DE THI VAO 10 LAM SON rat hay

[r]

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1) mơn: tốn chung thời gian: 150'

( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )

Bài I: (2 điểm )

Cho a, b,c ba số khác đôi một, c 0

Chøng minh r»ng nÕu c¸c phơng trình: x2ax bc x2bx ca 0  cã

đúng nghiệm chung nghiệm thứ hai phơng trình thỏa mãn phơng trình x2cx ab 0 

Bµi II: (2 ®iĨm ) Gäi Sn=

1 1

1 2 2 3  n n 1 , nN, n 1 .

T×m tất giá trị n cho n 100 Sn có giá trị nguyên

Bài III: (2 điểm )

Giải phơng trình nghiệm nguyên:

yz zx xy x  y  z Bài IV: ( điểm )

Cho a > , chøng minh n so a

a a a   a

         

1 4a

 

Bµi V: ( ®iĨm )

Cho đờng trịn (O) nội tiếp tam giác ABC , tiếp điểm D, E, F Chứng minh tích khoảng cách hạ từ điểm M đờng tròn xuống cạnh tam giác ABC tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác DEF

đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm tờ )

Ta gọi x0là nghiệm chung hai phơng trình: x2ax bc , 1 và

x bx ca 0  , 2 Vµ x1, x2lần lợt nghiệm thứ hai 1 vµ  2 , víi

1

x x

Khi ta có:

2

0

2

0

x ax bc x bx ac

    



   



 x a b0    c a b    0 a b x   0 c 0, a b x0 c

 Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho  1 và  2 ta có:

0

x x b.c x x a.c

 





 ,

1

2

x b x c

x a

     



  x1x2  a b,  3

 Ngoµi ra:

0

0

x x a

x x b

  



 

 , x0 c  2c x 1x2  a b,  4

 Kết hợp  4 với  3 ta đợc c a b Nh ta có:x1x2 c x x1 a.b

x1vàx2 nghiệm phơng trình x2cx ab .đpcm

Bài II: 2điểm ( Mỗi phần tơng ứng cho 0,5 điểm )

 Chó ý r»ng:    

1 k k

k k

k k k k k k

 

   

     

, k N, k 1

 Suy Sn =  1   3 2  n n 1   n 1  n = n 1 

 Sn nhận giá trị nguyên , n số phơng Dạng n k 21 Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy tập giá trị n thỏa

mÃn yêu cầu toán là: 3,8,15, 24,35, 48,63,80,99 Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm )

 Víi ®iỊu kiƯn: xyz 0

Ta cã:

yz zx xy

x  y  z  , 1  2x y2 22y z2 22z x2 6xyz, 2 

x y2 2x yz x z2 2 x z2 2xyz2 y z2 2 y z2 2xy z x y2 2

        

 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz  

  

2

xy xz xz yz 2 yz xy 2 2xyz x    y   z  , 3 

 NhËn xÐt: Tõ  2  xyz 0 , v× vËy 3  x y z .Phơng trình có

nghiƯm tù nhiªn x = y = z = 1, lại xyz suy nghiệm nguyên

Bài IV: 1điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 0,5 điểm )

 Ký hiÖu: xn = n so a

a a a   a

        

, ta cã xn > víi n 1

Ta chøng minh xn-1< xn víi n >

+ Ta cã: a < a a  x1< x2

+ Giả sử với n = k - > 0, ta có xk-1< xk Khi :

2

k k k k

x   a x  a x  x

xk+1> xk Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn

 x2k  a xk 1  a xk 

n n n n

1 4a 1 4a

x x a x x

2

                  

   

n

1 4a 1 4a x

2

   

  

VËy n so a

a a a   a

         

1 4a

 

đpcm Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tơng ứng cho 1,0 điểm )

Bổ đề: Khoảng cách từ điểm đờng tròn đến đờng thẳng qua

hai tiếp điểmcủa hai tiếp tuyến với đờng trịn trung bình nhân khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến

 XÐt hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC , M(O)

Hạ đờng vng góc MK, MH, ML xuống tiếp tuyến AB, AC dây EF

MEN MFH

  ( ch¾n cung MF )

MFN MEK

  ( - ME ) Suy tam giác MEN MFH , MFN MEK đồng dạng Từ

MN MF MH

MK ME MN MN2 MH.MK

  (1)

Bổ đề đợc chứng minh

 ¸p dơng (1), gäi a, b, c, d, e, f lần lợt

l khong cỏch t M đến đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE tam giác ABC DEF ta đợc: d2 b.c, e2 c.a, f2 a.b Nhân vế với vế ba đẳng thức, suy điều phải chứng minh

A B

C

O

E D

F M