa sử vì n = k đúng + Biến đổi chứng minh vì n = k + đúng Từ đã điều phải chứng minh Bài tập vận dụng: Chứng minhrằng a)32 n n ⋮7(n N ) b)32 n 1 2n 2 ⋮7(n N ) n c) 10 18n 1⋮9 2n n a )3 ⋮7 Giải: (7) + Vì n = 1; hiển nhiên đúng, 2k + Gỉa sử, n = k đúng, tức là: + Xét vì n = k + 1,ta có 2k k 2k ⋮7 Đặt: 7q 32( k 1) 2k 1 9(3k 2k 1 ) 9.2k 2.2 k 7(9q k ) ⋮7 Vậy n = k + đúng, 2n n Kết luận: ⋮7 b) Làm tương tự: n c) 10 18n 1⋮27 Giải: + Vì n = hiển nhiên đúng, vì 10 + 18.0 – = ⋮27 k k + Gỉa sử n = k đúng, tức là 10 18k 1⋮27 , Đặt: 10 18k 27 q + Xét vì n = k +1 ta có: 10k 1 18(k 1) 10(10 k 18k 1) 18k 18 (180k 10) 10.27 q 27 6k 27(10q 6k 1) ⋮27 Vậy n = k + đúng, n Kết luận: 10 18n 1⋮27 Các bài tập vận dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm chữ số x,y đó x36 y 5⋮1375 Ví dụ 2: Tìm chữ số x,y đó 134 xy⋮45 (Đề thi chọn HSG lớp huyện Văn Bàn năm học 2009 - 2009) Bài 3: Cho S=21 + 22 + 23 + + 2100 a/ Chứng minh S chia hết cho b/ Chứng minh S chia hết cho 15 c/ S tận cùng là chữ số nào? Lời giải 100 a/ S = + + + + =(21 + 22 )+ (23 + 24)+ +(299+ 2100) = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + …+ 299(1 +2) = 3.(2 + 23 +…+ 299) ⋮ Vậy S ⋮ b/ Nhóm số hạng S ta được:S = 15.(2 + 25 + 29 +…+ 227) ⋮ 15 c/ S ⋮ 15 và S là số chẵn nên S tận cùng là 3.Các dạng bài tập khác sử dụng a) Tìm số tận cùng b) Sử dụng phép chia có dư (8) c) Sử dụng nguyên tắc De-rich-ne d) Sử dụng đồng dư thức C/ Số nguyên tố I/ Số nguyên tố, hợp số Bài tập liên quan đến số nguyên tố Ngoài các kiến thức số nguyên tố , số nguyên tố cùng ƯCLN, BCNN, ta có thêm số tính chất chia hết 1) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn thừa số tích chia hết cho p Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p 2) Nếu tích a.b chia hết cho m đó b và m là hai số nguyên tố cùng thì a chia hết cho m Thật vậy, phân tích m Theo số nguyên tố : m = a1k1a2k2 an kn (1) Vì a.b chia hết cho m nên a.b chứa tất các thừa số nguyên tố a1, a2, an vì số mò lớn số mò các thừa số nguyên tố đó (1) Nhưng b và m nguyên tố cùng nên b không chứa thừa số nguyên tố nào các thừa số a1 , a2, , an Do đó a chứa tất các thừa số a1 , a2 , an tức là a chia hết cho m 3) Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN m và n Thật vậy, a chia hết cho m và n nên a là bội chung m và n so đó chia hết cho BCNN ( m,n) Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng m và n thì a chia hết cho tích m.n II Những ví dụ Ví dụ Tìm số tự nhiên n cho 18n + chia hết cho ⋮ Giải : Cách 1: 18n + ⋮ ⇔ 14n + 4n + ⋮ ⇔ 4n + ⋮ ⇔ 4n + – 7 ⋮ ⇔ 4n – ⋮ ⇔ 4(n – 1) (9) Ta lại có (4,7) = nên n – Vậy n = 7k + ( k ¿ N) Cách 2: ⋮ 18n + ⇔ ⇔ ⇔ 18 n + – 21 18n - 18 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 18(n – 1) ⋮ Ta lại có (18,7) = nên n – ¿ Vậy n = 7k + ( k N) Nhận xét: Việc thêm bớt các bội hai cách giải trên nhằm đến biểu thức chia hết cho mà ở đó hệ số n Ví