a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.. b Tính góc giữa SBC và ABCD.[r]
(1)ðỀ ÔN TẬP HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút ðề số 10 A PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính các giới hạn sau: ( x + 1)3 − x →0 x x +3 a) lim x →−3 x c) lim b) lim + 2x − x →−2 x2 + − x+2 Câu 2: a) Chứng minh phương trình sau có ít nghiệm: x − 10 x − = x+3 b) Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − , x ≠ −1 trên tập xác ñịnh 2 , x = −1 Câu 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thi hàm số y = x ñiểm có hoành ñộ x0 = −1 b) Tính ñạo hàm các hàm số sau: • y = x + x • y = (2 − x ) cos x + x sin x Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông A, B AB = BC = a, ADC = 450 , SA = a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc (SBC) và (ABCD) c) Tính khoảng cách AD và SC B PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn 1 Câu 5a: a) Tính lim − + x →2 x − x − Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2) x Câu 6a: Cho y = x − x + Giải bất phương trình: y′ < b) Cho hàm số f ( x ) = uuur r uuur r uuur r Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c Gọi I là trung ñiểm ñoạn BG Hãy uur r r r biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c Theo chương trình nâng cao Câu 5b: a) Tính gần ñúng giá trị 4, 04 b) Tính vi phân hàm số y = x.cot x Câu 6b: Tính lim x →3+ x − 3x + x −3 Câu 7b 3: Cho tứ diện ñều cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh ñối tứ diện Hết Họ và tên thí sinh: SBD : Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (2) ðÁP ÁN ðỀ ÔN TẬP HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút ðề số 10 Câu 1: x+3 1 = lim =− x →−3 x + x − x →−3 x − a) lim c) lim x →−2 ( x + 1)3 − = lim x + x + = x →0 x →0 x ( b) lim ) ( x − )( x + ) x2 + − x −2 = lim = lim =− =− x →−2 x →−2 2 x+2 ( x + ) ( x + + 3) x +5 +3 Câu 2: a) Xét hàm số: f(x) = x − 10 x − ⇒ f(x) liên tục trên R • f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) f ( ) < nên phương trình có ít nghiệm thuộc c1 ∈ ( −1;0 ) • f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3) • c1 ≠ c2 nên phương trình ñã cho có ít hai nghiệm thực x+3 b) f ( x ) = x − , x ≠ −1 2 , x = −1 • Tập xác ñịnh D = R \ {1} x +3 xác ñịnh nên liên tục x −1 • Xét x = ∉ D nên hàm số không liên tục x = • Xét x = –1 x +3 lim f ( x ) = lim = −1 ≠ f ( −1) = nên hàm số không liên tục x = –1 x →−2 x →−2 x − Câu 3: a) y = x ⇒ y′ = x • Với x ∉ {−1;1} hàm số f ( x ) = Với x0 = −1 ⇒ y0 = −1, y′ (−1) = ⇒ PTTT: y = x + b) Tính ñạo hàm • y = x + x2 ⇒ y ' = + x2 + x2 + x2 ⇔ y' = + x2 + x2 • y = (2 − x ) cos x + x sin x ⇒ y ' = −2 x cos x + ( x − 2)sin x + 2sin x + x cos x ⇒ y ' = x sin x Câu 4: a) CM các mặt bên là các tam giác vuông SA ⊥ AB •SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ ∆SAB và ∆SAD vuông A •BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B 2 2 2 • SB = SA + AB = 2a + a = 3a SC = SB + BC = 3a2 + a2 = 4a2 • hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆CDE vuông cân E nên EC = ED = AB = a ⇒ CD = a ⇒ AD = AE + ED = BC + ED = 2a ⇒ SD = SA2 + AD = 6a2 • SC + CD = 4a2 + 2a2 = 6a2 = SD nên tam giác SDC vuông C Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (3) b) Tính góc (SBC) và (ABCD) ) ( • (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SB ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ (SBC ),( ABCD ) = SBA ⇒ tan SBA = SA = AB c) Tính khoảng cách AD và SC • Ta có SC ⊂ (SBC ), BC AD ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A,(SBC )) • Hạ AH ⊥ SB ⇒ = 1 + ⇔ AH = AB SA2 = 2a = 6a2 a ⇔ AH = AH AB SA2 AB + SA2 3a2 a • Vậy d ( AD, SC ) = Câu 5a: 1 −x −1 − a) Tính I = lim = lim+ + x →2 x − x − x →2 x − lim (− x − 1) = −3 < x →2 + • Ta có lim ( x − 4) = ⇒ I = −∞ + x →2 x > ⇒ x − > 8 b) f ( x ) = ⇒ f ′( x ) = − , f ′(−2) = −2, f ′(2) = −2 ⇒ f ′(−2) = f ′(2) x x2 Câu 6a: y = x − x + ⇒ y′ = x − x BPT: y ' < ⇔ x − x − < ⇔ x ∈ (1 − 2;1 + ) Câu 7a: uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AI = ( AB + AG ) = ( AB + AB + AD + AE ) 2 ( r r r) r r r = 2a + b + c = a + b + c 2 Câu 5b: a) Tính gần ñúng giá trị 4, 04 x , ta có f ' ( x ) = • ðặt f(x) = x , theo công thức tính gần ñúng ta có với: x0 = 4, ∆ x = 0, 04 ⇒ f (4, 04) ≈ f (4 + 0, 04) + f ′(4).0, 04 4, 04 = + 0, 04 ≈ + Tức là ta có .0,04 = + 0,01 = 2, 01 ⇒ 4, 04 ≈ 2, 01 b) Tính vi phân y = x.cot x ⇒ y ' = cot x − x 2 cot x sin x ⇔ y ' = cot x − x cot x (1 + cot x ) ⇒ dy = (cot x − x cot x − x cot x )dx Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (4) lim ( x − x + 1) = > x →3+ x − 3x + x − 3x + Câu 6b: Tính lim+ Ta có lim+ x − = ⇒ lim+ = +∞ x −3 x →3 x −3 x →3 x →3 x > ⇒ x − > Câu 7b: Tứ diện ABCD ñều, nên ta tính khoảng cách hai cạnh ñối diện AB và CD a a , AM = ⇒ AMN = 90 2 3a2 a2 2a2 ⇒ MN = AN − AM = − = 4 a ⇒ d ( AB, CD ) = NA = NB = =============================== Giáo viên biên soạn : Nguyễn Chiến Bình Trường THPT Nguyễn Chí Thanh – Pleiku – Gia Lai (5)