a Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.. Cho O;R và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến.[r]
(1)k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc M«n Thi: To¸n Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Phßng GD & §T quú hîp Câu1 Chứng minh ba số a , a + k , a + 2k là số nguyên tố lớn thì k chia hÕt cho C©u2 Cho biÓu thøc A = ( √ x√−1x − x −1√ x ): ( √ x1+1 + x −2 ) a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x=3+2 √ c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho A < C©u Cho a+b +c ≠ Chøng minh r»ng: C©u4 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 3 3 abc − a −b − c ≤ a+ b+c x +3 x +1=( x+ 3) √ x +1 ¿ a +2 b +3 c +4 d 2=36 a2+ b2 − d 2=6 ¿{ ¿ b) Cho a, b, c, d lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m tho¶ m·n: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = a2 +b 2+ c 2+ d2 Câu5 Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến Đờng th¼ng a ®i qua S c¾t (O) t¹i M vµ N ( M n»m gi÷a S vµ N, a kh«ng ®i qua O) Gäi I lµ trung điểm MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt E a) Chøng minh OI OE = R2 b) Cho SO = 2R; MN= R √ H·y tÝnh sè ®o gãc NSO c) Víi SO = 2R; MN = R √ TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ESM ======= HÕt ====== L u ý: Häc sinh b¶ng A lµm c¶ c©u; Häc sinh b¶ng B kh«ng ph¶i lµm c©u 4b Häc sinh b¶ng C kh«ng ph¶i lµm c©u 4b vµ C©u5c Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) đáp án và biểu điểm C©u Néi dung Do a; a + k; a + 2k là số nguyên tố lớn nên là số C©u1 lÏ vµ kh«ng chia hÕt cho 3® + Vì a và a+k lẽ nên (a+k) - a = k ⋮ (1) + Vì a; a+k; a+ 2k không chia hết cho nên chia cho thì ít có hai số có cùng số d, đó * NÕu a vµ a+k cã cïng sè d th× (a+k) - a = k ⋮ *NÕu a vµ a+ 2k cã cïng sè d th× (a+2k) - a = 2k ⋮ B¶ng B¶ng B¶ng A B C 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (2) k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2006 - 2007 §Ò chÝnh thøc M«n Thi: To¸n Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Phßng GD & §T yªn thµnh ( Bµi 1: Cho biÓu thøc: A = 1 + 1+ √ x −1 √ x+ √x )( ) a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để √ A > A Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) √ x+1=x −1 b) √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 c) x+ y+ z+ 4=2 √ x −2+4 √ y −3+ √ z −5 Bµi 3: a) Cho sè kh«ng ©m a vµ b Chøng minh r»ng: a+b ≥ √ ab , dÊu “=”x¶y nµo? b) T×m cÆp sè x, y cho: x √ y −1+ y √ x −1=xy c) Cho < a, b, c < Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau đây là sai: a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A,đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC BiÕt BH=4cm, CH=9cm a) Tính độ dài đoạn DE b) Chøng minh: AD.AB = AE.AC c) Chøng minh: AH3 = BC.BD.CE Bµi 5: Cho n sè a1; a2; ; an, mçi sè chóng b»ng hoÆc b»ng (–1) và a1a2 + a2a3 + + ana1 = Hỏi n có thể 2006 đợc không? Tại sao? ======= HÕt ====== Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Bµi (1,5®) đáp án, biểu điểm chấm môn toán Néi dung C©u a:1 ®iÓm, c©u b: 0,5 ®iÓm a)TX§ = { x ∈ R / x> 0; x ≠1 } A= √ x +1+ √ x −1 √ x +1 x −1 √x x ( x +1) 2( √ x +1) = √ √ = = (x − 1) √ x ( √ x −1)( √ x+1) √ x −1 b) √ A > A ⇔ √ A (1 − √ A)>0 ⇔ A<1 (§iÒu kiÖn:A ⇒ §iÓm 0.5 0.5 √ x −1>0 ⇒ x >1 ) 0.25 (3) <1 ⇔2< √ x −1 ⇔3< √ x ⇔ x >9 √ x −1 VËy víi x>9 th× √ A > A ⇔ (Tháa m·n) C©u a:1 ®iÓm C©u