Chứng minh rằng nếu các ñoạn thẳng có ñộ dài a, b, c lập ñược thành một tam giác thì các ñoạn thẳng có ñộ dài a , b , c cũng lập ñược thành một tam giác.. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP [r]
(1)§1 SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI Chứng minh là số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất ñẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c là các số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ các số a và b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất ñẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh các bất ñẳng thức : b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) 11 Tìm các giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm các số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị nào a và b thì M ñạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ñó 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn ñẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) + 15 và b) c) 23 − 19 và d) 27 18 Hãy viết số hữu tỉ và số vô tỉ lớn 17 + + và và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với các ñiều kiện x, y > và 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S và 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ 21 Cho S = 23 Cho các số x và y cùng dấu Chứng minh : GV: Nguyễn Hiếu Thảo (2) x y + ≥2 y x x y2 x y b) + − + ≥ x y x y a) x y4 x y2 x y c) + − + + + ≥ x y x y x y 24 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho các số x và y khác Chứng minh : + + ≥ + y x y x 27 Cho các số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ là số vô tỉ 29 Chứng minh các bất ñẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] x − 6x + 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A = + + với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không : a là số vô tỉ b a b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab và c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a +b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh các số ñó, tồn hai số mà hai chữ số ñầu tiên là 96 GV: Nguyễn Hiếu Thảo (3) A2 = A § HẰNG ĐẲNG THỨC 41 Tìm các giá trị x ñể các biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= D= x − 2x − 1 E= x+ 1− x2 − + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 c) Giải phương trình : 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm các giá trị x ñể các biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= B= 2x + + x 1 − 3x G= C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x 45 Giải phương trình : =0 x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x +x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x +1 48 So sánh : a) a = + và b= b) − 13 + và c) n + − n + và n+1 − n (n là số nguyên dương) −1 49 Với giá trị nào x, biểu thức sau ñạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 Tính : a) 4−2 b) 11 + d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 51 Rút gọn biểu thức : M = c) 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm các số x, y, z thỏa mãn ñẳng thức : (2x − y) + (y − 2)2 + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải các phương trình sau : a) x − x − − x − = d) x − x − 2x + = b) x − + = x e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − GV: Nguyễn Hiếu Thảo (4) x + y2 55 Cho hai số thực x và y thỏa mãn các ñiều kiện : xy = và x > y CMR: ≥2 x−y 56 Rút gọn các biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = 58 Rút gọn các biểu thức : a) C = 6+2 ( d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 ) + + − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 và 1+ b) 17 + 12 và +1 c) 28 − 16 và − 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác ñịnh biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn các biểu thức sau : a) c) 11 − 10 b) − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh ñẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x − 16x + 60 < x − 64 Tìm x cho : x − + ≤ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x ñể biểu thức có nghĩa: a) A = 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x − 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + 1 x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x ñể biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x ñể A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân ñầu tiên số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG GV: Nguyễn Hiếu Thảo (5) n + n + và n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn ? 71 Trong hai số : 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3+ ; 3− ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − và b=2 − ; 76 So sánh + và +1 + − − − và số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ và lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > và a + b ≤ 82 CMR các số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có ít hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , ñó x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > và a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh các ñoạn thẳng có ñộ dài a, b, c lập ñược thành tam giác thì các ñoạn thẳng có ñộ dài a , b , c lập ñược thành tam giác § LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG (x + 2) − 8x b) B = x− x a +2 89 Chứng minh với số thực a, ta ñều có : ≥ Khi nào có ñẳng thức ? a2 +1 ab − b a 88 Rút gọn : a) A = − b b 90 Tính : A = + + − hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P = +5 và 6,9 b) 2+ 2− + + 2+ − 2− 13 − 12 và GV: Nguyễn Hiếu Thảo 7− (6) x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) 94 Chứng minh ta luôn có : Pn = < ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 93 Giải phương trình : a+ b≤ 95 Chứng minh a, b > thì 96 Rút gọn biểu thức : a2 b2 + b a x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − x −1 x − 4(x − 1) A= a b +b a : = a − b (a, b > ; a ≠ b) ab a− b 14 − a + a a − a 15 − b) + = −2 c) + : − = − a (a > 0) − − − a + a − 97 Chứng minh các ñẳng thức sau : a) 98 Tính : a) c) − − 29 − 20 ; b) + − 13 + 48 28 − 16 + 48 99 So sánh : a) + và 15 b) + 15 và 12 + 16 c) 18 + 19 và d) và 25 + 48 − 100 Cho ñẳng thức : a + a2 − b a − a2 − b ± (a, b > và a2 – b > 0) 2 a± b = Áp dụng kết ñể rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác ñịnh giá trị các biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx với x = với x = 1 1 a + , y = 2 a 1 1 b + 2 b 2am , m < b (1 + m ) 2x − x − 102 Cho biểu thức P(x) = 3x − 4x + a) Tìm tất các giá trị x ñể P(x) xác ñịnh Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > thì P(x).P(- x) < GV: Nguyễn Hiếu Thảo (a > ; b > 1) (7) 103 Cho biểu thức A = x+2−4 x −2 + x +2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các số nguyên x ñể biểu thức A là số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) các biểu thức sau: a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x c) + − x g) 2x − 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = h) − − x + 2x + + 10 + + − 10 + ( a + b ± a − b = a ± a2 − b 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x và y cho : 2x − x + + 48 − 10 + c) 107 Chứng minh các ñẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) i) x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn các biểu thức sau : a) b) d) x − − ) 94 − 42 − 94 + 42 b a± b = b) a + a2 − b a − a2 − b ± 2 x + 2x − + x − 2x − x+y−2 = x + y − (a + c) + (b + d) 110 Chứng minh bất ñẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b 2 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c )( b + c2 ) + b) (a a +b + b+c + c+a ≤ + d )( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + − x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh các số sau là số vô tỉ : − ; 2+ 121 Giải phương trình : 123 Chứng minh x − + − x ≤ 124 Chứng minh bất ñẳng thức sau phương pháp hình học : GV: Nguyễn Hiếu Thảo (8) a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh các ñoạn thẳng có ñộ dài a, b, c lập ñược thành tam giác thì các ñoạn thẳng có ñộ dài a , b , c lập ñược thành tam giác (a + b)2 a + b + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c + + > với a, b, c > 128 Chứng minh b+c a+c a+b 127 Chứng minh 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x ( b) A = x 99 + 101 − x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a và b là số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A = + + biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ b a+ d ) với a, b > , a + b ≤ ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > và a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c + với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ c+d a+b 141 Tìm GTNN A = 142 Giải các phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = k) − x − x = x − m) x + = x − x − c) 4x + − 3x + = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = l) 2x + 8x + + x − = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + GV: Nguyễn Hiếu Thảo (9) o) x − + x + + ( x − 1) ( x − 3x + 5) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 GV: Nguyễn Hiếu Thảo (10)