Đang tải... (xem toàn văn)
Các số này đều khác 0 vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài.[r]
(1)UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn Toán (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu (2,5 điểm) Tính: a/ 7,3 10,5 + 7,3 15 + 2,7 10,5 + 15 2,7 b/ (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94) Câu (5 điểm) So sánh A và B trường hợp sau: − 2012 − 1999 a/ A = 4025 ; B = 3997 b/ A = 321 ; B = 231 c/ A = 2011 2011 2011 2011 + + + + 1.2 3.4 5.6 1999 2000 2012 2012 2012 2012 2000 ; B= 1001 1002 1003 Câu (5 điểm) a/ Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) 3x y z x y 3z x y z Chứng minh rằng: b/ Cho c/ Cho f(x) là hàm số xác định với x thỏa mãn điều kiện f(x1.x2) = f(x1).f(x2) và f(2) = 10 Tính f(32) Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AB Gọi I là giao điểm các đường trung trực BC và AD a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b/ Chứng minh AI là tia phân giác góc BAC c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE= AD Câu (2,5 điểm) Cho 100 số hữu tỉ đó tích bất kì ba số nào là số âm Chứng minh rằng: a/ Tích 100 số đó là số dương b/ Tất 100 số đó là số âm -Hết - Họ tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh: ……… Họ tên và chữ kí: Giám thị 1: ………………………………………… Giám thị 2: ………………………………………… (2) UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÂU ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn Toán ĐIỂM ĐÁP ÁN Câu a 7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7 1,5đ = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7) = 10,5 10 + 15 10 (2,5đ) = 105 + 150 = 255 b (69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94) 1đ = ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38) = [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)] = (2.7) : = Câu a 2đ (5đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2 2012 2012 1 1999 1999 ; 4025 4024 2 3998 3997 2012 1999 4025 3997 − 2012 − 1999 => 4025 > 3997 1,0 0,5 0,5 Vậy A > B b A = 321 = 3.(32)10 = 3.910 1,5đ B = 231 = 2.(23)10 = 2.810 Suy A > B 2011 2011 2011 2011 c A= + + + + 0,5 0,5 0,5 1999 2000 1 1 1 ¿ 2011 − + − + − + + − 1999 2000 1 1 1 ¿ 2011 1+ + + + − + + + + 1999 2000 1,5đ ( ) [( )( 0,2 )] 1 1 1 1 1 ¿ 2011 1+ + + + + + + + − + + + + 1999 2000 2000 [( ) ( 1 1 1 1 ¿ 2011 1+ + + + + + − 1+ + + + + 1999 2000 999 1000 1 1 ¿2011 + + + + + 1001 1002 1003 1999 2000 [( )( ( ) )] )] 0,2 0,2 (3) 1 B 2012 2000 1001 1002 1003 0,2 Suy A < B 0,2 0,2 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100 2,5đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+ (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120 = 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) 120 (đpcm) a Câu (5đ) b 1,5đ 3x y z x y 3z Suy ra: 4(3x y ) 3(2 z x) 2(4 y z ) 16 12 x y z 12 x y z 0 29 3x y x y 0 x 2 y (1) 2z 4x x z 0 z 4 x (2) Vậy x y z Từ (1) và (2) ta 0,7 0,7 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2 0,2 0,2 c 1đ Vì f(x1.x2) = f(x1).f(x2) nên f(4) = f(2.2) = f(2) f(2) = 10 10 = 100 f(16) = f(4.4) = f(4) f(4) = 100 100 = 10000 f(32) = f(16.2) = f(16) f(2) = 10000 10 = 100000 Hình vẽ 0,5 0,2 0,2 0,5 (4) Câu A (5đ) P C B E D I a Vì I là giao điểm các đường trung trực BC và AD 1,5đ nên IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt) Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) b ∆AID cân I, suy ∠ DAI = ∠ D 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ∠ BAI = ∠ D Do đó ∠ DAI = ∠ BAI Vậy AI là tia phân giác góc BAC c Kẻ IP AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn) 1,5đ => AE = AP Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) Suy AE= AD Câu (2,5đ) a 1đ 0,2 0,5 0,2 0,5 0,5 0,2 50, 0,2 0,5 0,2 0,5 0,2 0,2 Trong 100 số đã cho, phải có ít số âm (vì 100 số dương thì tích ba số bất kì không thể là số âm) Ta tách riêng số âm đó Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, 0,2 nhóm thừa số Theo đề bài, nhóm có tích là số âm nên tích 33 nhóm tức là 99 số là số âm Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta tích 100 0,2 số là số dương 0,2 b Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn 1,5đ a1≤a2≤a3≤ ≤a100 (5) Các số này khác (vì có thừa số thì tích nó với hai thừa số khác 0, trái với đề bài) Xét tích a98.a99.a100 < a98 < (vì a98 > thì a99 >0, a100> 0, tích ba số này không thể là số âm) Vậy a1, a2, a3, , a98 là các số âm Xét tích a1.a2.a99 < mà a1a2 > nên a99<0 Xét tích a1.a2.a100 < mà a1a2 > nên a100<0 Vậy tất 100 số đã cho là số âm Ghi chú: - Hướng dẫn chấm nêu cách giải cho bài Nếu HS làm cách khác đúng thì cho điểm tương đương - Bài hình không vẽ hình hình vẽ sai, không khớp với chứng minh thì không chấm phần chứng minh - Điểm toàn bài là tổng điểm tất các câu, không làm tròn 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 (6)