Đang tải... (xem toàn văn)
5/ Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C thuộc đường tròn B,C,O không thẳng hàng, các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại A.. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC.[r]
(1)Chuyên đề Hình học : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY I.Phương pháp giải 1, Chứng minh ba diểm thẳng hàng - Vận dụng tính chất hai tia đối - Vận dụng hai đường thẳng cùng qua điểm song song vuông góc với đường thẳng thì trùng - Vận dụng tính chất các đường đặc biệt tam giác - Vận dụng thêm điểm phụ thứ tư - Vận dụng tính chất các đường chéo tứ giác đạc biệt - Vận dụng hai mút đường kính và tâm đường tròn là ba điểm thẳng hàng - Vận dụng hai tâm đường tròn tiếp xúc và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng 2/ Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp *Tứ giác có tổng hai góc đối 180o * Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện * Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm ( mà ta có thể xác định ) Đieenmr đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác * Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc α 3/ Chứng minh ba đường thẳng đồng quy - Giao điểm hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại - Chỉ điểm thuộc ba đường thẳng - Vận dụng tính chất đồng quy ba đường cung tên tam giác - Vận dụng tính chất đường chéo II / Ví dụ ( có gợi ý ) / Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R) Gọi H là trực tâm và và G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H,G ,O thẳng hàng Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) Vẽ đường kính AD đường tròn (0) Gọi M là giao điểm BC và HD Ta có : ACD = 90 o ( góc nội tiếp chắn đường tròn ) Mà BH AC ( Hlà trực tâm tam giác ABC ) và DC AC ⇒ BH // DC Chứng minh tương tự có: BD//HC.Tứ giác BHCD có BH // DC,BD // HC nên là hình bình hành ⇒ M là trung điểm BC và HD Δ ABC có AM là đường trung tuyến,G là trọng tâm Δ ABC ⇒ G thuộc đoạn thẳng AM và AG = AM Δ AHD có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG= AM ⇒ G là trọng tâm tam giác AHD.Mà HO là đường trung tuyến tam giác AHD Do đó : HO qua G Vậy H,G,O thẳng hàng 2/Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Các điểm P,Q,R là hình chiếu củ M trên các đường thẳng BC,CA và AB Chứng minh rằng: a) Các điểm M,P,B,R cùng thuộc đường tròn (2) b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) a) Tự chứng minh b)Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp ^ Q= 180 ° ⇒ M ^ P Q+M C ^ M =R ^ Xét đường tròn (RBPM) có R B PM ^ ^Q Xét đường tròn (O)có R B M = M C ^Q ^ M =M C ¿❑ Do đó: R P ^ Q+ M P ^ M +M P ^ Q=M C ^ Q=180° Ta có: R P Vậy R,P,Q thẳng hàng 3/Cho đường tròn (O)nội tiếp tam giác ABC Các điểm D,E,F là các tiếp điểm (O)với BC,CA,AB.Vẽ BB1 OA B , AA OB A B , A , E Chứng minh D, 1 thẳng hàng Gợi ý: (Hs tự vẽ hình) ❑ ❑ Tứ giác AEA1O nội tiếp đường tròn => OAE +OA E =90 ° ❑ ❑ Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn => BAB1=BA B Mà *BAB1 = *OAE => *BA1B1=*OAE Ta có : *BA1B1 + *OA1E = 180o => E,A1,B1 thẳng hàng - Cứng minh tương tự có D,A1,B1 thẳng hàng Do đó D,B1,A1,E thẳng hàng 4/ Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB<CD) nội tiếp đường tròn tâm O Gọi PQ là dây cung vuông góc với AB và CD P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD ( P không trùng với A và B, Q không trùng với C và D)_ Gọi I và K là giao điểm PQ với AB và CD Gọi P1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AC, Q1 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống AD, Q2 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống AC a) Chứng minh QKQ2C, QKDQ1 ,PP2KC,AIQ2Q là các tứ giác nội tiếp b) Chứng minh Q1, K, Q2 thẳng hàng và P1 K, P2 thẳng hàng Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) a) Hs tự làm b) => *Q1KQ = *Q1DQ => *QKQ2 + *QKQ1 = 180o => Q1 , K, Q2 thẳng hàng - Tứ giác AP1PP2 nội tiếp => *PP2P1 = *P1AP *PCK = *P1AP => *P1P2P = *PCK => *P1P2P + *PP2K = 180o => P1 , K, P2 thẳng hàng 5/ Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C thuộc đường tròn ( B,C,O không thẳng hàng), các tiếp tuyến với đường tròn B và C cắt A Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đường tròn M cắt AB ,AC theo thứ tự D,E Gọi giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự I,K Chứng minh : a) OBDK , DIKE là các tứ giác nội tiếp b) Các đường thẳng OM, DK, EI đồng quy Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) a) Hs tự làm b) OBDK là tứ giác nội tiếp => *OBD = *OKD = 90o => DK OE Tương tự : EI OD Mà OM DE => OM, DK, EI là các đường cao ΔODE => Đpcm (3) 6/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tòn (O) Gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB Vẽ các đường thẳng Dx, Ey, Fz cho Dx // OA, Ey // OB, Fz // OC Cứng minh các đường Dx, Ey, Fz đồng quy Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) Chứng minh CH // BM BH // MC => BHCM là hình bình hành Mà D là trung điểm BC, đó D là trung điểm HM Gọi N là trung điểm OH Xét tam giác HMO Dx // OM, D là trung điểm HM => Dx qua N Tương tự : Ey qua N, Fz qua N => Các đường thẳng Dx, Ey, Fz