b: ®iÓm C©u c: 1®iÓm a) √ x+1=x −1 §iÒu kiÖn:x 2 (3®) x −1 ¿ ⇔ x (x − 1)=0 ⇔ x +1=¿ ⇔ x=0 (lo¹i) hoÆc x=1 (Tháa m·n) b) √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 √ x − 1+1¿ ¿ √ x −1 −1 ¿2 =2 ¿ ¿ ⇔√¿ ⇔|√ x − 1+1|+|√ x − 1− 1| =2 §iÒu kiÖn x NhËn xÐt: |√ x −1+1|+|√ x −1 −1|=¿ |√ x −1+1|+|1− √ x −1| DÊu b»ng xÈy khi √ x −1+1 ¿ (1- √ x −1 ¿ ⇒ 2-x ⇒ x 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:1 x ≤ 1) x+y+z+4 = √ x −2+ √ y − 3+6 √ z −5 §iÒu KiÖn :x 2; y ≥ ; z ≥ ⇔ [ (x − 2) −2 √ x −2+1 ] + [( y − 3)− √ y −3+ ] + [( z − 5)− √ z − 5+9 ]=0 √ x −2 −1 ¿2 + √ z −5 −3 ¿ 2=0 √ y −3 −2 ¿ +¿ ⇔¿ ⇔ x −2 −1=0 √ √ y − 3− 2=0 √ z −5 − 3=0 ¿{{ (2®) 0.25 0.25 ¿ ⇔ x =3 y=7 Lµ nghiÖm z=14 ¿{{ C©u a:0,5 ®iÓm c©u b: ®iÓm c©u c: 0.5 ®iÓm a) v× a vµ b kh«ng ©m nªn tån t¹i √ a vµ √ b Ta cã √ a − √ b ¿ ≥ ⇔ a+ b −2 √ ab ≥0 ⇔ a+ b ≥2 √ ab ¿ 0.5 DÊu “=” x¶y a=b ⇔ a+b ≥ √ ab 0.25 0.25 (4) 0.25 b) §iÒu kiÖn : x (2,0®) 1;y 1+ x −1 x xy = ⇒ y √ x −1 ≤ √ x −1=√1(x −1)≤ 2 y xy T¬ng tù √ y − 1≤ ⇒ x √ y − 1≤ 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã : x √ y − 1+ y √ x − 1≤ xy ¿ ¿ x −1=1 x =2 DÊu "="x¶y ⇔ y − 1=1 ⇔ y=2 ¿{ ¿{ ¿ ¿ (1) (2) c) Giả sử các BĐT trên đúng Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với ta đợc: a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > (1) Ta l¹i cã a(2 - a) = 2a - a2 = - (1-a)2 T¬ng tù b(2 - b) c(2 - c) Do < a, b, c < nªn a( - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) M©u thuÉn víi (1) Vậy có ít các BĐT đã cho là sai 0.5 0.25 0.25 0.25 C©u a: 1®iÓm; c©u b: 1®iÓm; c©u c: 0.5® (2,5®) (1®) a) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã gãc vu«ng ⇒ DE = AH Tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AH BC, nªn AH2=BH.CH=4.9=36 ⇒ AH=6(cm) VËy DE=6cm 2 b) Ta cã AH =AD.AB ; AH =AE.AC ⇒ AD.AB=AE.AC c) Ta cã AH2=BH.CH ⇒ AH4=BH2CH2=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE ⇒ AH3=BC.BD.CE V× aj = + nªn aiaj = + Do đó tổng n số hạng a1a2 + a2a3 + + ana1 số hạng -1 Mµ tæng nµy b»ng (g thiÕt) nªn suy n ch½n Gi¶ sö n = 2k víi k sè h¹ng b»ng 1, k sè h¹ng b»ng -1 Tích n số hạng đó (a1a2)(a2a3) (ana1) = (a1a2 an)2 = Nªn sè h¹ng b»ng -1 ph¶i lµ sè ch½n, k = 2p VËy n = 2k = p Mµ 2006 kh«ng chia hÕt cho 4, suy n kh«ng thÓ b»ng 2006 Các cách giải khác đúng cho điểm tối đa 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc M«n Thi: To¸n (Vßng 2) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Phßng GD & §T quú hîp (5) Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ba chö sè abc cho: abc=n −1 n− 2¿ ¿ ¿ ¿{ cba=¿ Bµi 2: T×m c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2+ px+ q=0 BiÕt r»ng chóng lµ sè nguyªn vµ p+q=10 Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 4: a) Cho a, b, c ( √ x+5 − √ x +2)(1+ √ x +7 x+ 10)=3 N* Chøng minh r»ng: 1< a + b + c <2 a+b b+c c +a b) Cho hai sè x, y tho¶ m·n hÖ thøc x 2+ y + =4 Xác định x, y để tích x.y đạt 4x gi¸ trÞ nhá nhÊt Bài 5: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M, N là hai điểm trên đờng tròn (O) cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN R √ a) Tính độ dài MN theo R b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña AN víi BM, K lµ giao ®iÓm cña AM víi BN Chøng minh M, N, I, K cùng thuộc đờng tròn Tính bán kính đờng tròn đó c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M, N thay đổi nhng vẩn tho¶ m·n gi¶ thiÕt bµi to¸n ======= HÕt ====== Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2009 – 2010 §Ò chÝnh thøc M«n Thi: To¸n Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Phßng GD & §T nghi léc Bµi 1: Chøng minh r»ng: A = 2130+ 3921 chia hÕt cho 45 Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) √ x+3+ √ x − 1+ √ x +8 −6 √ x − 1=5 (6) ¿ x + y 2=2 b) √ x − √ y=( √ y − √ x )( x 2010 + y 2010 ) ¿{ ¿ ¿ a2 +b 2+ c 2=1 Bµi 3: T×m tÝch abc biÕt r»ng: a3 +b 3+ c 3=1 ¿{ ¿ Bµi 4: Cho x 2+ y =1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: S = (2 − x)(2 − y ) Bài 5: Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn (O) điểm thứ lµ G, c¾t AB vµ AC lÇn lît t¹i M vµ N a) Chøng minh : AM.AB = AN.AC b) Các tiếp tuyến đờng tròn (O’) M và N cắt BC lần lợt I và K so s¸nh IK vµ BC c) Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng qua điểm ======= HÕt ====== Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) híng dÉn chÊm to¸n líp Bµi (3,0 ®): A= 2130 + 3921 = 330 730 + 321 1321 A= 321( 39.730 + 1321) Kết luận đợc A chia hết cho (1) A= 2130 + 3921 = (2130 -1) + (3921 + 1) A= (21-1)P + (39+1)Q (P vµ Q nguyªn) A = 20(P+2Q) chia hÕt cho (2) V× (5;9)=1 kÕt hîp (1) vµ (2) ta cã A chia hÕt cho 45 Bµi 2: a, NhËn xÐt : = (3.0 ®) = Vậy tìm đợc ĐK là: x³ + =5 +2+ = + NÕu x³ 10, ta cã : +2+-3=5Þ x=10 (tho¶ m·n) + Nếu 1Ê x<10, ta có 5=5 (luôn đúng) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 1£ x£ 10 b, §iÒu kiÖn x,y³ 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,75 ® 0,5 ® HS biến đổi đợc: 0,5 ® 0,5 ® 0,75 ® (7) Tõ x 2+ y =2 Þ (x,y) (0,0) Þ x2010+y2010 > NÕu x>y th× PT thø cã VT > > VP ( V« nghiÖm) NÕu y>x th× PT thø cã VP > > VT (V« nghiÖm) Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ Thay vào PT thứ và tìm đợc: x = y = Bµi (2,0 ®): Ta cã a2 +b 2+ c 2=1 nªn |a|≤ ;|b|≤ 1;|c|≤ Ta cã : (a2 +b 2+ c 2)−(a3 +b3 + c3 )=0 => a2 (1 − a)+b (1− b)+c (1− c)=0 V× a2 (1 − a) ≥ ; b2 (1 −b)≥0 ; c2 (1 −c )≥ => a2 (1 − a)=b2 (1 −b)=c 2(1− c)=0 NÕu a=b=c=1 th× tr¸i víi gi¶ thiÕt a2=b2=c2=1 HS kết luận đợc có ít số tích abc = (2,0 ®) C©u 4: Ta cã: S = 4-2x-2y+xy (3,0 ®) 2S = - 4x – 4y + 2xy 2S = 1+4+3 - 4x – 4y + 2xy 2S = x2 + y2 + - 4x – 4y + 2xy +3 2S =(x+y-2)2 + 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® S= x+ y-2 ¿ + ¿ ¿ ¿ 0,25 ® Vậy Smax (x+y-2)2 đạt max và Smin (x+y-2)2 đạt Ta cã (x-y)2³ víi mäi x,y Þ 2xy £ x2+y2 Þ (x+y)2 £ 2(x2+y2)=2 Þ £ Þ - £ x+y £ Þ - -2 £ x+y-2 £ -2 < Þ S£ = = VËy SMax = §¼ng thøc x¶y Û x=y= - 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® √ 2− 2¿ 2+3 S³ VËy ¿ ¿ ¿ SMin = §¼ng thøc x¶y Bµi 5:a) (2 ®) HS kết luận đợc : AM.AB = AH2 (0,75 ®) AN.AC = AH (0,75 ®) AM.AB = AN.AC (0,5 ®) b) Kết luận đợc Δ IMH cân I (0,5 ®) Kết luận đợc : MI=BI=IH (0,75 đ) (3,0 ®) IH=1/2 BH (0,25 ®) Tơng tự kết luận đợc: HK =1/2 HC (1,5 ®) IK = 1/2 BC (0,5 ®) Û x=y= 0,5 ® (8) C) (2,0 ®) Nèi AO c¨t MN t¹i P; gäi giao AG vµ CB lµ S Kết luận đợc ∠ OAC = ∠ OCA ∠ O’NA = ∠ O’AN ∠ OAC+ ∠ O’NA= ∠ OCA+ ∠ O’AN =900 Rút đợc: MN AO (1) OO’ là đờng nối tâm (O) và (O’) nên OO’ AG hay OO’ AS Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO’ là đờng cao => O’ là trực tâm tam gi¸c => SO’ AO (2) kÕt hîp víi (1) => SO’ vµ MN cïng vu«ng gãc víi AO Và có chung điểm O’ => đờng thẳng SO’ trùng đờng thẳng MN => S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® (9)