dụ: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ¿ N) Chứng minh 10a + b chia hết cho 13 ⋮ ⋮ Giải : Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y Ta biết x 13, cần chứng minh y 13 Cách 1: xét biểu thức: 10x – y = 10 (a + 4b) – (10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b ⋮ Như 10x – y 13 ⋮ ⋮ ⋮ Do x 13 nên 4y 13 Suy y 13 Cách 2: Xét Biểu thức: 4y – x = (10a + b) – (a + 4b) = 40a + 4b – A – 4b = 39a ⋮ Như 4y – x 13 ⋮ ⋮ ⋮ Do x 13 nên 4y 13 Ta lại có ( 4,13) = nên y 13 Cách : Xét biểu thức: 3x + y = (a + 4b) + (10a + b) = 3a + 12b + 10a + b = 13a + 13b ⋮ Như 3x + y 13 ⋮ ⋮ ⋮ Do x 13 nên 3x 13 Suy y 13 Cách 4: Xét biểu thức: x + 9y = a + 4b + (10a + b) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b ⋮ Như x + 9y 13 ⋮ ⋮ ⋮ Do x 13 nên 9y 13 Ta lại có (9,13) – 1, nên y 13 (10) Nhận xet: Trong các cách giải trên, ta đã đưa các biểu thức mà sau rút gọn có số hạng là bội 13, đó số hạng thứ hai (nếu có) còng là bội 13 Hệ số a ở x là 4, hệ số a ở y là nên xét biểu thức 10x – y nhằm khử a (tức là làm cho hệ số 0) , xét biểu thức 3x + y nhằm tạo hệ số a 13 Hệ số b ở x là 4, hệ số b ở y là nên xét biểu thức 4y – x nhằm khử b, xét biểu thức x + 9y nhằm tạo hệ số b 13 Ví dụ Chứng minh p là số nguyên tố lớn thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 ⋮ Giải Ta có (p – 1)p(p + 1) mà (p,3) = nên ⋮ (p – 1)(p + 1) (1) p là số nguyên tố lớn nên p là số lẻ, p – và p + là hai số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có số là béi nên tích chúng chia hết cho (2) Từ (1) và (2) suy (p – 1)(p + 1) chia hết cho hai số nguyên tố cùng và ⋮ Vậy (p – 1)(p + 1) 24 III Tìm số bị chia biết các số chia và số dư hai phép chia Ví dụ Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho thì dư 1, chia cho thì dư Giải : Gọi n là số chia cho dư 1, chia cho dư Cách 1: Vì n khằngchia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r ( k, r ¿ N, r < 35), đó r chia dư 1, chia dư Số nhỏ 35 chia cho dư là 5, 12, 19, 26, 33 đó có 26 chia cho dư 1, r = 26 Số nhỏ nhBất có dạng 35k + 26 là 26 ⋮ ⋮ ⋮ Cách 2: Ta có n – n – + 10 n + (1) Ta có n – ⋮ ⋮ ⋮ n – + 14 n+9 (2) Từ (1) và (2) suy n + 35 số n nhỏ nhBất có tính chBất trên là n = 26 ⋮ ⋮ Cách 3: n = 5x + = 7y + 5x = 5y + 2y + 2(y + 2) 5 y+2 Giá trị nhỏ nhBất y 3, giá trị nhỏ n 7.3 + = 26 (11) Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n có bội chữ số cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho 132 thì dư 98 Giải : Cách 1: Ta có 131x + 112 = 132y + 98 ⋮ 131x = 131y + y – 14 y – 14 131 y = 131k + 14 ( k ¿ N) n = 132.