đồng quy III Bài tập tham khảo Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB,AC theo thứ tự E,D a) CMR AD.AC=AE.AB b) Gọi H là giao điểm BD và CE, K là giao điểm AH và BC CMR AH vuông góc với BC c) Từ A kẻ tiếp tuyến Am,AN đến đường tròn (O) với M,N là các tiếp điểm CMR góc ANM góc AKN Gợi ý : a) Chứng minh tam giác ABD và ACE đồng dạng => tỉ lệ tương ứng => đpcm b) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC => AH BC c) - Chứng minh các điểm A,M,K,O,N cùng thuộc đường tròn Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp b) Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC Gợi ý : a) XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp b) BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF là đờng cao => CF AB => BFC = 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn c)XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD = AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC = AD AC Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt C và D Các đờng thẳng AD vµ BC c¾t t¹i N a) Chøng minh AC + BD = CD b) Chøng minh COD = 900 c) Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD d) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Gợi ý : (4) a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900 c) Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD cã IO lµ b¸n kÝnh Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang Lại có I là trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đờng trung bình h×nh thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB là tiếp tuyến O đờng tròn đờng kÝnh CD d) Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vu«ng gãc víi Ax vµ By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E a) Chøng minh tam gi¸c BEC c©n b) Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH c)Chứng minh BE là tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) d)Chøng minh BE = BH + DE Gợi ý : a) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến BEC => BEC là tam giác c©n => B1 = B2 b) Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH c) AI = AH vµ BE AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I d) DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a)) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi Gợi ý : a) Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b)Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM IB ( theo trªn) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB c)Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao tam giác ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B d)BAF là tam giác cân B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung ®iÓm cña AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E lµ trung ®iÓm cña HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (5) Cho tam giác ABC có đờng cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC a)Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó b)Chøng minh r»ng MP + MQ = AH c)Chøng minh OH PQ Gợi ý : a) Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 nh P và Q cùng nhìn BC dới góc 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp * Vì AM là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ lµ trung ®iÓm cña AM 1 b) Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH c) Tam giác ABC có AH là đờng cao nên là đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam giác POQ cân O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là đờng cao => OH PQ Cho ABC là tam giác cạnh 1.Trên AC lấy các điểm D, E cho góc ABD góc CBE và 20o Gọi M là trung điểm BE và N là điểm nằm trên cạnh BC cho BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và BEN Gọi ý : * Vẽ BH vuông góc với AC H => HA = HC * Ta có góc DBE = 20o * chứng minh tam giác BAD và BCE => BD = BE => tam giác BDE cân B * Chứng minh tam giác BMN và DBE đồng dạng => SBMN = S BDE * Ta có : SBEN = SBMN = ½ SBDE = SBEH => SBCE + SBEN = SBCE + SBEH = ½ SABC = ……… IV Bài tập tự luyện Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), xy là tiếp tuyến A đường tròn Một đường thẳng song song với xy cắt Â, AC D, E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn đường kính BC cawtsw AB, AC E và F BF và CE cắt H a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròng (O) Từ điểm bất kì trên đường tròn hạ các đường vuông góc xuống các cạnh Chứng minh chân ba đường vuông góc này thẳng hàng Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn D a) Chứng tỏ OD vuông góc với BC b) Gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC Tính góc BIC (6) Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) Kẻ đường cao BD, CE tam giác, hai đường này cắt H Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) M, N và cắt BC K a) Chứng minh góc AED và ACB b) Chứng minh AM = AN c) Chứng minh KE.KD = KB.KC d) Cho góc A 60o Tính diện tích tứ giác ADOE theo R Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp b) Kẻ đường kính AA’ (O) Chứng minh AA’ vuông góc với EF c) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh S AHG = 2S AOG ( Các em cố gắng làm.Bài giảng chi tiết up sau) (7) (8)