(131k + 14) + 98 = 132.131k + 1946 Do n có bội chữ số nên k = , n = 1946 Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy 131(x – y) = y – 14 Nếu x > y thì y – 14 131 y 145 n có nhiều bội chữ số Vậy x = y, đó y = 14, n = 1946, Cách Ta có n = 131x + 112 nên 132 n = 131.132x + 14784 (1) Mặt khác n = 132y + 98 nên 131n = 131.132y + 12838 (2) Từ (1) và (2) suy 132n – 131 n = 131.132(x – y) + 1946 n = 131.132(x – y) + 1946 Vì n có bội chữ số nên n = 1946 III/ ƯCLN, BCNN 1) Tìm hai số đó biết ƯCLN của chúng Ví dụ Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 84, ƯCLN chúng Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a b) Ta có (a,b) = nên a = 6a’; b = 6b’ đó (a’, b’) = (a, b, a’, b; ¿ N) Do a + b = 84 nên (a’ + b”) = 84 suy a’ + b’ = 14 Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng có tổng 14 (a’ b’), ta được: a’ Do đó a 18 30 b’ 13 11 b 78 66 54 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên có tích 300 ƯCLN Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a b) Ta có (a,b) = nên a = 5a’, b = 5b’ đó (a’, b’) = (12) Do ab = 300 nên 25a’b’ = 300 suy a’b’ = 12 = 4.3 Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng có tích 12 (a’ b’) ta được: a’ Do đó a 15 b’ 12 b 60 20 2) Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số vì ƯCLN của chúng Ví dụ Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng 10, BCNN chúng 900 Giải : Gọi các số phải tìm là a và b, giả sử a b Ta có (a,b) = 10 nên a = 10a’, b = 10b’, (a’,b’) = 1; a’ b Do đó ab = 100 a’b’(1) Mặt khác ab = [a,b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2) Từ (1) và (2) suy a’b’ = 90 Ta có các trường hợp: a’ Do đó a 10 20 50 90 b’ 90 45 18 10 b 900 450 180 10 3) Tìm ƯCLN của hai số thuật toán Ơ clit Ví dụ Cho hai số tự nhiên a và b (a > b) a) Chứng minh a chia hết cho b thì (a,b) = b b) Chứng minh a không chia hết cho b thì ƯCLN hai số ƯCLN số nhỏ và số dư phép chia số lớn cho số nhỏ c) Dùng các nhận xét trên đó tìm ƯCLN (72,56) Giải : a) Mọi ước chung a và b hiểnn nhiên là ước b Đảo lại,do a chia hết cho b nên b là ước chung a và b Vậy (a,b) = b b) Gọi r là số dư phép chia a cho b (a > b) Ta có a = bk + r (k ¿ N), cần chứng minh (a, b) = (b,r) Thật vậy, a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d, đó ước chúng a và b còng là ước chung b và r (1) Đảo lại b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d, đó ước chung b và r còng là ước chung a và b (2) Từ (1) và (2) suy tập hợp các ước chung a và b và tập hợp các chung b và r Do đó hai số lớn hai tập hợp đó còng nhau, tức là (13) (a, b) = (b,r) c) 72 chia 56 dư 16 nên 972,56) = ( 56,16) 56 chia 16 dư nên (56,16) = (16,8); 16 chia hết cho nên (16,8) = Vậy (72,56) = Nhận xét : Giả sử a khôngchia hết cho b và a chia hết cho b dư r1, b chia cho r1 dư r2, r1 chia cho r2 dư r3 , rn – chia cho rn-1 dư rn’ rn-1 chia cho rn dư (dãy số b, r1 , r2 , ,rn là dãy số tự nhiên giảm dần nên số phép chia là hữu hạn đó quá trình trên phải kết thúc vì số dư 0) Theo chứng minh ở ví dụ trên ta có (a, b) = (b,r1) = (r1,r2) = =(rn-1’rn)= rn (vì rn-1 chia hết cho rn) Như ƯCLN (a,b) là số chia cuối cùng dãy các phép chia liên tiếp a cho b; b cho r1; r1 cho r2; đó r1,r2, là số dư các phép chia theo thứ tự trên Trong thực hành ngưêi ta đặt tính sau: 72 56 56 16 16 Việc thực dãy phép chia liên tiếp trên gọi là thuật toán Ơ– clit Trường hợp tìm ƯCLN ba số, ta tìm ƯCLN hai số rồi tìm ƯCLN kết vì số thứ ba 4) Hai số nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên tố cùng là hai số có ƯCLN Nói cách khác, chúng có ước chung là Ví dụ Chứng minh a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng c) 2n + và 3n + ( n ¿ N) là hai số nguyên tố cùng Giải: a) Gọi d ¿ ƯC (2n + 1,2n + 3) (2n + 3) – (2n + 1) ⋮ d ⋮ d d ¿ {1; 2} Nhưng d vì d là ước số lẻ Vậy d = (14) c) Gọi d ¿ ƯC (2n + 1, 3n + 1) (2n + 1) – (3n + 1) ⋮ d ⋮ d d=1 Ví dụ Tìm số tự nhiên n đó các số 9n + 24 và 3n + là các số nguyên tố cùng Giải : Giả sử 9n + 24 và 3n + cùng chia hết cho số nguyên tố d thì 9n + 24 – (3n + 4) ⋮ d 12 ⋮ d d ¿ { ; 3} Điều kiện đề (9n + 24, 3n + 4) = là d và d Hiển nhiên d vì 3n + không chia hết cho Muốn d phải có ít hai số 9n + 24 và 3n + không chia hết cho Ta thấy: 9n + 24 là số lẻ ⇔ 9n lẻ ⇔ n lẻ 3n + là số lẻ ⇔ 3n lẻ ⇔ n lẻ Vậy điều kiện đó (9n + 24,3n + 4) = là n lẻ 5) Tìm ƯCLN của các biểu thức số Ví dụ Tìm ƯCLN 2n - và 9n + (n ¿ N) Giải : Gọi d ¿ ƯC (2n – 1, 9n + 4) 2(9n + 4) - 9(2n – 1) ⋮ d 17 ⋮ d d ¿ { ; 17 } Ta có 2n – ⋮ 17 ⇔ 2n – 18 ⋮ 17 ⇔ 2(n – 9) ⋮ 17 ⇔ n – ⋮ 17 ⇔ ⇔ n = 17k + ( k ¿ N) Nếu n = 17k + thì 2n – ⋮ 17 và 9n + = 9.(17k + 9) + = 17.9k + 85 ⋮ 17, đó (2n – 1, 9n + 4) = 17 Nếu n 17k + thì 2n – ⋮ không chia hết cho 17, đó (2n – 1, 9n + 4) =1 Ví dụ Tìm ƯCLN n(n+1) và 2n + (n N *) ) , 2n+1 ) ( n(n+1 Giải : Gọi d ƯC thì n(n + 1) ⋮ d và 2n + ⋮ d Suy n(2n + 1) – n(n + 1) ⋮ d tức là n2 ⋮ d Từ n(n+1) ⋮ d và n2 ⋮ d suy n ⋮ d Ta lại có 2n + ⋮ d, đó ⋮ d, nên d=1 n(n+1) Vậy ƯCLN và 2n + V Số lượng các ước số (*) Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A = ax.by.cz thì số lượng các ước A (x + 1)(y + 1)(z + 1) (15) Thật vậy, ước A là số có dạng m.n.p đó x m có x + cách chọn ( là 1, a, a , a ), n có y + cách chọn (là 1, b , b2, , by), p có z + cách chọn (là 1, c, c2, cz), Do đó số lượng các ước A (x + 1)(y + 1)(z + 1) Ví dụ Tìm số nhỏ có 12 ước Giải : Phân tích số phải tìm theo số nguyên tố : N = ax.by.cz ta có (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 12 ( x y z 1) Số 12 có bội, cách viết thành tích hay nhiều theo số lớn là: 12 =12.1 = 6.2 = 4.3 = 3.2.2 Xét các trường hợp sau: a) n chứa theo số nguyên tố : Khi đó x + = 12 nên x = 11 Chọn theo số nguyên tố nhỏ là 2, ta có số nhỏ trường hợp này là 211 b) n chứa hai thừa số nguyên tố: Khi đó (x + 1)(y + 1) = 6.2 (x + 1)(y + 1) = 4.3, đó x = 5, y = x = , y = Để n nhỏ ta chọn thứa số nguyên tố nhỏ ứng vì số m lớn, ta có n = 25.3 = 96 n = 23.32 = 72 Số nhỏ trường hợp này là 72 c) n chứa ba thừa số nguyên tố : Khi đó (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 3.2.2 nên x = 2,y = z = Số nhỏ là 22.3.5 = 60 So sánh ba số 211, 72, 60 ba trường hợp, ta thấy số nhỏ có 12 ước là 60 (16)